Comment mesurer la hauteur d’un arbre sans y grimper ? Comment connaître la largeur d’une rivière sans la traverser ? Depuis l’Antiquité, le théorème de Thalès répond à ces questions grâce à une idée simple : quand deux droites sont coupées par des droites parallèles, des longueurs deviennent proportionnelles. Dans ce cours, tu vas comprendre l’énoncé, la formule, les configurations, voir des exemples entièrement résolus et télécharger ta fiche de révision pour le brevet.
I. Définition et énoncé du théorème
Le théorème de Thalès relie des longueurs dans une figure où apparaissent des droites parallèles. Il sert à calculer une longueur qu’on ne peut pas mesurer directement, à partir de longueurs connues.
Théorème de Thalès
On considère un triangle \(ABC\). Soit \(M\) un point du côté \([AB]\) et \(N\) un point du côté \([AC]\).
Si la droite \((MN)\) est parallèle à la droite \((BC)\), alors les longueurs sont proportionnelles :
\(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{AN}{AC} = \displaystyle\frac{MN}{BC}\)
Retiens bien les deux idées clés : il faut deux droites qui se croisent (ici \((AB)\) et \((AC)\), qui se coupent en \(A\)) et deux droites parallèles (ici \((MN)\) et \((BC)\)). Sans parallélisme, le théorème ne s’applique pas.
![triangle ABC avec A en haut, [BC] horizontal en bas. M sur [AB] et N sur [AC], segment [MN] parallèle à [BC] tracé en bl](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/06/thales_config_directe.png)
II. La formule du théorème de Thalès
La formule est une suite de fractions égales. Au numérateur, on met toujours les longueurs qui partent du point d’intersection (le sommet commun). Au dénominateur, les longueurs complètes.
Comment écrire la formule sans se tromper : garde toujours le même ordre. « Petit triangle » au-dessus, « grand triangle » en dessous, et range les côtés dans le même sens dans les trois fractions :
\(\displaystyle\frac{\text{côté du petit}}{\text{côté du grand}}\) pour chacune des trois fractions.
Une fois ces fractions écrites, on calcule la longueur inconnue grâce au produit en croix. Par exemple, si tu connais \(AM\), \(AB\) et \(BC\), et que tu cherches \(MN\) :
\(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{MN}{BC} \quad\Rightarrow\quad MN = \displaystyle\frac{AM \times BC}{AB}\)C’est la même technique de calcul que dans le calcul littéral avec les égalités de fractions.
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III. Les configurations classiques
Le théorème de Thalès se reconnaît surtout grâce à la forme de la figure. Il existe deux configurations principales : la configuration directe (triangles emboîtés) et la configuration papillon.
A. Les triangles emboîtés (configuration directe)
C’est la plus courante. Un petit triangle \(AMN\) est « emboîté » dans un grand triangle \(ABC\), avec un sommet commun \(A\). Les côtés \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles.
B. La configuration papillon
Les deux triangles sont opposés par le sommet, comme les deux ailes d’un papillon. Les deux droites parallèles encadrent le point d’intersection. La formule reste la même, mais il faut être très attentif à la correspondance des longueurs. On détaille tout cela dans la page dédiée à la configuration papillon.
Attention : en configuration papillon, le point d’intersection est au milieu, entre les deux droites parallèles. Si tu inverses les longueurs gauche/droite, tu obtiens un résultat faux. Repère bien quel segment correspond à quel autre.
IV. Comprendre pourquoi ça marche
Pourquoi les longueurs sont-elles proportionnelles ? L’idée intuitive : quand \((MN)\) est parallèle à \((BC)\), le petit triangle \(AMN\) est une réduction du grand triangle \(ABC\). Il a exactement la même forme, mais en plus petit. Toutes ses longueurs sont donc multipliées par le même nombre : c’est ce nombre qu’on appelle le coefficient de proportionnalité.
Vérification numérique : imagine que \(AM = 3\) cm, \(AB = 6\) cm, et \(BC = 8\) cm. Le petit triangle est une réduction de coefficient \(\displaystyle\frac{3}{6} = \displaystyle\frac{1}{2}\).
Alors \(MN\) doit valoir la moitié de \(BC\) : \(MN = \displaystyle\frac{1}{2} \times 8 = 4\) cm. La formule donne bien \(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{MN}{BC}\), c’est-à-dire \(\displaystyle\frac{3}{6} = \displaystyle\frac{4}{8}\). ✓
🟡🔴 Pour les curieux (niveau lycée et prépa). Au lycée, cette réduction porte un nom précis : les deux triangles sont semblables. On démontre alors le théorème à l’aide d’une homothétie de centre \(A\), qui transforme \(B\) en \(M\) et \(C\) en \(N\). En classe préparatoire, on généralise même cette idée à la géométrie affine et projective. Mais au collège, retiens simplement : parallèle = réduction = longueurs proportionnelles.
V. Deux exemples résolus pas à pas
La meilleure façon d’apprendre, c’est de voir une rédaction complète. Voici deux exemples, un de niveau 4ème et un de niveau 3ème.
Exemple 1 (4ème) — Calculer une longueur.
Dans un triangle \(ABC\), \(M\) est sur \([AB]\) et \(N\) sur \([AC]\). On sait que \((MN)\) est parallèle à \((BC)\), et que \(AM = 4\) cm, \(AB = 10\) cm, \(BC = 15\) cm. Calcule \(MN\).
Étape 1 — On cite le théorème. Les points \(A\), \(M\), \(B\) sont alignés ; les points \(A\), \(N\), \(C\) sont alignés ; et \((MN)\) est parallèle à \((BC)\). D’après le théorème de Thalès :
\(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{AN}{AC} = \displaystyle\frac{MN}{BC}\)
Étape 2 — On garde ce qui sert. \(\displaystyle\frac{4}{10} = \displaystyle\frac{MN}{15}\)
Étape 3 — Produit en croix. \(MN = \displaystyle\frac{4 \times 15}{10} = \displaystyle\frac{60}{10} = 6\) cm.
Exemple 2 (3ème) — Une situation de la vie courante.
Un poteau vertical projette une ombre. À 1,20 m du pied du poteau, un piquet de 0,80 m, placé bien droit, touche exactement le rayon de soleil qui passe par le sommet du poteau. Le pied du poteau, le piquet et le bout de l’ombre sont alignés, et l’ombre totale mesure 3 m. Quelle est la hauteur du poteau ?
On obtient deux triangles emboîtés (piquet et poteau). D’après le théorème de Thalès :
\(\displaystyle\frac{0{,}80}{H} = \displaystyle\frac{1{,}20}{3}\)
Donc \(H = \displaystyle\frac{0{,}80 \times 3}{1{,}20} = \displaystyle\frac{2{,}40}{1{,}20} = 2\) m. Le poteau mesure 2 mètres.
Pour t’entraîner sur des dizaines d’énoncés corrigés, file vers les exercices corrigés de 3ème ou les exercices de 4ème.
VI. À quoi sert le théorème de Thalès ?
Le théorème de Thalès est un outil de mesure indirecte : il permet de connaître des longueurs impossibles à mesurer avec une règle. Voici les usages les plus célèbres.
- La hauteur de la pyramide de Khéops. Selon la légende, Thalès l’aurait mesurée grâce à son ombre, sans escalader la pyramide.
- La hauteur d’un arbre ou d’un immeuble à partir de la longueur de son ombre, comme dans l’exemple du poteau.
- La largeur d’une rivière ou la distance jusqu’à un point inaccessible (un bateau au large).
- En technologie et en dessin : agrandir ou réduire un plan tout en gardant les proportions.
Le point commun de tous ces usages : on remplace une longueur inaccessible par un petit triangle facile à mesurer, à condition d’avoir des droites parallèles. C’est tout l’intérêt de Thalès.
VII. Thalès en 4ème, en 3ème et la réciproque
Le théorème de Thalès n’a pas tout à fait le même rôle selon l’année. Voici comment il évolue.
| Niveau | Ce qu’on attend de toi | Outil utilisé |
|---|---|---|
| 4ème | Calculer une longueur dans des triangles emboîtés simples | Théorème de Thalès (sens direct) |
| 3ème | Calculer des longueurs + démontrer que deux droites sont parallèles | Théorème + réciproque + configuration papillon |
| Brevet | Rédiger une démonstration complète et justifiée | Tout Thalès, avec rédaction soignée |
En 3ème apparaît un outil nouveau et très important : la réciproque du théorème de Thalès. Elle fonctionne « à l’envers » : si les longueurs sont proportionnelles (dans le bon ordre), alors les droites sont parallèles. C’est la réciproque qui permet de démontrer un parallélisme.
Ne confonds pas les deux sens. Le théorème direct part du parallélisme pour calculer des longueurs. La réciproque part des longueurs pour prouver le parallélisme. Choisir le mauvais sens est l’erreur n°1 au brevet.
VIII. Exercices corrigés
Voici trois exercices classés du plus simple au plus complet. Essaie de les résoudre seul avant de regarder la correction.
Exercice 1 ★ — Dans le triangle \(ABC\), \(M \in [AB]\) et \(N \in [AC]\) avec \((MN)\) parallèle à \((BC)\). On donne \(AM = 2\) cm, \(MB = 3\) cm et \(MN = 4\) cm. Calcule \(BC\).
Correction. Attention au piège : \(AB = AM + MB = 2 + 3 = 5\) cm. D’après le théorème de Thalès :
\(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{MN}{BC} \quad\Rightarrow\quad \displaystyle\frac{2}{5} = \displaystyle\frac{4}{BC}\)
Par produit en croix : \(BC = \displaystyle\frac{5 \times 4}{2} = 10\) cm.
Exercice 2 ★★ — Deux routes droites partent du même carrefour \(O\). Sur la première, deux panneaux sont placés en \(A\) et \(B\) avec \(OA = 6\) m et \(OB = 15\) m. Sur la seconde, deux panneaux \(C\) et \(D\) avec \(OC = 8\) m et \(OD = 20\) m. Les segments \([AC]\) et \([BD]\) sont-ils parallèles ?
Correction. Ici on cherche à prouver un parallélisme : c’est la réciproque. On compare les deux rapports.
\(\displaystyle\frac{OA}{OB} = \displaystyle\frac{6}{15} = \displaystyle\frac{2}{5}\) et \(\displaystyle\frac{OC}{OD} = \displaystyle\frac{8}{20} = \displaystyle\frac{2}{5}\).
Les points \(O\), \(A\), \(B\) sont alignés ainsi que \(O\), \(C\), \(D\), et dans le même ordre. Comme \(\displaystyle\frac{OA}{OB} = \displaystyle\frac{OC}{OD}\), d’après la réciproque du théorème de Thalès, \((AC)\) est parallèle à \((BD)\). ✓
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Exercice 3 ★★★ (raisonnement) — Léa affirme : « Si \(MN = \displaystyle\frac{1}{3}\,BC\), alors \(M\) est forcément le tiers du segment \([AB]\) en partant de \(A\). » A-t-elle raison ? Justifie.
Correction. À condition que \((MN)\) soit parallèle à \((BC)\), le théorème de Thalès donne \(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{MN}{BC} = \displaystyle\frac{1}{3}\). Donc \(AM = \displaystyle\frac{1}{3}\,AB\) : Léa a raison… mais seulement si le parallélisme est vrai. Sans cette hypothèse, on ne peut rien conclure. C’est une bonne occasion de rappeler que Thalès exige toujours des droites parallèles.
Pour soigner la rédaction attendue au brevet, consulte notre fiche dédiée à la rédaction d’une démonstration avec Thalès.
IX. Erreurs fréquentes et pièges
- Oublier de vérifier le parallélisme. Sans droites parallèles, le théorème direct ne s’applique pas. Cite toujours cette hypothèse.
- Confondre \(AM\) et \(MB\). Dans la formule, on utilise les longueurs complètes \(AB\) et \(AC\), pas les morceaux. Pense à additionner : \(AB = AM + MB\).
- Mélanger les côtés des deux triangles. Range les fractions toujours dans le même ordre (petit triangle au-dessus).
- Mal placer les longueurs en configuration papillon. Le sommet est au milieu : croise bien les correspondances.
- Choisir Thalès au lieu de Pythagore (ou l’inverse). Si tu hésites, lis la fiche Thalès ou Pythagore.
- Oublier l’unité dans la réponse finale. Une longueur s’écrit en cm, m, etc.
X. Questions fréquentes
Quelle est la formule du théorème de Thalès ?
Dans un triangle \(ABC\) avec \(M\) sur \([AB]\), \(N\) sur \([AC]\) et \((MN)\) parallèle à \((BC)\), la formule est : \(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{AN}{AC} = \displaystyle\frac{MN}{BC}\). Ce sont trois fractions égales qui permettent de calculer une longueur inconnue par produit en croix.
Comment savoir si on peut appliquer le théorème de Thalès ?
Il faut deux conditions. D’abord, deux droites qui se croisent en un point (par exemple deux côtés d’un triangle issus du même sommet). Ensuite, deux droites parallèles qui les coupent. Si ces deux conditions sont réunies, tu peux écrire les rapports égaux.
Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?
Le théorème direct part du parallélisme pour calculer des longueurs. La réciproque fait l’inverse : elle part de longueurs proportionnelles (dans le bon ordre) pour démontrer que deux droites sont parallèles. On utilise donc le sens direct pour mesurer, et la réciproque pour prouver un parallélisme.
Quelle est la différence entre Thalès et Pythagore ?
Le théorème de Thalès s’utilise avec des droites parallèles et des triangles emboîtés, pour des longueurs proportionnelles. Le théorème de Pythagore s’utilise dans un triangle rectangle, pour relier les côtés grâce à des carrés de longueurs. Repère l’indice de l’énoncé : « parallèle » → Thalès, « angle droit » → Pythagore.
Le théorème de Thalès est-il au programme du brevet ?
Oui. Thalès et sa réciproque font partie du programme de 3ème et tombent régulièrement au brevet, souvent dans un exercice de géométrie avec une figure à compléter. La rédaction soignée de la démonstration rapporte des points : cite toujours les hypothèses avant de calculer.
Qu'est-ce que la configuration papillon ?
C’est une figure où deux triangles sont opposés par le sommet, comme les ailes d’un papillon, avec deux droites parallèles de part et d’autre du point d’intersection. La formule de Thalès reste valable, mais il faut faire très attention à la correspondance des longueurs gauche/droite.
XI. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’essentiel du théorème de Thalès. Continue avec les pages du cocon :
- ✏️ Exercices corrigés de 3ème (spécial brevet) — 10 exercices gradués avec corrigés rédigés.
- → La réciproque de Thalès — pour démontrer que deux droites sont parallèles.
- ✏️ Exercices corrigés de 4ème — pour débuter en douceur.
- → Rédiger une démonstration au brevet — la méthode en 4 étapes.
- → Thalès ou Pythagore ? — l’arbre de décision pour ne plus te tromper.
- → La configuration papillon — le cas qui piège les élèves.
Vers le lycée et la prépa. Au lycée, Thalès devient l’étude des triangles semblables, puis des homothéties en Première et en classe préparatoire. La même idée de proportionnalité te suivra donc longtemps.
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