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Tu veux agrandir un dessin pour qu’il soit deux fois plus grand, ou au contraire le réduire de moitié ? C’est exactement ce que fait une homothétie de rapport \(k\). Si tu as besoin de revoir d’abord ce qu’est une homothétie, sa définition et ses propriétés, commence par le cours complet sur l’homothétie. Dans cette fiche méthode, tu vas apprendre à construire l’image d’un point pas à pas, à reconnaître les différents cas selon la valeur de \(k\), et à éviter les erreurs classiques au brevet.
La règle de l’homothétie de rapport k
Avant de construire, il faut bien comprendre ce que veut dire « image d’un point par une homothétie ». Tout repose sur deux ingrédients : un point fixe appelé le centre, et un nombre appelé le rapport.
Définition — Homothétie de centre O et de rapport k
On se donne un point \(O\) (le centre) et un nombre \(k\) (le rapport). L’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) est la transformation qui à chaque point \(A\) associe le point \(A’\) tel que :
- les points \(O\), \(A\) et \(A’\) sont alignés ;
- la longueur \(OA’\) est égale à \(OA\) multipliée par le nombre \(k\) (en valeur), c’est-à-dire \(OA’ = k \times OA\) quand \(k\) est positif ;
- le signe de \(k\) indique de quel côté de \(O\) se trouve \(A’\).
La « règle de l’homothétie » tient donc en une phrase : on suit la droite qui part du centre, et on multiplie la distance par le rapport. Cette idée de multiplication par un même nombre est aussi celle des vecteurs colinéaires : on dit que les vecteurs \(OA’\) et \(OA\) sont colinéaires de coefficient \(k\) (tu verras cette écriture en Seconde).
Le réflexe à garder : dans une homothétie, le centre \(O\) ne bouge jamais. Son image est lui-même. Tout le reste s’éloigne ou se rapproche de \(O\) selon la valeur de \(k\).
Les différents types d’homothétie selon le rapport k
La valeur de \(k\) change complètement l’effet de l’homothétie. C’est ce qui permet de savoir, avant même de construire, si la figure va grandir, rapetisser, ou basculer de l’autre côté du centre.
| Valeur de \(k\) | Effet sur la figure | Position de l’image |
|---|---|---|
| \(k\) > \(1\) (ex : \(2\) ; \(3\)) | Agrandissement | Même côté que \(O\) |
| \(k = 1\) | Aucun changement (identité) | La figure ne bouge pas |
| \(0\) < \(k\) < \(1\) (ex : \(\displaystyle\frac{1}{2}\)) | Réduction | Même côté que \(O\) |
| \(k = -1\) | Symétrie centrale de centre \(O\) | De l’autre côté de \(O\), même taille |
| \(k\) < \(0\) (ex : \(-2\)) | Agrandissement ou réduction + retournement | De l’autre côté de \(O\) |
La fiche méthode « Construire une homothétie » en PDF
Les 4 étapes de construction, tous les cas selon le rapport k et les pièges à éviter, sur une fiche recto-verso à imprimer.
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Tu remarques un cas spécial : quand \(k = -1\), l’homothétie est en réalité une symétrie centrale. L’homothétie n’est donc pas une transformation isolée : elle fait partie de la famille des transformations du plan, à côté de la translation, de la rotation et des symétries.
| Transformation | Ce qu’elle fait | La taille change ? |
|---|---|---|
| Translation | Glisse la figure dans une direction | Non |
| Symétrie axiale | Effet miroir par rapport à une droite | Non |
| Symétrie centrale | Demi-tour autour d’un point | Non |
| Rotation | Tourne autour d’un point d’un certain angle | Non |
| Homothétie | Agrandit ou réduit depuis un centre | Oui (sauf si \(k = 1\) ou \(k = -1\)) |
Pour choisir : si l’énoncé te demande de changer la taille d’une figure (deux fois plus grande, moitié plus petite), c’est une homothétie. Si la taille reste identique, cherche plutôt du côté de la translation, de la symétrie ou de la rotation.
Méthode pas à pas pour construire l’image d’un point
Maintenant que tu sais reconnaître chaque cas, voici la méthode universelle pour placer l’image \(A’\) d’un point \(A\), quelle que soit la valeur du rapport. Quatre étapes suffisent.
Étape 1 — Trace la droite \((OA)\). Relie le centre \(O\) au point \(A\) et prolonge bien la droite des deux côtés de \(O\) : tu en auras besoin si \(k\) est négatif.
Étape 2 — Mesure la longueur \(OA\). Avec ta règle, relève la distance entre \(O\) et \(A\).
Étape 3 — Calcule \(OA’\). Multiplie la longueur trouvée par la valeur du rapport : \(OA’ = k \times OA\) (on prend \(k\) sans son signe pour la longueur).
Étape 4 — Place \(A’\) selon le signe de \(k\).
- Si \(k\) est positif : \(A’\) est du même côté que \(A\) par rapport à \(O\).
- Si \(k\) est négatif : \(A’\) est de l’autre côté de \(O\).
Pour construire l’image d’une figure entière (triangle, carré…), il suffit de répéter ces quatre étapes pour chaque sommet, puis de relier les images obtenues.
Astuce visuelle : teste l’effet du rapport \(k\) avec un logiciel de géométrie comme GeoGebra. Déplace le centre \(O\), fais glisser un curseur pour \(k\), et observe le triangle image grandir, rapetisser ou basculer en temps réel. Tu retiendras la règle bien plus vite.
Exemples résolus selon la valeur de k
Appliquons la méthode sur trois rapports différents : un agrandissement, une réduction, et le cas particulier \(k = -1\). Suis bien le raisonnement à chaque fois.
Exemple 1 — Homothétie de centre O et de rapport 2.
On sait que \(OA = 3\) cm. Construis l’image \(A’\).
On trace la droite \((OA)\). On calcule \(OA’ = 2 \times 3 = 6\) cm. Comme \(k = 2\) est positif, \(A’\) est du même côté que \(A\). On place donc \(A’\) à 6 cm de \(O\), dans le prolongement de \(A\). La figure est deux fois plus grande.
Exemple 2 — Homothétie de centre O et de rapport \(\displaystyle\frac{1}{2}\).
On a \(OA = 4\) cm. Construis \(A’\).
On calcule \(OA’ = \displaystyle\frac{1}{2} \times 4 = 2\) cm. Le rapport est positif, donc \(A’\) reste du même côté que \(A\), à 2 cm de \(O\). La figure est réduite de moitié.
Exemple 3 — Homothétie de centre O et de rapport \(-1\).
On a \(OA = 3\) cm. Construis \(A’\).
La longueur ne change pas : \(OA’ = 1 \times 3 = 3\) cm. Mais \(k = -1\) est négatif, donc \(A’\) est de l’autre côté de \(O\), toujours à 3 cm. On obtient le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\) : c’est une symétrie centrale.
Comment retrouver le rapport k entre deux figures
Parfois, l’énoncé te donne une figure et son image, et te demande de retrouver le rapport \(k\). C’est le calcul inverse de la construction. La formule est simple : il suffit de comparer une longueur de l’image à la longueur de départ.
Formule du rapport : \(k = \displaystyle\frac{OA’}{OA}\). On divise la longueur de l’image par la longueur de départ. Si l’image est de l’autre côté du centre, le rapport est négatif.
Exemple : on mesure \(OA = 2\) cm et \(OA’ = 6\) cm, \(A’\) étant du même côté que \(A\). Quel est le rapport ?
On calcule \(k = \displaystyle\frac{6}{2} = 3\). Le rapport vaut \(3\) : c’est un agrandissement qui triple les longueurs.
Cette idée de comparaison de longueurs est exactement celle qui apparaît dans l’agrandissement et la réduction. Et quand les figures forment des triangles superposés, on peut souvent calculer le rapport grâce au théorème de Thalès.
Erreurs fréquentes et pièges à éviter
Voici les trois erreurs qui font perdre le plus de points au contrôle. Les connaître à l’avance, c’est déjà les éviter.
Erreur 1 — Oublier l’alignement.
❌ Copie fautive : l’élève place \(A’\) « à peu près » à la bonne distance, mais pas sur la droite \((OA)\).
🔎 Diagnostic : il manque la condition la plus importante de la définition.
✅ Correction : \(O\), \(A\) et \(A’\) doivent toujours être alignés. Commence donc systématiquement par tracer la droite \((OA)\).
Erreur 2 — Se tromper de côté quand \(k\) est négatif.
❌ Copie fautive : pour \(k = -2\), l’élève place \(A’\) du même côté que \(A\).
🔎 Diagnostic : le signe « moins » a été ignoré.
✅ Correction : un rapport négatif envoie l’image de l’autre côté du centre \(O\). Pense à prolonger la droite au-delà de \(O\).
Erreur 3 — Multiplier l’aire par \(k\).
❌ Copie fautive : pour \(k = 3\), l’élève écrit que l’aire est multipliée par \(3\).
🔎 Diagnostic : les longueurs sont multipliées par \(k\), mais pas l’aire.
✅ Correction : l’aire est multipliée par \(k^2\), donc par \(9\) ici. Tu retrouveras ce point en détail dans le chapitre agrandissement et réduction.
Exercices d’application corrigés
À toi de jouer. Fais d’abord chaque exercice au brouillon, puis compare avec la correction rédigée. Pour t’entraîner davantage, file vers la page exercices homothétie 3ème corrigés.
Exercice 1 (★). On a un point \(O\) et un point \(B\) avec \(OB = 5\) cm. Construis l’image \(B’\) de \(B\) par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(2\).
Correction. On trace \((OB)\). On calcule \(OB’ = 2 \times 5 = 10\) cm. Le rapport est positif, donc \(B’\) est du même côté que \(B\), à 10 cm de \(O\).
Exercice 2 (★★). On a \(OC = 8\) cm. Construis l’image \(C’\) par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(-\displaystyle\frac{1}{2}\).
Correction. La longueur vaut \(OC’ = \displaystyle\frac{1}{2} \times 8 = 4\) cm. Le rapport est négatif, donc \(C’\) est de l’autre côté de \(O\), à 4 cm. C’est à la fois une réduction de moitié et un passage de l’autre côté du centre.
Exercice 3 (★★ — raisonnement). Sur une figure, on mesure \(OD = 3\) cm et son image \(OD’ = 9\) cm, avec \(D’\) de l’autre côté de \(O\). Quel est le rapport \(k\) de cette homothétie ? Quel type de transformation est-ce ?
Correction. Les longueurs sont dans le rapport \(\displaystyle\frac{9}{3} = 3\). Comme \(D’\) est de l’autre côté du centre, le rapport est négatif : \(k = -3\). C’est un agrandissement (les longueurs triplent) accompagné d’un retournement par rapport à \(O\).
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une homothétie de centre O et de rapport k ?
C’est la transformation qui agrandit ou réduit une figure depuis un point fixe appelé centre \(O\). Chaque point \(A\) est envoyé sur un point \(A’\) aligné avec \(O\) et \(A\), tel que la distance \(OA’\) vaut \(k\) fois la distance \(OA\). Le signe de \(k\) indique de quel côté de \(O\) se trouve l’image.
Quelle est la formule pour calculer le rapport ?
On utilise \(k = \displaystyle\frac{OA’}{OA}\) : on divise une longueur de l’image par la longueur de départ correspondante. Si l’image se trouve de l’autre côté du centre, le rapport est négatif.
Qu'est-ce qu'une homothétie de rapport 1 ?
C’est une homothétie qui ne change rien : chaque point reste à sa place. On l’appelle l’identité. En effet, \(OA’ = 1 \times OA = OA\), donc \(A’\) et \(A\) sont confondus.
Que se passe-t-il quand le rapport est négatif ?
L’image passe de l’autre côté du centre \(O\). La longueur, elle, est multipliée par la valeur de \(k\) sans son signe. Par exemple, avec \(k = -2\), l’image est deux fois plus grande mais retournée par rapport à \(O\).
Quelle est la différence entre une homothétie et une symétrie centrale ?
Une symétrie centrale est un cas particulier d’homothétie : celle de rapport \(k = -1\). La symétrie centrale garde la même taille et place l’image de l’autre côté du centre. L’homothétie, elle, peut aussi changer la taille pour toutes les autres valeurs de \(k\).
L'homothétie agrandit-elle aussi les aires ?
Oui, mais pas dans le même rapport. Si les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\). Par exemple, un rapport \(3\) multiplie les longueurs par 3 mais l’aire par 9.
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant construire l’image d’un point par une homothétie de rapport \(k\), reconnaître chaque cas, et retrouver le rapport entre deux figures. Pour consolider :
- Le cours complet sur l’homothétie (3ème)
- Agrandissement, réduction et effet sur les aires
- Exercices homothétie 3ème corrigés (PDF)
- Les échelles en maths (5ème)
