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Le calcul différentiel est la branche de l’analyse qui étudie les fonctions de plusieurs variables : comment elles varient, où elles atteignent leurs extremums, et comment on les intègre sur des domaines du plan ou de l’espace. Au programme de prépa scientifique, ce chapitre relie l’algèbre linéaire, l’analyse à une variable et la physique. Tu trouveras ici la carte complète du chapitre : définitions, dérivées partielles, gradient, opérateurs, extremums, changements de variables, intégrales multiples, les erreurs à éviter et les liens vers chaque cours détaillé.
I. Qu’est-ce qu’une fonction de plusieurs variables ?
En Terminale, tu as manipulé des fonctions d’une variable, du type \(f : x \mapsto f(x)\). Le calcul différentiel élargit ce cadre : on considère désormais des fonctions dont l’entrée est un point de l’espace \(\mathbb{R}^n\), c’est-à-dire un vecteur de plusieurs coordonnées.
Définition — Fonction de plusieurs variables
Soit \(U\) une partie de \(\mathbb{R}^n\). Une fonction de \(n\) variables à valeurs réelles est une application \(f : U \to \mathbb{R}\) qui, à chaque point \((x_1, \dots, x_n) \in U\), associe un unique réel \(f(x_1, \dots, x_n)\). L’ensemble \(U\) est le domaine de définition de \(f\).
Le cas le plus fréquent en prépa est celui d’une fonction de deux variables \(f(x,y)\), par exemple \(f(x,y) = x^2 + y^2\) ou \(f(x,y) = \displaystyle\frac{xy}{x^2 + y^2}\). On rencontre aussi des fonctions à valeurs vectorielles \(F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p\), appelées champs de vecteurs quand \(p = n\) : ce sont elles que l’on dérive avec la matrice jacobienne.
A. Représenter une fonction de deux variables
Une fonction \(f(x,y)\) se visualise de deux façons complémentaires. La première est son graphe : la surface d’équation \(z = f(x,y)\) dans l’espace, à lire comme un relief. La seconde est l’ensemble de ses courbes de niveau, c’est-à-dire les ensembles \(\{ (x,y) \mid f(x,y) = k \}\) pour une constante \(k\). Ce sont exactement les lignes d’altitude d’une carte topographique.
Cette lecture géométrique est fondamentale : le gradient est toujours orthogonal aux courbes de niveau, et l’intuition topographique éclaire toute l’optimisation. Le cours dédié aux courbes de niveau développe cette représentation et sa passerelle avec la Terminale.
B. Déterminer le domaine de définition
Comme à une variable, le domaine est l’ensemble des points où l’expression a un sens. Pour \(f(x,y) = \ln(x- y)\), on impose \(x- y\) > \(0\) : le domaine est le demi-plan situé strictement en dessous de la première bissectrice (\(y\) < \(x\)). Pour \(f(x,y) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1- x^2- y^2}}\), on impose \(x^2 + y^2\) < \(1\) : le domaine est le disque unité ouvert.
II. Limites et continuité sur ℝⁿ
Avant de dériver, il faut disposer d’une notion de proximité dans \(\mathbb{R}^n\). Elle est fournie par une norme, le plus souvent la norme euclidienne \(\Vert (x,y) \Vert = \sqrt{x^2 + y^2}\). On dit alors que \(f\) tend vers \(\ell\) en un point \(a\) si \(f(M)\) se rapproche de \(\ell\) dès que \(\Vert M- a \Vert\) devient petit, quelle que soit la manière dont \(M\) s’approche de \(a\).
C’est précisément ce « quelle que soit la manière » qui fait toute la difficulté. En dimension 1, on ne peut approcher un point que par la gauche ou par la droite. En dimension 2, il existe une infinité de chemins.
Erreur classique : conclure à l’existence d’une limite (ou à la continuité) parce que la limite existe le long des axes. Pour \(f(x,y) = \displaystyle\frac{xy}{x^2 + y^2}\), la limite vaut \(0\) le long de chaque axe, mais \(\displaystyle\frac{1}{2}\) le long de la droite \(y = x\). La limite en \((0,0)\) n’existe donc pas.
La continuité et sa version renforcée, la classe \(C^1\), sont détaillées dans le cours sur le théorème de Schwarz et les fonctions de classe C¹. Retiens le principe : une fonction dont toutes les dérivées partielles existent et sont continues est de classe \(C^1\), et cette hypothèse conditionne presque tous les théorèmes du chapitre.
Toute la carte du chapitre sur une fiche
Dérivées partielles, gradient, extremums, jacobien, Fubini : les définitions, formules et pièges du calcul différentiel réunis en une fiche PDF prête à réviser.
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III. Dérivées partielles et différentielle
C’est le cœur du calcul différentiel. L’idée est simple : pour dériver une fonction de plusieurs variables, on fige toutes les variables sauf une, puis on dérive comme en Terminale.
Définition — Dérivée partielle
Soit \(U\) un ouvert de \(\mathbb{R}^2\), \(f : U \to \mathbb{R}\) et \((a,b) \in U\). La dérivée partielle de \(f\) par rapport à \(x\) au point \((a,b)\) est
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h \to 0} \displaystyle\frac{f(a+h, b)- f(a,b)}{h}\),
c’est-à-dire la dérivée de la fonction partielle \(x \mapsto f(x,b)\) en \(a\). On définit \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\) de façon symétrique.
Concrètement, pour \(f(x,y) = x^2 y + 3y^3\), on obtient \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy\) (on traite \(y\) comme une constante) et \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 9y^2\). La méthode complète, avec la redoutable règle de la chaîne pour les fonctions composées, est développée dans le cours sur les dérivées partielles.
A. De la dérivée partielle à la différentielle
Les dérivées partielles décrivent la variation dans les directions des axes. La différentielle les rassemble en un objet unique qui décrit la variation dans toutes les directions à la fois. Pour une fonction \(C^1\), on a le développement limité à l’ordre 1 :
\(f(a+h, b+k) = f(a,b) + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\, h + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\, k + o\!\left( \Vert (h,k) \Vert \right)\)La partie linéaire \(\mathrm{d}f_{(a,b)}(h,k) = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\, h + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\, k\) est la différentielle. La distinction entre existence des dérivées partielles et différentiabilité est subtile et souvent piégée aux concours : elle fait l’objet du cours sur la différentielle et la différentiabilité.
À retenir : pour une fonction à valeurs vectorielles, la différentielle en un point est représentée par la matrice jacobienne, le tableau de toutes les dérivées partielles. C’est le prolongement naturel de la notion de nombre dérivé.
IV. Le gradient et les opérateurs différentiels
Lorsque l’on range les dérivées partielles d’une fonction scalaire dans un vecteur, on obtient le gradient, l’objet central de l’analyse vectorielle.
Définition — Gradient
Le gradient de \(f\) au point \(M\) est le vecteur
\(\nabla f(M) = \left( \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(M),\ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(M),\ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}(M) \right)\).
Il pointe dans la direction de plus forte croissance de \(f\) et est orthogonal aux surfaces de niveau.
À partir du gradient et de l’opérateur nabla \(\nabla\), on construit toute la famille des opérateurs différentiels de la physique de prépa :
- la divergence d’un champ de vecteurs, \(\mathrm{div}\, F = \nabla \cdot F\), qui mesure le flux local ;
- le rotationnel, \(\mathrm{rot}\, F = \nabla \wedge F\), qui mesure la tendance à tourner ;
- le laplacien, \(\Delta f = \mathrm{div}(\nabla f)\), somme des dérivées partielles secondes pures, qui compare la valeur en un point à la moyenne alentour.
Chaque opérateur a son cours dédié : le gradient, le laplacien, le rotationnel et la divergence. Leurs expressions dans les autres systèmes de coordonnées, indispensables en physique, sont regroupées dans le formulaire des opérateurs en coordonnées cylindriques et sphériques, avec démonstrations.
V. Extremums et optimisation
Trouver le minimum d’une fonction de plusieurs variables est l’application la plus visible du chapitre — et un classique absolu, en prépa scientifique comme en voie ECG. La démarche généralise celle de la Terminale.
Définition — Point critique
Un point \(M\) est un point critique de \(f\) si \(\nabla f(M) = \vec{0}\), c’est-à-dire si toutes les dérivées partielles s’y annulent. Si \(f\) est de classe \(C^1\) sur l’ouvert \(U\), un extremum local en un point de \(U\) est nécessairement un point critique.
La réciproque est fausse : un point critique peut être un minimum, un maximum, ou ni l’un ni l’autre — un point selle (ou point col). Pour trancher, on étudie la matrice hessienne, la matrice des dérivées secondes.
Le critère hessien (dimension 2) : en un point critique d’une fonction de classe \(C^2\), on calcule \(r = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\), \(s = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\), \(t = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\). Si \(rt- s^2\) > \(0\), c’est un extremum (minimum si \(r\) > \(0\)). Si \(rt- s^2\) < \(0\), c’est un point selle.
Le déroulé complet est dans le cours de méthode sur l’extremum d’une fonction de plusieurs variables et dans celui sur la matrice hessienne. Quand l’optimisation se fait sous contrainte, on change d’outil : ce sont les multiplicateurs de Lagrange, au programme de prépa et centraux en microéconomie ECG.
VI. Changements de variables et coordonnées
Beaucoup de problèmes deviennent simples dans le bon système de coordonnées. Un disque se décrit mal en cartésien, très bien en polaire ; une sphère appelle les coordonnées sphériques. Savoir passer d’un système à l’autre est une compétence à part entière.
Les trois systèmes usuels :
| Système | Coordonnées | Facteur (jacobien) | Usage typique |
|---|---|---|---|
| Polaires | \((r, \theta)\) | \(r\) | Disques, symétrie circulaire dans le plan |
| Cylindriques | \((r, \theta, z)\) | \(r\) | Cylindres, symétrie de révolution |
| Sphériques | \((\rho, \theta, \varphi)\) | \(\rho^2 \sin\varphi\) | Boules, symétrie centrale |
Le facteur qui apparaît dans le changement de variables est le jacobien, déterminant de la matrice jacobienne du changement — c’est sa valeur absolue qui entre dans la formule. C’est lui qui transforme \(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\) en \(r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\). Les cours détaillés : coordonnées polaires et coordonnées cylindriques et sphériques. La question de la validité d’un changement de variables (bijectivité locale) relève du théorème des fonctions implicites et du difféomorphisme.
VII. Intégrales multiples
Intégrer une fonction de plusieurs variables permet de calculer des aires, des volumes, des masses et des centres de gravité. L’outil de calcul est le théorème de Fubini, qui ramène une intégrale double à deux intégrales simples successives.
Sur un rectangle \(D = [a,b] \times [c,d]\) :
\(\displaystyle\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_a^b \left( \int_{c}^{d} f(x,y)\,\mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x\)Sur un domaine quelconque, les bornes intérieures dépendent de la variable extérieure : \(\displaystyle\int_a^b \left( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,\mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x\).
On calcule ainsi de proche en proche : l’intégrale intérieure d’abord, en traitant la variable extérieure comme un paramètre. Combiné au changement de variables, Fubini rend accessibles des calculs de volumes classiques. L’ensemble de la technique est dans le cours intégrales doubles et triples : Fubini et méthode.
Deux prolongements majeurs terminent le chapitre en deuxième année : les théorèmes intégraux qui relient une intégrale sur un domaine à une intégrale sur son bord (le théorème de Stokes et la formule de Green-Riemann), et l’usage du laplacien dans les équations aux dérivées partielles comme l’équation de la chaleur.
VIII. Le chapitre selon ta filière
Le calcul différentiel n’est pas enseigné avec la même ampleur partout. Cette vue d’ensemble t’évite de travailler des notions hors de ton programme — ou d’en négliger d’essentielles.
| Notion | Sup (MPSI / PCSI) | Spé (MP / PC / PSI) | ECG (2e année) |
|---|---|---|---|
| Dérivées partielles, classe C¹ | Introduction | Approfondi | Oui |
| Gradient, extremums libres | Notions | Oui | Oui |
| Hessienne, extremums, Lagrange | — | Selon filière | Central |
| Opérateurs (div, rot, Δ) | Physique | Oui (PC / PSI) | — |
| Intégrales doubles / triples | — | Physique (PC / PSI) | Selon programme |
| EDP, Stokes / Green | — | Physique (2e année) | — |
Peu de cours te disent ce qui est au programme de ta filière : c’est pourtant la première question à te poser avant de réviser. En cas de doute, appuie-toi sur ton cours et sur les liens ci-dessus, qui précisent le niveau de chaque notion.
IX. Les 8 erreurs classiques du chapitre
Ces confusions reviennent en boucle dans les copies. Les repérer maintenant t’évite de perdre des points bêtes en DS et aux concours.
- Conclure une limite à partir des axes. Une limite selon \(Ox\) et \(Oy\) ne prouve rien : il faut tous les chemins.
- Confondre gradient et dérivée. Le gradient est un vecteur, pas un nombre. Voir le cours gradient.
- Confondre point critique et extremum. \(\nabla f = \vec{0}\) est nécessaire, pas suffisant : penser au point selle.
- Conclure quand \(rt- s^2 = 0\). Le critère hessien est muet dans ce cas : il faut une étude directe.
- Oublier la valeur absolue du jacobien dans un changement de variables d’intégrale.
- Appliquer Schwarz sans hypothèse \(C^2\). L’égalité des dérivées croisées suppose la régularité. Voir le théorème de Schwarz.
- Se tromper de convention d’angles en sphériques (\(\theta\) et \(\varphi\) échangés selon maths/physique).
- Traiter la base locale comme constante en coordonnées polaires ou cylindriques : les vecteurs de base tournent avec le point.
Le piège du point critique. Copie fautive : « \(\nabla f(0,0) = \vec 0\) donc \((0,0)\) est un minimum de \(f(x,y) = x^2- y^2\) ». Diagnostic : le candidat oublie d’étudier la nature du point. Correction : ici \(rt- s^2 = (2)(-2)- 0 = -4\) < \(0\), donc \((0,0)\) est un point selle, pas un extremum.
X. S’entraîner : exemples types et exercices dédiés
Voici trois exemples d’application représentatifs pour t’échauffer. Pour un entraînement complet, chaque grande partie du chapitre possède sa page d’exercices corrigés avec PDF téléchargeable.
Exercice 1 — Calcul de dérivées partielles ★
Calcule les deux dérivées partielles premières de \(f(x,y) = x^3 y- \cos(xy)\).
Voir la correction de l’exercice 1
On dérive par rapport à \(x\) en traitant \(y\) comme une constante :
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 y + y\sin(xy)\)Puis par rapport à \(y\), en figeant \(x\) :
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = x^3 + x\sin(xy)\)La méthode détaillée est dans le cours dérivées partielles.
Exercice 2 — Recherche des points critiques ★★
Détermine les points critiques de \(f(x,y) = x^2 + y^2- 2x- 4y + 5\) et précise leur nature.
Voir la correction de l’exercice 2
On annule le gradient. \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 2x- 2 = 0\) donne \(x = 1\), et \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = 2y- 4 = 0\) donne \(y = 2\).
Unique point critique : \((1, 2)\). On calcule \(r = 2\), \(s = 0\), \(t = 2\), d’où \(rt- s^2 = 4\) > \(0\) avec \(r\) > \(0\).
Le point \((1,2)\) est donc un minimum local (ici global, car \(f(x,y) = (x-1)^2 + (y-2)^2\)).
Exercice 3 — Intégrale double en polaires ★★★
Calcule \(\displaystyle\iint_D (x^2 + y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\) où \(D\) est le disque de centre \(O\) et de rayon \(1\).
Voir la correction de l’exercice 3
On passe en polaires : \(x^2 + y^2 = r^2\) et \(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\). Le disque devient \(0 \leq r \leq 1\) et \(0 \leq \theta \leq 2\pi\).
\(\displaystyle\iint_D (x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\) \(\displaystyle = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^1 r^3\,\mathrm{d}r = 2\pi \cdot \displaystyle\frac{1}{4} = \displaystyle\frac{\pi}{2}\)Résultat : \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\). Ne pas oublier le facteur \(r\) du jacobien.
Pour aller plus loin, chaque bloc du chapitre a sa banque d’exercices : les exercices de dérivées partielles et différentiabilité, les exercices d’extremums et d’optimisation, les exercices d’intégrales doubles et triples et les exercices d’analyse vectorielle.
XI. Questions fréquentes
C’est quoi le calcul différentiel en maths ?
Le calcul différentiel est l’étude des fonctions de plusieurs variables et de leurs variations locales. Il généralise la dérivation vue au lycée : au lieu d’un unique nombre dérivé, on manipule des dérivées partielles, une différentielle et un gradient. Il fournit les outils pour optimiser une fonction, changer de coordonnées et calculer des intégrales multiples.
Quelle est la différence entre calcul différentiel et calcul intégral ?
Le calcul différentiel décompose et analyse les variations d’une fonction (dérivées partielles, gradient, extremums). Le calcul intégral fait l’opération inverse : il additionne des contributions infinitésimales pour obtenir une aire, un volume ou une masse. Les deux se rejoignent dans les théorèmes intégraux (Green-Riemann, Stokes), qui relient l’intégrale d’une dérivée sur un domaine à l’intégrale sur son bord.
Quelle est la différence entre dérivée partielle et différentielle ?
Une dérivée partielle mesure la variation de la fonction dans une seule direction, celle d’un axe. La différentielle rassemble toutes les dérivées partielles en un seul objet linéaire qui décrit la variation dans n’importe quelle direction. Attention : les dérivées partielles peuvent exister sans que la fonction soit différentiable — la différentiabilité est une propriété plus forte.
À quoi sert le gradient ?
Le gradient indique la direction de plus forte croissance d’une fonction et sa vitesse de croissance. Il est orthogonal aux courbes (ou surfaces) de niveau. En optimisation, un point où le gradient s’annule est un candidat extremum ; en physique, le gradient relie un potentiel à un champ de forces.
Comment trouver les extremums d’une fonction de deux variables ?
On procède en trois étapes : (1) résoudre le système \(\nabla f = \vec 0\) pour trouver les points critiques ; (2) calculer la matrice hessienne en chaque point critique ; (3) appliquer le critère \(rt- s^2\) pour déterminer si c’est un minimum, un maximum ou un point selle. Sous contrainte, on utilise les multiplicateurs de Lagrange.
Le calcul différentiel est-il au programme de première année de prépa ?
En Sup (MPSI, PCSI), on rencontre surtout les dérivées partielles et le gradient, souvent introduits pour la physique. L’essentiel du calcul différentiel — extremums avec hessienne, intégrales multiples, opérateurs, EDP — est traité en deuxième année selon la filière. En voie ECG, l’optimisation (Lagrange, hessienne) est centrale en deuxième année.
Pourquoi le calcul différentiel paraît-il difficile ?
La difficulté vient surtout de la dimension : en plusieurs variables, il existe une infinité de directions, ce qui rend les limites plus subtiles et l’intuition géométrique plus exigeante. La clé est de toujours revenir au sens : une surface, des courbes de niveau, un gradient qui montre la pente. Une fois cette lecture géométrique acquise, les calculs deviennent mécaniques.
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Pour aller plus loin
Tu as maintenant la carte complète du calcul différentiel. Voici par où poursuivre pour approfondir chaque notion :
- Extremum d’une fonction de plusieurs variables : la méthode complète
- Dérivées partielles : la méthode de calcul en prépa
- 20 exercices corrigés d’extremums et d’optimisation en prépa
- Norme d’un Vecteur : Formule, Démonstration et Exercices Corrigés
- Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice : cours, propriétés et exercices corrigés
