Tu cherches la primitive d’une fonction ? Ce tableau rassemble toutes les formules de primitives usuelles : fonctions puissance, exponentielles, trigonométriques, composées et hyperboliques. Chaque formule est accompagnée de son domaine de validité. Télécharge aussi le PDF imprimable.
I. Tableau des primitives usuelles — programme lycée
Voici les primitives à connaître au lycée (Terminale et Première spécialité). Dans chaque tableau, la constante \(C \in \mathbb{R}\) est omise : toute primitive est définie à une constante additive près.
Lien avec les dérivées : le tableau des primitives est le miroir exact du tableau des dérivées. Si tu sais que la dérivée de \(x^3\) est \(3x^2\), alors une primitive de \(3x^2\) est \(x^3\). Primitiver, c’est « lire le tableau des dérivées à l’envers ».
A. Fonctions puissance
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) , \(n \in \mathbb{N}\) | \(\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) , \(n \in \mathbb{Z}\), \(n \leq -2\) | \(\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\displaystyle\frac{2}{3}\,x\sqrt{x}\) | \([0\,;+\infty[\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(]0\,;+\infty[\) |
| \(x^\alpha\) , \(\alpha \in \mathbb{R}\), \(\alpha \neq -1\) | \(\displaystyle\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\) | \(]0\,;+\infty[\) |
La dernière ligne généralise toutes les autres : les lignes \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\), \(\sqrt{x}\) et \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\) en sont des cas particuliers (avec \(\alpha = -2\), \(\alpha = \displaystyle\frac{1}{2}\) et \(\alpha = -\displaystyle\frac{1}{2}\)).
B. Exponentielles et logarithme
La fonction exponentielle est sa propre primitive : c’est la propriété la plus remarquable du tableau.
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(e^{ax}\) , \(a \neq 0\) | \(\displaystyle\frac{1}{a}\,e^{ax}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\ln x\) | \(x\ln x – x\) | \(]0\,;+\infty[\) |
La primitive de \(\ln x\) se démontre par intégration par parties en écrivant \(\ln x = 1 \times \ln x\). Retrouve la démonstration complète sur la page primitive de ln x.
C. Fonctions trigonométriques
Les primitives des fonctions trigonométriques sont au programme dès la Première spécialité (pour \(\cos\) et \(\sin\)) et complétées en Terminale.
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\) | \(\tan x\) | \(\cos x \neq 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{\tan x}\) | \(\sin x \neq 0\) |
| \(\tan x\) | \(-\ln|\cos x|\) | \(\cos x \neq 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\) | \(\arctan x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x\) | \(]-1\,;1[\) |
Attention au signe : la primitive de \(\sin x\) est \(-\cos x\) (avec un signe moins). Pour ne pas se tromper, vérifie toujours en dérivant : \((-\cos x)^\prime = \sin x\) ✓
D. Primitives composées — forme \(u^\prime \cdot g(u)\)
Les formules suivantes s’appliquent lorsqu’on reconnaît la forme \(u^\prime(x) \cdot g(u(x))\), où \(u\) est une fonction dérivable. Pour la méthode de reconnaissance détaillée, consulte la page primitives de fonctions composées.
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Condition sur \(u\) |
|---|---|---|
| \(u^\prime \cdot u^n\) | \(\displaystyle\frac{u^{n+1}}{n+1}\) | \(n \neq -1\) |
| \(\displaystyle\frac{u^\prime}{u}\) | \(\ln|u|\) | \(u \neq 0\) |
| \(u^\prime \cdot e^u\) | \(e^u\) | — |
| \(u^\prime \cdot \cos u\) | \(\sin u\) | — |
| \(u^\prime \cdot \sin u\) | \(-\cos u\) | — |
| \(\displaystyle\frac{u^\prime}{1+u^2}\) | \(\arctan u\) | — |
| \(\displaystyle\frac{u^\prime}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) | \(u\) > \(0\) |
| \(\displaystyle\frac{u^\prime}{u^2}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{u}\) | \(u \neq 0\) |
| \(\displaystyle\frac{u^\prime}{\cos^2 u}\) | \(\tan u\) | \(\cos u \neq 0\) |
| \(\displaystyle\frac{u^\prime}{\sqrt{1-u^2}}\) | \(\arcsin u\) | \(|u|\) < \(1\) |
Astuce pour mémoriser : chaque ligne de ce tableau est le « calque composé » de la primitive élémentaire correspondante. Par exemple, la primitive de \(\cos x\) est \(\sin x\), donc la primitive de \(u^\prime \cos u\) est \(\sin u\). Le facteur \(u^\prime\) est le « ticket d’entrée » de la formule composée.
Tableau des primitives usuelles — PDF imprimable
Toutes les formules sur une fiche recto-verso : fonctions puissance, exponentielles, trigonométriques, composées et hyperboliques. Idéal pour réviser avant un DS ou un concours.
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Les formules ci-dessus couvrent le programme du lycée. Si tu es en prépa, les primitives suivantes complètent le tableau.
II. Compléments prépa — primitives avancées 🔴
Les formules de cette section s’ajoutent au programme des classes préparatoires (MPSI, PCSI, MP, PC). Elles ne sont pas exigibles au lycée.
A. Exponentielle en base quelconque et fonctions hyperboliques
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(a^x\) (\(a\) > \(0\), \(a \neq 1\)) | \(\displaystyle\frac{a^x}{\ln a}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\mathrm{ch}\, x\) | \(\mathrm{sh}\, x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\mathrm{sh}\, x\) | \(\mathrm{ch}\, x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\mathrm{ch}^2\, x}\) | \(\mathrm{th}\, x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\mathrm{th}\, x\) | \(\ln(\mathrm{ch}\, x)\) | \(\mathbb{R}\) |
B. Fractions et racines avec paramètre
Ces formules généralisent les primitives d’arctan et d’arcsin en introduisant un paramètre \(a\) > \(0\). Elles sont indispensables en prépa pour le calcul d’intégrales généralisées et les changements de variable.
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{a^2+x^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{a}\,\arctan\displaystyle\frac{x}{a}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) | \(\arcsin\displaystyle\frac{x}{a}\) | \(]-a\,;a[\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{a^2-x^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2a}\,\ln\left|\displaystyle\frac{a+x}{a-x}\right|\) | \(x \neq \pm a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\) | \(\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\) | \(\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|\) | \(|x|\) > \(a\) |
On note aussi \(\mathrm{argsh}\left(\displaystyle\frac{x}{a}\right)\) et \(\mathrm{argch}\left(\displaystyle\frac{x}{a}\right)\) les fonctions réciproques des hyperboliques, liées aux deux dernières lignes par les identités \(\mathrm{argsh}(t) = \ln\left(t + \sqrt{t^2+1}\right)\) et \(\mathrm{argch}(t) = \ln\left(t + \sqrt{t^2-1}\right)\).
Maintenant que tu connais les formules, voyons comment les combiner pour calculer des primitives plus complexes.
III. Règles de calcul des primitives
Le tableau seul ne suffit pas toujours : tu as besoin de deux règles fondamentales pour assembler les formules.
Linéarité. Si \(F\) est une primitive de \(f\) et \(G\) une primitive de \(g\), alors pour tout \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) :
\(\alpha F + \beta G\) est une primitive de \(\alpha f + \beta g\)
Autrement dit, tu peux primitiver terme à terme et sortir les constantes multiplicatives.
Pas de formule pour le produit ni le quotient. Il n’existe pas de formule directe pour la primitive de \(f \times g\) ou de \(\displaystyle\frac{f}{g}\). Pour ces cas, tu dois utiliser :
- la reconnaissance d’une forme composée \(u^\prime \cdot g(u)\) ;
- l’intégration par parties (produit de deux fonctions de nature différente) ;
- un changement de variable (substitution).
Passons à la pratique : voici comment utiliser ces formules sur des cas concrets.
IV. Exemples d’application
Exemple 1 🟢 — Combinaison linéaire
Trouver une primitive de \(f(x) = 3x^2 – 2x + 5\).
Par linéarité, on primitive terme à terme :
\(F(x) = 3 \cdot \displaystyle\frac{x^3}{3} – 2 \cdot \displaystyle\frac{x^2}{2} + 5x = x^3 – x^2 + 5x + C\)
Vérification : \(F^\prime(x) = 3x^2 – 2x + 5 = f(x)\) ✓
Exemple 2 🟢 — Composée cosinus
Trouver une primitive de \(f(x) = \cos(5x)\).
On reconnaît la forme \(u^\prime \cos u\) avec \(u = 5x\), dont la dérivée est \(u^\prime = 5\). Il manque le facteur \(5\) :
\(f(x) = \displaystyle\frac{1}{5} \times 5\cos(5x) = \displaystyle\frac{1}{5}\,u^\prime \cos u\)
Donc \(F(x) = \displaystyle\frac{1}{5}\sin(5x) + C\).
Vérification : \(F^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}{5} \times 5\cos(5x) = \cos(5x)\) ✓
Exemple 3 🟡 — Forme \(\displaystyle\frac{u^\prime}{u}\)
Trouver une primitive de \(f(x) = \displaystyle\frac{6x+1}{3x^2+x-4}\).
Posons \(u = 3x^2 + x – 4\). On calcule \(u^\prime = 6x + 1\) : c’est exactement le numérateur !
On a \(f(x) = \displaystyle\frac{u^\prime}{u}\), dont une primitive est \(\ln|u|\).
Donc \(F(x) = \ln|3x^2 + x – 4| + C\).
Exemple 4 🟡 — Composée exponentielle
Trouver une primitive de \(f(x) = x\,e^{x^2}\).
Posons \(u = x^2\), \(u^\prime = 2x\). On réécrit :
\(f(x) = x\,e^{x^2} = \displaystyle\frac{1}{2} \times 2x \times e^{x^2} = \displaystyle\frac{1}{2}\,u^\prime\,e^u\)
Donc \(F(x) = \displaystyle\frac{1}{2}\,e^{x^2} + C\).
Vérification : \(F^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}{2} \times 2x \times e^{x^2} = x\,e^{x^2}\) ✓
Exemple 5 🔴 — Formule avec paramètre (prépa)
Trouver une primitive de \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{9 – x^2}}\).
On reconnaît la forme \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}}\) avec \(a = 3\).
D’après le tableau, une primitive est \(\arcsin\displaystyle\frac{x}{a}\).
Donc \(F(x) = \arcsin\displaystyle\frac{x}{3} + C\), sur \(]-3\,;3[\).
Les formules sont directes, mais certaines erreurs reviennent systématiquement dans les copies. Voici les pièges les plus fréquents.
V. Pièges à éviter
Piège 1 — Le cas \(n = -1\) interdit
❌ Erreur : « La primitive de \(\displaystyle\frac{1}{x}\) est \(\displaystyle\frac{x^{-1+1}}{-1+1} = \displaystyle\frac{x^0}{0}\)… »
La formule \(\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}\) exige \(n \neq -1\). Pour \(n = -1\), le dénominateur s’annule !
✅ Correction : la primitive de \(\displaystyle\frac{1}{x}\) est \(\ln|x| + C\). C’est un cas à part à connaître par cœur.
Piège 2 — Oublier le coefficient de dilatation
❌ Erreur : « La primitive de \(\cos(3x)\) est \(\sin(3x)\). »
Si l’on dérive \(\sin(3x)\), on obtient \(3\cos(3x)\), pas \(\cos(3x)\). Le facteur \(3\) de la dérivée composée a été oublié.
✅ Correction : \(F(x) = \displaystyle\frac{1}{3}\sin(3x) + C\). Règle : quand l’argument est \(ax\), divise par \(a\).
Piège 3 — Oublier la valeur absolue dans \(\ln\)
❌ Erreur : « La primitive de \(\displaystyle\frac{1}{x}\) est \(\ln(x)\). »
La fonction \(\ln(x)\) n’est définie que pour \(x\) > \(0\), alors que \(\displaystyle\frac{1}{x}\) est aussi définie pour \(x\) < \(0\).
✅ Correction : la primitive est \(\ln|x| + C\) sur \(\mathbb{R}^*\). La valeur absolue étend la validité aux \(x\) négatifs.
VI. Questions fréquentes
Quelles sont les formules des primitives et comment les retenir ?
Les formules essentielles sont regroupées dans le tableau ci-dessus : fonctions puissance (\(x^n\)), exponentielle (\(e^x\)), logarithme (\(\ln x\)), trigonométriques (\(\cos\), \(\sin\), \(\tan\)) et leurs formes composées. Pour les retenir, la meilleure méthode est de lire le tableau des dérivées à l’envers : si tu connais les dérivées, tu connais déjà les primitives. Ensuite, entraîne-toi régulièrement avec des exercices corrigés.
Quelle est la différence entre primitive et intégrale ?
Une primitive est une fonction \(F\) telle que \(F^\prime = f\). Une intégrale définie \(\int_a^b f(x)\,dx\) est un nombre : c’est la différence \(F(b) – F(a)\). La primitive est l’outil de calcul ; l’intégrale est le résultat numérique. Retrouve le cours complet sur les primitives et intégrales pour approfondir.
Pourquoi ajoute-t-on une constante C aux primitives ?
Parce que la dérivée d’une constante est nulle. Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \(F + C\) l’est aussi pour tout \(C \in \mathbb{R}\) : on a \((F + C)^\prime = F^\prime + 0 = f\). Il n’existe donc jamais une seule primitive, mais une famille infinie de primitives, toutes séparées par une constante.
Comment vérifier qu'on a trouvé la bonne primitive ?
Il suffit de dériver le résultat. Si \(F^\prime(x) = f(x)\), alors \(F\) est bien une primitive de \(f\). C’est un réflexe à prendre systématiquement, surtout sur les formes composées où l’erreur de coefficient est fréquente.
Toute fonction admet-elle une primitive ?
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle : c’est le théorème fondamental de l’analyse. En revanche, une fonction présentant des discontinuités peut ne pas admettre de primitive au sens usuel. Au lycée et en prépa, les fonctions étudiées sont continues par morceaux, donc le tableau s’applique sur chaque morceau.
Comment utiliser ce tableau pour calculer une intégrale ?
Pour calculer \(\int_a^b f(x)\,dx\) : (1) cherche dans le tableau la primitive \(F\) telle que \(F^\prime = f\) ; (2) calcule \(F(b) – F(a)\). La constante \(C\) s’annule dans la soustraction, donc tu n’as pas besoin de l’écrire pour une intégrale définie.
VII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le tableau des primitives usuelles. Pour approfondir et t’entraîner :
- Primitives et intégrales : cours complet — définitions, propriétés et théorème fondamental
- Exercices corrigés sur les primitives et intégrales — entraîne-toi avec des exercices classés par difficulté
- Intégration par parties (IPP) — pour les primitives de produits
- Primitives de fonctions composées — la méthode de reconnaissance de \(u^\prime \cdot g(u)\)
- Changement de variable dans une intégrale — pour les substitutions
- Tableau des dérivées usuelles — le miroir de cette page
Tableau des primitives usuelles — PDF imprimable
Toutes les formules sur une fiche recto-verso : fonctions puissance, exponentielles, trigonométriques, composées et hyperboliques. Idéal pour réviser avant un DS ou un concours.
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