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En prépa, dès que tu manipules plusieurs variables à la fois — un changement de coordonnées, un système non linéaire, une composée de fonctions vectorielles — la matrice jacobienne devient l’outil qui regroupe toute l’information sur les variations de f en un seul tableau. La maîtriser, c’est débloquer les intégrales multiples, l’inversion locale et la règle de la chaîne d’un seul geste.
I. La matrice jacobienne en 30 secondes
La matrice jacobienne d’une fonction de plusieurs variables à valeurs vectorielles est la matrice qui rassemble toutes les dérivées partielles de ses fonctions composantes. C’est la représentation matricielle de la différentielle de f : elle donne la meilleure approximation linéaire de f au voisinage d’un point.
Définition — Matrice jacobienne
Soit \(U\) un ouvert de \(\mathbb{R}^n\) et \(f : U \to \mathbb{R}^p\) une fonction différentiable en un point \(a \in U\), de composantes \(f = (f_1, \ldots, f_p)\). La matrice jacobienne de \(f\) en \(a\) est la matrice à \(p\) lignes et \(n\) colonnes :
\(J_f(a) = \left( \displaystyle\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a) \right)_{{1 \le i \le p \atop 1 \le j \le n}}\)
L’entrée située à la ligne \(i\) et à la colonne \(j\) est la dérivée partielle de la \(i\)-ème composante par rapport à la \(j\)-ème variable.
Deux repères de lecture à graver en mémoire :
- Une ligne = une composante. La ligne \(i\) de \(J_f(a)\) est le gradient de \(f_i\), écrit horizontalement : \(\left( \displaystyle\frac{\partial f_i}{\partial x_1}, \ldots, \displaystyle\frac{\partial f_i}{\partial x_n} \right)\).
- Une colonne = une variable. La colonne \(j\) rassemble les dérivées de toutes les composantes par rapport à \(x_j\).
Dans le cas particulier où \(p = 1\) (fonction à valeurs réelles), la matrice jacobienne se réduit à une seule ligne : c’est le gradient transposé. Dans le cas \(n = p\) (autant de variables que de composantes), la matrice est carrée : son déterminant porte alors un nom, le jacobien, et c’est lui qui pilote les changements de variables dans les intégrales multiples.
La formule à retenir : la matrice jacobienne est simplement la matrice, dans les bases canoniques, de l’application linéaire \(df_a\). Toute la difficulté du calcul se réduit donc à calculer chaque dérivée partielle, puis à ranger proprement. Le vrai piège n’est jamais le calcul, c’est le rangement.
Une dernière précision de vocabulaire. En robotique, on parle aussi de « matrice jacobienne » pour relier vitesses articulaires et vitesse de l’effecteur : c’est exactement la même notion mathématique, appliquée à un modèle physique. On reste ici sur le terrain purement mathématique du programme de prépa.
II. La méthode de calcul en 3 étapes
Calculer une matrice jacobienne ne demande aucune astuce : c’est une procédure mécanique, à condition de la dérouler dans le bon ordre. Voici les trois étapes qui évitent toutes les erreurs de dimension et de rangement.
A. Étape 1 — Identifier composantes et variables
Avant de dériver quoi que ce soit, écris noir sur blanc :
- les variables d’entrée \(x_1, \ldots, x_n\) (elles fixent le nombre de colonnes, \(n\)) ;
- les fonctions composantes \(f_1, \ldots, f_p\) (elles fixent le nombre de lignes, \(p\)).
La matrice jacobienne est de taille \(p \times n\). Vérifier cette dimension avant de calculer permet d’attraper immédiatement les erreurs de raisonnement : une jacobienne d’une fonction \(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) est forcément \(2 \times 3\), jamais \(3 \times 2\).
B. Étape 2 — Calculer toutes les dérivées partielles
Calcule chaque dérivée partielle \(\displaystyle\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\). La règle est simple : pour dériver par rapport à \(x_j\), on considère toutes les autres variables comme des constantes. Il y a \(p \times n\) dérivées à produire — c’est le seul moment de calcul brut.
C. Étape 3 — Ranger dans la matrice
Range chaque dérivée à sa place : ligne = numéro de la composante, colonne = numéro de la variable. Une méthode infaillible consiste à écrire chaque ligne comme le gradient d’une composante :
\(J_f = \begin{pmatrix} \nabla f_1 \\ \nabla f_2 \\ \vdots \\ \nabla f_p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\[10pt] \vdots & & \vdots \\[6pt] \displaystyle\frac{\partial f_p}{\partial x_1} & \cdots & \displaystyle\frac{\partial f_p}{\partial x_n} \end{pmatrix}\)Erreur de rangement n°1 : confondre lignes et colonnes, c’est-à-dire écrire la transposée \(J_f^{\top}\). Le réflexe qui protège : « la ligne suit la composante, la colonne suit la variable ». Si tu écris le gradient de \(f_1\) en colonne, tu obtiens la transposée et tu casseras la règle de la chaîne (qui exige l’ordre exact des dimensions).
La fiche méthode « Matrice jacobienne » en recto-verso
Les 3 étapes, le tableau des outils différentiels, l’exemple modèle et les erreurs fatales — condensés sur une seule feuille.
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III. Le jacobien et sa place parmi les outils différentiels
Quand \(n = p\), la matrice jacobienne est carrée. Son déterminant s’appelle le jacobien de \(f\), souvent noté \(\det J_f(a)\) ou \(\displaystyle\frac{D(f_1, \ldots, f_n)}{D(x_1, \ldots, x_n)}\) dans les manuels.
Définition — Jacobien
Soit \(f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) différentiable en \(a\). Le jacobien de \(f\) en \(a\) est le déterminant de sa matrice jacobienne :
\(\mathrm{jac}_f(a) = \det J_f(a).\)
C’est un nombre réel. Il mesure le facteur local de dilatation des volumes et détecte l’inversibilité locale de \(f\).
La matrice jacobienne appartient à une petite famille d’objets différentiels que les élèves confondent souvent. Le tableau suivant t’indique lequel dégainer selon la situation — c’est le réflexe qui fait gagner du temps en colle comme au concours.
| Outil | Fonction concernée | Objet obtenu | Quand l’utiliser |
|---|---|---|---|
| Gradient \(\nabla f\) | \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) (scalaire) | Vecteur de \(\mathbb{R}^n\) | Plus forte pente, recherche de points critiques |
| Matrice jacobienne \(J_f\) | \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p\) (vectorielle) | Matrice \(p \times n\) | Composée de fonctions, systèmes non linéaires, changement de variables |
| Jacobien \(\det J_f\) | \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) | Scalaire | Facteur d’aire/volume, changement de variable en intégrale, inversion locale |
| Matrice hessienne \(H_f\) | \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) | Matrice \(n \times n\) symétrique | Nature des points critiques (min, max, selle) |
Retiens la logique : le gradient et la matrice hessienne servent l’optimisation d’une fonction scalaire, tandis que la matrice jacobienne et le jacobien servent la transformation de fonctions vectorielles. La hessienne, d’ailleurs, n’est autre que la matrice jacobienne du gradient : \(H_f = J_{\nabla f}\). Tout se tient.
IV. Un exemple type entièrement rédigé
Voici le modèle de copie à reproduire. Prenons la fonction « carré complexe » \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) définie par
\(f(x, y) = \left( x^2- y^2,\ 2xy \right).\)Étape 1 — Composantes et variables. Deux variables \((x, y)\), deux composantes \(f_1(x,y) = x^2- y^2\) et \(f_2(x,y) = 2xy\). La matrice jacobienne sera donc \(2 \times 2\).
Étape 2 — Dérivées partielles.
\(\displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x} = 2x, \quad \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial y} = -2y, \quad \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x} = 2y, \quad \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial y} = 2x.\)
Étape 3 — Rangement. Ligne 1 = gradient de \(f_1\), ligne 2 = gradient de \(f_2\) :
\(J_f(x, y) = \begin{pmatrix} 2x & -2y \\ 2y & 2x \end{pmatrix}.\)
Jacobien. Comme \(n = p = 2\), on calcule le déterminant :
\(\det J_f(x, y) = (2x)(2x)- (-2y)(2y) = 4x^2 + 4y^2 = 4(x^2 + y^2).\)
Conclusion : le jacobien s’annule uniquement à l’origine \((0,0)\). Partout ailleurs, \(f\) est un difféomorphisme local (voir la section VI).
Remarque que la matrice obtenue a la forme \(\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\) : c’est la matrice d’une similitude directe. Ce n’est pas un hasard, \(f\) correspond à la fonction complexe \(z \mapsto z^2\), holomorphe. La matrice jacobienne encode ici une propriété profonde.
V. Interprétation géométrique
La matrice jacobienne n’est pas qu’un tableau de dérivées : elle décrit géométriquement comment \(f\) déforme localement l’espace. Au voisinage d’un point \(a\), \(f\) se comporte comme l’application affine
\(f(a + h) \approx f(a) + J_f(a) \cdot h.\)Autrement dit, \(J_f(a)\) est la meilleure approximation linéaire de la transformation. Un petit vecteur \(h\) issu de \(a\) est envoyé, au premier ordre, sur \(J_f(a) \cdot h\).
Le jacobien \(\det J_f(a)\) apporte alors une lecture supplémentaire :
- sa valeur absolue \(|\det J_f(a)|\) est le facteur par lequel \(f\) multiplie localement les aires (en dimension 2) ou les volumes (en dimension 3) ;
- son signe indique si \(f\) conserve l’orientation (jacobien positif) ou l’inverse comme un miroir (jacobien négatif) ;
- s’il s’annule, la transformation écrase localement une dimension : \(f\) n’est plus inversible au voisinage du point.
C’est exactement cette propriété de dilatation des volumes qui rend le jacobien indispensable dans le calcul des intégrales doubles et triples.
VI. Applications : composée, changement de variables et inversion locale
Trois usages font de la matrice jacobienne un pivot du programme de prépa. Ce sont eux que tu retrouveras en DS, en colle et au concours.
A. La règle de la chaîne matricielle
La dérivée d’une composée de fonctions vectorielles s’écrit comme un simple produit de matrices jacobiennes.
Théorème — Jacobienne d’une composée
Soient \(f : U \to \mathbb{R}^p\) différentiable en \(a\) et \(g : V \to \mathbb{R}^q\) différentiable en \(f(a)\), avec \(f(U) \subset V\). Alors \(g \circ f\) est différentiable en \(a\) et
\(J_{g \circ f}(a) = J_g\big(f(a)\big) \times J_f(a).\)
La démonstration découle directement de la composition des différentielles : \(d(g \circ f)_a = dg_{f(a)} \circ df_a\), et la matrice d’une composée d’applications linéaires est le produit des matrices. L’ordre des facteurs n’est pas négociable : \(J_g\) d’abord, \(J_f\) ensuite. C’est aussi ce qui impose de respecter scrupuleusement le rangement lignes/colonnes de l’étape 3.
B. Le jacobien dans le changement de variables
C’est l’application reine. Pour un difféomorphisme \(\varphi\) entre deux domaines, la formule du changement de variables dans une intégrale multiple fait intervenir la valeur absolue du jacobien :
\(\iint_{D} f(x, y)\, dx\, dy = \iint_{D'} f\big(\varphi(u, v)\big)\, \big|\det J_{\varphi}(u, v)\big|\, du\, dv.\)Le cas le plus fréquent est le passage en coordonnées polaires \(\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)\) :
\(J_{\varphi}(r, \theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}, \qquad \det J_{\varphi} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r.\)D’où le fameux \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\). En dimension 3, le passage en coordonnées sphériques donne un jacobien de \(\rho^2 \sin\varphi\) (voir l’exercice 6).
C. Le critère d’inversion locale
Le jacobien détecte l’inversibilité locale d’une fonction.
Théorème d’inversion locale (idée) — Si \(f\) est de classe \(C^1\) au voisinage de \(a\) et si \(\det J_f(a) \neq 0\) (autrement dit la matrice jacobienne est inversible), alors \(f\) réalise un \(C^1\)-difféomorphisme entre un voisinage de \(a\) et un voisinage de \(f(a)\). De plus \(J_{f^{-1}}\big(f(a)\big) = \big(J_f(a)\big)^{-1}\).
Ce théorème et son cousin, le théorème des fonctions implicites, sont des piliers de la deuxième année. Le jacobien y joue le rôle exact que joue \(f^\prime(a) \neq 0\) pour une fonction d’une variable.
VII. S’entraîner : exercices résolus
Six applications classées par difficulté, du calcul direct à la question de concours. Cherche avant d’ouvrir la correction. Pour une série complète avec PDF, va sur la page exercices sur les fonctions de plusieurs variables.
Exercice 1 — Jacobienne directe ★
Calculer la matrice jacobienne de \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) définie par \(f(x, y) = (x^2 + y,\ e^x y)\).
Voir la correction de l’exercice 1
Deux composantes, deux variables : matrice \(2 \times 2\).
\(\displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x} = 2x,\quad \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial y} = 1,\quad \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x} = e^x y,\quad \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial y} = e^x.\) \(J_f(x, y) = \begin{pmatrix} 2x & 1 \\ e^x y & e^x \end{pmatrix}.\)Jacobien : \(\det J_f = 2x\,e^x- e^x y = e^x(2x- y)\). Il s’annule sur la droite \(y = 2x\).
Exercice 2 — Jacobien des coordonnées cylindriques ★
Soit \(\varphi(r, \theta, z) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ z)\). Calculer sa matrice jacobienne, puis son jacobien.
Voir la correction de l’exercice 2
Trois variables \((r, \theta, z)\), trois composantes : matrice \(3 \times 3\).
\(J_{\varphi} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\)On développe le déterminant par rapport à la dernière colonne :
\(\det J_{\varphi} = 1 \times \big(r\cos^2\theta + r\sin^2\theta\big) = r.\)D’où \(dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz\). Le jacobien s’annule sur l’axe \(r = 0\).
Exercice 3 — Règle de la chaîne matricielle ★★
Soient \(f(x, y) = (x + y,\ xy)\) et \(g(u, v) = (u^2,\ v,\ u- v)\). Calculer \(J_{g \circ f}(1, 2)\) à l’aide du produit des jacobiennes.
Voir la correction de l’exercice 3
D’abord \(f(1, 2) = (3, 2)\). Puis :
\(J_f(x, y) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ y & x \end{pmatrix} \Longrightarrow J_f(1, 2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.\) \(J_g(u, v) = \begin{pmatrix} 2u & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \Longrightarrow J_g(3, 2) = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.\)La composée \(g \circ f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\) a une jacobienne \(3 \times 2\). On multiplie \(J_g(f(a)) \times J_f(a)\) :
\(J_{g \circ f}(1, 2) = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.\)Contrôle des dimensions : \((3 \times 2) \times (2 \times 2) = 3 \times 2\). \(\text{✓}\)
Exercice 4 — Changement de variable en intégrale ★★
Calculer \(\displaystyle I = \iint_{D} (x^2 + y^2)\, dx\, dy\) où \(D\) est le disque de centre \(O\) et de rayon \(R\), à l’aide du jacobien polaire.
Voir la correction de l’exercice 4
On pose \(\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)\), avec \(\det J_{\varphi} = r\) donc \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\). Le disque correspond à \(r \in [0 ; R]\) et \(\theta \in [0 ; 2\pi]\), et \(x^2 + y^2 = r^2\) :
\(I = \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 \cdot r\, dr\, d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R r^3\, dr = 2\pi \cdot \displaystyle\frac{R^4}{4}.\)\(\displaystyle I = \displaystyle\frac{\pi R^4}{2}.\) Ne jamais oublier le facteur \(r\) : c’est lui, le jacobien.
Exercice 5 — Difféomorphisme local ★★★
On reprend \(f(x, y) = (x^2- y^2,\ 2xy)\). Montrer que \(f\) est un \(C^1\)-difféomorphisme local en tout point différent de l’origine, et que ce n’est pas un difféomorphisme global sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}\).
Voir la correction de l’exercice 5
Local. \(f\) est polynomiale donc de classe \(C^1\). On a vu \(\det J_f(x,y) = 4(x^2 + y^2)\), qui est non nul dès que \((x, y) \neq (0, 0)\). Par le théorème d’inversion locale, \(f\) est un \(C^1\)-difféomorphisme au voisinage de chacun de ces points.
Pas global. \(f\) n’est pas injective : \(f(x, y) = f(-x, -y)\) pour tout \((x,y)\). Par exemple \(f(1, 0) = f(-1, 0) = (1, 0)\). Un difféomorphisme global exigerait l’injectivité, qui est ici violée.
Conclusion : l’inversibilité du jacobien garantit le caractère local, jamais le caractère global. C’est un piège de concours classique.
Exercice 6 — Jacobien des coordonnées sphériques ★★★
Soit \(\varphi(\rho, \theta, \varphi) = (\rho\sin\varphi\cos\theta,\ \rho\sin\varphi\sin\theta,\ \rho\cos\varphi)\) (convention des physiciens). Montrer que le jacobien vaut \(\rho^2 \sin\varphi\).
Voir la correction de l’exercice 6
On note \(s = \sin\varphi\), \(c = \cos\varphi\), \(C = \cos\theta\), \(S = \sin\theta\). La matrice jacobienne (variables dans l’ordre \(\rho, \varphi, \theta\)) :
\(J = \begin{pmatrix} sC & \rho c C & -\rho s S \\ sS & \rho c S & \rho s C \\ c & -\rho s & 0 \end{pmatrix}.\)On développe par rapport à la troisième ligne. Après calcul (regroupement des termes en \(\rho^2\)) :
\(\det J = \rho^2 s\,(s^2 + c^2)(C^2 + S^2) = \rho^2 \sin\varphi.\)D’où \(dx\,dy\,dz = \rho^2 \sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta\). On l’utilise dans toute intégrale triple à symétrie sphérique.
Pour aller plus loin dans l’entraînement, la page exercices d’analyse vectorielle propose davantage de calculs de jacobiens en coordonnées curvilignes.
VIII. Les pièges classiques
Ces erreurs coûtent des points en DS et des minutes en concours. Les connaître, c’est les éviter par réflexe.
Piège 1 — Confondre jacobienne et jacobien. La matrice jacobienne est une matrice \(p \times n\), elle existe toujours. Le jacobien est un nombre, le déterminant de cette matrice, et il n’a de sens que si elle est carrée (\(n = p\)). Parler du « jacobien » d’une fonction \(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) n’a aucun sens.
Piège 2 — Oublier la valeur absolue du jacobien. Dans un changement de variables, la formule fait intervenir \(\big|\det J_{\varphi}\big|\), pas \(\det J_{\varphi}\). Une intégrale d’une fonction positive sur un domaine ne peut pas devenir négative parce que ton jacobien était négatif : c’est la valeur absolue qui garantit un facteur d’aire positif.
Deux autres réflexes à cultiver. D’une part, l’ordre du produit dans la règle de la chaîne : \(J_{g \circ f} = J_g(f(a)) \times J_f(a)\), jamais l’inverse — c’est le contrôle des dimensions qui te sauve. D’autre part, la transposée : si tu écris les gradients en colonnes, tu obtiens \(J_f^{\top}\) et tout le reste s’effondre.
IX. Rédaction au concours
Sur ce chapitre, le correcteur ne cherche pas la virtuosité de calcul mais la rigueur des hypothèses. Voici ce qui rapporte des points.
- Justifier la classe \(C^1\) avant tout. Avant d’appliquer le théorème d’inversion locale ou le théorème des fonctions implicites, écris explicitement pourquoi \(f\) est de classe \(C^1\) (composée/produit de fonctions \(C^1\), polynomiale, etc.). Un correcteur sanctionne l’application d’un théorème dont les hypothèses ne sont pas vérifiées.
- Annoncer la dimension de la matrice. Écrire « \(J_f\) est \(p \times n\) » avant de la remplir montre que tu contrôles ta construction et sécurise le produit matriciel.
- Distinguer local et global. Le jacobien non nul donne un difféomorphisme local. Conclure au caractère global sans prouver l’injectivité est l’erreur la plus fréquente — et la plus pénalisée.
- Ne jamais oublier \(\big|\det J_{\varphi}\big|\) ni l’adaptation des bornes lors d’un changement de variables.
Le plan de démonstration attendu pour un difféomorphisme tient en trois lignes : (1) \(f\) est \(C^1\) ; (2) \(\det J_f \neq 0\) sur le domaine ; (3) conclusion par le théorème d’inversion locale, complétée par l’injectivité globale si on veut un difféomorphisme global.
Ce chapitre est au programme des filières MPSI/PCSI en première année (calcul différentiel de base) et surtout MP/PC/PSI en deuxième année (changements de variables, inversion locale). Il apparaît aussi en ECG2 via l’optimisation.
X. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre matrice jacobienne et jacobien ?
La matrice jacobienne est une matrice de taille \(p \times n\) qui rassemble toutes les dérivées partielles de \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p\). Le jacobien est un nombre : c’est le déterminant de cette matrice, défini uniquement lorsqu’elle est carrée (\(n = p\)). En résumé, la jacobienne est l’objet, le jacobien est sa mesure de dilatation locale des volumes.
Quelle est la différence entre le gradient et la matrice jacobienne ?
Le gradient concerne une fonction scalaire \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) : c’est un vecteur. La matrice jacobienne concerne une fonction vectorielle \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p\) : c’est une matrice dont chaque ligne est le gradient d’une composante. Le gradient est donc le cas particulier \(p = 1\) de la jacobienne (à une transposition près).
Comment calculer un jacobien rapidement ?
On calcule d’abord la matrice jacobienne (les dérivées partielles rangées ligne par composante, colonne par variable), puis son déterminant. Pour les changements de variables usuels, retiens les résultats : jacobien \(r\) en polaires, \(r\) en cylindriques, \(\rho^2 \sin\varphi\) en sphériques.
À quoi sert concrètement la matrice jacobienne ?
Elle sert à trois choses en prépa : dériver une composée de fonctions vectorielles (produit de jacobiennes), effectuer un changement de variables dans une intégrale double ou triple (facteur \(|\det J|\)), et détecter l’inversibilité locale d’une fonction (théorème d’inversion locale). En physique et en robotique, elle relie aussi des vitesses.
Que signifie un jacobien nul ?
Un jacobien nul en un point signifie que la transformation écrase localement au moins une dimension : la fonction n’est pas inversible au voisinage de ce point, et le théorème d’inversion locale ne s’applique pas. Géométriquement, un petit volume est aplati sur un volume de mesure nulle.
XI. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le calcul de la matrice jacobienne, du jacobien et leurs trois grandes applications. Pour consolider les notions voisines :
- Tableau de variation d’une fonction
- 24 Exercices Corrigés sur les Matrices : Maths Expertes, Prépa & Concours (PDF)
- Matrice inversible : définition, critères d’inversibilité et propriétés
- Matrice Symétrique et Antisymétrique : Cours, Propriétés et Exercices Corrigés
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