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Un développement limité est une approximation polynomiale d’une fonction au voisinage d’un point : on remplace une fonction compliquée par un polynôme qui la « colle » à un ordre donné. C’est l’un des outils les plus puissants de l’analyse en CPGE. Il transforme les limites indéterminées en simples lectures de coefficients, fournit les équivalents, détecte les asymptotes et précise la position d’une courbe par rapport à sa tangente. Au programme de première année et omniprésent aux concours, ce chapitre repose sur les formules de Taylor. Tu trouveras ici les définitions, les trois formules de Taylor comparées, les DL usuels, la méthode de calcul, des exercices corrigés et une FAQ.
I. Qu’est-ce qu’un développement limité ?
Avant la définition formelle, situons le chapitre. L’idée de remplacer une fonction par un polynôme n’est pas récente : James Gregory manipule des séries dès 1671, Brook Taylor publie sa formule en 1715, Joseph-Louis Lagrange donne en 1799 une forme contrôlée du reste, et c’est au XXe siècle que William Henry Young formalise la version locale qui sert de socle aux développements limités. Cette filiation historique éclaire la structure du chapitre : un même objet (le polynôme de Taylor) avec plusieurs façons de mesurer l’erreur commise.
A. L’intuition : approcher localement par un polynôme
Au voisinage de \(0\), la fonction \(x \mapsto e^x\) est presque égale à \(1\), puis à \(1+x\), puis à \(1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2}\), et ainsi de suite. Chaque polynôme ajoute une « décimale » de précision. Plus l’ordre augmente, plus l’approximation est fine au voisinage du point. Un développement limité formalise cette idée : on cherche le meilleur polynôme d’un degré donné qui approche la fonction, et on contrôle l’erreur.
B. Définition formelle
Définition — Développement limité à l’ordre \(n\)
Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(0\) (sauf peut-être en \(0\)) et \(n \in \mathbb{N}\). On dit que \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\) en \(0\) s’il existe des réels \(a_0, a_1, \dots, a_n\) tels que, au voisinage de \(0\),
\(f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + o(x^n).\)
Le polynôme \(a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\) est la partie régulière du DL ; le terme \(o(x^n)\) est le reste.
Pour un développement en un point \(a\) quelconque, on pose \(h = x – a\) et l’on écrit \(f(a+h) = a_0 + a_1 h + \cdots + a_n h^n + o(h^n)\). On se ramène donc toujours à un développement en \(0\) par translation. Lorsque le développement est en \(0\), on parle aussi de formule de Maclaurin.
Propriété clé — Unicité. Si \(f\) admet un DL à l’ordre \(n\) en \(0\), alors sa partie régulière est unique. Conséquence pratique : on peut calculer un DL par n’importe quelle méthode (Taylor, opérations, substitution), le résultat sera toujours le même. Autre conséquence : si \(f\) est paire, sa partie régulière ne contient que des puissances paires ; si \(f\) est impaire, que des puissances impaires.
C. Notation de Landau : petit o et grand O
Tout repose sur les symboles de Landau, qui mesurent « à quelle vitesse » une quantité tend vers \(0\) devant une autre. Maîtriser ces notations est non négociable pour rédiger proprement un DL.
Définition — Petit o et grand O en \(0\)
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies au voisinage de \(0\), avec \(g\) ne s’annulant pas (sauf peut-être en \(0\)).
- \(f = o(g)\) au voisinage de \(0\) signifie : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} = 0\). On dit que \(f\) est négligeable devant \(g\).
- \(f = O(g)\) au voisinage de \(0\) signifie : \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) est bornée au voisinage de \(0\). On dit que \(f\) est dominée par \(g\).
Ainsi \(x^3 = o(x^2)\) en \(0\) car \(x^3 / x^2 = x \to 0\) : plus l’exposant est grand, plus le terme est négligeable près de \(0\). Les règles de calcul à retenir : \(o(x^n) + o(x^n) = o(x^n)\), \(x^p \cdot o(x^q) = o(x^{p+q})\), et \(o(o(x^n)) = o(x^n)\). Ces règles justifient les troncatures lors des opérations sur les DL.
Erreur classique : écrire \(o(x^2) – o(x^2) = 0\). C’est faux. Deux restes \(o(x^2)\) sont des fonctions différentes ; leur différence reste un \(o(x^2)\), pas zéro. Le symbole \(o(x^2)\) désigne une classe de fonctions négligeables, jamais une valeur fixée.
II. Les trois formules de Taylor
D’où viennent les développements limités ? Des formules de Taylor, qui fournissent explicitement les coefficients \(a_k\) à partir des dérivées successives de \(f\). Il existe trois versions, qui diffèrent par la façon de contrôler le reste. C’est la source de confusion la plus fréquente du chapitre : voici un tableau comparatif que tu ne trouveras nulle part ailleurs, suivi de chaque formule.
A. La formule de Taylor-Young (reste local)
Théorème — Taylor-Young
Soit \(f\) une fonction \(n\) fois dérivable en \(a\). Alors, au voisinage de \(a\),
\(f(a+h) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\, h^k + o(h^n).\)
Le reste est de nature locale : on sait seulement qu’il est négligeable devant \(h^n\), sans majoration explicite.
C’est la formule qui fonde directement les développements limités : tout DL d’une fonction suffisamment régulière s’obtient par Taylor-Young. Sa démonstration complète et ses applications sont détaillées sur la page dédiée formule de Taylor-Young.
B. L’inégalité de Taylor-Lagrange (reste global majoré)
Théorème — Inégalité de Taylor-Lagrange
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) sur un intervalle contenant \(a\) et \(x\), avec \(\left| f^{(n+1)} \right| \leq M\) sur cet intervalle. Alors
\(\left| f(x) – \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k \right| \leq M\,\displaystyle\frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}.\)
Ici, le reste est contrôlé globalement sur tout l’intervalle, pas seulement au voisinage du point. C’est l’outil des approximations numériques et des majorations d’erreur. Démonstration et exemples chiffrés sur la page inégalité de Taylor-Lagrange.
C. La formule de Taylor avec reste intégral (forme exacte)
Théorème — Taylor avec reste intégral
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) sur un intervalle contenant \(a\) et \(x\). Alors
\(f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k + \int_a^x \displaystyle\frac{(x-t)^n}{n!}\, f^{(n+1)}(t)\, dt.\)
Le reste est ici une égalité exacte, exprimée par une intégrale.
Cette forme se démontre par intégrations par parties successives et entraîne les deux autres. C’est la plus précise mais aussi la plus exigeante en hypothèses.
D. Tableau comparatif des trois formules
| Formule | Hypothèse minimale | Forme du reste | Portée | Usage typique |
|---|---|---|---|---|
| Taylor-Young | \(f\) \(n\) fois dérivable en \(a\) | \(o\!\left((x-a)^n\right)\) | Locale (au voisinage de \(a\)) | Développements limités, limites, équivalents |
| Taylor-Lagrange | \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) | Majoration \(M\,\displaystyle\frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}\) | Globale (sur l’intervalle) | Approximations numériques, majoration d’erreur |
| Reste intégral | \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) | \(\displaystyle\int_a^x \displaystyle\frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\,dt\) | Exacte (égalité) | Démonstrations fines, calcul exact du reste |
Confusion à éviter : Taylor-Young donne un reste \(o(h^n)\), jamais un reste intégral. Inversement, on parle de l’inégalité de Taylor-Lagrange (une majoration), à ne pas confondre avec l’égalité de Taylor-Lagrange \(f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \displaystyle\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\) où \(c\) est un point intermédiaire. Et « Taylor-Laplace » n’existe pas : c’est une déformation de « reste intégral ».
La fiche de révision « Développements limités » au format PDF
Les trois formules de Taylor, tous les DL usuels et la méthode de calcul réunis sur une fiche claire, prête à imprimer pour tes révisions de concours.
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III. Partie régulière, reste et DL usuels
Taylor-Young appliqué aux fonctions de référence fournit les développements limités usuels, qu’il faut connaître par cœur car ils servent de briques à tous les calculs. La transition est directe : prendre \(a=0\) dans Taylor-Young donne le DL de chaque fonction usuelle.
A. Terminologie : partie régulière et reste
Dans \(f(x) = \underbrace{a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n}_{\text{partie régulière}} + \underbrace{o(x^n)}_{\text{reste}}\), la partie régulière est le polynôme exploitable, le reste mesure l’erreur. Le premier coefficient non nul après \(a_0\) donne l’équivalent de \(f – a_0\) : c’est le pont vers les équivalents usuels.
B. Les DL usuels à connaître en 0
| Fonction | DL à l’ordre \(n\) en \(0\) |
|---|---|
| \(e^x\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{x^k}{k!} + o(x^n) = 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2} + \cdots\) |
| \(\cos x\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^{p} \displaystyle\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2p+1})\) |
| \(\sin x\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^{p} \displaystyle\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2p+2})\) |
| \(\ln(1+x)\) | \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{(-1)^{k-1} x^k}{k} + o(x^n) = x – \displaystyle\frac{x^2}{2} + \displaystyle\frac{x^3}{3} – \cdots\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{1-x}\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} x^k + o(x^n) = 1 + x + x^2 + \cdots\) |
| \((1+x)^\alpha\) | \(\displaystyle 1 + \sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}\, x^k + o(x^n)\) |
Le tableau complet (14 fonctions, avec les démonstrations groupées par famille et les astuces mnémotechniques) figure sur la page DL des fonctions usuelles.
Exemple : retrouver le DL de \(\cos x\) à l’ordre \(4\) par Taylor-Young.
On a \(\cos(0)=1\), \(\cos^\prime = -\sin\) donc \(\cos^\prime(0)=0\), \(\cos^{\prime\prime}(0)=-1\), \(\cos^{(3)}(0)=0\), \(\cos^{(4)}(0)=1\). D’où
\(\cos x = 1 – \displaystyle\frac{x^2}{2} + \displaystyle\frac{x^4}{24} + o(x^4).\)
IV. Méthodes de calcul d’un développement limité
Connaître les DL usuels ne suffit pas : il faut savoir les combiner. Quatre opérations structurent tous les calculs. On expose ici les principes ; la technique détaillée, avec les DL composés de niveau concours, est traitée sur la page méthode pour calculer un DL.
A. Somme, produit, quotient
La règle d’or : on tronque toujours à l’ordre le plus bas. Pour une somme, on additionne les parties régulières et l’on garde le plus grand reste. Pour un produit, on développe puis on ne garde que les termes de degré \(\leq n\). Pour un quotient, on divise selon les puissances croissantes ou l’on multiplie par le DL de \(\displaystyle\frac{1}{1+u}\).
Exemple : DL de \(e^x \cos x\) à l’ordre \(2\).
\(e^x = 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\) et \(\cos x = 1 – \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\). Produit, en gardant les termes \(\leq 2\) :
\(e^x \cos x = 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2} – \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2) = 1 + x + o(x^2).\)
B. Composition et substitution
Pour \(f \circ g\) avec \(g(0)=0\), on substitue le DL de \(g\) dans celui de \(f\), en surveillant les ordres. C’est l’étape la plus délicate (DL de \(e^{\sin x}\), \(\ln(1+\cos x)\)…), traitée en profondeur dans la page méthode.
Piège du produit : oublier de tronquer. En multipliant deux DL à l’ordre \(3\), des termes de degré \(4\), \(5\), \(6\) apparaissent — ils sont absorbés par le reste \(o(x^3)\) et ne doivent surtout pas figurer dans la réponse. Garder ces termes parasites est l’erreur la plus sanctionnée en colle.
V. À quoi servent les développements limités ?
Toute la puissance du chapitre tient dans une chaîne logique unifiée, rarement explicitée par les manuels : un DL fournit un équivalent, qui lève une limite indéterminée, qui détecte une asymptote ou précise une position de courbe. Détaillons chaque maillon.
A. Lever une forme indéterminée
Exemple : calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{e^x – 1 – x}{x^2}\) (forme \(\displaystyle\frac{0}{0}\)).
Avec \(e^x = 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\), on a \(e^x – 1 – x = \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)\). Donc
\(\displaystyle\frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \displaystyle\frac{1}{2} + o(1) \longrightarrow \displaystyle\frac{1}{2}.\)
B. Obtenir un équivalent
Le premier terme non nul de la partie régulière donne l’équivalent. Ainsi \(e^x – 1 – x \sim \displaystyle\frac{x^2}{2}\) en \(0\). C’est le lien direct avec les équivalents usuels, qui permettent souvent un calcul plus rapide pour les limites simples.
C. Tangente, position de courbe et asymptote
Le DL à l’ordre \(1\) donne l’équation de la tangente ; le terme suivant donne la position locale de la courbe par rapport à elle (au-dessus ou en dessous selon le signe). En posant \(u = \displaystyle\frac{1}{x}\), un DL en \(0\) détecte une asymptote oblique en \(\pm\infty\) et la position de la courbe vis-à-vis de cette asymptote.
Choix de l’ordre. Pour une limite, développe jusqu’au premier terme non nul du numérateur ET du dénominateur. Pour une tangente : ordre \(1\). Pour la position courbe/tangente : ordre \(2\). Pour une asymptote oblique avec position : ordre \(1\) en \(u = 1/x\) puis le terme suivant.
VI. Exercices corrigés
Place à la pratique. Ces exercices couvrent les usages fondamentaux ; un entraînement complet de niveau X/ENS, avec DL composés rédigés, t’attend sur la page exercices corrigés sur les développements limités.
Exercice 1 (★). Déterminer le DL à l’ordre \(3\) en \(0\) de \(f(x) = \ln(1+x) + \sin x\).
Correction. \(\ln(1+x) = x – \displaystyle\frac{x^2}{2} + \displaystyle\frac{x^3}{3} + o(x^3)\) et \(\sin x = x – \displaystyle\frac{x^3}{6} + o(x^3)\). On somme :
\(f(x) = 2x – \displaystyle\frac{x^2}{2} + \left(\displaystyle\frac{1}{3} – \displaystyle\frac{1}{6}\right)x^3 + o(x^3) = 2x – \displaystyle\frac{x^2}{2} + \displaystyle\frac{x^3}{6} + o(x^3).\)
Exercice 2 (★★). Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\sin x – x}{x^3}\).
Correction. \(\sin x = x – \displaystyle\frac{x^3}{6} + o(x^3)\), donc \(\sin x – x = -\displaystyle\frac{x^3}{6} + o(x^3)\). Ainsi
\(\displaystyle\frac{\sin x – x}{x^3} = -\displaystyle\frac{1}{6} + o(1) \longrightarrow -\displaystyle\frac{1}{6}.\)
La règle de L’Hôpital exigerait trois dérivations ; le DL donne le résultat en une ligne.
Exercice 3 (★★). Donner l’équation de la tangente à \(g(x) = \sqrt{1+x}\) en \(0\) et préciser la position de la courbe.
Correction. Avec \((1+x)^{1/2} = 1 + \displaystyle\frac{x}{2} – \displaystyle\frac{x^2}{8} + o(x^2)\), la tangente a pour équation \(y = 1 + \displaystyle\frac{x}{2}\). Le terme suivant \(-\displaystyle\frac{x^2}{8}\) est négatif au voisinage de \(0\) : la courbe est en dessous de sa tangente.
Exercice 4 (★★★). Déterminer le DL à l’ordre \(2\) en \(0\) de \(h(x) = e^{\sin x}\) (composition).
Correction. On pose \(u = \sin x = x + o(x^2)\) (le terme en \(x^3\) est inutile à l’ordre \(2\)). Comme \(e^u = 1 + u + \displaystyle\frac{u^2}{2} + o(u^2)\) et \(u^2 = x^2 + o(x^2)\) :
\(e^{\sin x} = 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2).\)
Remarque correcteur : ici \(\sin x\) et \(e^x\) coïncident à l’ordre \(2\) car la première différence apparaît au degré \(3\). À l’ordre \(3\), les développements diffèrent.
VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Quatre erreurs reviennent systématiquement en colle et en concours. Les identifier à l’avance, c’est gagner des points faciles.
1. Développer à un ordre insuffisant. Pour \(\displaystyle\frac{\sin x – x}{x^3}\), s’arrêter à l’ordre \(1\) donne \(\displaystyle\frac{0}{x^3}\) : indétermination non levée. Il faut atteindre le premier terme non nul, donc l’ordre \(3\).
2. Composer avec \(g(0) \neq 0\). On ne peut substituer \(u = g(x)\) dans le DL de \(f\) en \(0\) que si \(g(x) \to 0\). Sinon, il faut développer \(f\) au point \(g(0)\), pas en \(0\).
3. Confondre DL et série de Taylor. Un DL est une égalité locale à un ordre fini avec un reste \(o(x^n)\). Une série de Taylor est une somme infinie dont la convergence vers \(f\) n’est pas automatique. Toute fonction de classe \(\mathcal{C}^\infty\) a des DL à tout ordre, sans pour autant être somme de sa série de Taylor.
4. Garder le reste après une opération malheureuse. Multiplier un DL par \(\displaystyle\frac{1}{x}\) dégrade l’ordre : si \(f(x) = o(x^n)\), alors \(\displaystyle\frac{f(x)}{x} = o(x^{n-1})\). On perd un ordre à chaque division par \(x\) — il faut le prévoir en développant un cran plus loin au départ.
VIII. Pour aller plus loin : DL en plusieurs variables
Au-delà de la première année, la formule de Taylor se généralise aux fonctions de plusieurs variables (niveau L2/L3). Pour \(f(x,y)\) de classe \(\mathcal{C}^2\) au voisinage de \((a,b)\), le développement à l’ordre \(2\) fait intervenir le gradient et la matrice hessienne :
\(f(a+h, b+k) = f(a,b) + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}h + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}k + \displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}h^2 + 2\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}hk + \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}k^2\right) + o(h^2+k^2).\)C’est l’outil de l’étude des extrema locaux. Le principe reste identique : approcher localement par un polynôme, ici à plusieurs variables.
IX. Questions fréquentes
Comment calculer un développement limité ?
Trois voies : appliquer directement la formule de Taylor-Young (calcul des dérivées successives au point), ou — bien plus rapide — combiner les DL usuels par somme, produit, quotient et composition en tronquant systématiquement à l’ordre voulu. La méthode par opérations est presque toujours préférable en pratique. Le point délicat est de choisir le bon ordre dès le départ et de surveiller les pertes d’ordre lors des divisions.
Quel est le DL de cos(x) en 0 ?
À l’ordre 4, on a \(\cos x = 1 – \displaystyle\frac{x^2}{2} + \displaystyle\frac{x^4}{24} + o(x^4)\). Plus généralement, \(\cos x = \displaystyle\sum_{k=0}^{p}\displaystyle\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2p+1})\) : la fonction étant paire, seules les puissances paires apparaissent, avec des signes alternés.
Quelle est la formule de Taylor-Young ?
Si \(f\) est \(n\) fois dérivable en \(a\), alors au voisinage de \(a\) : \(f(a+h) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k + o(h^n)\). C’est la formule qui fonde les développements limités : son reste est purement local (négligeable devant \(h^n\)), sans majoration explicite.
À quoi sert un développement limité ?
Principalement à lever des formes indéterminées dans les limites, à obtenir des équivalents, à déterminer l’équation d’une tangente et la position d’une courbe par rapport à elle, et à détecter des asymptotes obliques. C’est l’outil central de l’analyse locale en CPGE.
Comment faire un DL en un point a différent de 0 ?
On effectue le changement de variable \(h = x – a\), de sorte que \(h \to 0\) quand \(x \to a\). On développe alors \(f(a+h)\) comme un DL classique en \(0\) par rapport à \(h\), puis on revient éventuellement à \(x\) en remplaçant \(h\) par \(x-a\). Tout DL se ramène ainsi à un DL en 0.
Quelle est la différence entre développement limité et série de Taylor ?
Un développement limité est une approximation locale et finie : un polynôme de degré \(n\) plus un reste \(o(x^n)\), valable au voisinage d’un point. Une série de Taylor est une somme infinie dont la convergence vers la fonction n’est pas garantie. Une fonction peut admettre des DL à tout ordre sans être égale à sa série de Taylor — l’exemple classique est \(x \mapsto e^{-1/x^2}\) prolongée par 0.
Quelle différence entre Taylor-Young et Taylor-Lagrange ?
Taylor-Young donne un reste local \(o((x-a)^n)\), sans contrôle quantitatif : on sait seulement qu’il est petit près du point. Taylor-Lagrange donne une majoration explicite du reste sur tout un intervalle, ce qui permet des estimations numériques d’erreur. Young sert aux DL et aux limites ; Lagrange sert aux approximations chiffrées.
X. Cours connexes
Tu maîtrises maintenant les fondements des développements limités. Pour approfondir chaque aspect :
- Formule de Taylor-Young : énoncé et démonstration
- Inégalité de Taylor-Lagrange et majoration du reste
- DL des fonctions usuelles : tableau complet
- Équivalents usuels en 0
- Méthode : calculer un développement limité
- Exercices corrigés sur les DL (niveau concours)
- Dérivées successives d’une fonction
- Intégration par parties
