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La matrice hessienne d’une fonction de plusieurs variables rassemble toutes ses dérivées partielles secondes. En prépa, elle est l’outil décisif pour trancher la nature d’un point critique : minimum, maximum ou point selle. Voici la méthode complète, du calcul au critère des valeurs propres, avec exemples résolus et exercices corrigés.
I. La matrice hessienne en 30 secondes
Tu sais déjà que le gradient d’une fonction s’annule aux points critiques. Mais un gradient nul ne dit pas si tu es sur un sommet, dans un creux, ou sur un col de montagne. C’est exactement le rôle de la hessienne : c’est l’analogue en dimension supérieure de la dérivée seconde, qui te donnait déjà le signe de la concavité en Terminale.
Définition — Matrice hessienne
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) sur un ouvert \(U \subset \mathbb{R}^n\) et \(a \in U\). La matrice hessienne de \(f\) au point \(a\) est la matrice carrée des dérivées partielles secondes :
\(\nabla^2 f(a) = \left( \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) \right)_{1 \leq i,j \leq n}\)
En dimension 2, pour une fonction \(f(x,y)\), la hessienne s’écrit explicitement :
\(\nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\[2mm] \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}\)A. Une matrice toujours symétrique
La hessienne d’une fonction \(\mathcal{C}^2\) est symétrique. Ce n’est pas une coïncidence : c’est une conséquence directe du théorème de Schwarz, qui garantit l’égalité des dérivées croisées.
Théorème de Schwarz : si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\), alors pour tous indices \(i,j\) :
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}\)
La hessienne est donc une matrice symétrique, ce qui garantit qu’elle est diagonalisable et que ses valeurs propres sont réelles. Tout le critère qui suit repose sur ce fait.
B. Les notations de Monge (dimension 2)
En dimension 2, on abrège souvent avec les notations classiques dites de Monge :
\(r = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \qquad s = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \qquad t = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\)Le déterminant de la hessienne vaut alors \(\det \nabla^2 f = rt- s^2\). Retiens cette quantité : c’est elle qui décidera de la nature du point critique en dimension 2.
II. Calculer la hessienne : la méthode en 3 étapes
Avant d’appliquer le moindre critère, il faut savoir produire proprement la hessienne. La démarche est mécanique, à condition de ne jamais sauter d’étape.
Étape 1 — Calculer le gradient et les points critiques
On calcule d’abord les dérivées partielles premières, puis on résout le système \(\nabla f = 0\). Les solutions sont les points critiques : les seuls candidats possibles pour un extremum local à l’intérieur du domaine.
Étape 2 — Calculer toutes les dérivées secondes
On dérive à nouveau chaque dérivée partielle. Grâce à Schwarz, tu n’as réellement que \(\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\) termes distincts à calculer (les termes diagonaux plus les termes au-dessus de la diagonale). On assemble ensuite la hessienne, en gardant les dérivées secondes en fonction de \(x\) et \(y\) : ne remplace pas encore par les valeurs numériques.
Étape 3 — Évaluer en chaque point critique et appliquer le critère
On substitue les coordonnées de chaque point critique dans la hessienne, ce qui donne une matrice numérique. On applique enfin le critère (valeurs propres, ou déterminant et signe en dimension 2) pour conclure sur la nature du point.
Exemple modèle — Classer les points critiques de \(f(x,y) = x^3 + y^3- 3xy\).
Étape 1. \(\nabla f = (3x^2- 3y,\ 3y^2- 3x)\). Le système \(\nabla f = 0\) donne \(y = x^2\) et \(x = y^2\), d’où \(x^4 = x\), soit \(x = 0\) ou \(x = 1\). Points critiques : \((0,0)\) et \((1,1)\).
Étape 2. \(r = 6x\), \(t = 6y\), \(s = -3\), d’où \(\nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} 6x & -3 \\ -3 & 6y \end{pmatrix}\).
Étape 3. En \((0,0)\) : \(\det = 0 \times 0- 9 = -9\) < \(0\) → point selle. En \((1,1)\) : \(\det = 36- 9 = 27\) > \(0\) avec \(r = 6\) > \(0\) → minimum local, de valeur \(f(1,1) = -1\).
La méthode hessienne en une fiche recto-verso
Le calcul en 3 étapes, le critère complet (2×2, 3×3, Sylvester) et les 3 pièges à éviter, prêts à relire avant chaque DS ou colle.
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III. Le critère hessien : nature des points critiques
Le cœur de la méthode. On se place en un point critique \(a\) (donc \(\nabla f(a) = 0\)) et on lit la nature du point sur les valeurs propres de la hessienne.
A. Le critère général par les valeurs propres
Critère de la hessienne
Soit \(a\) un point critique de \(f\) et \(H = \nabla^2 f(a)\). On étudie le signe des valeurs propres de \(H\) :
- toutes les valeurs propres strictement positives (\(H\) définie positive) → minimum local strict ;
- toutes les valeurs propres strictement négatives (\(H\) définie négative) → maximum local strict ;
- des valeurs propres de signes opposés → point selle (ou point col), aucun extremum ;
- au moins une valeur propre nulle → cas dégénéré, le critère ne conclut pas.
L’idée profonde : au voisinage d’un point critique, la formule de Taylor à l’ordre 2 donne \(f(a+h)- f(a) \approx \displaystyle\frac{1}{2}\, h^{\mathsf{T}} H h\). Le signe de cette forme quadratique — donc le signe des valeurs propres de \(H\) — décide de tout.
B. Le raccourci en dimension 2
En dimension 2, inutile de diagonaliser : le déterminant et un seul terme diagonal suffisent, car \(\det H = \lambda_1 \lambda_2\) et \(\mathrm{tr}\, H = \lambda_1 + \lambda_2\).
| Condition | Signe des valeurs propres | Conclusion |
|---|---|---|
| \(rt- s^2 > 0\) et \(r > 0\) | deux positives | Minimum local |
| \(rt- s^2 > 0\) et \(r < 0\) | deux négatives | Maximum local |
| \(rt- s^2 < 0\) | signes opposés | Point selle |
| \(rt- s^2 = 0\) | une valeur propre nulle | Cas dégénéré : étude directe |
Astuce mémoire : quand \(\det H > 0\), les deux valeurs propres ont le même signe — celui de \(r\) (car \(\mathrm{tr}\,H = r + t\) a alors le signe de \(r\)). Quand \(\det H < 0\), c’est toujours un point selle. Le déterminant négatif est le signal le plus rapide à repérer sur une copie.
C. Quand utiliser la hessienne — et quand ne pas l’utiliser
La hessienne n’est qu’un maillon de la chaîne de l’optimisation. Ce tableau te dit exactement quel outil dégainer selon la situation.
| Situation | Outil adapté | Renvoi |
|---|---|---|
| Localiser les candidats à un extremum | Résoudre \(\nabla f = 0\) | Points critiques |
| Nature d’un point critique (sans contrainte) | Matrice hessienne | Cette page |
| Cas \(\det H = 0\) (dégénéré) | Étude directe du signe de \(f(a+h)- f(a)\) | Section V |
| Extremum sous contrainte | Lagrange, hessienne bordée | Multiplicateurs de Lagrange |
| Convexité globale sur un domaine | Hessienne positive en tout point | Section V |
Retiens la logique : la hessienne donne une information locale et sans contrainte. Dès qu’il y a une contrainte (une équation liant les variables), on bascule sur les multiplicateurs de Lagrange et, si nécessaire, sur la hessienne bordée.
IV. Interprétation géométrique
Un critère qu’on ne visualise pas s’oublie. Voici ce que « voit » la hessienne au voisinage d’un point critique : la forme locale de la surface \(z = f(x,y)\).
Les trois configurations sont limpides :
- Minimum : la surface est un creux dans toutes les directions — les deux valeurs propres sont positives, la forme quadratique est toujours positive.
- Maximum : la surface est un dôme — les deux valeurs propres sont négatives.
- Point selle : la surface monte dans une direction et descend dans une autre, comme une selle de cheval ou un col de montagne — les valeurs propres sont de signes opposés.
Cette lecture géométrique explique pourquoi un point selle n’est jamais un extremum : il existe toujours une direction dans laquelle \(f\) décroît, et une autre dans laquelle elle croît. C’est aussi pourquoi les courbes de niveau autour d’un point selle forment des hyperboles, alors qu’autour d’un extremum elles forment des ellipses.
V. Cas particuliers et variantes
A. Dimension 3 et plus : le critère de Sylvester
En dimension \(n \geq 3\), le raccourci du déterminant ne suffit plus : un déterminant positif ne garantit pas que la matrice soit définie positive. On dispose de deux méthodes fiables.
Méthode 1 — valeurs propres. On calcule les valeurs propres de la hessienne (via la diagonalisation ou le polynôme caractéristique) et on applique le critère général de la section III.
Méthode 2 — critère de Sylvester. On examine les mineurs principaux dominants \(\Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_n\) (déterminants des sous-matrices en haut à gauche) :
Critère de Sylvester
- \(H\) définie positive \(\iff\) tous les \(\Delta_k > 0\) → minimum ;
- \(H\) définie négative \(\iff\) les signes de \(\Delta_k\) alternent en commençant par \(\Delta_1 < 0\) → maximum.
Tout autre cas non nul indique un point selle.
B. Le cas dégénéré det H = 0
Quand une valeur propre est nulle, la hessienne est muette : le point peut être un minimum, un maximum, un point selle, ou aucun des trois. Il faut alors étudier directement le signe de \(f(a+h)- f(a)\) au voisinage de \(a\). Par exemple, \(f(x,y) = x^4 + y^4\) a une hessienne nulle en \((0,0)\), et pourtant \((0,0)\) est un minimum strict — établi par étude directe, jamais par la hessienne.
C. La hessienne bordée (optimisation sous contrainte)
En optimisation sous contrainte, notamment en filière ECG et en microéconomie, on n’utilise pas la hessienne ordinaire mais la hessienne bordée : on borde la hessienne du lagrangien par les dérivées de la contrainte. C’est le sujet dédié de la page multiplicateurs de Lagrange ; on n’en donne ici que le principe pour éviter la confusion avec le critère sans contrainte.
VI. Exemples résolus et exercices
Passons à la pratique. Les exercices montent en difficulté : commence par le premier même s’il paraît trivial, il verrouille le mécanisme de calcul.
Exercice 1 — Calculer une hessienne ★
Calculer la matrice hessienne de \(f(x,y) = x^2 y + 3y^3- x\) en un point quelconque \((x,y)\).
Voir la correction de l’exercice 1
Dérivées premières : \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy- 1\) et \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 9y^2\).
Dérivées secondes : \(r = 2y\), \(t = 18y\), \(s = 2x\) (on vérifie bien \(\partial_{xy} = \partial_{yx} = 2x\)).
\(\nabla^2 f(x,y) = \begin{pmatrix} 2y & 2x \\ 2x & 18y \end{pmatrix}\)La matrice est bien symétrique, comme l’exige le théorème de Schwarz.
Exercice 2 — Classer les points critiques ★★
Déterminer et classer les points critiques de \(f(x,y) = x^2 + y^2- 2x- 4y + 5\).
Voir la correction de l’exercice 2
Points critiques. \(\nabla f = (2x- 2,\ 2y- 4) = 0\) donne \(x = 1\), \(y = 2\). Unique point critique : \((1,2)\).
Hessienne. \(r = 2\), \(t = 2\), \(s = 0\), donc \(\nabla^2 f = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) en tout point.
Conclusion. \(\det H = 4\) > \(0\) et \(r = 2\) > \(0\) → minimum global en \((1,2)\), de valeur \(f(1,2) = 0\). (Global car \(f(x,y) = (x-1)^2 + (y-2)^2\).)
Exercice 3 — Un point selle ★★
Étudier les extremums de \(f(x,y) = x^2- y^2 + 2xy\).
Voir la correction de l’exercice 3
Points critiques. \(\nabla f = (2x + 2y,\ -2y + 2x) = 0\) donne \(x = -y\) et \(x = y\), d’où \(x = y = 0\). Unique point critique : \((0,0)\).
Hessienne. \(r = 2\), \(t = -2\), \(s = 2\), donc \(\det H = rt- s^2 = -4- 4 = -8\) < \(0\).
Conclusion. Le déterminant est négatif : \((0,0)\) est un point selle. La fonction n’admet aucun extremum.
Exercice 4 — Hessienne en dimension 3 ★★★
Montrer que \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2- xy- yz\) admet un minimum en \((0,0,0)\) à l’aide du critère de Sylvester.
Voir la correction de l’exercice 4
Point critique. \(\nabla f = (2x- y,\ 2y- x- z,\ 2z- y)\). Le système \(\nabla f = 0\) a pour unique solution \((0,0,0)\).
Hessienne. \(\nabla^2 f = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}\) (constante).
Mineurs principaux dominants.
\(\Delta_1 = 2 > 0\)\(\Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 4- 1 = 3\) > \(0\)
\(\Delta_3 = \det H = 2(4-1)- (-1)(-2-0) = 6- 2 = 4\) > \(0\)
Conclusion. Les trois mineurs sont strictement positifs : \(H\) est définie positive, donc \((0,0,0)\) est un minimum local (et global, la forme étant quadratique définie positive).
Exercice 5 — Raisonnement sur la convexité ★★★
Sans calculer aucun point critique, justifier que \(f(x,y) = e^x + e^y- x- y\) est convexe sur \(\mathbb{R}^2\), puis en déduire l’existence d’un unique minimum global.
Voir la correction de l’exercice 5
Hessienne en tout point. \(r = e^x\), \(t = e^y\), \(s = 0\), donc \(\nabla^2 f = \begin{pmatrix} e^x & 0 \\ 0 & e^y \end{pmatrix}\).
Convexité. En tout point, \(\det H = e^{x+y}\) > \(0\) et \(r = e^x\) > \(0\) : la hessienne est définie positive partout. Une fonction \(\mathcal{C}^2\) dont la hessienne est positive sur un convexe est convexe : \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}^2\).
Minimum global. Pour une fonction convexe, tout point critique est un minimum global. On résout \(\nabla f = (e^x- 1,\ e^y- 1) = 0\), soit \(x = y = 0\). La stricte convexité donne l’unicité : \((0,0)\) est l’unique minimum global, de valeur \(2\).
La leçon de rédaction : quand la hessienne est définie positive partout, on gagne du temps en invoquant la convexité globale plutôt qu’un critère local point par point.
Pour t’entraîner davantage, la page dédiée regroupe une série complète : 20 exercices corrigés d’extremums et d’optimisation, du calcul direct au problème de concours.
VII. Pièges classiques
Trois erreurs reviennent en boucle dans les copies. Les connaître à l’avance, c’est autant de points sécurisés.
Piège n°1 — Appliquer le critère 2×2 en dimension 3.
❌ Copie fautive : « \(\det H = 4\) > \(0\) donc c’est un minimum » pour une hessienne \(3 \times 3\).
Diagnostic : en dimension \(\geq 3\), un déterminant positif ne dit rien sur la définie positivité. La matrice \(\mathrm{diag}(-1,-1,1)\) a un déterminant positif et pourtant deux valeurs propres négatives.
✅ Correction : utiliser tous les mineurs principaux dominants (Sylvester) ou les valeurs propres.
Piège n°2 — Conclure trop vite quand \(\det H = 0\).
❌ Copie fautive : « \(\det H = 0\) donc pas d’extremum ».
Diagnostic : le cas \(\det H = 0\) est indéterminé, pas négatif. La fonction \(x^4 + y^4\) a une hessienne nulle en l’origine et pourtant un vrai minimum.
✅ Correction : revenir à l’étude directe du signe de \(f(a+h)- f(a)\).
Piège n°3 — Une hessienne non symétrique.
Si tu obtiens \(\partial_{xy} f \neq \partial_{yx} f\) alors que \(f\) est manifestement \(\mathcal{C}^2\), c’est une erreur de calcul : Schwarz garantit l’égalité. Recalcule les dérivées croisées avant de continuer — une hessienne asymétrique invalide tout le critère.
VIII. Rédaction au concours
A. Ce que le correcteur attend
Sur une étude d’extremums, le correcteur cherche une démarche complète et justifiée, dans cet ordre non négociable :
- Justifier la classe \(\mathcal{C}^2\) avant toute chose : c’est elle qui autorise Schwarz et donc la symétrie de la hessienne. Une seule phrase suffit, mais elle est exigée.
- Poser et résoudre proprement \(\nabla f = 0\), sans oublier de discuter tous les cas du système (le point de perte le plus fréquent : oublier une solution).
- Écrire la hessienne en fonction de \((x,y)\), puis l’évaluer en chaque point critique.
- Énoncer le critère utilisé (« la hessienne est définie positive car… ») et conclure sur la nature du point.
Formulation qui rapporte : « \(f\) étant \(\mathcal{C}^2\) sur l’ouvert \(U\), sa hessienne est symétrique (théorème de Schwarz), donc diagonalisable à valeurs propres réelles. En \(a\), \(\det H = \dots\) > \(0\) et \(r = \dots\) > \(0\) : \(H\) est définie positive, donc \(a\) est un minimum local strict. »
Cette phrase coche toutes les cases attendues d’un jury.
B. Au programme de quelle filière ?
| Filière | Attendu sur la hessienne |
|---|---|
| MPSI / PCSI, MP / PC / PSI | Calcul, critère des valeurs propres, extremums sans contrainte |
| ECG (2e année) | Critère 2×2 et 3×3, hessienne bordée, optimisation sous contrainte (microéconomie) |
| L1 / L2, prépa intégrée | Critère de Sylvester, lien avec la convexité |
La hessienne prolonge naturellement l’étude de la nature d’un point critique vue en une variable ; pour un rappel du cas à une seule variable, vois le tableau de variation d’une fonction. Elle s’articule aussi avec le déterminant et la diagonalisation, deux prérequis d’algèbre linéaire indispensables ici.
IX. Questions fréquentes
Qu’est-ce que la matrice hessienne d’une fonction ?
C’est la matrice carrée qui rassemble toutes les dérivées partielles secondes d’une fonction de plusieurs variables. Pour une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\), elle est symétrique et sert à déterminer la nature d’un point critique : minimum, maximum ou point selle, selon le signe de ses valeurs propres.
Quelle est la différence entre matrice jacobienne et matrice hessienne ?
La matrice jacobienne contient les dérivées partielles premières (elle décrit la variation d’une fonction, éventuellement à valeurs vectorielles). La matrice hessienne contient les dérivées partielles secondes d’une fonction à valeurs réelles. En un mot : la jacobienne généralise la dérivée première, la hessienne généralise la dérivée seconde. D’ailleurs, la hessienne de \(f\) est la jacobienne de son gradient.
Pourquoi la matrice hessienne est-elle toujours symétrique ?
Grâce au théorème de Schwarz : pour une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\), les dérivées croisées sont égales, \(\partial_{xy} f = \partial_{yx} f\). Les termes symétriques de la hessienne coïncident donc. Cette symétrie garantit que la matrice est diagonalisable à valeurs propres réelles, ce qui rend le critère applicable.
Que faire quand le déterminant de la hessienne est nul ?
Le critère est indéterminé : le point peut être un minimum, un maximum, un point selle ou aucun des trois. Il faut alors étudier directement le signe de \(f(a+h)- f(a)\) au voisinage du point critique, souvent en factorisant ou en étudiant \(f\) le long de directions bien choisies.
Comment relier la hessienne à la convexité ?
Une fonction \(\mathcal{C}^2\) sur un ouvert convexe est convexe si et seulement si sa hessienne est positive (semi-définie) en tout point. Si elle est définie positive partout, la fonction est strictement convexe : tout point critique est alors un unique minimum global, sans avoir besoin d’étudier chaque point séparément.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises désormais le calcul de la hessienne et son critère. Pour consolider et prolonger :
- Tableau de variation d’une fonction
- Déterminant d’une Matrice : Définition, Calcul, Propriétés et Exercices Corrigés
- Diagonalisation d’une Matrice : Cours et Méthodes
- 24 Exercices Corrigés sur les Matrices : Maths Expertes, Prépa & Concours (PDF)
Un dernier réflexe : garde sous la main une fiche synthétique du calcul, du critère et des trois pièges, à relire avant chaque DS.
📄 La méthode hessienne en recto-verso — PDF
