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Quand tu agrandis une photo sur ton téléphone avec deux doigts, tu fais des maths sans le savoir. L’image grandit, mais elle garde exactement la même forme : les visages ne sont pas déformés, juste plus grands. C’est ça, un agrandissement. Et quand tu lis une carte routière, c’est l’inverse : la réalité a été réduite pour tenir sur une feuille. Dans cet article, tu vas apprendre à reconnaître un agrandissement d’une réduction, à calculer le fameux rapport \(k\), et surtout à comprendre pourquoi les aires et les volumes ne grandissent pas comme les longueurs. En classe, agrandir ou réduire une figure correspond à une transformation précise : l’homothétie, dont nous reprenons ici les conséquences sur les mesures.
Agrandissement et réduction : de quoi parle-t-on ?
Agrandir ou réduire une figure, c’est multiplier toutes ses longueurs par un même nombre. Ce nombre s’appelle le rapport (ou le coefficient). On le note souvent \(k\). La nouvelle figure a la même forme que celle de départ : c’est une copie conforme, juste plus grande ou plus petite.
Définition — Agrandissement et réduction
Une figure est un agrandissement ou une réduction d’une autre figure lorsque toutes ses longueurs sont obtenues en multipliant les longueurs de la figure de départ par un même nombre positif \(k\), appelé rapport.
- Si \(k\) > \(1\) : c’est un agrandissement.
- Si \(0\) < \(k\) < \(1\) : c’est une réduction.
Pendant un agrandissement ou une réduction, la forme ne change pas : les angles sont conservés, et les côtés parallèles restent parallèles. Seule la taille change. C’est exactement ce qui se passe avec une homothétie, la transformation que tu étudies en parallèle en 3ème.
Exemple : Une affiche mesure 30 cm de large. On l’agrandit pour qu’elle mesure 90 cm de large.
Le rapport est \(k = \displaystyle\frac{90}{30} = 3\). Toutes les longueurs sont multipliées par 3 : la hauteur, mais aussi la taille des lettres et des dessins. Comme \(k\) > \(1\), c’est bien un agrandissement.
Agrandissement ou réduction : comment les reconnaître ?
Tout se joue sur la valeur du rapport \(k\). Pour savoir si tu agrandis ou si tu réduis, il suffit de comparer \(k\) à 1.
| Valeur du rapport \(k\) | Type de transformation | Ce qui se passe |
|---|---|---|
| \(k\) > \(1\) | Agrandissement | La figure devient plus grande |
| \(k = 1\) | Aucun changement | La figure garde la même taille |
| \(0\) < \(k\) < \(1\) | Réduction | La figure devient plus petite |
Le réflexe : calcule le rapport avec \(k = \displaystyle\frac{\text{nouvelle longueur}}{\text{ancienne longueur}}\). Si le résultat est plus grand que 1, tu agrandis. S’il est plus petit que 1 (comme \(\displaystyle\frac{1}{2}\) ou \(0{,}4\)), tu réduis.
Une réduction s’écrit souvent sous forme de fraction, par exemple \(k = \displaystyle\frac{1}{4}\), ou en nombre décimal, \(k = 0{,}25\). C’est la même chose. Tu retrouveras cette idée de réduction quand tu travailleras sur les échelles d’une carte, qui sont toujours des réductions.
L’effet sur les longueurs, les aires et les volumes
Voici le point le plus important du chapitre, et aussi celui qui piège le plus d’élèves. Quand on agrandit une figure avec un rapport \(k\), les longueurs, les aires et les volumes ne sont pas multipliés par le même nombre.
Propriété — Effet d’un rapport \(k\)
- Les longueurs sont multipliées par \(k\).
- Les aires sont multipliées par \(k^2\).
- Les volumes sont multipliés par \(k^3\).
Pourquoi l’aire est-elle multipliée par \(k^2\) et pas par \(k\) ? Vérifions-le sur un exemple simple. Prenons un rectangle de longueur 5 cm et de largeur 3 cm. Son aire vaut \(5 \times 3 = 15\) cm². Agrandissons-le avec un rapport \(k = 2\) : la longueur devient \(5 \times 2 = 10\) cm et la largeur \(3 \times 2 = 6\) cm.
La nouvelle aire vaut \(10 \times 6 = 60\) cm². Or \(60 = 15 \times 4 = 15 \times 2^2\). L’aire a bien été multipliée par \(2^2 = 4\), et non par 2 : chaque côté multiplié par 2, ça fait \(2 \times 2 = 4\) pour l’aire.
Le même raisonnement avec une dimension de plus (la profondeur) explique pourquoi les volumes sont multipliés par \(k^3\) : trois longueurs sont multipliées par \(k\), ce qui donne \(k \times k \times k = k^3\).
Exemple : Un cube a un volume de 8 cm³. On l’agrandit avec un rapport \(k = 3\). Quel est le nouveau volume ?
Le volume est multiplié par \(k^3 = 3^3 = 27\).
Nouveau volume : \(8 \times 27 = 216\) cm³.
Le mémo à retenir : 1 dimension pour les longueurs (\(k\)), 2 dimensions pour les aires (\(k^2\)), 3 dimensions pour les volumes (\(k^3\)). L’exposant correspond au nombre de dimensions.
La fiche mémo Agrandissement & Réduction
L’essentiel sur une page : le rapport k, l’effet sur les longueurs (k), les aires (k²) et les volumes (k³), avec des exemples chiffrés.
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Méthode : calculer le rapport k
Dans beaucoup d’exercices, on ne te donne pas directement le rapport : on te donne deux figures (l’originale et son image) et on te demande de retrouver \(k\). C’est simple si tu suis ces étapes.
- Repère deux longueurs qui se correspondent : un côté de la figure de départ et le côté correspondant de la nouvelle figure.
- Calcule la division : \(k = \displaystyle\frac{\text{longueur de l’image}}{\text{longueur de départ}}\).
- Compare à 1 pour conclure : agrandissement si \(k\) > \(1\), réduction si \(k\) < \(1\).
Exemple : Un triangle a un côté de 4 cm. Dans la figure image, ce côté mesure 6 cm. Calcule le rapport.
\(k = \displaystyle\frac{6}{4} = \displaystyle\frac{3}{2} = 1{,}5\)
Comme \(1{,}5\) > \(1\), c’est un agrandissement de rapport \(1{,}5\).
Cette division n’est rien d’autre qu’une situation de proportionnalité : c’est la même logique que la fameuse « règle de 3 ». Toutes les longueurs de l’image sont proportionnelles à celles du départ, et le coefficient de proportionnalité, c’est précisément \(k\). Quand le rapport est caché dans une configuration de triangles, c’est souvent le théorème de Thalès qui permet de le retrouver grâce aux triangles semblables.
Exercices corrigés
Passons à la pratique. Essaie chaque exercice seul avant de lire la correction.
Exercice 1 — Reconnaître. Une figure de départ a un côté de 8 cm. Son image a un côté de 2 cm. Agrandissement ou réduction ? Donne le rapport.
Correction : \(k = \displaystyle\frac{2}{8} = \displaystyle\frac{1}{4} = 0{,}25\). Comme \(k\) < \(1\), c’est une réduction de rapport \(\displaystyle\frac{1}{4}\).
Exercice 2 — Aire après agrandissement. Un triangle a une aire de 12 cm². On l’agrandit avec un rapport \(k = 4\). Quelle est l’aire de l’image ?
Correction : L’aire est multipliée par \(k^2 = 4^2 = 16\).
Nouvelle aire : \(12 \times 16 = 192\) cm².
Attention à ne pas répondre \(12 \times 4 = 48\) : ce serait l’erreur classique.
Exercice 3 — Retrouver le rapport, puis le volume. Une boîte cubique a une arête de 5 cm et un volume de 125 cm³. On en fabrique une plus petite dont l’arête mesure 2,5 cm.
a) Quel est le rapport de réduction ?
b) Quel est le volume de la petite boîte ?
Correction :
a) \(k = \displaystyle\frac{2{,}5}{5} = \displaystyle\frac{1}{2} = 0{,}5\). Comme \(k\) < \(1\), c’est bien une réduction.
b) Le volume est multiplié par \(k^3 = \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3 = \displaystyle\frac{1}{8}\).
Nouveau volume : \(125 \times \displaystyle\frac{1}{8} = 15{,}625\) cm³.
Exercice 4 — Raisonnement. Léa affirme : « J’ai agrandi mon dessin, son aire a été multipliée par 9. Donc j’ai multiplié les longueurs par 9. » A-t-elle raison ?
Correction : Non. Si l’aire est multipliée par 9, alors \(k^2 = 9\). Il faut trouver le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 9 : c’est 3, car \(3^2 = 9\). Léa a donc multiplié les longueurs par 3, pas par 9. Le rapport est \(k = 3\).
Les erreurs à éviter
Trois pièges reviennent à presque chaque contrôle. Si tu les évites, tu gagnes déjà des points faciles.
Erreur n°1 — Multiplier l’aire par \(k\) au lieu de \(k^2\).
❌ « Aire ×3 si le rapport est 3 ».
Diagnostic : on oublie que l’aire a deux dimensions.
✅ L’aire est multipliée par \(k^2 = 3^2 = 9\), et le volume par \(k^3 = 27\).
Erreur n°2 — Inverser la division pour trouver \(k\).
Le rapport, c’est toujours \(k = \displaystyle\frac{\text{image}}{\text{départ}}\), dans cet ordre. Inverser donne le rapport de la transformation contraire (et fait passer un agrandissement pour une réduction).
Erreur n°3 — Croire que les angles changent.
Lors d’un agrandissement ou d’une réduction, les angles ne bougent jamais. Seules les longueurs changent. La forme reste identique.
Questions fréquentes
Comment savoir si c'est un agrandissement ou une réduction ?
Calcule le rapport \(k\) en divisant une longueur de la nouvelle figure par la longueur correspondante de la figure de départ. Si \(k\) est plus grand que 1, c’est un agrandissement. S’il est compris entre 0 et 1 (comme \(\displaystyle\frac{1}{2}\) ou 0,3), c’est une réduction.
Comment calculer le rapport k de réduction ?
On utilise la formule \(k = \displaystyle\frac{\text{longueur de l’image}}{\text{longueur de départ}}\). Par exemple, si un segment de 10 cm devient 4 cm, alors \(k = \displaystyle\frac{4}{10} = 0{,}4\). Comme c’est inférieur à 1, il s’agit bien d’une réduction.
Pourquoi multiplie-t-on l'aire par k² et pas par k ?
Parce qu’une aire dépend de deux longueurs (par exemple une longueur et une largeur). Chacune est multipliée par \(k\), donc l’aire est multipliée par \(k \times k = k^2\). Pour la même raison, un volume dépend de trois longueurs et est donc multiplié par \(k^3\).
Quelle est la différence entre agrandissement-réduction et homothétie ?
C’est presque la même chose. Une homothétie est la transformation précise qui réalise un agrandissement ou une réduction, à partir d’un point fixe appelé centre. L’agrandissement-réduction décrit surtout l’effet sur les tailles (longueurs, aires, volumes), tandis que l’homothétie précise aussi la position de l’image grâce au centre et au rapport.
C'est quoi la règle de 3 ?
La règle de 3 est une méthode de proportionnalité : à partir de trois valeurs connues, on en trouve une quatrième. Dans les agrandissements, elle sert à retrouver une longueur manquante, car toutes les longueurs sont proportionnelles, avec le rapport \(k\) comme coefficient de proportionnalité.
Les angles changent-ils lors d'un agrandissement ?
Non, jamais. Un agrandissement ou une réduction conserve les angles et la forme générale de la figure. Seules les longueurs sont multipliées par le rapport \(k\). C’est pour cela que l’image ressemble parfaitement à l’originale, en plus grand ou plus petit.
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant reconnaître un agrandissement, calculer le rapport \(k\) et appliquer l’effet \(k\), \(k^2\), \(k^3\) sur les longueurs, les aires et les volumes. Pour continuer ton apprentissage :
- Le cours complet sur l’homothétie, la transformation qui réalise les agrandissements et réductions.
- Construire une homothétie pas à pas, y compris avec un rapport négatif.
- Des exercices d’homothétie corrigés pour t’entraîner avant le contrôle.
- Les échelles en maths, qui sont des réductions vues dès la 5ème.
Tu veux progresser plus vite et gagner en confiance en maths ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour le collège, avec un accompagnement sur-mesure et bienveillant.
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