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Les séries de fonctions \(\sum f_n\) constituent le cadre théorique commun aux séries entières et aux séries de Fourier. Ce chapitre central du programme de deuxième année (MP, PC, PSI) introduit les trois modes de convergence — simple, uniforme, normale — et les théorèmes de régularité qui permettent de dériver et d’intégrer une somme infinie terme à terme. Tu trouveras ici les définitions rigoureuses, les démonstrations exigibles, une méthode d’étude systématique, cinq exercices corrigés et les pièges classiques de concours.
I. Définitions et cadre général
A. Série de fonctions — définition et sommes partielles
Soit \(A\) une partie de \(\mathbb{R}\) (ou \(\mathbb{C}\)) et \((f_n)_{n \geq 0}\) une suite de fonctions de \(A\) dans \(\mathbb{R}\) (ou \(\mathbb{C}\)).
Définition — Série de fonctions
On appelle série de fonctions de terme général \(f_n\) la suite \((S_N)_{N \geq 0}\) des sommes partielles :
\(S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} f_n(x), \quad x \in A\)
La série est notée \(\sum_{n \geq 0} f_n\) ou simplement \(\sum f_n\).
On dit que la série \(\sum f_n\) converge en un point \(x \in A\) si la série numérique \(\sum f_n(x)\) converge, c’est-à-dire si \((S_N(x))_{N}\) admet une limite finie. L’ensemble des points où la série converge s’appelle le domaine de convergence, noté \(D\).
Sur \(D\), la somme de la série est la fonction :
\(S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) = \lim_{N \to +\infty} S_N(x)\)Le reste d’ordre \(N\) est la fonction \(R_N = S – S_N\), soit :
\(R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} f_n(x), \quad x \in D\)B. Suite de fonctions vs série de fonctions
La confusion entre suite et série de fonctions est l’un des pièges les plus fréquents en concours. Les deux notions sont intimement liées mais distinctes.
Lien fondamental
Toute série de fonctions \(\sum f_n\) définit une suite de fonctions \((S_N)\) (ses sommes partielles). Réciproquement, toute suite de fonctions \((g_n)\) est la suite des sommes partielles de la série télescopique \(\sum (g_n – g_{n-1})\) (en posant \(g_{-1} = 0\)).
En pratique, une suite de fonctions \((g_n)\) étudie la limite d’une seule expression quand \(n \to +\infty\), tandis qu’une série de fonctions \(\sum f_n\) étudie l’accumulation d’une infinité de termes. Les théorèmes de régularité (continuité, dérivation, intégration) s’appliquent aux deux cadres — tout résultat sur les suites se traduit pour les séries via les sommes partielles, et réciproquement.
C. Exemples fondamentaux
Exemples de référence
- Série géométrique : \(\sum_{n=0}^{+\infty} x^n\), convergente sur \(]-1, 1[\), de somme \(S(x) = \displaystyle\frac{1}{1-x}\).
- Série exponentielle : \(\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n!}\), convergente sur \(\mathbb{R}\), de somme \(S(x) = e^x\).
- Série trigonométrique : \(\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{\sin(nx)}{n^2}\), convergente sur \(\mathbb{R}\) (par comparaison avec \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^2}\)).
- Série logarithmique : \(\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \displaystyle\frac{x^n}{n}\), convergente sur \(]-1, 1]\), de somme \(S(x) = \ln(1+x)\).
Les deux premiers exemples sont des séries entières, le troisième est une série de Fourier. La théorie des séries de fonctions fournit un cadre commun pour les étudier toutes.
II. Les trois modes de convergence
La question centrale pour une série de fonctions est la qualité de la convergence : la vitesse est-elle uniforme sur tout le domaine, ou dépend-elle du point considéré ? Cette distinction conditionne toutes les propriétés de régularité de la somme.
A. Convergence simple (ponctuelle)
Définition — Convergence simple (CVS)
La série \(\sum f_n\) converge simplement sur \(A\) si, pour tout \(x \in A\), la série numérique \(\sum f_n(x)\) converge.
En écriture quantifiée :
\(\forall x \in A, \; \forall \varepsilon\) > \(0, \; \exists N_x \in \mathbb{N}, \; \forall n \geq N_x, \; |R_n(x)| \leq \varepsilon\)
L’indice \(N_x\) porte un indice : il dépend du point \(x\). Certains points peuvent converger beaucoup plus lentement que d’autres. Cette dépendance est le point faible de la convergence simple : elle ne suffit pas à garantir la continuité de la somme.
B. Convergence uniforme et tube-ε
Définition — Convergence uniforme (CVU)
La série \(\sum f_n\) converge uniformément sur \(A\) si la suite \((S_N)\) des sommes partielles converge uniformément vers \(S\) sur \(A\), c’est-à-dire :
\(\| R_N \|_{\infty, A} = \sup_{x \in A} |R_N(x)| \underset{N \to +\infty}{\longrightarrow} 0\)
En écriture quantifiée :
\(\forall \varepsilon\) > \(0, \; \exists N \in \mathbb{N}, \; \forall n \geq N, \; \forall x \in A, \; |R_n(x)| \leq \varepsilon\)
Différence clé avec la CVS : le rang \(N\) ne dépend pas de \(x\). La convergence est « à la même vitesse » partout sur \(A\).
Interprétation géométrique : le tube-ε
La convergence uniforme signifie que pour \(N\) assez grand, le graphe de \(S_N\) est entièrement contenu dans le « tube » de largeur \(2\varepsilon\) autour du graphe de \(S\). Si une suite de fonctions « sort du tube » en un point qui dépend de \(N\), la convergence n’est pas uniforme.
Critère pratique de non-convergence uniforme. Pour montrer que \(\sum f_n\) ne converge pas uniformément sur \(A\), il suffit d’exhiber une suite \((x_N)_{N}\) d’éléments de \(A\) telle que \(R_N(x_N)\) ne tende pas vers \(0\). Cela revient à montrer que \(\| R_N \|_{\infty, A}\) ne tend pas vers \(0\).
C. Convergence normale et critère de Weierstrass
Définition — Convergence normale (CVN)
La série \(\sum f_n\) converge normalement sur \(A\) si la série numérique à termes positifs \(\sum \| f_n \|_{\infty, A}\) converge, où :
\(\| f_n \|_{\infty, A} = \sup_{x \in A} |f_n(x)|\)
En pratique, on majore \(|f_n(x)|\) par un réel positif \(M_n\) indépendant de \(x\) et on vérifie que \(\sum M_n\) converge. C’est le critère de Weierstrass (ou M-test) :
Théorème (Critère de Weierstrass) ⋆
Soit \((M_n)_{n \geq 0}\) une suite de réels positifs telle que \(\sum M_n\) converge et :
\(\forall n \in \mathbb{N}, \; \forall x \in A, \; |f_n(x)| \leq M_n\)
Alors \(\sum f_n\) converge normalement (donc uniformément) sur \(A\).
D. Implications et contre-exemples
Les trois modes de convergence s’organisent selon le diagramme d’implications suivant :
| Implication | Sens | Réciproque |
|---|---|---|
| CVN \(\Rightarrow\) CVU | ✓ (théorème de Weierstrass) | ✗ (contre-exemple ci-dessous) |
| CVU \(\Rightarrow\) CVS | ✓ (immédiat) | ✗ (contre-exemple ci-dessous) |
| CVN \(\Rightarrow\) convergence absolue | ✓ (domination par \(\| f_n \|_\infty\)) | ✗ |
| CVU \(\Rightarrow\) convergence absolue | ✗ | ✗ (indépendantes) |
Démonstration de CVN \(\Rightarrow\) CVU ⋆. Supposons \(\sum \| f_n \|_{\infty, A}\) convergente. Pour tout \(x \in A\) et tout \(N \in \mathbb{N}\) :
\(|R_N(x)| = \left| \sum_{n=N+1}^{+\infty} f_n(x) \right| \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} |f_n(x)| \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} \| f_n \|_{\infty, A}\)Le membre de droite est le reste d’une série numérique convergente : il ne dépend pas de \(x\) et tend vers \(0\) quand \(N \to +\infty\). Par passage au supremum :
\(\| R_N \|_{\infty, A} \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} \| f_n \|_{\infty, A} \underset{N \to +\infty}{\longrightarrow} 0\)Donc \(\sum f_n\) converge uniformément sur \(A\). ∎
Les réciproques sont toutes fausses. Voici les deux contre-exemples fondamentaux.
Contre-exemple 1 — CVS mais pas CVU
La série géométrique \(\sum_{n=0}^{+\infty} x^n\) sur \(]-1, 1[\) :
- CVS : pour tout \(x \in {]-1, 1[}\), la série géométrique de raison \(|x|\) < \(1\) converge. Somme : \(S(x) = \displaystyle\frac{1}{1-x}\).
- Pas CVU : le reste vaut \(R_N(x) = \displaystyle\frac{x^{N+1}}{1-x}\). Quand \(x \to 1^-\), \(|R_N(x)| \to +\infty\). Donc \(\| R_N \|_{\infty, \, ]-1,1[} = +\infty\) pour tout \(N\).
En revanche, sur tout segment \([-a, a]\) avec \(0\) < \(a\) < \(1\), la convergence est normale (donc uniforme) : \(\| x^n \|_{\infty, [-a,a]} = a^n\) et \(\sum a^n\) converge.
Contre-exemple 2 — CVU mais pas CVN
La série \(\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \displaystyle\frac{x^n}{n}\) sur \([0, 1]\) :
- CVU : la suite \(\left(\displaystyle\frac{x^n}{n}\right)_n\) est décroissante (pour \(x \in [0,1]\) fixé) et tend vers \(0\). Par le critère de Leibniz : \(|R_N(x)| \leq \displaystyle\frac{x^{N+1}}{N+1} \leq \displaystyle\frac{1}{N+1}\). Donc \(\| R_N \|_{\infty,[0,1]} \leq \displaystyle\frac{1}{N+1} \to 0\).
- Pas CVN : \(\left\| (-1)^n \displaystyle\frac{x^n}{n} \right\|_{\infty,[0,1]} = \displaystyle\frac{1}{n}\) et \(\sum \displaystyle\frac{1}{n}\) diverge (série harmonique).
La somme vaut \(S(x) = -\ln(1+x)\). La convergence est uniforme mais la série ne converge pas absolument au point \(x = 1\) (la série harmonique \(\sum \displaystyle\frac{1}{n}\) diverge). Cet exemple montre aussi que CVU et convergence absolue sont indépendantes.
La fiche de synthèse « Séries de fonctions » en 1 page
Définitions, implications CVN ⟹ CVU ⟹ CVS, les 3 théorèmes de régularité et la méthode en 5 étapes — tout sur une seule page recto.
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III. Théorèmes de régularité de la somme
Les théorèmes suivants répondent à la question fondamentale : quand la somme d’une série de fonctions hérite-t-elle des propriétés (continuité, dérivabilité, intégrabilité) de ses termes ? La convergence uniforme est la clé.
A. Théorème de continuité ⋆
Théorème (Continuité de la somme sous CVU) ⋆
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues sur \(A \subset \mathbb{R}\). Si la série \(\sum f_n\) converge uniformément sur \(A\), alors la somme \(S = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n\) est continue sur \(A\).
Démonstration ⋆. Soit \(a \in A\) et \(\varepsilon\) > \(0\).
Par convergence uniforme, il existe \(N \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(x \in A\) :
\(|S(x) – S_N(x)| = |R_N(x)| \leq \displaystyle\frac{\varepsilon}{3}\)La somme partielle \(S_N = f_0 + f_1 + \cdots + f_N\) est une somme finie de fonctions continues, donc continue en \(a\). Il existe \(\delta\) > \(0\) tel que :
\(|x – a| \leq \delta \Rightarrow |S_N(x) – S_N(a)| \leq \displaystyle\frac{\varepsilon}{3}\)Pour \(|x – a| \leq \delta\), l’inégalité triangulaire donne :
\(|S(x) – S(a)| \leq \underbrace{|S(x) – S_N(x)|}_{\leq \, \varepsilon/3} + \underbrace{|S_N(x) – S_N(a)|}_{\leq \, \varepsilon/3} + \underbrace{|S_N(a) – S(a)|}_{\leq \, \varepsilon/3} \leq \varepsilon\)Donc \(S\) est continue en \(a\). Ceci étant vrai pour tout \(a \in A\), \(S\) est continue sur \(A\). ∎
Contraposée — outil de non-CVU
Si les \(f_n\) sont continues et que la somme \(S\) est discontinue, alors la convergence n’est pas uniforme. C’est souvent le moyen le plus élégant de démontrer une non-CVU en concours.
B. Théorème d’intégration terme à terme ⋆
Théorème (Intégration terme à terme sous CVU) ⋆
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues sur un segment \([a, b]\). Si \(\sum f_n\) converge uniformément sur \([a, b]\), alors :
\(\int_a^b S(x) \, dx = \int_a^b \left( \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) \right) dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(x) \, dx\)
Autrement dit, on peut intervertir \(\int\) et \(\sum\) sous convergence uniforme.
Idée de démonstration. L’erreur commise en intervertissant est :
\(\left| \int_a^b S(x) \, dx – \sum_{n=0}^{N} \int_a^b f_n(x) \, dx \right| = \left| \int_a^b R_N(x) \, dx \right| \leq (b-a) \, \| R_N \|_{\infty, [a,b]}\)Sous CVU, \(\| R_N \|_\infty \to 0\), donc l’erreur tend vers \(0\). ∎
Ce théorème sert constamment au calcul de sommes de séries numériques : on intègre une série dont on connaît la somme pour en déduire la valeur d’une série dont les termes contiennent un facteur \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\) ou similaire.
C. Théorème de dérivation terme à terme ⋆
C’est le théorème dont les hypothèses sont le plus souvent mal citées en concours. Lis-les attentivement.
Théorème (Dérivation terme à terme) ⋆
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\). On suppose :
- \(\sum f_n\) converge simplement en au moins un point \(x_0 \in I\).
- \(\sum f_n^\prime\) converge uniformément sur tout segment de \(I\).
Alors :
- \(\sum f_n\) converge uniformément sur tout segment de \(I\).
- \(S = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\).
- \(\forall x \in I, \quad S^\prime(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n^\prime(x)\)
Piège classique — Hypothèses inversées
Le théorème exige la CVU de la série des dérivées \(\sum f_n^\prime\), pas celle de \(\sum f_n\). On demande en revanche seulement la convergence simple de \(\sum f_n\) en un point. Ne jamais écrire « si \(\sum f_n\) converge uniformément, alors \(S^\prime = \sum f_n^\prime\) » — c’est faux sans hypothèse sur les dérivées.
Idée de démonstration. Pour tout \(x \in I\), le théorème d’intégration terme à terme (applicable à \(\sum f_n^\prime\) qui CVU sur \([x_0, x]\)) donne :
\(\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{x_0}^{x} f_n^\prime(t) \, dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( f_n(x) – f_n(x_0) \right) = S(x) – S(x_0)\)Par le théorème de continuité, \(\sum f_n^\prime\) est continue. On reconnaît alors que \(S(x) – S(x_0) = \int_{x_0}^{x} \sum f_n^\prime(t) \, dt\). Par le théorème fondamental de l’analyse, \(S\) est \(\mathcal{C}^1\) et \(S^\prime(x) = \sum f_n^\prime(x)\). ∎
D. Version \(\mathcal{C}^k\) et itération
Corollaire (Version \(\mathcal{C}^k\))
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions \(\mathcal{C}^k\) sur un intervalle \(I\). Si \(\sum f_n^{(j)}\) converge uniformément sur tout segment de \(I\) pour \(j = 0, 1, \ldots, k\), alors \(S = \sum f_n\) est \(\mathcal{C}^k\) et :
\(\forall j \in \{0, \ldots, k\}, \quad S^{(j)} = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n^{(j)}\)
Ce corollaire s’applique en particulier aux séries entières à l’intérieur de leur disque ouvert de convergence, où la convergence normale de toutes les dérivées est garantie. C’est ce qui rend les séries entières \(\mathcal{C}^\infty\).
| Théorème | Hypothèses sur les \(f_n\) | Type de convergence requis | Conclusion |
|---|---|---|---|
| Continuité | Continues sur \(A\) | CVU de \(\sum f_n\) sur \(A\) | \(S\) continue sur \(A\) |
| Intégration | Continues sur \([a,b]\) | CVU de \(\sum f_n\) sur \([a,b]\) | \(\int_a^b S = \sum \int_a^b f_n\) |
| Dérivation | \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\) | CVS de \(\sum f_n\) en un point + CVU de \(\sum f_n^\prime\) | \(S \in \mathcal{C}^1\), \(S^\prime = \sum f_n^\prime\) |
IV. Méthode pas à pas — étudier une série de fonctions
A. Les cinq étapes
Méthode en 5 étapes pour l’étude d’une série de fonctions
- Domaine de convergence : pour chaque \(x\) fixé, étudier la série numérique \(\sum f_n(x)\) à l’aide des critères de convergence usuels (comparaison, d’Alembert, Riemann, Leibniz).
- Calcul de la somme : reconnaître une série connue (géométrique, exponentielle, DSE usuel) ou sommer par télescopage.
- Convergence normale : majorer \(|f_n(x)|\) par \(M_n\) indépendant de \(x\) et vérifier \(\sum M_n\) < \(+\infty\). Si cela échoue, passer à l’étape 4.
- Convergence uniforme : si la CVN échoue, estimer directement \(\| R_N \|_\infty\) (critère de Leibniz uniforme, Abel uniforme) ou utiliser la contraposée du théorème de continuité.
- Régularité : appliquer les théorèmes de continuité, intégration et dérivation selon les hypothèses vérifiées.
B. Exemple résolu complet
Énoncé. Étudier la série de fonctions \(\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{\sin(nx)}{n^2}\) sur \(\mathbb{R}\).
Résolution
Étape 1 — Domaine de convergence. Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et tout \(n \geq 1\) :
\(\left| \displaystyle\frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \displaystyle\frac{1}{n^2}\)
La série de Riemann \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^2}\) converge (\(\alpha = 2\) > \(1\)). Par comparaison, \(\sum \displaystyle\frac{\sin(nx)}{n^2}\) converge absolument pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Domaine : \(D = \mathbb{R}\).
Étape 2 — Somme. La somme n’est pas élémentaire (elle s’exprime à l’aide de polynômes de Bernoulli ; cf. le chapitre sur les séries de Fourier).
Étape 3 — Convergence normale. Le calcul de l’étape 1 donne précisément la CVN :
\(\left\| \displaystyle\frac{\sin(n \cdot)}{n^2} \right\|_{\infty, \mathbb{R}} = \displaystyle\frac{1}{n^2} \quad \text{et} \quad \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{n^2} = \displaystyle\frac{\pi^2}{6}\)
Donc \(\sum \displaystyle\frac{\sin(nx)}{n^2}\) converge normalement (et donc uniformément) sur \(\mathbb{R}\).
Étape 4 — Non nécessaire (la CVN suffit).
Étape 5 — Régularité. Chaque \(f_n : x \mapsto \displaystyle\frac{\sin(nx)}{n^2}\) est continue (même \(\mathcal{C}^\infty\)) sur \(\mathbb{R}\). Par le théorème de continuité sous CVU, la somme \(S\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Pour la dérivabilité : \(f_n^\prime(x) = \displaystyle\frac{\cos(nx)}{n}\). On a \(\left\| \displaystyle\frac{\cos(n \cdot)}{n} \right\|_\infty = \displaystyle\frac{1}{n}\) et la série harmonique \(\sum \displaystyle\frac{1}{n}\) diverge. La CVN de \(\sum f_n^\prime\) échoue. Le théorème de dérivation n’est pas directement applicable par cette méthode — une étude plus fine (convergence uniforme de \(\sum f_n^\prime\) sur tout compact) serait nécessaire.
V. Séries entières et séries de Fourier comme cas particuliers
Les séries de fonctions constituent le cadre général dont les séries entières et les séries de Fourier sont des cas particuliers aux propriétés de convergence remarquablement fortes.
A. Les séries entières
Une série entière \(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\) est une série de fonctions de terme général \(f_n(x) = a_n x^n\). Le rayon de convergence \(R\) délimite un intervalle ouvert \(]-R, R[\) sur lequel :
- la série converge normalement sur tout compact \([-r, r]\) avec \(r\) < \(R\),
- la somme est \(\mathcal{C}^\infty\) et dérivable terme à terme,
- les DSE usuels (\(e^x\), \(\ln(1+x)\), \(\sin x\), \(\cos x\), \((1+x)^\alpha\)) en sont les exemples fondamentaux.
B. Les séries de Fourier
Une série de Fourier \(\displaystyle\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)\) est une série de fonctions trigonométriques. Contrairement aux séries entières, la convergence uniforme n’est pas automatique : elle dépend de la régularité de la fonction dont on calcule les coefficients. Le théorème de Dirichlet et le phénomène de Gibbs (oscillations au voisinage des discontinuités) sont spécifiques aux séries de Fourier.
C. Tableau comparatif des trois familles
| Série de fonctions (général) | Série entière | Série de Fourier | |
|---|---|---|---|
| Terme général | \(f_n(x)\) quelconque | \(a_n x^n\) | \(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\) |
| Domaine naturel | Variable | \(]-R, R[\) | \([-\pi, \pi]\) (ou tout intervalle de longueur \(2\pi\)) |
| CVN sur compacts | À vérifier | Automatique dans \(]-R, R[\) | Dépend de la régularité |
| Régularité de la somme | Dépend de la CVU | \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(]-R, R[\) | Continue si \(\sum (|a_n| + |b_n|)\) < \(+\infty\) |
| Dérivation TàT | Sous CVU de \(\sum f_n^\prime\) | Automatique dans \(]-R, R[\) | Sous conditions (régularité + décroissance des coeff.) |
VI. Exercices corrigés
Cinq exercices progressifs pour maîtriser les techniques d’étude des séries de fonctions. Pour un entraînement plus poussé (type concours), consulte la page dédiée aux exercices corrigés sur la convergence des séries de fonctions.
Exercice 1 (★ — Incontournable)
Soit \(f_n(x) = \displaystyle\frac{e^{-nx}}{n^2}\) pour \(x \geq 0\) et \(n \geq 1\).
- Déterminer le domaine de convergence de \(\sum f_n\).
- Montrer que \(\sum f_n\) converge normalement sur \([0, +\infty[\).
- En déduire que la somme \(S\) est continue sur \([0, +\infty[\).
Voir la correction
1. Pour tout \(x \geq 0\) et tout \(n \geq 1\) : \(|f_n(x)| = \displaystyle\frac{e^{-nx}}{n^2} \leq \displaystyle\frac{1}{n^2}\) car \(e^{-nx} \leq 1\). La série \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^2}\) converge, donc par comparaison, \(\sum f_n(x)\) converge absolument pour tout \(x \geq 0\). Domaine : \(D = [0, +\infty[\).
2. On a \(\| f_n \|_{\infty, [0,+\infty[} = \sup_{x \geq 0} \displaystyle\frac{e^{-nx}}{n^2} = \displaystyle\frac{1}{n^2}\) (le supremum est atteint en \(x = 0\)). Comme \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^2} = \displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) converge, la série converge normalement sur \([0, +\infty[\).
3. Chaque \(f_n\) est continue sur \([0, +\infty[\). La CVN entraîne la CVU. Par le théorème de continuité sous CVU, \(S\) est continue sur \([0, +\infty[\).
Exercice 2 (★★)
Soit \(f_n(x) = x^n(1-x)\) pour \(x \in [0, 1]\) et \(n \geq 0\).
- Montrer que \(\sum f_n\) converge simplement sur \([0, 1]\) et calculer la somme \(S(x)\).
- La somme \(S\) est-elle continue sur \([0, 1]\) ?
- En déduire que la convergence n’est pas uniforme sur \([0, 1]\).
Voir la correction
1. La somme partielle est télescopique :
\(S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} x^n(1-x) = (1-x) \cdot \displaystyle\frac{1-x^{N+1}}{1-x} = 1 – x^{N+1}\) pour \(x \in [0, 1[\).
En \(x = 1\) : \(f_n(1) = 1^n \cdot 0 = 0\) pour tout \(n\), donc \(S_N(1) = 0\).
Quand \(N \to +\infty\) : pour \(x \in [0, 1[\), \(x^{N+1} \to 0\), donc \(S(x) = 1\). Et \(S(1) = 0\).
Bilan : \(S(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in [0, 1[ \\ 0 & \text{si } x = 1 \end{cases}\)
2. La somme \(S\) n’est pas continue en \(x = 1\) : \(\lim_{x \to 1^-} S(x) = 1 \neq 0 = S(1)\).
3. Chaque \(f_n : x \mapsto x^n(1-x)\) est continue sur \([0,1]\). Si la convergence était uniforme sur \([0,1]\), le théorème de continuité garantirait que \(S\) est continue. Or \(S\) est discontinue. Par contraposée, la convergence n’est pas uniforme sur \([0,1]\).
Exercice 3 (★★)
En intégrant la série géométrique \(\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \displaystyle\frac{1}{1-x}\) sur \([0, t]\) pour \(t \in [0, 1[\), calculer :
\(\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{t^{n+1}}{n+1}\)En déduire la valeur de \(\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{n \cdot 2^n}\).
Voir la correction
Justification de l’interversion. Pour tout \(t \in [0, 1[\), la série \(\sum x^n\) converge normalement sur \([0, t]\) (car \(\| x^n \|_{\infty,[0,t]} = t^n\) et \(\sum t^n\) converge). Le théorème d’intégration terme à terme s’applique :
\(\int_0^t \displaystyle\frac{1}{1-x} \, dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^t x^n \, dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{t^{n+1}}{n+1}\)Le membre de gauche vaut \(-\ln(1-t)\). D’où :
\(\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{t^{n+1}}{n+1} = -\ln(1-t) \quad \text{pour } t \in [0, 1[\)En changeant d’indice (\(m = n+1\)) : \(\sum_{m=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{t^{m}}{m} = -\ln(1-t)\).
Pour \(t = \displaystyle\frac{1}{2}\) :
\(\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{n \cdot 2^n} = -\ln\!\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) = \ln 2\)Exercice 4 (★★★)
Soit \(S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n}\) pour \(x \in {]-1, 1[}\).
- Justifier que \(\sum \displaystyle\frac{x^n}{n}\) converge simplement sur \(]-1, 1[\).
- Montrer que \(S\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(]-1, 1[\) et calculer \(S^\prime(x)\).
- En déduire \(S(x)\) pour tout \(x \in {]-1, 1[}\).
Voir la correction
1. Pour \(x \in {]-1, 1[}\) fixé : \(\left| \displaystyle\frac{x^n}{n} \right| \leq |x|^n\) et \(\sum |x|^n\) converge (série géométrique, \(|x|\) < \(1\)). Par comparaison, \(\sum \displaystyle\frac{x^n}{n}\) converge absolument.
2. Posons \(f_n(x) = \displaystyle\frac{x^n}{n}\). Chaque \(f_n\) est \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\), avec \(f_n^\prime(x) = x^{n-1}\).
CVS de \(\sum f_n\) : vérifiée (question 1). En particulier, \(\sum f_n(0) = 0\) converge.
CVU de \(\sum f_n^\prime\) sur tout segment \([-a, a]\) avec \(0\) < \(a\) < \(1\) :
\(\| f_n^\prime \|_{\infty, [-a,a]} = a^{n-1}\). La série \(\sum a^{n-1} = \displaystyle\frac{1}{1-a}\) converge. Donc \(\sum f_n^\prime\) converge normalement (et uniformément) sur \([-a, a]\).
Par le théorème de dérivation terme à terme, \(S\) est \(\mathcal{C}^1\) sur \(]-1, 1[\) et :
\(S^\prime(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} x^{n-1} = \displaystyle\frac{1}{1-x}\)3. Comme \(S^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}{1-x}\) et \(S(0) = 0\), on a :
\(S(x) = \int_0^x \displaystyle\frac{1}{1-t} \, dt = -\ln(1-x)\)Conclusion : \(\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)\) pour tout \(x \in {]-1, 1[}\).
Exercice 5 (★★★ — Type concours)
Soit \(f_n(x) = n \, e^{-nx}\) pour \(x\) > \(0\) et \(n \geq 1\).
- Déterminer le domaine de convergence de \(\sum f_n\).
- Calculer la somme \(S(x)\) pour \(x\) > \(0\).
- Montrer que, pour tout \(a\) > \(0\), la série converge normalement sur \([a, +\infty[\).
- La convergence est-elle normale sur \(]0, +\infty[\) ?
- Montrer que \(S\) est \(\mathcal{C}^1\) sur \(]0, +\infty[\) et calculer \(S^\prime(x)\).
Voir la correction
1. Pour \(x\) > \(0\) fixé, posons \(q = e^{-x} \in {]0, 1[}\). Alors \(f_n(x) = n q^n\). La série \(\sum n q^n\) converge (critère de d’Alembert ou série dérivée de la géométrique). Domaine : \(D = {]0, +\infty[}\).
En \(x = 0\) : \(f_n(0) = n\), la série \(\sum n\) diverge grossièrement.
2. En posant \(q = e^{-x}\), on reconnaît \(S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n q^n = \displaystyle\frac{q}{(1-q)^2}\) (formule classique \(\sum n q^n = \displaystyle\frac{q}{(1-q)^2}\) pour \(|q|\) < \(1\)). Donc :
\(S(x) = \displaystyle\frac{e^{-x}}{(1 – e^{-x})^2} = \displaystyle\frac{e^x}{(e^x – 1)^2}\)3. Pour \(a\) > \(0\) et \(x \geq a\) : \(|f_n(x)| = n e^{-nx} \leq n e^{-na}\) (car \(e^{-nx}\) décroît en \(x\)). Donc \(\| f_n \|_{\infty, [a,+\infty[} = n e^{-na}\). On pose \(r = e^{-a} \in {]0, 1[}\) :
\(\sum_{n=1}^{+\infty} n \, e^{-na} = \sum_{n=1}^{+\infty} n \, r^n = \displaystyle\frac{r}{(1-r)^2}\) < \(+\infty\)
Convergence normale sur \([a, +\infty[\).
4. Sur \(]0, +\infty[\) : la fonction \(x \mapsto n e^{-nx}\) est décroissante sur \(]0, +\infty[\) (sa dérivée vaut \(-n^2 e^{-nx}\) < \(0\)). Donc :
\(\| f_n \|_{\infty, \, ]0,+\infty[} = \lim_{x \to 0^+} n e^{-nx} = n\)La série \(\sum n\) diverge. Pas de convergence normale sur \(]0, +\infty[\).
5. On a \(f_n^\prime(x) = -n^2 e^{-nx}\). Pour tout \(a\) > \(0\) :
\(\| f_n^\prime \|_{\infty, [a,+\infty[} = n^2 e^{-na}\)La série \(\sum n^2 e^{-na}\) converge (comparaison avec la série géométrique). Donc \(\sum f_n^\prime\) converge normalement sur \([a, +\infty[\) pour tout \(a\) > \(0\), c’est-à-dire uniformément sur tout segment de \(]0, +\infty[\).
Par le théorème de dérivation terme à terme (les hypothèses sont vérifiées : CVS de \(\sum f_n\) en tout point de \(]0,+\infty[\) et CVU de \(\sum f_n^\prime\) sur tout segment), \(S\) est \(\mathcal{C}^1\) sur \(]0, +\infty[\) et :
\(S^\prime(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-n^2 e^{-nx}) = -\displaystyle\frac{e^x(e^x + 1)}{(e^x – 1)^3}\)(par dérivation de \(S(x) = \displaystyle\frac{e^x}{(e^x – 1)^2}\), ou en utilisant \(\sum n^2 q^n = \displaystyle\frac{q(1+q)}{(1-q)^3}\) avec \(q = e^{-x}\)).
VII. Erreurs fréquentes et pièges concours
Voici les erreurs les plus observées en copies de concours sur le chapitre des séries de fonctions.
Erreur 1 — Confondre CVS et CVU (l’ordre des quantificateurs)
❌ Copie fautive : « La série converge uniformément car pour tout \(x\), \(R_N(x) \to 0\). »
Diagnostic : « pour tout \(x\), \(R_N(x) \to 0\) » est la définition de la convergence simple (\(\forall x, \forall \varepsilon, \exists N_x\)). La CVU exige \(\forall \varepsilon, \exists N, \forall x\) — le rang \(N\) ne dépend pas de \(x\).
✅ Correction : « \(\| R_N \|_\infty = \sup_{x \in A} |R_N(x)| \to 0\), donc la série converge uniformément. »
Erreur 2 — Inverser les hypothèses du théorème de dérivation
❌ Copie fautive : « Puisque \(\sum f_n\) converge uniformément sur \(I\), on peut dériver terme à terme : \(S^\prime = \sum f_n^\prime\). »
Diagnostic : le théorème de dérivation exige la CVU de \(\sum f_n^\prime\) (la série des dérivées), pas celle de \(\sum f_n\).
✅ Correction : « \(\sum f_n^\prime\) converge uniformément sur tout segment de \(I\) et \(\sum f_n(x_0)\) converge. Par le théorème de dérivation terme à terme, \(S^\prime = \sum f_n^\prime\). »
Erreur 3 — Oublier l’hypothèse de convergence ponctuelle dans le théorème de dérivation
❌ Copie fautive : « Les \(f_n\) sont \(\mathcal{C}^1\) et \(\sum f_n^\prime\) CVU, donc \(S^\prime = \sum f_n^\prime\). »
Diagnostic : il manque l’hypothèse « \(\sum f_n\) converge (simplement) en au moins un point \(x_0 \in I\) ». Sans elle, la série \(\sum f_n\) pourrait diverger en tout point, même si \(\sum f_n^\prime\) converge uniformément.
Erreur 4 — Conclure « S continue donc CVU »
❌ Copie fautive : « La somme est continue, donc la convergence est uniforme. »
Diagnostic : le théorème de continuité dit « CVU + \(f_n\) continues \(\Rightarrow\) \(S\) continue ». La réciproque est fausse. Par exemple, \(\sum (-1)^n x^n\) sur \([0, 1[\) a pour somme \(\displaystyle\frac{1}{1+x}\) (continue), mais la convergence n’est pas uniforme sur \([0, 1[\).
Erreur 5 — Confondre convergence normale et convergence absolue
❌ « La série converge absolument en tout point, donc elle converge normalement. »
Diagnostic : la convergence absolue est pointwise (\(\forall x, \sum |f_n(x)|\) converge), tandis que la CVN est une condition globale (\(\sum \sup_x |f_n(x)|\) converge). La CVN implique la convergence absolue, mais la réciproque est fausse. Exemple : \(\sum x^n\) converge absolument sur \(]-1, 1[\) mais n’y converge pas normalement.
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une suite de fonctions et une série de fonctions ?
Une suite de fonctions \((g_n)\) étudie la limite d’une unique expression quand \(n \to +\infty\). Une série de fonctions \(\sum f_n\) étudie la convergence de la somme \(\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)\). Les deux sont liées : la série \(\sum f_n\) définit une suite de sommes partielles \((S_N)\), et toute suite \((g_n)\) est la suite des sommes partielles de la série télescopique \(\sum (g_n – g_{n-1})\). Les théorèmes de régularité (continuité, dérivation, intégration sous CVU) s’appliquent dans les deux cadres.
La convergence normale est-elle la même chose que la convergence absolue ?
Non. La convergence absolue est une propriété ponctuelle : pour chaque \(x\) fixé, la série \(\sum |f_n(x)|\) converge. La convergence normale est une propriété globale : la série numérique \(\sum \| f_n \|_\infty\) converge, où \(\| f_n \|_\infty = \sup_x |f_n(x)|\). La convergence normale implique la convergence absolue en tout point et la convergence uniforme, mais la réciproque est fausse dans les deux cas.
Peut-on toujours dériver terme à terme une série de fonctions ?
Non. Le théorème de dérivation terme à terme exige deux hypothèses : (1) que la série \(\sum f_n\) converge simplement en au moins un point, et (2) que la série des dérivées \(\sum f_n^\prime\) converge uniformément sur tout segment de l’intervalle. Si ces conditions ne sont pas réunies, la dérivation terme à terme peut donner un résultat faux. L’erreur classique est de confondre « \(\sum f_n\) CVU » avec « \(\sum f_n^\prime\) CVU ».
Quel est le lien entre les séries de fonctions et les séries entières ?
Une série entière \(\sum a_n x^n\) est un cas particulier de série de fonctions, avec \(f_n(x) = a_n x^n\). La spécificité des séries entières est que la convergence normale sur tout compact intérieur au disque de convergence est automatique (pas besoin de la vérifier). Cela garantit que la somme est \(\mathcal{C}^\infty\) et dérivable terme à terme sur l’intervalle ouvert \(]-R, R[\), un luxe que les séries de fonctions générales n’ont pas.
Comment montrer qu'une série de fonctions ne converge pas uniformément ?
Deux méthodes principales. (1) Méthode directe : exhiber une suite \((x_N)\) telle que \(|R_N(x_N)|\) ne tende pas vers \(0\), ce qui montre que \(\| R_N \|_\infty \not\to 0\). (2) Contraposée du théorème de continuité : si les \(f_n\) sont continues et que la somme \(S\) est discontinue, la convergence ne peut pas être uniforme. La méthode (2) est souvent la plus élégante en concours.
Convergence uniforme sur tout compact implique-t-elle convergence uniforme sur tout l'intervalle ?
Non. La convergence uniforme sur tout segment (= compact) de \(I\) ne garantit pas la convergence uniforme sur \(I\) tout entier. Exemple : \(\sum x^n\) converge uniformément sur tout \([-a, a]\) avec \(a\) < \(1\), mais pas sur \(]-1, 1[\). En concours, il faut toujours préciser le domaine sur lequel la CVU est établie.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le cadre général des séries de fonctions. Pour approfondir :
- Exercices corrigés sur la convergence des séries de fonctions — 15 exercices de type concours avec corrections détaillées.
- Séries entières : cours complet — le cas particulier \(\sum a_n x^n\) et ses propriétés remarquables.
- Séries de Fourier : cours complet — coefficients, Parseval, Dirichlet et phénomène de Gibbs.
- Critères de convergence d’une série numérique — les outils utilisés à l’étape 1 de la méthode.
- Séries numériques : cours complet — les fondamentaux (convergence, reste, comparaison).
- Séries en mathématiques : vue d’ensemble du cocon — la page pilier de tout le chapitre.
