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Tu sais qu’un vecteur a une direction, un sens et une norme. Mais comment déterminer si deux vecteurs pointent exactement dans la même direction — ou dans des sens opposés ? C’est la notion de colinéarité, pilier du chapitre vecteurs en Seconde, qui se prolonge en Première (alignement de points, parallélisme de droites) et jusqu’en classe préparatoire (indépendance linéaire).
Tu trouveras ici la définition rigoureuse, le critère du déterminant, une méthode en 3 étapes, 6 exercices corrigés par difficulté croissante et les erreurs classiques à éviter. Conforme au programme 2025-2026.
I. Définition — Qu’est-ce que des vecteurs colinéaires ?
A. Définition formelle
Définition — Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’il existe un réel \(k\) tel que :
\(\vec{u} = k\,\vec{v} \quad \text{ou} \quad \vec{v} = k\,\vec{u}\)
Autrement dit, l’un est un multiple de l’autre.
Plus précisément, si \(\vec{v} \neq \vec{0}\), dire que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires signifie qu’il existe un réel \(k\) unique tel que \(\vec{u} = k\,\vec{v}\). La valeur de \(k\) renseigne sur le lien entre les deux vecteurs :
- Si \(k\) > \(0\) : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ont le même sens.
- Si \(k\) < \(0\) : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ont des sens opposés.
- Si \(k = 0\) : \(\vec{u} = \vec{0}\) (le vecteur nul).
Exemples immédiats
- \(\vec{u}(2\,;\,3)\) et \(\vec{v}(4\,;\,6)\) sont colinéaires car \(\vec{v} = 2\,\vec{u}\) (même sens, \(k = 2\)).
- \(\vec{u}(1\,;\,-3)\) et \(\vec{w}(-2\,;\,6)\) sont colinéaires car \(\vec{w} = -2\,\vec{u}\) (sens opposés, \(k = -2\)).
- \(\vec{u}(5\,;\,1)\) et \(\vec{t}(2\,;\,3)\) ne sont pas colinéaires : il n’existe aucun réel \(k\) tel que \((5\,;\,1) = k\,(2\,;\,3)\).
B. Interprétation géométrique : même droite support
Géométriquement, deux vecteurs colinéaires sont portés par des droites parallèles (ou confondues). Si tu les places à partir du même point, ils se superposent sur la même droite — l’un est un « agrandissement » ou un « rétrécissement » de l’autre, éventuellement retourné.
Image à retenir
Deux vecteurs colinéaires sont « sur le même rail ». Ils peuvent aller dans le même sens ou en sens contraire, être plus ou moins longs, mais ils ne dévient jamais l’un par rapport à l’autre.
C. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur
C’est un cas particulier souvent oublié : le vecteur nul \(\vec{0}\) est colinéaire à tout vecteur \(\vec{u}\). En effet, \(\vec{0} = 0 \times \vec{u}\), ce qui vérifie bien la définition avec \(k = 0\).
Piège classique
Quand un exercice te demande « Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont-ils colinéaires ? » avec \(\vec{v} = \vec{0}\), la réponse est oui, toujours. Ne réponds pas « on ne peut pas conclure ».
II. Critère de colinéarité avec les coordonnées
En Seconde, tu travailles dans un repère du plan. Comment tester la colinéarité à partir des coordonnées d’un vecteur ? Deux critères sont à ta disposition.
A. Le déterminant de deux vecteurs
Propriété — Critère du déterminant
Soient \(\vec{u}(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}(x^\prime\,;\,y^\prime)\) deux vecteurs du plan. On appelle déterminant de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) le nombre :
\(\det(\vec{u},\,\vec{v}) = x\,y^\prime – x^\prime\,y\)
Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si \(\det(\vec{u},\,\vec{v}) = 0\).
C’est le critère à retenir : il est universel (il fonctionne même si certaines coordonnées sont nulles) et il donne une réponse en un seul calcul.
Astuce mnémotechnique — Le « produit en croix »
Place les coordonnées des deux vecteurs en colonnes :
\(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \qquad \vec{v}\begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{pmatrix}\)
Le déterminant se lit en « croix » : tu multiplies en diagonale descendante (\(x \times y^\prime\)) puis tu soustrais la diagonale montante (\(x^\prime \times y\)).
Pourquoi le déterminant fonctionne-t-il ? Le nombre \(|\det(\vec{u},\,\vec{v})|\) représente l’aire du parallélogramme construit sur \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Quand cette aire vaut zéro, le parallélogramme est « aplati » : les deux vecteurs sont sur la même droite — autrement dit, ils sont colinéaires.
B. Le critère de proportionnalité
Il existe un second critère, parfois plus intuitif :
\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{x^\prime} = \displaystyle\frac{y}{y^\prime}\)
Les coordonnées sont dans le même rapport. Cependant, ce critère a une limite importante.
Piège — Coordonnée nulle au dénominateur
Le critère de proportionnalité n’est utilisable que si \(x^\prime \neq 0\) et \(y^\prime \neq 0\). Si l’une des coordonnées de \(\vec{v}\) est nulle, la fraction est indéfinie. Dans ce cas, utilise toujours le déterminant.
Voici un récapitulatif pour choisir le bon critère :
| Critère | Formule | Quand l’utiliser | Avantage |
|---|---|---|---|
| Déterminant | \(\det(\vec{u},\vec{v}) = xy^\prime – x^\prime y = 0\) | Toujours (y compris si des coordonnées sont nulles) | Universel, aucune restriction |
| Proportionnalité | \(\displaystyle\frac{x}{x^\prime} = \displaystyle\frac{y}{y^\prime}\) | Seulement si \(x^\prime \neq 0\) et \(y^\prime \neq 0\) | Plus intuitif (rapport identique) |
La fiche méthode « Vecteurs colinéaires » en 1 page
Définition, critère du déterminant, les 3 étapes et les pièges à éviter — tout sur une seule fiche recto.
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Conseil
En pratique, utilise systématiquement le déterminant. C’est la méthode la plus fiable et celle attendue par les correcteurs. La proportionnalité est utile pour vérifier un résultat ou pour les calculs mentaux rapides.
C. Démonstration du critère du déterminant
Si tu veux comprendre pourquoi le critère du déterminant fonctionne, voici la démonstration :
Démonstration (cliquer pour déplier)
Sens ⟸ : si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires, alors \(\det(\vec{u},\vec{v}) = 0\).
Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires, il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\,\vec{v}\). Donc :
\(x = k\,x^\prime \quad \text{et} \quad y = k\,y^\prime\)On calcule le déterminant :
\(\det(\vec{u},\vec{v}) = x\,y^\prime – x^\prime\,y = k\,x^\prime\,y^\prime – x^\prime\,k\,y^\prime = 0\) ∎
Sens ⟹ : si \(\det(\vec{u},\vec{v}) = 0\), alors \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
On suppose \(x\,y^\prime – x^\prime\,y = 0\), c’est-à-dire \(x\,y^\prime = x^\prime\,y\).
Cas 1 : si \(\vec{v} = \vec{0}\), alors \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires (le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur).
Cas 2 : si \(\vec{v} \neq \vec{0}\), au moins une coordonnée de \(\vec{v}\) est non nulle.
- Si \(x^\prime \neq 0\) : posons \(k = \displaystyle\frac{x}{x^\prime}\). De l’égalité \(x\,y^\prime = x^\prime\,y\), on tire \(y = \displaystyle\frac{x\,y^\prime}{x^\prime} = k\,y^\prime\). Ainsi \(x = k\,x^\prime\) et \(y = k\,y^\prime\), soit \(\vec{u} = k\,\vec{v}\).
- Si \(x^\prime = 0\) mais \(y^\prime \neq 0\) : l’égalité \(x\,y^\prime = 0 \cdot y = 0\) donne \(x = 0\). Posons \(k = \displaystyle\frac{y}{y^\prime}\). Alors \(\vec{u} = (0\,;\,k\,y^\prime) = k\,(0\,;\,y^\prime) = k\,\vec{v}\).
Dans tous les cas, \(\vec{u} = k\,\vec{v}\) : les vecteurs sont colinéaires. ∎
III. Méthode pas à pas — Montrer que deux vecteurs sont colinéaires
A. Les trois étapes de la méthode
Voici la démarche à suivre systématiquement :
Méthode — Tester la colinéarité de deux vecteurs
- Étape 1 — Calculer les coordonnées des deux vecteurs. Si les vecteurs sont définis par des points, utilise \(\vec{AB}(x_B – x_A\,;\,y_B – y_A)\).
- Étape 2 — Calculer le déterminant : \(\det(\vec{u},\vec{v}) = xy^\prime – x^\prime y\).
- Étape 3 — Conclure :
- Si \(\det(\vec{u},\vec{v}) = 0\) : « les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires. »
- Si \(\det(\vec{u},\vec{v}) \neq 0\) : « les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires. »
B. Exemples résolus
Exemple 1 (★) — Test de colinéarité simple
Les vecteurs \(\vec{u}(3\,;\,-2)\) et \(\vec{v}(-9\,;\,6)\) sont-ils colinéaires ?
Étape 1 : les coordonnées sont données.
Étape 2 :
\(\det(\vec{u},\vec{v}) = 3 \times 6 – (-2) \times (-9) = 18 – 18 = 0\)
Étape 3 : le déterminant est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
Vérification : \(\vec{v} = -3\,\vec{u}\) (sens opposés, \(k = -3\)).
Exemple 2 (★) — Déterminer un paramètre
Pour quelle valeur de \(k\) les vecteurs \(\vec{u}(2\,;\,5)\) et \(\vec{v}(k\,;\,10)\) sont-ils colinéaires ?
Étape 2 :
\(\det(\vec{u},\vec{v}) = 2 \times 10 – 5 \times k = 20 – 5k\)
Étape 3 : on résout \(20 – 5k = 0\), soit \(k = 4\).
Vérification : \(\vec{v}(4\,;\,10) = 2\,\vec{u}(2\,;\,5)\). ✓
Exemple 3 (★★) — Vecteurs définis par des points
Soient \(A(1\,;\,4)\), \(B(3\,;\,10)\), \(C(0\,;\,1)\) et \(D(-1\,;\,-2)\). Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont-ils colinéaires ?
Étape 1 :
\(\vec{AB}(3 – 1\,;\,10 – 4) = (2\,;\,6)\)
\(\vec{CD}(-1 – 0\,;\,-2 – 1) = (-1\,;\,-3)\)
Étape 2 :
\(\det(\vec{AB},\vec{CD}) = 2 \times (-3) – 6 \times (-1) = -6 + 6 = 0\)
Étape 3 : le déterminant est nul, donc \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires.
IV. Applications géométriques : alignement et parallélisme 🟡
La colinéarité n’est pas qu’un calcul abstrait : c’est l’outil central pour résoudre deux grands types de problèmes en géométrie repérée.
A. Montrer que trois points sont alignés
Propriété — Alignement et colinéarité
Trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.
L’idée est simple : si \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) pointent dans la même direction, alors \(B\) et \(C\) sont sur la même droite passant par \(A\).
Exemple — Tester l’alignement
Les points \(A(1\,;\,3)\), \(B(3\,;\,7)\) et \(C(5\,;\,11)\) sont-ils alignés ?
\(\vec{AB}(2\,;\,4)\) et \(\vec{AC}(4\,;\,8)\).
\(\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 2 \times 8 – 4 \times 4 = 16 – 16 = 0\).
Les vecteurs sont colinéaires, donc A, B et C sont alignés.
B. Montrer que deux droites sont parallèles
Propriété — Parallélisme et colinéarité
Deux droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires.
Cela découle directement de la notion de vecteur directeur d’une droite : deux droites sont parallèles quand leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Exemple — Tester le parallélisme
Soient \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,8)\), \(C(0\,;\,1)\) et \(D(2\,;\,5)\). Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont-elles parallèles ?
\(\vec{AB}(3\,;\,6)\) et \(\vec{CD}(2\,;\,4)\).
\(\det(\vec{AB},\vec{CD}) = 3 \times 4 – 6 \times 2 = 12 – 12 = 0\).
Les vecteurs sont colinéaires, donc les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles.
Attention à la nuance
Vecteurs colinéaires ⟹ droites parallèles ou confondues. Pour distinguer les deux cas, il faut en plus vérifier si un point de l’une appartient à l’autre (par exemple, si \(A\), \(C\) et \(D\) sont alignés).
V. Exercices corrigés (★ à ★★★)
Entraîne-toi avec ces 6 exercices classés par difficulté croissante. Essaie chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 — ★ Test de colinéarité
Les vecteurs \(\vec{u}(6\,;\,-4)\) et \(\vec{v}(9\,;\,-6)\) sont-ils colinéaires ? Justifier.
Voir la correction
On calcule le déterminant :
\(\det(\vec{u},\vec{v}) = 6 \times (-6) – (-4) \times 9 = -36 + 36 = 0\)Le déterminant est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
Vérification : \(\vec{v} = \displaystyle\frac{3}{2}\,\vec{u}\) (même sens).
Exercice 2 — ★ Déterminer un paramètre
Déterminer la valeur de \(t\) pour que les vecteurs \(\vec{u}(3\,;\,t)\) et \(\vec{v}(6\,;\,8)\) soient colinéaires.
Voir la correction
On écrit la condition de colinéarité :
\(\det(\vec{u},\vec{v}) = 3 \times 8 – t \times 6 = 24 – 6t\)Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si :
\(24 – 6t = 0 \quad \Leftrightarrow \quad t = 4\)Vérification : \(\vec{u}(3\,;\,4)\) et \(\vec{v}(6\,;\,8)\) → \(\vec{v} = 2\,\vec{u}\). ✓
Exercice 3 — ★★ Alignement de trois points
Les points \(A(2\,;\,1)\), \(B(5\,;\,7)\) et \(C(8\,;\,13)\) sont-ils alignés ?
Voir la correction
On calcule les coordonnées de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) :
\(\vec{AB}(5-2\,;\,7-1) = (3\,;\,6)\) \(\vec{AC}(8-2\,;\,13-1) = (6\,;\,12)\)On calcule le déterminant :
\(\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 3 \times 12 – 6 \times 6 = 36 – 36 = 0\)Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires, donc A, B et C sont alignés.
Exercice 4 — ★★ Parallélisme de droites
Soient \(A(0\,;\,3)\), \(B(2\,;\,7)\), \(C(1\,;\,-1)\) et \(D(4\,;\,5)\). Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont-elles parallèles ?
Voir la correction
On calcule les vecteurs directeurs :
\(\vec{AB}(2\,;\,4)\) et \(\vec{CD}(3\,;\,6)\)
On calcule le déterminant :
\(\det(\vec{AB},\vec{CD}) = 2 \times 6 – 4 \times 3 = 12 – 12 = 0\)Les vecteurs sont colinéaires, donc les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles.
Remarque : \(\vec{CD} = \displaystyle\frac{3}{2}\,\vec{AB}\), donc les vecteurs sont bien proportionnels.
Exercice 5 — ★★★ Paramètre et alignement
Déterminer toutes les valeurs de \(m\) pour lesquelles les points \(A(1\,;\,m)\), \(B(m\,;\,1)\) et \(C(2\,;\,3)\) sont alignés.
Voir la correction
On calcule \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) :
\(\vec{AB}(m – 1\,;\,1 – m)\) et \(\vec{AC}(1\,;\,3 – m)\)
Condition d’alignement : \(\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 0\).
\(\det(\vec{AB},\vec{AC}) = (m-1)(3-m) – (1-m) \times 1\)Remarquons que \(-(1-m) = m – 1\). Donc :
\(\det = (m-1)(3-m) + (m-1) = (m-1)\big[(3-m) + 1\big] = (m-1)(4-m)\)On résout \((m-1)(4-m) = 0\) :
\(m = 1 \quad \text{ou} \quad m = 4\)Vérification pour \(m = 1\) : \(A(1\,;\,1)\) et \(B(1\,;\,1)\) sont confondus → les trois points sont trivialement alignés.
Vérification pour \(m = 4\) : \(A(1\,;\,4)\), \(B(4\,;\,1)\), \(C(2\,;\,3)\). On a \(\vec{AB}(3\,;\,-3)\) et \(\vec{AC}(1\,;\,-1)\). Le déterminant vaut \(3 \times (-1) – (-3) \times 1 = -3 + 3 = 0\). ✓
Les points sont alignés pour \(m = 1\) ou \(m = 4\).
Exercice 6 — ★★★ Raisonnement avec colinéarité
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs colinéaires non nuls. Montrer que pour tout réel \(t\), le vecteur \(\vec{w} = \vec{u} + t\,\vec{v}\) est colinéaire à \(\vec{u}\).
Voir la correction
Puisque \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires et \(\vec{u} \neq \vec{0}\), il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\,\vec{u}\).
On calcule \(\vec{w}\) :
\(\vec{w} = \vec{u} + t\,\vec{v} = \vec{u} + t\,(k\,\vec{u}) = \vec{u} + tk\,\vec{u} = (1 + tk)\,\vec{u}\)Le vecteur \(\vec{w}\) est un multiple de \(\vec{u}\) (avec le coefficient \(1 + tk\)), donc \(\vec{w}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires.
Remarque : si \(t = -\displaystyle\frac{1}{k}\), alors \(\vec{w} = \vec{0}\), qui est bien colinéaire à \(\vec{u}\) (cas du vecteur nul).
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les 4 erreurs les plus courantes sur les vecteurs colinéaires. Pour chacune, tu trouveras une copie fautive type, le diagnostic et la bonne réponse.
Erreur n°1 — Confondre colinéaire et égal
❌ Copie fautive : « Les vecteurs \(\vec{u}(2\,;\,3)\) et \(\vec{v}(4\,;\,6)\) ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas les mêmes coordonnées. »
Diagnostic : l’élève confond colinéarité et égalité. Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées ; deux vecteurs colinéaires ont la même direction, mais peuvent avoir des normes et des sens différents.
✅ Correction : \(\vec{v} = 2\,\vec{u}\), donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont bien colinéaires.
Erreur n°2 — Oublier le vecteur nul
❌ Copie fautive : « On ne peut pas déterminer si \(\vec{u}(3\,;\,-1)\) et \(\vec{0}(0\,;\,0)\) sont colinéaires. »
Diagnostic : l’élève pense que la colinéarité n’est pas définie avec le vecteur nul.
✅ Correction : le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Ici, \(\vec{0} = 0 \times \vec{u}\). Le déterminant confirme : \(\det = 3 \times 0 – (-1) \times 0 = 0\).
Erreur n°3 — Se tromper de signe dans le déterminant
❌ Copie fautive : « \(\det(\vec{u},\vec{v}) = xy^\prime + x^\prime y\) » ou « \(\det(\vec{u},\vec{v}) = x^\prime y – xy^\prime\) ».
Diagnostic : l’élève inverse les termes ou oublie le signe moins.
✅ Correction : la formule est \(\det(\vec{u},\vec{v}) = xy^\prime \mathbf{-}\; x^\prime y\) (diagonale descendante moins diagonale montante). En cas de doute, vérifie sur un exemple connu.
Erreur n°4 — Utiliser la proportionnalité avec une coordonnée nulle
❌ Copie fautive : « \(\vec{u}(0\,;\,3)\) et \(\vec{v}(0\,;\,5)\) : \(\displaystyle\frac{0}{0}\) est indéfini, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. »
Diagnostic : l’élève utilise le critère de proportionnalité sans vérifier les conditions d’application.
✅ Correction : on utilise le déterminant : \(\det = 0 \times 5 – 3 \times 0 = 0\). Les vecteurs sont colinéaires (\(\vec{v} = \displaystyle\frac{5}{3}\,\vec{u}\)).
VII. Questions fréquentes
C'est quoi des vecteurs colinéaires en maths ?
Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l’un est un multiple de l’autre : il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\,\vec{v}\). Géométriquement, ils sont portés par des droites parallèles (ou confondues). On teste la colinéarité avec le déterminant : \(xy^\prime – x^\prime y = 0\).
Comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires ?
Utilise le critère du déterminant en 3 étapes :
- Calcule les coordonnées des deux vecteurs.
- Calcule le déterminant : \(\det(\vec{u},\vec{v}) = xy^\prime – x^\prime y\).
- Si le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires. Sinon, ils ne le sont pas.
Quelle est la différence entre vecteurs colinéaires et vecteurs égaux ?
Deux vecteurs égaux ont exactement les mêmes coordonnées (même direction, même sens, même norme d’un vecteur). Deux vecteurs colinéaires ont la même direction, mais peuvent avoir des normes différentes et être de sens opposés. Par exemple, \(\vec{u}(1\,;\,2)\) et \(\vec{v}(3\,;\,6)\) sont colinéaires (même direction) mais pas égaux (coordonnées différentes).
Le vecteur nul est-il colinéaire à tout vecteur ?
Oui. Par définition, \(\vec{0} = 0 \times \vec{u}\) pour tout vecteur \(\vec{u}\), ce qui vérifie la condition de colinéarité. Le déterminant d’un couple contenant le vecteur nul est toujours nul.
Deux vecteurs colinéaires sont-ils toujours de même sens ?
Non. Deux vecteurs colinéaires ont la même direction, mais peuvent être de même sens ou de sens opposés. Par exemple, \(\vec{u}(1\,;\,2)\) et \(\vec{v}(-3\,;\,-6)\) sont colinéaires avec \(\vec{v} = -3\,\vec{u}\) : le coefficient \(k = -3\) est négatif, donc ils sont de sens opposés.
Quel est le lien entre colinéarité et parallélisme ?
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Tester le parallélisme de deux droites revient donc à tester la colinéarité de leurs vecteurs directeurs.
Le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires est-il toujours nul ?
Non, c’est l’inverse ! Si \(\vec{v} = k\,\vec{u}\), le produit scalaire vaut \(\vec{u} \cdot \vec{v} = k\,\|\vec{u}\|^2\), qui n’est nul que si \(k = 0\) ou \(\vec{u} = \vec{0}\). C’est le produit scalaire nul qui caractérise l’orthogonalité (vecteurs perpendiculaires), pas la colinéarité.
VIII. Pour aller plus loin
🔴 En prépa : colinéarité et indépendance linéaire
En classe préparatoire, la colinéarité se reformule dans le langage de l’algèbre linéaire. Dire que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires revient à dire que la famille \((\vec{u},\,\vec{v})\) est liée : il existe \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\), non tous nuls, tels que :
\(\alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v} = \vec{0}\)Inversement, deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre — autrement dit, une base du plan \(\mathbb{R}^2\). Le déterminant que tu calcules en Seconde est exactement le déterminant de la matrice \(\begin{pmatrix} x & x^\prime \\ y & y^\prime \end{pmatrix}\) : il est nul si et seulement si les colonnes sont linéairement dépendantes.
Cette idée se généralise en dimension quelconque : en dimension 3, trois vecteurs coplanaires forment une famille liée, et le déterminant \(3 \times 3\) s’annule. En dimension \(n\), le critère repose sur le rang de la matrice des composantes dans une base.
Cours connexes
Tu maîtrises maintenant la colinéarité. Pour compléter le chapitre vecteurs :
- Coordonnées d’un vecteur — le prérequis pour calculer un déterminant
- Addition de vecteurs et relation de Chasles — les opérations fondamentales sur les vecteurs
- Norme d’un vecteur — calculer la longueur d’un vecteur à partir de ses coordonnées
- Vecteur directeur d’une droite — le lien entre colinéarité et parallélisme de droites
- Vecteur normal — le vecteur perpendiculaire au vecteur directeur
- Exercices corrigés sur les vecteurs en Seconde (PDF) — pour s’entraîner sur tout le chapitre
