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En Terminale, tu perds rarement des points parce que tu ne connais pas le cours : tu les perds sur des fautes de calcul évitables. Un signe oublié, une fraction mal additionnée, une dérivée bâclée, et une copie brillante finit à 12/20. Cet article recense les 10 erreurs que je vois le plus souvent chez mes élèves, avec pour chacune un exemple concret et une méthode de vérification à appliquer en 10 secondes. Objectif : sécuriser ton calcul jusqu’au bac.
| N° | Erreur | À retenir |
|---|---|---|
| 1 | Signe après un moins | Distribuer le « − » à TOUS les termes |
| 2 | Addition de fractions | Jamais additionner les dénominateurs |
| 3 | Identité remarquable | (a+b)² ≠ a²+b² |
| 4 | Puissances et racines | Ne pas séparer une racine d’une somme |
| 5 | Dérivée d’un produit | Ne jamais dériver terme à terme un produit |
| 6 | Dérivée composée | Ne pas oublier la dérivée « intérieure » |
| 7 | ln et exp | ln(a+b) ≠ ln a + ln b |
| 8 | Simplification de fraction | On simplifie des facteurs, pas des termes |
| 9 | Division par une expression | Vérifier qu’elle n’est pas nulle |
| 10 | Inégalités | Multiplier par un négatif inverse le sens |
1. Le signe qui saute après un « moins »
C’est de loin l’erreur la plus fréquente. Quand tu soustrais une parenthèse, tu dois changer le signe de tous les termes à l’intérieur, pas seulement du premier.
Écrire \(3x – (2x – 5) = 3x – 2x – 5 = x – 5\) est faux. Le bon résultat est \(3x – (2x – 5) = 3x – 2x + 5 = x + 5\).
Le réflexe : dès que tu vois un signe « − » devant une parenthèse, réécris-la mentalement comme \(-1 \times (\ldots)\) et distribue. Cette erreur ressurgit partout : dans un calcul de limite, une intégration par parties, ou une factorisation. Pour t’entraîner sur ce socle indispensable, revois le calcul littéral qui conditionne toute la Terminale.
Vérification : remplace \(x\) par une valeur simple (par exemple \(x = 1\)) dans l’expression de départ et dans ton résultat. Si les deux ne donnent pas la même chose, tu as une faute de signe.
2. Additionner les dénominateurs
Un classique : « je fais la somme du haut et la somme du bas ». C’est faux, et ça coûte cher.
\(\displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{3} \neq \displaystyle\frac{1+1}{2+3} = \displaystyle\frac{2}{5}\). Le vrai calcul passe par le même dénominateur : \(\displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{3}{6} + \displaystyle\frac{2}{6} = \displaystyle\frac{5}{6}\).
La règle d’or : pour additionner deux fractions, il faut un dénominateur commun. La multiplication, elle, se fait bien numérateur × numérateur et dénominateur × dénominateur, ce qui entretient la confusion.
Vérification : une somme de deux nombres positifs doit être plus grande que chacun d’eux. Ici \(\displaystyle\frac{5}{6} \approx 0{,}83\) est bien supérieur à \(\displaystyle\frac{1}{2}\) et à \(\displaystyle\frac{1}{3}\), alors que \(\displaystyle\frac{2}{5} = 0{,}4\) est plus petit que \(\displaystyle\frac{1}{2}\) : le résultat était forcément faux.
3. Croire que (a+b)² = a²+b²
Le double produit disparaît trop souvent. Or l’identité remarquable est incontournable en Terminale, notamment dans les calculs de variance en probabilités.
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Par exemple \((x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\), et non \(x^2 + 9\).
La même faute existe avec le carré d’une différence : \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\). Ne confonds pas non plus avec \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\), qui lui n’a pas de double produit.
Vérification : teste avec \(a = 1\) et \(b = 1\). On a \((1+1)^2 = 4\), alors que \(1^2 + 1^2 = 2\). L’écart montre immédiatement l’absence du terme \(2ab\). Un test numérique de 5 secondes te sauve à chaque identité douteuse.
4. Séparer une racine ou une puissance d’une somme
La racine et la puissance ne « traversent » pas l’addition. Beaucoup l’oublient en analyse.
\(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\). Exemple : \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\), alors que \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).
En revanche, la racine et la puissance passent bien à travers un produit ou un quotient : \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}\) et \((ab)^2 = a^2 b^2\). C’est la présence d’une addition qui bloque la séparation.
Vérification : même principe que précédemment, teste avec des nombres. Retiens la règle générale : produit et quotient se distribuent, somme et différence non. Ce réflexe t’évite énormément d’erreurs fréquentes au lycée.
5. Dériver un produit terme à terme
La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées. La formule est incontournable et tombe à chaque contrôle d’analyse.
Si \(h = uv\), alors \(h^\prime = u^\prime v + u v^\prime\).
Pour \(f(x) = x^2 e^x\), on pose \(u = x^2\) et \(v = e^x\). Alors \(f^\prime(x) = 2x \, e^x + x^2 e^x = (x^2 + 2x)e^x\). Écrire \(f^\prime(x) = 2x \, e^x\) serait faux.
Même vigilance pour le quotient : \(\left(\displaystyle\frac{u}{v}\right)^\prime = \displaystyle\frac{u^\prime v – u v^\prime}{v^2}\). Attention à l’ordre au numérateur, l’inverser change le signe.
Vérification : pour un produit, factorise ton résultat et vérifie qu’il reste bien deux morceaux additionnés. Pour approfondir la méthode complète, consulte notre fiche sur le calcul des dérivées.
6. Oublier la dérivée « intérieure » d’une composée
C’est l’erreur reine des fonctions du type \(e^{u}\), \(\ln(u)\) ou \(u^n\). On dérive l’extérieur mais on oublie de multiplier par \(u^\prime\).
Pour \(f(x) = e^{3x}\), la dérivée n’est pas \(e^{3x}\) mais \(f^\prime(x) = 3\,e^{3x}\). Il manque le facteur \(u^\prime = 3\).
La formule générale à mémoriser : \((e^{u})^\prime = u^\prime \, e^{u}\) et \((\ln u)^\prime = \displaystyle\frac{u^\prime}{u}\). Autre exemple courant : \(f(x) = (2x+1)^5\) donne \(f^\prime(x) = 5 \times 2 \times (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4\).
Vérification : demande-toi systématiquement « quelle est la fonction à l’intérieur ? » et vérifie que sa dérivée apparaît en facteur. Cette erreur se transforme souvent en faux signe de dérivée, donc en faux tableau de variations : elle contamine toute la suite de l’exercice.
7. Confondre les règles de ln et exp
Le logarithme transforme les produits en sommes, mais il ne se distribue pas sur une somme.
\(\ln(a+b) \neq \ln a + \ln b\). La vraie règle est \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\).
De même côté exponentielle : \(e^{a+b} = e^a \times e^b\) (l’addition dans l’exposant devient un produit), et \(e^{a-b} = \displaystyle\frac{e^a}{e^b}\). Beaucoup écrivent à tort \(e^{a+b} = e^a + e^b\).
Retiens la logique : le logarithme « descend d’un cran » (produit → somme, puissance → produit) et l’exponentielle « remonte d’un cran » (somme → produit).
Vérification : teste avec \(a = b = \ln 2\) ou avec des valeurs numériques à la calculatrice. Une seule contre-vérification suffit à éliminer une fausse propriété que tu croyais vraie.
8. Simplifier des termes au lieu de facteurs
On ne peut simplifier une fraction que par un facteur commun présent au numérateur et au dénominateur, jamais par un terme d’une somme.
\(\displaystyle\frac{x+2}{2} \neq x\) : on ne peut pas « barrer » les 2, car le 2 du haut est additionné, pas multiplié. En revanche \(\displaystyle\frac{2x}{2} = x\) est correct car là le 2 est un facteur.
Autre cas piégeant : \(\displaystyle\frac{x^2 + x}{x} = \displaystyle\frac{x(x+1)}{x} = x + 1\) (pour \(x \neq 0\)). Il faut d’abord factoriser avant de simplifier. Simplifier directement sans factoriser mène presque toujours à une faute.
Vérification : avant de barrer quoi que ce soit, assure-toi que l’élément que tu supprimes est bien en facteur de tout le numérateur et de tout le dénominateur. En cas de doute, factorise d’abord, simplifie ensuite. C’est un réflexe qu’on entraîne dès le calcul du taux de variation.
9. Diviser par une expression qui peut être nulle
Quand tu résous une équation, diviser par une inconnue peut faire disparaître des solutions.
Pour résoudre \(x^2 = 3x\), diviser par \(x\) donne \(x = 3\) et fait perdre la solution \(x = 0\). Il faut factoriser : \(x^2 – 3x = 0\) soit \(x(x – 3) = 0\), d’où \(x = 0\) ou \(x = 3\).
La règle : ne divise jamais par une expression contenant l’inconnue sans avoir vérifié qu’elle est non nulle. À la place, passe tout d’un côté et factorise pour utiliser la règle du produit nul.
Vérification : une équation polynomiale de degré 2 admet au plus deux solutions ; si tu n’en trouves qu’une alors que le degré est deux, méfie-toi. Cette rigueur sur les cas particuliers est exactement ce qui distingue une bonne copie, comme on l’explique dans nos erreurs de rédaction en DS.
10. Oublier de changer le sens d’une inégalité
Multiplier ou diviser une inégalité par un nombre négatif inverse le sens du symbole. C’est une erreur mécanique très courante.
À partir de \(-2x \leq 6\), on divise par \(-2\) : le sens change, donc \(x \geq -3\). Écrire \(x \leq -3\) est faux.
Même vigilance quand tu multiplies par une quantité dont tu ne connais pas le signe (par exemple \(x\)) : il faut alors distinguer les cas \(x > 0\) et \(x < 0\). Ajouter ou soustraire, en revanche, ne change jamais le sens.
Vérification : prends une valeur test dans ta solution finale et vérifie qu’elle satisfait l’inégalité de départ. Ici, \(x = 0\) vérifie bien \(-2 \times 0 = 0 \leq 6\), et \(0 \geq -3\) : cohérent. Un test suffit à trancher.
Comment progresser au-delà de ces erreurs
La bonne nouvelle : ces 10 erreurs sont mécaniques, donc corrigeables par l’entraînement ciblé. Le point commun de toutes les vérifications proposées ci-dessus, c’est le test numérique : remplacer l’inconnue par une valeur simple pour contrôler une égalité, une factorisation ou une inégalité. Prends l’habitude de le faire à chaque étape sensible : c’est ta meilleure assurance contre les points perdus bêtement.
Concrètement, dès aujourd’hui, tiens un carnet d’erreurs. À chaque fois que tu perds des points en DS, note la faute exacte, la règle correcte et un exemple. En relisant ce carnet avant chaque contrôle, tu verras que tes erreurs se répètent : ce sont presque toujours les mêmes qui reviennent, et les traquer une par une fait gagner plusieurs points.
Ensuite, cible tes fragilités. Si tu bloques sur les factorisations et les signes, reprends les bases du calcul littéral. Si ce sont les fonctions, entraîne-toi spécifiquement sur le calcul des dérivées. Enfin, refais chaque exercice raté sans regarder la correction : c’est le seul moyen de vérifier que tu as vraiment corrigé le réflexe, et non simplement compris l’erreur. Vise la régularité : 15 minutes de calcul propre par jour valent mieux qu’une longue session hebdomadaire.
