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Une équation aux dérivées partielles (EDP) est une équation reliant une fonction inconnue de plusieurs variables à ses dérivées partielles. L’exemple emblématique est l’équation de la chaleur, \(\partial_t u = D\,\Delta u\), qui décrit comment une température se répartit et s’uniformise au cours du temps. C’est la porte d’entrée vers toute la physique mathématique.
I. Qu’est-ce qu’une équation aux dérivées partielles ?
Tu connais déjà les équations différentielles ordinaires (EDO) : elles relient une fonction d’une seule variable à ses dérivées. Une EDP fait la même chose, mais pour une fonction de plusieurs variables — et elle fait donc intervenir des dérivées partielles. C’est le langage naturel de la physique : la température d’une barre dépend à la fois de la position et du temps, le potentiel électrostatique dépend des trois coordonnées d’espace.
A. Définition formelle
Définition — Équation aux dérivées partielles
Soit \(u\) une fonction inconnue définie sur un ouvert \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\). Une équation aux dérivées partielles est une relation de la forme
\(F\left(x,\, u,\, \partial_{x_1} u,\, \dots,\, \partial_{x_i x_j} u,\, \dots\right) = 0, \qquad x \in \Omega,\)
reliant \(u\) et un nombre fini de ses dérivées partielles. L’ordre de l’EDP est l’ordre de dérivation le plus élevé qui y figure.
Résoudre une EDP, ce n’est pas trouver un nombre ni même une constante d’intégration : c’est trouver une fonction. Et contrairement aux EDO, l’ensemble des solutions est en général de dimension infinie. C’est pourquoi une EDP ne se pose jamais seule : on lui adjoint des conditions aux limites (valeurs de \(u\) sur le bord de \(\Omega\)) et, si le temps intervient, une condition initiale.
B. Vocabulaire : ordre, linéarité, homogénéité
Trois adjectifs structurent toute la théorie. Maîtrise-les avant tout calcul.
- Linéaire : \(u\) et ses dérivées n’apparaissent qu’à la puissance 1, sans produit entre elles. L’opérateur \(L\) défini par \(Lu = 0\) vérifie alors \(L(\alpha u + \beta v) = \alpha\,Lu + \beta\,Lv\).
- Homogène : le second membre est nul (\(Lu = 0\)) ; sinon \(Lu = g\) avec \(g\) terme source.
- À coefficients constants : les coefficients devant les dérivées ne dépendent ni de \(x\) ni de \(u\).
Le réflexe qui débloque tout : une EDP linéaire homogène obéit au principe de superposition. Si \(u_1\) et \(u_2\) sont solutions, alors toute combinaison \(\alpha u_1 + \beta u_2\) l’est aussi. C’est ce principe — et lui seul — qui rend possible la méthode de séparation des variables présentée plus bas.
C. L’équation de la chaleur et les trois grandes EDP
L’équation de la chaleur (aussi appelée équation de diffusion) modélise l’évolution d’une température \(u(x,t)\) dans un milieu conducteur.
Définition — Équation de la chaleur
Pour une fonction \(u(x,t)\) du temps \(t \geq 0\) et de la position \(x \in \Omega \subset \mathbb{R}^n\), l’équation de la chaleur s’écrit
\(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t} = D\,\Delta u,\)
où \(D\) > \(0\) est la diffusivité thermique et \(\Delta u = \sum_{i=1}^{n} \partial^2_{x_i x_i} u\) est le laplacien de \(u\). En dimension 1 d’espace, elle devient \(\partial_t u = D\,\partial^2_{xx} u\).
Cette équation appartient à une famille de trois EDP linéaires du second ordre qui structurent tout le programme. Elles se distinguent par la nature de l’opérateur, et cette classification n’est pas cosmétique : elle dicte le type de conditions à imposer et le comportement qualitatif des solutions.
| Nom | Équation | Type | Phénomène modélisé |
|---|---|---|---|
| Équation de Laplace | \(\Delta u = 0\) | Elliptique | État d’équilibre (potentiel, régime permanent) |
| Équation de la chaleur | \(\partial_t u = D\,\Delta u\) | Parabolique | Diffusion, dissipation, lissage |
| Équation des ondes | \(\partial^2_{tt} u = c^2\,\Delta u\) | Hyperbolique | Propagation, vibration, transport d’énergie |
Une fonction \(u\) qui vérifie \(\Delta u = 0\) est dite harmonique : c’est exactement l’état stationnaire de l’équation de la chaleur, obtenu quand \(\partial_t u = 0\). Retenir ce lien, c’est comprendre pourquoi la théorie de l’équation de Laplace et celle de la diffusion sont deux facettes d’un même objet.
II. Interprétation : pourquoi la chaleur diffuse
Avant tout formalisme, il faut voir ce que fait l’équation de la chaleur. Tout se joue dans le signe du laplacien, qui mesure l’écart d’une fonction à sa moyenne locale.
En un point où \(u\) est plus froid que ses voisins immédiats, la fonction est localement convexe : le laplacien \(\Delta u\) y est positif. L’équation \(\partial_t u = D\,\Delta u\) impose alors \(\partial_t u\) > \(0\) : le point se réchauffe. Symétriquement, un point plus chaud que son voisinage (\(\Delta u\) < \(0\)) refroidit. La chaleur s’écoule donc du chaud vers le froid, et l’équation ne fait que traduire cette intuition physique en langage différentiel.
Deux conséquences qualitatives majeures découlent de cette lecture, et elles feront l’objet de démonstrations dans la section suivante :
- Effet régularisant. Même une donnée initiale discontinue devient instantanément \(C^\infty\) pour \(t\) > \(0\). La diffusion lisse tout.
- Irréversibilité. On peut prédire l’avenir (\(t\) > \(0\)) mais pas remonter le passé : l’équation de la chaleur distingue le sens du temps, contrairement à l’équation des ondes.
À retenir : le laplacien est le moteur de la diffusion. Pour approfondir son interprétation en « écart à la moyenne » et sa relation \(\Delta = \mathrm{div}(\mathrm{grad})\), reporte-toi à la page dédiée au laplacien.
Toute la méthode EDP sur une seule fiche
Définitions, classification des trois EDP, séparation des variables en 4 étapes et théorèmes d’unicité, condensés pour tes révisions de concours.
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III. Propriétés et théorèmes fondamentaux
Toute l’efficacité de la méthode de résolution repose sur trois piliers théoriques. On travaille sur l’équation de la chaleur 1D posée sur \(\left[0,L\right]\), avec conditions de Dirichlet homogènes \(u(0,t) = u(L,t) = 0\).
A. Linéarité et principe de superposition
Proposition — Superposition
L’opérateur \(L u = \partial_t u- D\,\partial^2_{xx} u\) est linéaire. Si \((u_n)_{n\geq 1}\) est une suite de solutions de \(Lu = 0\) vérifiant les mêmes conditions aux limites homogènes, alors toute combinaison finie \(\sum_n c_n u_n\) est encore solution, et sous des hypothèses de convergence adéquates, la série \(\sum_{n=1}^{+\infty} c_n u_n\) l’est aussi.
Démonstration. La linéarité de \(L\) est immédiate car \(\partial_t\) et \(\partial^2_{xx}\) sont linéaires. Pour une somme finie, \(L\left(\sum_n c_n u_n\right) = \sum_n c_n\, L u_n = 0\). Pour la série infinie, il faut pouvoir dériver terme à terme : c’est là qu’interviennent la convergence normale de la série des dérivées et le facteur exponentiel décroissant \(e^{-D(n\pi/L)^2 t}\) qui, pour \(t\) > \(0\), écrase toute croissance polynomiale en \(n\). On y reviendra en rédaction concours. ∎
B. Principe du maximum
Théorème — Principe du maximum (⋆)
Soit \(u\) continue sur le cylindre \(\overline{Q_T} = \left[0,L\right]\times\left[0,T\right]\) et solution de l’équation de la chaleur dans l’intérieur. Alors \(u\) atteint son maximum et son minimum sur la frontière parabolique \(\partial_p Q_T\), c’est-à-dire au temps initial \(t=0\) ou sur les bords \(x=0\) et \(x=L\).
Physiquement : sans source de chaleur, la température ne peut pas dépasser ce qui existait au départ ou ce qu’imposent les bords. Aucun point ne peut spontanément devenir plus chaud que le maximum initial. Ce théorème est la clef de l’unicité, que l’on démontre ici par une seconde méthode, plus algébrique et exigible.
C. Unicité par la méthode de l’énergie
Théorème — Unicité (⋆)
Le problème \(\partial_t u = D\,\partial^2_{xx} u\) sur \(\left[0,L\right]\), avec condition initiale \(u(x,0) = f(x)\) et conditions de Dirichlet homogènes, admet au plus une solution de classe suffisante.
Démonstration. Supposons deux solutions \(u_1, u_2\). Par linéarité, \(w = u_1- u_2\) vérifie l’équation de la chaleur avec condition initiale nulle et conditions de bord nulles. Introduisons l’énergie
\(E(t) = \displaystyle\frac{1}{2}\int_0^L w(x,t)^2 \, dx \geq 0.\)On dérive sous le signe intégral (fonction régulière, intervalle borné) :
\(E^\prime(t) = \displaystyle\int_0^L w\,\partial_t w \, dx = D\int_0^L w\,\partial^2_{xx} w \, dx.\)Une intégration par parties donne, en utilisant \(w(0,t) = w(L,t) = 0\) :
\(E^\prime(t) = D\Big[w\,\partial_x w\Big]_0^L- D\int_0^L (\partial_x w)^2 \, dx = -\,D\int_0^L (\partial_x w)^2 \, dx \leq 0.\)Ainsi \(E\) est décroissante. Or \(E(0) = 0\) (condition initiale nulle) et \(E \geq 0\). Donc \(E(t) = 0\) pour tout \(t\), ce qui force \(w \equiv 0\), soit \(u_1 = u_2\). ∎
Pourquoi cette preuve est belle : elle transforme une question sur une EDP en une inéquation différentielle scalaire sur \(E(t)\). La méthode de l’énergie est l’un des outils les plus puissants et les plus attendus au concours dès qu’on parle d’unicité en EDP.
IV. La méthode de séparation des variables
C’est la technique reine pour résoudre l’équation de la chaleur sur un domaine borné. L’idée fondatrice : chercher des solutions à variables séparées, puis reconstruire la solution générale par superposition. Voici la méthode en quatre étapes, sur le problème modèle de la barre.
Étape 1 — Poser l’ansatz produit
On cherche des solutions non nulles de la forme \(u(x,t) = X(x)\,T(t)\). En injectant dans \(\partial_t u = D\,\partial^2_{xx} u\) :
\(X(x)\,T^\prime(t) = D\,X^{\prime\prime}(x)\,T(t).\)On divise par \(D\,X(x)\,T(t)\) (licite là où le produit ne s’annule pas) :
\(\displaystyle\frac{T^\prime(t)}{D\,T(t)} = \displaystyle\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}.\)Étape 2 — La constante de séparation
Le membre de gauche ne dépend que de \(t\), celui de droite que de \(x\). Deux fonctions de variables indépendantes égales sont nécessairement constantes. On note cette constante \(-\lambda\) (le signe est un choix stratégique) :
\(\displaystyle\frac{T^\prime}{D\,T} = \displaystyle\frac{X^{\prime\prime}}{X} = -\lambda.\)On obtient deux équations différentielles ordinaires :
\(X^{\prime\prime} + \lambda X = 0 \qquad \text{et} \qquad T^\prime + \lambda D\,T = 0.\)Étape 3 — Résoudre le problème spatial (valeurs propres)
Les conditions \(u(0,t) = u(L,t) = 0\) imposent \(X(0) = X(L) = 0\). On cherche donc les \(\lambda\) pour lesquels le problème \(X^{\prime\prime} + \lambda X = 0\) avec \(X(0) = X(L) = 0\) admet une solution non triviale : ce sont les valeurs propres. Une discussion selon le signe de \(\lambda\) (à mener rigoureusement, voir pièges) montre que seul \(\lambda\) > \(0\) convient, avec
\(\lambda_n = \left(\displaystyle\frac{n\pi}{L}\right)^2, \qquad X_n(x) = \sin\!\left(\displaystyle\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad n \geq 1.\)L’équation temporelle donne alors \(T_n(t) = e^{-\lambda_n D\, t}\), à constante près. Chaque mode propre s’écrit donc
\(u_n(x,t) = \sin\!\left(\displaystyle\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-D(n\pi/L)^2\, t}.\)Étape 4 — Superposer et ajuster à la condition initiale
Par superposition, on forme
\(u(x,t) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} b_n \sin\!\left(\displaystyle\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-D(n\pi/L)^2\, t}.\)La condition initiale \(u(x,0) = f(x)\) impose \(f(x) = \sum_{n\geq 1} b_n \sin(n\pi x/L)\) : les \(b_n\) sont les coefficients de Fourier en sinus de \(f\), donnés par
\(b_n = \displaystyle\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\!\left(\displaystyle\frac{n\pi x}{L}\right) dx.\)
La signature de la diffusion : plus le mode est « détaillé » (grand \(n\)), plus son facteur \(e^{-D(n\pi/L)^2 t}\) décroît vite. Les hautes fréquences meurent en premier ; il ne reste bientôt que le mode fondamental \(n=1\). C’est la traduction mathématique exacte du lissage observé sur le graphe de la section II.
V. Exemples résolus
Cinq exercices classés par difficulté, du contrôle immédiat au raisonnement de type concours. Cherche avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Vérifier une solution ★
Montrer que \(u(x,t) = e^{-D t}\sin(x)\) est solution de l’équation de la chaleur 1D \(\partial_t u = D\,\partial^2_{xx} u\).
Voir la correction de l’exercice 1
On calcule les deux membres. D’une part :
\(\partial_t u = -D\, e^{-D t}\sin(x).\)D’autre part, \(\partial_x u = e^{-Dt}\cos(x)\) puis :
\(\partial^2_{xx} u = -e^{-Dt}\sin(x), \qquad D\,\partial^2_{xx} u = -D\, e^{-Dt}\sin(x).\)Les deux membres coïncident : \(u\) est bien solution. On remarque au passage la structure « mode spatial × exponentielle décroissante en temps », caractéristique de la diffusion.
Exercice 2 — Classifier des EDP ★
Pour chacune des équations suivantes, donner l’ordre, dire si elle est linéaire et homogène : (a) \(\partial_t u = \partial^2_{xx} u + u\) ; (b) \(\partial_t u = (\partial_x u)^2\) ; (c) \(\partial^2_{tt} u = c^2 \partial^2_{xx} u\).
Voir la correction de l’exercice 2
(a) Ordre 2, linéaire (chaque terme est linéaire en \(u\)), homogène (second membre nul une fois tout regroupé : \(\partial_t u- \partial^2_{xx} u- u = 0\)). C’est une équation de type diffusion-réaction.
(b) Ordre 1, non linéaire à cause du carré \((\partial_x u)^2\) : la superposition ne s’applique pas.
(c) Ordre 2, linéaire et homogène : c’est l’équation des ondes, de type hyperbolique.
Exercice 3 — Séparation des variables complète ★★
Résoudre l’équation de la chaleur sur \(\left[0,\pi\right]\) avec \(D = 1\), conditions de Dirichlet homogènes et condition initiale \(f(x) = \sin(x) + \displaystyle\frac{1}{2}\sin(3x)\).
Voir la correction de l’exercice 3
Ici \(L = \pi\), donc les modes propres sont \(X_n(x) = \sin(nx)\) et les facteurs temporels \(e^{-n^2 t}\). La condition initiale est déjà écrite comme combinaison de deux modes :
\(f(x) = \sin(x) + \displaystyle\frac{1}{2}\sin(3x),\)ce qui donne directement \(b_1 = 1\), \(b_3 = \displaystyle\frac{1}{2}\) et tous les autres \(b_n = 0\) : inutile de calculer l’intégrale de Fourier, la lecture suffit. Par superposition :
\(u(x,t) = e^{-t}\sin(x) + \displaystyle\frac{1}{2}\, e^{-9t}\sin(3x).\)Interprétation : le mode \(n=3\) décroît en \(e^{-9t}\), neuf fois plus vite que le fondamental. Après un temps court, la solution ressemble à \(e^{-t}\sin(x)\). La diffusion a mangé le détail.
Exercice 4 — Coefficients de Fourier d’un profil constant ★★
Sur \(\left[0,L\right]\) avec Dirichlet homogène, la barre part d’une température uniforme \(f(x) = u_0\) > \(0\). Déterminer les coefficients \(b_n\) et écrire la solution.
Voir la correction de l’exercice 4
On applique la formule des coefficients de Fourier en sinus :
\(b_n = \displaystyle\frac{2}{L}\int_0^L u_0 \sin\!\left(\displaystyle\frac{n\pi x}{L}\right) dx = \displaystyle\frac{2u_0}{L}\left[-\displaystyle\frac{L}{n\pi}\cos\!\left(\displaystyle\frac{n\pi x}{L}\right)\right]_0^L.\)Or \(\cos(n\pi) = (-1)^n\) et \(\cos(0) = 1\), donc :
\(b_n = \displaystyle\frac{2u_0}{n\pi}\big(1- (-1)^n\big) = \begin{cases} \displaystyle\frac{4u_0}{n\pi} & \text{si } n \text{ impair}\\[2mm] 0 & \text{si } n \text{ pair.}\end{cases}\)La solution est donc
\(u(x,t) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{4u_0}{(2k+1)\pi}\sin\!\left(\displaystyle\frac{(2k+1)\pi x}{L}\right) e^{-D((2k+1)\pi/L)^2 t}.\)Piège évité : une donnée initiale constante non nulle est incompatible avec des bords à 0. La discontinuité aux coins \((0,0)\) et \((L,0)\) explique la présence de tous les modes impairs — mais l’effet régularisant les efface instantanément pour \(t\) > \(0\).
Exercice 5 — Décroissance de l’énergie (raisonnement) ★★★
Soit \(u\) une solution de l’équation de la chaleur sur \(\left[0,L\right]\) avec Dirichlet homogène. On pose \(E(t) = \int_0^L u(x,t)^2\, dx\). Montrer que \(E\) est décroissante, et en déduire que la température tend à s’uniformiser vers 0. Que se passe-t-il avec des conditions de Neumann \(\partial_x u(0,t) = \partial_x u(L,t) = 0\) ?
Voir la correction de l’exercice 5
On dérive et on intègre par parties, exactement comme dans la preuve d’unicité :
\(E^\prime(t) = 2\int_0^L u\,\partial_t u\, dx = 2D\int_0^L u\,\partial^2_{xx} u\, dx = 2D\Big[u\,\partial_x u\Big]_0^L- 2D\int_0^L (\partial_x u)^2 dx.\)Cas Dirichlet : \(u(0,t) = u(L,t) = 0\) annule le terme de bord, donc \(E^\prime(t) = -2D\int_0^L (\partial_x u)^2 dx \leq 0\). L’énergie décroît, et elle ne se stabilise que si \(\partial_x u \equiv 0\), soit \(u\) constante en \(x\) ; combinée aux bords nuls, cela force \(u \to 0\). La barre refroidit vers l’équilibre.
Cas Neumann : \(\partial_x u(0,t) = \partial_x u(L,t) = 0\) annule aussi le terme de bord (bords isolés, aucun flux). On a encore \(E^\prime \leq 0\), mais cette fois l’équilibre est \(u\) constante non nulle : la quantité totale de chaleur \(\int_0^L u\, dx\) est conservée, et la barre s’uniformise vers sa moyenne. C’est la différence physique cruciale entre bords « refroidis » et bords « isolés ».
VI. Pièges classiques
Les copies perdent des points toujours aux mêmes endroits. En voici deux qui reviennent systématiquement.
Piège n°1 — Escamoter la discussion sur la constante de séparation.
❌ Copie fautive : « On pose \(\lambda = (n\pi/L)^2\) et \(X_n = \sin(n\pi x/L)\). »
🔍 Diagnostic : l’étudiant sort les valeurs propres du chapeau sans justifier pourquoi \(\lambda\) doit être strictement positif. Le correcteur attend une discussion des trois cas.
✅ Correction : traiter \(\lambda\) < \(0\) (solutions en exponentielles réelles, incompatibles avec \(X(0)=X(L)=0\) sauf \(X\equiv 0\)), puis \(\lambda = 0\) (solution affine, nulle par les bords), et enfin \(\lambda\) > \(0\) qui seul fournit des modes non triviaux. C’est cette élimination qui vaut les points.
Piège n°2 — Confondre EDP et EDO, et donc les conditions à imposer.
❌ Copie fautive : « L’équation de la chaleur a pour solution générale une famille à une constante près. »
🔍 Diagnostic : confusion avec les EDO. Une EDP a un espace de solutions de dimension infinie ; ce ne sont pas des constantes mais des conditions aux limites et une condition initiale qui sélectionnent l’unique solution.
✅ Correction : toujours énoncer le problème complet — équation + conditions de bord + condition initiale — avant de le résoudre. C’est le triplet qui garantit existence et unicité.
Un troisième écueil concerne le laplacien lui-même : appliquer sa formule cartésienne dans un problème à géométrie circulaire. Sur un disque ou une sphère, il faut passer par l’expression du laplacien en coordonnées adaptées — le sujet est traité en détail dans la page opérateurs en coordonnées cylindriques et sphériques.
VII. Rédaction au concours
Les EDP apparaissent surtout dans les problèmes de physique-modélisation et dans certaines épreuves de maths spé (option informatique, sujets Centrale/Mines). Voici ce que le correcteur attend.
A. Ce que le correcteur attend
- Poser le problème avant de résoudre. Écris systématiquement le triplet équation + conditions de bord + condition initiale. Un correcteur sanctionne toute résolution qui « oublie » les conditions.
- Justifier chaque passage. Pour la séparation des variables : justifier qu’on cherche des solutions non nulles, justifier que le quotient est constant, discuter le signe de \(\lambda\). Pour la superposition d’une série : mentionner la convergence normale grâce au facteur \(e^{-D\lambda_n t}\) pour \(t\) > \(0\) avant de dériver terme à terme.
- Vérifier les hypothèses avant d’appliquer un théorème. Le principe du maximum suppose la continuité sur le cylindre fermé ; la méthode de l’énergie suppose de pouvoir dériver sous l’intégrale et d’intégrer par parties.
B. Les formulations qui coûtent des points
« On voit que \(\lambda_n = (n\pi/L)^2\) » sans discussion ; « la série converge » sans argument ; « on dérive terme à terme » sans justification ; « la solution est unique » sans invoquer ni le principe du maximum ni la méthode de l’énergie. Chacune de ces phrases est un trou que le barème pénalise. Remplace-les par des affirmations justifiées, même courtes.
| Filière | Statut de l’équation de la chaleur / EDP |
|---|---|
| MPSI / PCSI | Hors programme de maths ; rencontrée en physique (diffusion thermique) |
| MP / PC / PSI | Outil mobilisé dans les problèmes de modélisation et de physique ; séparation des variables via EDO et séries de Fourier |
| MPI | Contexte informatique/numérique : schémas de discrétisation de l’équation de la chaleur |
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une EDP et une équation différentielle ordinaire ?
Une équation différentielle ordinaire (EDO) porte sur une fonction d’une seule variable et fait intervenir ses dérivées ordinaires. Une équation aux dérivées partielles (EDP) porte sur une fonction de plusieurs variables et fait intervenir ses dérivées partielles. Conséquence pratique : une EDO se résout à quelques constantes près, alors qu’une EDP a un espace de solutions de dimension infinie, que l’on restreint par des conditions aux limites et une condition initiale.
Pourquoi la méthode de séparation des variables fonctionne-t-elle ?
Elle repose sur deux ingrédients. D’abord la linéarité de l’équation, qui autorise le principe de superposition. Ensuite le fait que les modes propres spatiaux (les sinus) forment une base au sens des séries de Fourier : toute condition initiale raisonnable se décompose sur cette base. On résout donc mode par mode, puis on recolle par superposition.
Que représente physiquement la diffusivité D ?
La diffusivité \(D\) > \(0\) mesure la vitesse à laquelle la chaleur se propage dans le milieu. Un \(D\) grand (métal) signifie une uniformisation rapide ; un \(D\) petit (isolant) une diffusion lente. Dans la solution, \(D\) apparaît dans les exponentielles \(e^{-D\lambda_n t}\) : il pilote directement le taux de décroissance de chaque mode.
Peut-on remonter le temps avec l’équation de la chaleur ?
Non, et c’est une propriété profonde. L’équation de la chaleur est irréversible : elle prédit l’état futur mais le problème « rétrograde » (chercher \(u\) pour \(t\) < \(0\)) est mal posé. Les hautes fréquences y exploseraient au lieu de décroître. C’est le contraire de l’équation des ondes, réversible en temps.
Quel est le lien avec le laplacien et l’équation de Laplace ?
Le laplacien \(\Delta\) est le cœur de l’équation de la chaleur : c’est lui qui mesure l’écart local à la moyenne et pilote la diffusion. Quand la température cesse d’évoluer (\(\partial_t u = 0\)), on obtient l’équation de Laplace \(\Delta u = 0\) : l’état stationnaire. Pour tout comprendre de cet opérateur, consulte la page laplacien.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’équation de la chaleur, sa résolution par séparation des variables et les théorèmes qui garantissent l’unicité. Pour consolider les prérequis et élargir ta vision du chapitre :
- Tableau de variation d’une fonction
- 24 Exercices Corrigés sur les Matrices : Maths Expertes, Prépa & Concours (PDF)
- 20 Exercices Primitives et Intégrales Corrigés + PDF
- Fonctions Trigonométriques : Cours Complet du Lycée à la Prépa
Pour bâtir les fondations du chapitre, révise d’abord les dérivées partielles et les équations différentielles ordinaires, qui sont mobilisées à chaque étape de la séparation des variables.
