Tu cherches à t’entraîner sur les homothéties avant un contrôle ou le brevet ? Tu es au bon endroit. Voici 12 exercices d’homothétie pour la 3ème, classés par difficulté croissante : on commence par la construction d’images et le calcul de rapport, puis on passe à l’effet sur les aires et les volumes, et on finit par des problèmes type brevet. Chaque exercice est corrigé pas à pas, avec la rédaction complète attendue le jour de l’épreuve. À la fin, tu peux télécharger gratuitement un PDF avec encore plus d’exercices corrigés à imprimer.
L’essentiel à savoir avant de commencer
Avant de te lancer, voici les trois points indispensables pour réussir tous les exercices de cette page. Si un point te semble flou, relis d’abord le cours complet sur l’homothétie.
Définition — Homothétie
Une homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir d’un point fixe appelé centre (noté \(O\)), selon un nombre appelé rapport (noté \(k\)).
Le point \(M^\prime\), image du point \(M\), se trouve sur la droite \((OM)\), avec \(OM^\prime = |k| \times OM\).
Les trois réflexes à avoir :
- Si \(k\) est plus grand que 1 : c’est un agrandissement. Si \(k\) est entre 0 et 1 : c’est une réduction.
- Si \(k\) est négatif : l’image passe de l’autre côté du centre \(O\).
- Les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires par \(k^2\), les volumes par \(k^3\).
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Exercices d’application directe (★)
On démarre en douceur avec la construction d’images et la lecture du rapport. Ces exercices sont parfaits pour vérifier que tu as bien compris la définition.
Exercice 1 — Construire l’image d’un point (★)
Sur une feuille, place un point \(O\) et un point \(A\) tel que \(OA = 3\) cm. Construis le point \(A^\prime\), image de \(A\) par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k = 2\).
Correction
Comme \(k = 2\) est positif, \(A^\prime\) est du même côté que \(A\) par rapport à \(O\).
On calcule la longueur : \(OA^\prime = k \times OA = 2 \times 3 = 6\) cm.
On trace donc la demi-droite \([OA)\), puis on place \(A^\prime\) sur cette demi-droite à 6 cm de \(O\). Les points \(O\), \(A\) et \(A^\prime\) sont alignés. ✓
Exercice 2 — Image d’un triangle (★)
On considère un triangle \(ABC\) et un point \(O\). Construis l’image \(A^\prime B^\prime C^\prime\) du triangle par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k = 3\).
Correction
On construit l’image de chaque sommet, l’un après l’autre :
- \(A^\prime\) sur la demi-droite \([OA)\) avec \(OA^\prime = 3 \times OA\) ;
- \(B^\prime\) sur la demi-droite \([OB)\) avec \(OB^\prime = 3 \times OB\) ;
- \(C^\prime\) sur la demi-droite \([OC)\) avec \(OC^\prime = 3 \times OC\).
On relie ensuite \(A^\prime\), \(B^\prime\) et \(C^\prime\). Le triangle obtenu est trois fois plus grand, et ses côtés sont parallèles à ceux du triangle de départ. ✓
Exercice 3 — Une réduction (★)
Un segment \([AB]\) mesure 8 cm. On lui applique une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k = \displaystyle\frac{1}{2}\). Quelle est la longueur du segment image \([A^\prime B^\prime]\) ?
Correction
Le rapport \(k = \displaystyle\frac{1}{2}\) est compris entre 0 et 1 : c’est une réduction.
La longueur est multipliée par \(k\) :
\(A^\prime B^\prime = \displaystyle\frac{1}{2} \times 8 = 4\) cm.
Le segment image mesure donc 4 cm, soit deux fois moins que le segment de départ. ✓
Exercice 4 — Retrouver le rapport (★)
Les points \(O\), \(A\) et \(A^\prime\) sont alignés, dans cet ordre. On sait que \(OA = 5\) cm et \(OA^\prime = 15\) cm. \(A^\prime\) est l’image de \(A\) par une homothétie de centre \(O\). Quel est son rapport \(k\) ?
Correction
Le rapport se calcule en divisant la longueur image par la longueur de départ :
\(k = \displaystyle\frac{OA^\prime}{OA} = \displaystyle\frac{15}{5} = 3\).
Comme \(A^\prime\) est du même côté que \(A\) par rapport à \(O\), le rapport est positif : \(k = 3\). ✓
Exercice 5 — Reconnaître une homothétie (★)
Pour chaque transformation, dis s’il s’agit d’une homothétie :
- une figure est agrandie 2 fois à partir d’un point \(O\) ;
- une figure est déplacée de 4 cm vers la droite sans changer de taille ;
- une figure est retournée par rapport à un point (symétrie centrale).
Correction
- Oui : c’est une homothétie de rapport \(k = 2\).
- Non : c’est une translation (la taille ne change pas, il n’y a pas de centre).
- Oui : une symétrie centrale est une homothétie particulière de rapport \(k = -1\).
Exercices d’approfondissement (★★)
On monte d’un cran : rapport négatif, effet sur les aires et les volumes. Ce sont des questions très fréquentes au brevet, alors prends ton temps.
Exercice 6 — Rapport négatif (★★)
Place un point \(O\) et un point \(B\) tel que \(OB = 2\) cm. Construis l’image \(B^\prime\) de \(B\) par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k = -2\).
Correction
Le rapport \(k = -2\) est négatif : l’image se place de l’autre côté du centre \(O\).
Pour la longueur, on utilise la valeur absolue : \(OB^\prime = |{-2}| \times OB = 2 \times 2 = 4\) cm.
On trace la droite \((OB)\), puis on place \(B^\prime\) à 4 cm de \(O\), mais du côté opposé à \(B\). ✓
Exercice 7 — Effet sur les aires (★★)
Un rectangle a une aire de \(12\) cm². On lui applique une homothétie de rapport \(k = 3\). Quelle est l’aire du rectangle image ?
Correction
Attention au piège classique : l’aire n’est pas multipliée par \(k\), mais par \(k^2\).
\(\text{Aire image} = k^2 \times \text{Aire} = 3^2 \times 12 = 9 \times 12 = 108\) cm².
L’aire du rectangle image est donc de \(108\) cm². ✓
Exercice 8 — Effet sur les volumes (★★)
Une boule a un volume de \(50\) cm³. On la réduit par une homothétie de rapport \(k = \displaystyle\frac{1}{2}\). Quel est le volume de la boule réduite ?
Correction
Pour les volumes, on multiplie par \(k^3\) :
\(\text{Volume image} = k^3 \times \text{Volume} = \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3 \times 50 = \displaystyle\frac{1}{8} \times 50 = 6{,}25\) cm³.
La boule réduite a un volume de \(6{,}25\) cm³, soit 8 fois moins que la boule de départ. ✓
Exercice 9 — Retrouver le rapport à partir des aires (★★)
Une figure a une aire de \(4\) cm². Son image par une homothétie a une aire de \(36\) cm². Quel est le rapport \(k\) de cette homothétie (on suppose \(k\) positif) ?
Correction
On sait que les aires sont multipliées par \(k^2\). On cherche donc le nombre par lequel l’aire a été multipliée :
\(\displaystyle\frac{36}{4} = 9\), donc \(k^2 = 9\).
Comme \(k\) est positif, \(k = 3\) (car \(3 \times 3 = 9\)).
Le rapport de l’homothétie est \(k = 3\). ✓
Erreur classique : répondre \(k = 9\) parce que l’aire a été multipliée par 9. Faux ! C’est l’aire qui est multipliée par 9, donc \(k^2 = 9\) et le rapport des longueurs est \(k = 3\).
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Exercices de synthèse et type brevet (★★★)
Place maintenant aux problèmes complets, dans l’esprit du nouveau brevet (DNB 2026), avec sa partie « Automatismes » et sa partie « Raisonnement ». Rédige tes réponses comme le jour de l’épreuve.
Exercice 10 — Automatismes type brevet (★★★)
Réponds rapidement, sans calculatrice :
- Une homothétie a un rapport \(k = 4\). Par combien sont multipliées les longueurs ? les aires ?
- Le carré \(A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime\) est l’image du carré \(ABCD\) par une homothétie de rapport \(\displaystyle\frac{1}{3}\). Si \(AB = 9\) cm, combien mesure \(A^\prime B^\prime\) ?
Correction
- Les longueurs sont multipliées par \(4\), les aires par \(4^2 = 16\).
- \(A^\prime B^\prime = \displaystyle\frac{1}{3} \times 9 = 3\) cm.
Exercice 11 — Raisonnement et problème (★★★)
Sur une figure, les droites \((AB)\) et \((A^\prime B^\prime)\) sont telles que \(A^\prime\) est l’image de \(A\) et \(B^\prime\) l’image de \(B\) par une homothétie de centre \(O\). On sait que \(O\), \(A\), \(A^\prime\) sont alignés, ainsi que \(O\), \(B\), \(B^\prime\). On donne \(OA = 4\) cm, \(OA^\prime = 10\) cm et \(AB = 6\) cm.
1. Quel est le rapport \(k\) de l’homothétie ?
2. En déduire la longueur \(A^\prime B^\prime\).
3. Que peux-tu dire des droites \((AB)\) et \((A^\prime B^\prime)\) ?
Correction rédigée (copie de major)
1. Le rapport est le quotient des longueurs depuis le centre :
\(k = \displaystyle\frac{OA^\prime}{OA} = \displaystyle\frac{10}{4} = 2{,}5\).
Comme \(A^\prime\) est du même côté que \(A\), le rapport est positif : \(k = 2{,}5\).
2. Une homothétie multiplie toutes les longueurs par \(k\). Donc :
\(A^\prime B^\prime = k \times AB = 2{,}5 \times 6 = 15\) cm.
3. Une homothétie transforme une droite en une droite qui lui est parallèle. Donc \((AB)\) et \((A^\prime B^\prime)\) sont parallèles. On retrouve d’ailleurs une configuration du théorème de Thalès. ✓
Exercice 12 — QCM auto-évaluation (★★★)
Pour chaque question, une seule réponse est correcte.
- Une homothétie de rapport \(-1\) est : (a) une translation — (b) une symétrie centrale — (c) une rotation.
- Si \(k = \displaystyle\frac{2}{5}\), la figure est : (a) agrandie — (b) réduite — (c) inchangée.
- Une aire est multipliée par 25. Le rapport (positif) vaut : (a) 25 — (b) 12,5 — (c) 5.
Correction
- (b) — un rapport \(-1\) correspond à une symétrie centrale de centre \(O\).
- (b) — \(\displaystyle\frac{2}{5} = 0{,}4\) est compris entre 0 et 1 : c’est une réduction.
- (c) — les aires sont multipliées par \(k^2\), donc \(k^2 = 25\) et \(k = 5\).
Erreurs fréquentes et pièges à éviter
La plupart des points perdus en contrôle viennent toujours des mêmes erreurs. Les connaître à l’avance, c’est déjà gagner des points.
Piège n°1 — Multiplier l’aire par \(k\) au lieu de \(k^2\).
❌ Copie fautive : « rapport 3, donc l’aire passe de 12 à \(3 \times 12 = 36\) cm². »
✅ Correction : les longueurs sont multipliées par 3, mais l’aire par \(3^2 = 9\). L’aire vaut donc \(9 \times 12 = 108\) cm².
Piège n°2 — Oublier le côté opposé quand \(k\) est négatif.
❌ Copie fautive : pour \(k = -2\), on place \(A^\prime\) du même côté que \(A\).
✅ Correction : un rapport négatif place toujours l’image de l’autre côté du centre. La longueur, elle, se calcule avec \(|k|\).
Piège n°3 — Confondre image et antécédent.
Pour calculer un rapport, on divise toujours la longueur image par la longueur de départ : \(k = \displaystyle\frac{OA^\prime}{OA}\), et non l’inverse. Inverser le quotient donne un rapport faux (par exemple \(\displaystyle\frac{1}{3}\) au lieu de \(3\)).
Questions fréquentes
Comment construire l'image d'un point par une homothétie ?
Trace la droite qui passe par le centre \(O\) et le point \(M\). Calcule la longueur \(OM^\prime = |k| \times OM\). Place \(M^\prime\) sur cette droite : du même côté que \(M\) si le rapport est positif, du côté opposé s’il est négatif. La méthode détaillée est expliquée dans la page construire une homothétie.
Comment trouver le rapport d'une homothétie ?
On divise une longueur image par la longueur de départ correspondante : \(k = \displaystyle\frac{OA^\prime}{OA}\). Si l’image est du même côté que le point de départ, le rapport est positif ; si elle est du côté opposé au centre, il est négatif.
Quelle est la différence entre une homothétie et un agrandissement-réduction ?
C’est la même idée vue sous deux angles. L’agrandissement-réduction décrit l’effet sur la figure (×\(k\) sur les longueurs, ×\(k^2\) sur les aires), tandis que l’homothétie est la transformation précise, définie par un centre et un rapport. Pour approfondir l’effet sur les grandeurs, vois la page agrandissement et réduction.
Que se passe-t-il quand le rapport k est négatif ?
L’image se retrouve de l’autre côté du centre \(O\). Pour la longueur, on utilise la valeur absolue de \(k\). Cas particulier : un rapport \(k = -1\) correspond exactement à une symétrie centrale de centre \(O\).
L'homothétie peut-elle tomber au brevet ?
Oui, c’est un chapitre du programme de 3ème. On la retrouve souvent dans des problèmes de géométrie mêlant le théorème de Thalès, le calcul d’aires ou d’échelles. Les exercices type brevet de cette page (★★★) sont calibrés sur le format DNB 2026.
Comment multiplier les aires et les volumes avec une homothétie ?
Avec une homothétie de rapport \(k\) : les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires par \(k^2\) et les volumes par \(k^3\). C’est l’erreur la plus fréquente : ne multiplie jamais une aire simplement par \(k\) !
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les exercices d’homothétie de 3ème. Pour continuer à progresser :
- 📖 Revois le cours complet sur l’homothétie pour consolider les bases.
- → Entraîne-toi à la construction d’homothéties pas à pas, avec les cas du rapport négatif.
- → Travaille l’effet sur les aires et les volumes (agrandissement-réduction).
- → Découvre les échelles en maths dès la 5ème, une réduction du quotidien.
- ✏️ Travaille aussi les exercices de Thalès, souvent liés à l’homothétie.
