Fonctions de plusieurs variables : le cours complet de prépa
Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Le calcul différentiel est la branche de l’analyse qui étudie les fonctions de plusieurs variables : comment elles varient, où elles atteignent leurs extremums, et comment on les intègre sur des domaines du plan […]
24 exercices corrigés de dérivées partielles en prépa
Les dérivées partielles sont le premier outil du calcul différentiel en prépa, et le plus testé en colle comme au concours. Voici une série d’exercices corrigés pas à pas, classés par difficulté croissante : du calcul direct sur un polynôme jusqu’aux problèmes type X, Mines et Centrale, en passant par la règle de la chaîne, […]
20 exercices corrigés d’intégrales doubles et triples en prépa
Le calcul d’intégrales multiples se joue rarement sur les grandes idées : il se joue sur l’ordre d’intégration, le bon système de coordonnées et le facteur jacobien qu’on oublie une fois sur deux. Voici 20 exercices d’intégrales doubles et triples classés par difficulté croissante, du calcul direct par le théorème de Fubini jusqu’aux problèmes type […]
Équations de la chaleur et EDP : le cours de prépa
Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Une équation aux dérivées partielles (EDP) est une équation reliant une fonction inconnue de plusieurs variables à ses dérivées partielles. L’exemple emblématique est l’équation de la chaleur, , qui décrit comment une température se […]
20 exercices corrigés d’extremums et d’optimisation en prépa
Trouver les extremums d’une fonction de plusieurs variables, c’est le cœur du calcul différentiel en prépa : recherche des points critiques, classification par la matrice hessienne, optimisation sous contrainte avec les multiplicateurs de Lagrange. Voici 20 exercices classés par difficulté croissante, du calcul direct de points critiques aux problèmes type concours (X, Mines, Centrale). Chaque […]
20 Exercices Corrigés d’Analyse Vectorielle en Prépa
Le gradient, la divergence et le rotationnel sont partout en prépa : en cours de maths pour le calcul différentiel, en cours de physique pour l’électromagnétisme et la mécanique des fluides. Mais entre les formules cartésiennes, les coordonnées polaires, cylindriques et sphériques, et les identités du type rot(grad) = 0, il est facile de se […]
Extremum d’une fonction de plusieurs variables : la méthode complète
Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Trouver le minimum d’un coût, le maximum d’un rendement : optimiser une fonction de plusieurs variables est partout, du concours à l’économie. Mais annuler le gradient ne suffit jamais à conclure. Voici la méthode […]
Dérivées partielles : la méthode de calcul en prépa
Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique. Découvrir le professeur Tu sais dériver une fonction d’une seule variable. Passer à deux variables ne change presque rien : une dérivée partielle, c’est la dérivée d’une fonction de plusieurs variables par rapport à l’une d’elles, les autres étant figées comme des constantes. Cette page […]
Matrice hessienne : méthode, critère et calcul des extremums
Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur La matrice hessienne d’une fonction de plusieurs variables rassemble toutes ses dérivées partielles secondes. En prépa, elle est l’outil décisif pour trancher la nature d’un point critique : minimum, maximum ou point selle. Voici […]
Matrice jacobienne et jacobien : la méthode de calcul en prépa
Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur En prépa, dès que tu manipules plusieurs variables à la fois — un changement de coordonnées, un système non linéaire, une composée de fonctions vectorielles — la matrice jacobienne devient l’outil qui regroupe toute […]