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Trouver le minimum d’un coût, le maximum d’un rendement : optimiser une fonction de plusieurs variables est partout, du concours à l’économie. Mais annuler le gradient ne suffit jamais à conclure. Voici la méthode rigoureuse en quatre étapes, avec le critère de la hessienne, pour classer chaque point critique sans jamais te tromper.
I. L’essentiel : point critique et extremum
Un extremum, c’est un « sommet » (maximum) ou un « creux » (minimum) de la surface d’équation \(z = f(x,y)\). Toute la difficulté du sujet tient dans une phrase : tous les extremums sont des points critiques, mais tous les points critiques ne sont pas des extremums. C’est ce que ce cours va te permettre de trancher proprement.
Définition — Extremum local et global
Soit \(f\) une fonction définie sur une partie \(U\) de \(\mathbb{R}^n\) et \(a \in U\).
- \(f\) admet un minimum local en \(a\) s’il existe un voisinage \(V\) de \(a\) tel que \(f(x) \geq f(a)\) pour tout \(x \in V\) ;
- \(f\) admet un maximum local en \(a\) si \(f(x) \leq f(a)\) sur un tel voisinage ;
- l’extremum est global (ou absolu) si l’inégalité est vraie sur \(U\) tout entier, pas seulement sur un voisinage.
A. 🟢 Rappel : le cas d’une seule variable
En Terminale, tu cherchais les extremums d’une fonction \(g\) d’une variable en étudiant le signe de \(g^\prime\) dans un tableau de variation. Un extremum se produisait là où la dérivée s’annulait en changeant de signe. En plusieurs variables, l’idée directrice est la même — annuler la « dérivée » — mais la conclusion sur la nature du point demande un nouvel outil, la matrice hessienne, car il n’y a plus de « signe » unique à observer.
B. 🔴 La condition nécessaire : gradient nul
Définition — Point critique
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un ouvert \(U \subset \mathbb{R}^n\). Un point \(a \in U\) est un point critique de \(f\) lorsque son gradient est nul :
\(\nabla f(a) = \left( \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ \dots, \ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right) = (0, \dots, 0)\)
Théorème (condition nécessaire du premier ordre). Si \(f\) est différentiable sur l’ouvert \(U\) et admet un extremum local en un point \(a\) de \(U\), alors \(a\) est un point critique : \(\nabla f(a) = 0\).
Démonstration ⋆. Fixe un indice \(i\) et considère la fonction partielle \(g_i : t \mapsto f(a + t e_i)\), où \(e_i\) est le \(i\)-ème vecteur de base. Comme \(U\) est ouvert, \(g_i\) est définie sur un intervalle ouvert autour de \(0\), et \(f\) ayant un extremum local en \(a\), \(g_i\) a un extremum local en \(0\). C’est une fonction d’une seule variable, dérivable en \(0\), donc \(g_i^\prime(0) = 0\). Or \(g_i^\prime(0) = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\). Ceci valant pour tout \(i\), toutes les dérivées partielles s’annulent en \(a\). ∎
Attention à la logique. Ce théorème est une implication « extremum \(\Longrightarrow\) point critique », valable uniquement en un point intérieur au domaine. La réciproque est fausse : un point critique peut être un « point col » sans être un extremum. La méthode ci-dessous sert précisément à trancher.
II. La méthode en 4 étapes
Voici le protocole complet pour déterminer les extremums locaux d’une fonction \(f\) de deux variables de classe \(\mathcal{C}^2\). Il se généralise à \(n\) variables en remplaçant le critère de l’étape 4 par l’étude des valeurs propres de la hessienne.
A. Étape 1 — Vérifier le domaine et la régularité
Assure-toi que \(f\) est définie sur un ouvert et de classe \(\mathcal{C}^2\) : c’est l’hypothèse qui autorise à la fois la condition nécessaire (dérivées partielles) et le critère hessien (dérivées secondes croisées, symétrie via le théorème de Schwarz). Si le domaine possède un bord, il devra être traité séparément (voir la section V).
B. Étape 2 — Résoudre le système des points critiques
On calcule les deux dérivées partielles et on résout le système :
\(\begin{cases} \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 0 \\[4pt] \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 0 \end{cases}\)Chaque solution est un candidat. C’est souvent l’étape la plus calculatoire : combine les équations, factorise, n’oublie aucune solution.
C. Étape 3 — Écrire la matrice hessienne
Pour chaque point critique \(a\), on forme la matrice hessienne, matrice des dérivées secondes :
\(H_f(a) = \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a) & \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a) \\[8pt] \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(a) & \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a) \end{pmatrix}\)Par le théorème de Schwarz, \(f\) étant \(\mathcal{C}^2\), les dérivées croisées sont égales : \(H_f(a)\) est symétrique.
D. Étape 4 — Appliquer le critère du second ordre
On note, avec les notations de Monge, \(r = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a)\), \(s = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a)\) et \(t = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a)\). Le déterminant de la hessienne vaut \(\det H_f(a) = rt- s^2\). La conclusion se lit dans le tableau ci-dessous.
| Signe de \(rt- s^2\) | Condition supplémentaire | Nature du point |
|---|---|---|
| \(rt- s^2\) > \(0\) | \(r\) > \(0\) | Minimum local strict |
| \(rt- s^2\) > \(0\) | \(r\) < \(0\) | Maximum local strict |
| \(rt- s^2\) < \(0\) | — | Point col (pas d’extremum) |
| \(rt- s^2 = 0\) | — | Cas douteux : étude directe nécessaire |
En dimension quelconque, ce critère se traduit par les valeurs propres de \(H_f(a)\) : toutes strictement positives (hessienne définie positive) donne un minimum, toutes strictement négatives (définie négative) un maximum, des valeurs propres de signes opposés (indéfinie) un point col, et une valeur propre nulle un cas douteux.
D’où vient ce critère ? De la formule de Taylor-Young à l’ordre 2. En un point critique, \(\nabla f(a) = 0\) donc
\(f(a+h)- f(a) = \displaystyle\frac{1}{2}\, {}^t h \, H_f(a)\, h + o(\|h\|^2)\)
Le signe de la variation est donc, au voisinage de \(a\), celui de la forme quadratique associée à la hessienne. C’est exactement ce que traduit le signe des valeurs propres. Retrouve l’outil de fond côté développement limité.
La méthode des extremums sur une fiche recto-verso
Les 4 étapes, le critère hessien, le tableau comparatif et les 3 erreurs fatales — prêts à imprimer avant ton prochain DS.
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Passons du protocole à la pratique avec un exemple entièrement rédigé, à recopier comme modèle de copie.
III. Un exemple type entièrement rédigé
Énoncé. Déterminer les extremums locaux de \(f(x,y) = x^3 + y^3- 3xy\) sur \(\mathbb{R}^2\).
Étape 1 — Régularité. \(f\) est polynomiale, donc de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur l’ouvert \(\mathbb{R}^2\). La méthode s’applique.
Étape 2 — Points critiques. On calcule
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2- 3y, \qquad \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2- 3x\)
Le système \(\nabla f = 0\) s’écrit \(y = x^2\) et \(x = y^2\). En substituant : \(x = (x^2)^2 = x^4\), soit \(x(x^3- 1) = 0\), donc \(x = 0\) ou \(x = 1\). Les points critiques sont \((0,0)\) et \((1,1)\).
Étape 3 — Hessienne. On a \(r = 6x\), \(s = -3\), \(t = 6y\), donc
\(H_f(x,y) = \begin{pmatrix} 6x & -3 \\ -3 & 6y \end{pmatrix}\)
Étape 4 — Nature.
En \((0,0)\) : \(r = 0\), \(t = 0\), \(s = -3\), d’où \(rt- s^2 = -9\) < \(0\). C’est un point col, pas un extremum.
En \((1,1)\) : \(r = 6\), \(t = 6\), \(s = -3\), d’où \(rt- s^2 = 36- 9 = 27\) > \(0\) et \(r = 6\) > \(0\). C’est un minimum local, de valeur \(f(1,1) = 1 + 1- 3 = -1\).
Conclusion. \(f\) admet un unique extremum local, un minimum local strict égal à \(-1\) atteint en \((1,1)\). Ce minimum n’est pas global : \(f(x,0) = x^3 \to -\infty\) quand \(x \to -\infty\).
Ce dernier point est essentiel : on a trouvé un minimum local, mais la fonction n’est pas minorée. Pour visualiser pourquoi un point critique peut ne rien être d’autre qu’un col, passons à la géométrie.
IV. Interprétation géométrique
Un minimum local est un « creux » : dans toutes les directions, la surface remonte. Un maximum est un « sommet ». Un point col (ou point selle) est le point de rencontre d’une montée et d’une descente : selon la direction, on monte ou on descend. L’exemple canonique est \(f(x,y) = x^2- y^2\) en \((0,0)\).
Le déterminant de la hessienne mesure exactement cette « courbure croisée ». Le tableau ci-dessous se lit alors géométriquement : deux courbures de même signe donnent un creux ou un sommet, deux courbures de signes contraires donnent un col.
Maintenant que l’image mentale est en place, voyons les situations où le critère standard ne suffit pas — et comment les traiter.
V. Cas particuliers et variantes
A. Le cas douteux \(\det H = 0\)
Quand \(rt- s^2 = 0\), la hessienne ne conclut rien : il faut revenir à la définition et étudier le signe de \(f(a+h)- f(a)\) à la main. Deux techniques : minorer ou majorer \(f(a+h)- f(a)\) directement, ou tester des directions particulières pour exclure un extremum (si le signe change selon la direction, ce n’est ni un min ni un max).
B. Du local au global
Le critère hessien est purement local. Pour un extremum global, plusieurs leviers :
- si \(f\) est convexe, tout point critique est un minimum global (voir la convexité et le signe de la dérivée seconde) ;
- sur un compact, le théorème de Weierstrass garantit l’existence d’un maximum et d’un minimum globaux, à chercher parmi les points critiques intérieurs et sur le bord ;
- une minoration/majoration explicite de \(f\) permet parfois de conclure directement.
C. Extremum sous contrainte
Si l’on optimise \(f\) sous une contrainte \(g(x,y) = 0\), la condition \(\nabla f = 0\) n’a plus lieu d’être : c’est la méthode des multiplicateurs de Lagrange qui prend le relais, avec la condition \(\nabla f = \lambda \nabla g\). C’est un chapitre à part entière, incontournable en ECG2.
D. Tableau comparatif : quelle méthode d’optimisation ?
| Situation | Méthode adaptée | Outil central |
|---|---|---|
| Fonction d’une variable | Signe de la dérivée | Tableau de variation |
| Fonction de plusieurs variables, sans contrainte | Points critiques + hessienne (cette page) | \(\nabla f = 0\), puis \(rt- s^2\) |
| Optimisation sous contrainte \(g = 0\) | Multiplicateurs de Lagrange | \(\nabla f = \lambda \nabla g\) |
| Fonction convexe | Point critique = minimum global | Convexité, hessienne définie positive partout |
| Domaine compact | Weierstrass + étude du bord | Intérieur (points critiques) et frontière |
Place maintenant à l’entraînement : cinq exercices classés par difficulté, avec correction rédigée pas à pas.
VI. S’entraîner : 5 applications résolues
Exercice 1 — Un minimum simple 🔵 ★
Déterminer les extremums de \(f(x,y) = x^2 + y^2- 2x- 4y + 5\) sur \(\mathbb{R}^2\).
Voir la correction de l’exercice 1
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 2x- 2\) et \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = 2y- 4\). Le seul point critique est \((1,2)\).
Hessienne constante : \(H_f = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\), donc \(rt- s^2 = 4\) > \(0\) et \(r = 2\) > \(0\) : minimum local.
Comme la hessienne est définie positive partout, \(f\) est convexe : le minimum est global. En complétant les carrés, \(f(x,y) = (x-1)^2 + (y-2)^2\), minimum \(0\) atteint en \((1,2)\).
Exercice 2 — Reconnaître un col 🔵 ★
Étudier les extremums de \(f(x,y) = x^2- y^2 + 4x\).
Voir la correction de l’exercice 2
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 4\) et \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = -2y\) : point critique unique \((-2, 0)\).
\(r = 2\), \(s = 0\), \(t = -2\), donc \(rt- s^2 = -4\) < \(0\).
Conclusion : \((-2,0)\) est un point col ; \(f\) n’admet aucun extremum.
Exercice 3 — Deux points critiques de natures différentes 🟠 ★★
Déterminer les extremums locaux de \(f(x,y) = x^3- 3x + y^2\).
Voir la correction de l’exercice 3
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2- 3\) et \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = 2y\). On obtient \(x = \pm 1\) et \(y = 0\), soit les points \((1,0)\) et \((-1,0)\).
Hessienne : \(r = 6x\), \(s = 0\), \(t = 2\), donc \(rt- s^2 = 12x\).
En \((1,0)\) : \(12\) > \(0\) et \(r = 6\) > \(0\) → minimum local, \(f(1,0) = -2\).
En \((-1,0)\) : \(-12\) < \(0\) → point col.
Le minimum local n’est pas global : \(f(x,0) = x^3- 3x \to -\infty\) quand \(x \to -\infty\).
Exercice 4 — Trois points critiques 🟠 ★★
Étudier \(f(x,y) = x^4 + y^4- 4xy\) sur \(\mathbb{R}^2\).
Voir la correction de l’exercice 4
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3- 4y\) et \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = 4y^3- 4x\) : le système donne \(y = x^3\) et \(x = y^3\), d’où \(x = x^9\), soit \(x(x^8- 1) = 0\). On trouve \((0,0)\), \((1,1)\) et \((-1,-1)\).
Hessienne : \(r = 12x^2\), \(s = -4\), \(t = 12y^2\), donc \(rt- s^2 = 144 x^2 y^2- 16\).
En \((0,0)\) : \(-16\) < \(0\) → point col.
En \((1,1)\) et \((-1,-1)\) : \(144- 16 = 128\) > \(0\) et \(r = 12\) > \(0\) → minimums locaux, de valeur \(f = 1 + 1- 4 = -2\).
Conclusion : deux minimums locaux (en fait globaux ici, par symétrie et croissance en \(x^4, y^4\)) et un point col à l’origine.
Exercice 5 — Raisonnement : le cas douteux 🔴 ★★★
Montrer que l’origine est un point critique de \(f(x,y) = x^2 + y^3\), puis déterminer sa nature. Que dit le critère hessien ?
Voir la correction de l’exercice 5
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 2x\) et \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2\) : elles s’annulent en \((0,0)\), qui est bien un point critique.
Hessienne : \(r = 2\), \(s = 0\), \(t = 6y\). En \((0,0)\), \(t = 0\) donc \(rt- s^2 = 0\) : le critère hessien ne conclut pas.
Étude directe. \(f(0,y)- f(0,0) = y^3\), qui est strictement positif pour \(y\) > \(0\) et strictement négatif pour \(y\) < \(0\). Le signe de la variation change au voisinage de l’origine : ce n’est ni un minimum, ni un maximum. L’origine n’est pas un extremum.
Morale : quand \(\det H = 0\), seule l’étude du signe de \(f(a+h)- f(a)\) tranche.
Ces exercices doivent devenir des réflexes. Pour aller plus loin dans l’entraînement — jusqu’aux problèmes de concours avec contrainte —, prolonge avec la page dédiée d’exercices corrigés d’extremums et d’optimisation.
VII. Les pièges qui coûtent des points
Piège n°1 — Confondre point critique et extremum.
❌ Copie fautive : « \(\nabla f(a) = 0\), donc \(f\) admet un extremum en \(a\). »
Diagnostic : la condition \(\nabla f = 0\) est nécessaire, pas suffisante. Un point col la vérifie aussi.
✅ Correction : après avoir trouvé les points critiques, il faut toujours étudier la hessienne pour conclure sur leur nature.
Piège n°2 — Conclure à tort quand \(\det H = 0\).
❌ Copie fautive : « \(rt- s^2 = 0\), donc il n’y a pas d’extremum. »
Diagnostic : le cas \(rt- s^2 = 0\) est douteux, pas négatif. Il peut cacher un extremum (ex. \(f = x^2 + y^4\) : minimum en \((0,0)\)) comme un non-extremum.
✅ Correction : revenir à la définition et étudier directement le signe de \(f(a+h)- f(a)\).
Piège n°3 — Confondre extremum local et global.
❌ Copie fautive : « minimum local en \(a\), donc \(f\) est minorée par \(f(a)\). »
Diagnostic : le critère hessien est purement local. Une fonction peut avoir un minimum local tout en tendant vers \(-\infty\) (revois l’exemple type et l’exercice 3).
✅ Correction : pour un résultat global, invoquer la convexité, un argument de compacité, ou une minoration explicite.
Savoir éviter ces pièges, c’est bien ; savoir le montrer au correcteur, c’est ce qui rapporte les points. Voyons la rédaction attendue en concours.
VIII. Rédaction au concours et programme par filière
A. Ce que le correcteur attend
Une copie propre sur les extremums suit un plan invariable, et le correcteur coche mentalement chaque étape :
- Justifier la régularité avant de dériver : « \(f\) est polynomiale (ou \(\mathcal{C}^2\) par composition), le théorème de Schwarz s’applique. »
- Séparer nettement la condition nécessaire (recherche des points critiques) de la condition suffisante (critère hessien). Ne jamais écrire l’un pour l’autre.
- Conclure sur la nature de chaque point critique, sans en oublier.
- Ne pas surévaluer un résultat local : parler de minimum global uniquement après un argument dédié (convexité, minoration, compacité).
Les formulations qui coûtent des points : « donc c’est un extremum » sans étude du second ordre ; « \(\det H = 0\) donc rien » sans étude directe ; « c’est le minimum » sans préciser local ou global.
B. Au programme de quelle filière ?
| Filière | Traitement attendu |
|---|---|
| MPSI / PCSI (1re année) | Dérivées partielles et différentielle introduites ; recherche des points critiques comme condition nécessaire |
| MP / PC / PSI (2e année) | Fonctions de plusieurs variables, \(\nabla f = 0\) au programme ; le critère hessien complet est un classique de colle et de problèmes |
| ECG2 | Optimisation libre et sous contrainte au cœur du programme (hessienne, Lagrange, hessien bordé) |
Un point critique se caractérise toujours par \(\nabla f = 0\) : c’est le lien direct avec le vecteur gradient, et le critère de nature repose entièrement sur les valeurs propres de la hessienne. Ces deux briques sont à maîtriser en amont.
IX. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un point critique et un extremum ?
Un point critique est un point où le gradient s’annule (\(\nabla f = 0\)) ; c’est une condition nécessaire pour un extremum, mais pas suffisante. Un point col est un point critique qui n’est pas un extremum. Tous les extremums (intérieurs) sont des points critiques, mais l’inverse est faux.
Comment savoir si un point critique est un minimum ou un maximum ?
On étudie la matrice hessienne au point. En dimension 2, on calcule \(rt- s^2\) : positif avec \(r\) > \(0\) donne un minimum, positif avec \(r\) < \(0\) un maximum, négatif un point col. En dimension quelconque, on regarde le signe des valeurs propres de la hessienne.
Que faire quand le déterminant de la hessienne est nul ?
Le critère est inopérant : c’est le cas douteux. Il faut revenir à la définition et étudier directement le signe de \(f(a+h)- f(a)\) au voisinage du point, soit en le minorant/majorant, soit en testant des directions pour exclure un extremum.
Quelle est la différence entre extremum libre et extremum sous contrainte ?
Un extremum libre se cherche sur un ouvert avec la condition \(\nabla f = 0\) puis la hessienne (c’est cette page). Un extremum sous contrainte optimise \(f\) parmi les points vérifiant \(g = 0\) : la condition devient \(\nabla f = \lambda \nabla g\), c’est la méthode des multiplicateurs de Lagrange.
Un extremum local est-il toujours global ?
Non. Le critère hessien ne donne qu’une information locale. Une fonction peut avoir un minimum local tout en tendant vers \(-\infty\) ailleurs. Un extremum local devient global sous une hypothèse supplémentaire : convexité, compacité du domaine, ou minoration explicite.
X. Pour aller plus loin
Tu sais désormais trouver et classer les points critiques d’une fonction de plusieurs variables. Pour consolider les notions voisines :
- Tableau de variation d’une fonction
- Continuité d’une Fonction (Tle) : Cours et Méthodes
- Développements limités des fonctions usuelles
- Fonctions Trigonométriques : Cours Complet du Lycée à la Prépa
Et pour transformer la méthode en réflexe, en particulier sur les problèmes d’optimisation économique de type ECG2, découvre les cours particuliers Excellence Maths dédiés à la prépa.
