Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec un niveau de rigueur pensé pour le lycée et la prépa. Découvrir le professeur
Tu connais les médianes d’un triangle — ces segments reliant chaque sommet au milieu du côté opposé. Mais sais-tu qu’il existe une formule reliant les longueurs des côtés à celles des médianes ? C’est le théorème de la médiane, un résultat fondamental du chapitre sur le produit scalaire en Première spé maths. Tu vas découvrir ici son énoncé, sa démonstration détaillée, une méthode d’utilisation et des exercices corrigés. Conforme au programme 2025-2026.
I. Qu’est-ce que le théorème de la médiane ?
A. Rappel — La médiane d’un triangle
Dans un triangle ABC, la médiane issue de A est le segment \([AI]\) où \(I\) est le milieu du côté \([BC]\). Chaque triangle possède trois médianes, qui se coupent toutes en un même point : le centre de gravité (noté \(G\)). Ce point partage chaque médiane dans le rapport \(2/1\) à partir du sommet.
Ne confonds pas : la médiane (vers le milieu du côté opposé) et la hauteur (perpendiculaire au côté opposé). Elles ne coïncident que dans un triangle isocèle, depuis le sommet principal.
B. Énoncé du théorème de la médiane
Théorème de la médiane
Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu du segment \([BC]\). Alors :
\(AB^2 + AC^2 = 2\,AI^2 + \displaystyle\frac{BC^2}{2}\)
Autrement dit : la somme des carrés de deux côtés d’un triangle est égale au double du carré de la médiane correspondante, plus la moitié du carré du troisième côté.
Ce résultat porte aussi le nom de théorème d’Apollonius, du nom du mathématicien grec Apollonius de Perge (IIIᵉ siècle av. J.-C.).
On peut écrire cette relation de manière équivalente :
\(AB^2 + AC^2 = 2\,AI^2 + 2\,BI^2\)puisque \(BI = \displaystyle\frac{BC}{2}\), ce qui donne bien \(2\,BI^2 = \displaystyle\frac{BC^2}{2}\).
![Triangle ABC avec A en haut, B en bas à gauche, C en bas à droite. Le point I est le milieu de [BC], marqué par des trai](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/06/theoreme_mediane_triangle.png)
C. Formulation pour un point quelconque du plan
Le théorème admet une version plus générale, valable pour tout point du plan, pas seulement les sommets du triangle :
Théorème de la médiane — version générale
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan et \(I\) le milieu du segment \([AB]\). Pour tout point \(M\) du plan :
\(MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \displaystyle\frac{AB^2}{2}\)
C’est cette formulation « pour tout point \(M\) » qui est la plus puissante en pratique : elle permet de calculer la somme \(MA^2 + MB^2\) en connaissant seulement la distance de \(M\) au milieu \(I\).
Exemple rapide : si \(AB = 6\) et \(MI = 4\), alors :
\(MA^2 + MB^2 = 2 \times 16 + \displaystyle\frac{36}{2} = 32 + 18 = 50\)
La version « triangle » est un cas particulier : il suffit de prendre \(M = A\), et de remplacer \(A\) et \(B\) de la formule générale par \(B\) et \(C\).
II. Démonstration du théorème de la médiane par le produit scalaire
La démonstration repose sur le développement du carré scalaire, qui utilise la bilinéarité du produit scalaire. C’est la même propriété fondamentale qui intervient dans la formule de polarisation étudiée dans le cours sur le produit scalaire.
A. Démonstration détaillée
On démontre la version générale (pour tout point \(M\)), qui implique automatiquement la version « triangle ».
Hypothèse : \(A\) et \(B\) sont deux points du plan, \(I\) est le milieu de \([AB]\), et \(M\) est un point quelconque.
Étape 1 — Décomposer les vecteurs en passant par I.
Par la relation de Chasles :
\(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\) \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}\)Comme \(I\) est le milieu de \([AB]\), on a \(\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}\), donc :
\(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} – \overrightarrow{IA}\)Étape 2 — Développer les carrés scalaires.
Rappelons que pour tout vecteur \(\vec{u}\), on a \(\|\vec{u}\|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}\). Calculons donc \(MA^2\) :
\(MA^2 = \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MA} = \left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\right) \cdot \left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\right)\)En développant grâce à la bilinéarité du produit scalaire :
\(MA^2 = MI^2 + 2\;\overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IA} + IA^2\)De même pour \(MB^2\) :
\(MB^2 = \left(\overrightarrow{MI} – \overrightarrow{IA}\right) \cdot \left(\overrightarrow{MI} – \overrightarrow{IA}\right) = MI^2 – 2\;\overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IA} + IA^2\)Étape 3 — Additionner.
En additionnant ces deux égalités :
\(MA^2 + MB^2 = \left(MI^2 + 2\;\overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IA} + IA^2\right) + \left(MI^2 – 2\;\overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IA} + IA^2\right)\)Les termes en \(\overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IA}\) s’annulent (l’un est positif, l’autre négatif) :
\(MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + 2\,IA^2\)Or \(IA = \displaystyle\frac{AB}{2}\), donc \(IA^2 = \displaystyle\frac{AB^2}{4}\), et finalement :
\(MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \displaystyle\frac{AB^2}{2}\) ∎
Clé de la démonstration : le produit scalaire « mixte » \(\overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IA}\) apparaît avec un signe \(+\) dans \(MA^2\) et un signe \(–\) dans \(MB^2\). En additionnant, il disparaît. C’est cette simplification qui fait toute l’élégance du théorème.
B. Vérification sur un exemple numérique
Vérifions la formule sur le triangle ABC rectangle en \(B\), avec \(AB = 3\), \(BC = 4\) et \(AC = 5\) (triangle rectangle classique vérifiant le théorème de Pythagore).
Soit \(I\) le milieu de \([BC]\). On veut vérifier que \(AB^2 + AC^2 = 2\,AI^2 + \displaystyle\frac{BC^2}{2}\).
Membre de gauche : \(AB^2 + AC^2 = 9 + 25 = 34\)
Membre de droite : plaçons \(B(0\,;\,0)\), \(C(4\,;\,0)\) et \(A(0\,;\,3)\). Alors \(I(2\,;\,0)\) et :
\(AI^2 = (0-2)^2 + (3-0)^2 = 4 + 9 = 13\)\(2\,AI^2 + \displaystyle\frac{BC^2}{2} = 2 \times 13 + \displaystyle\frac{16}{2} = 26 + 8 = 34\) ✓
Les deux membres sont bien égaux : le théorème est vérifié.
Fiche de synthèse — Produit scalaire (Première)
Toutes les formules du chapitre sur une seule page : définitions, propriétés, théorème de la médiane, Al-Kashi.
📄 Télécharger la fiche PDFIdéal pour tes révisions avant le DS ou le bac.
III. Comment utiliser le théorème de la médiane
Passons maintenant à la pratique. Comment appliquer efficacement ce théorème dans un exercice ?
A. Méthode pas à pas en 3 étapes
Méthode en 3 étapes
- Identifier la médiane : repérer le segment reliant un sommet (ou un point quelconque) au milieu du côté opposé (ou d’un segment).
- Écrire la formule adaptée :
- Version triangle : \(AB^2 + AC^2 = 2\,AI^2 + \displaystyle\frac{BC^2}{2}\)
- Version générale : \(MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \displaystyle\frac{AB^2}{2}\)
- Isoler l’inconnue et calculer.
Selon ce que tu cherches, isole la bonne grandeur :
- La longueur de la médiane : \(AI^2 = \displaystyle\frac{2\,AB^2 + 2\,AC^2 – BC^2}{4}\)
- La longueur d’un côté : isole le côté correspondant dans la formule.
- La distance \(MI\) (version générale) : \(MI^2 = \displaystyle\frac{MA^2 + MB^2}{2} – \displaystyle\frac{AB^2}{4}\)
B. Quand utiliser le théorème de la médiane ?
Le théorème de la médiane n’est pas le seul outil pour calculer des longueurs dans un triangle. Voici un tableau pour choisir le bon théorème :
| Tu connais… | Tu cherches… | Théorème à utiliser |
|---|---|---|
| Les trois côtés | La longueur d’une médiane | Théorème de la médiane |
| Deux côtés et la médiane relative au troisième | Le troisième côté | Théorème de la médiane |
| Deux côtés et l’angle entre eux | Le troisième côté | Théorème d’Al-Kashi |
| Les trois côtés | Un angle | Théorème d’Al-Kashi |
| Un angle droit | Un côté | Théorème de Pythagore |
Règle simple : dès que l’énoncé mentionne un milieu ou une médiane, pense au théorème de la médiane. S’il mentionne un angle, pense plutôt au théorème d’Al-Kashi.
IV. Applications et cas particuliers
Le théorème de la médiane donne accès à plusieurs résultats remarquables. Voici les applications les plus utiles pour le bac et les DS.
A. Calculer la longueur d’une médiane
En isolant \(AI^2\) dans la formule du théorème, on obtient la formule de la longueur d’une médiane :
Formule de la longueur d’une médiane
Dans un triangle de côtés \(a = BC\), \(b = AC\) et \(c = AB\), la médiane \(m_a\) issue de \(A\) vérifie :
\(m_a^2 = \displaystyle\frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{4}\)
soit \(m_a = \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 – a^2}\)
Exemple : dans un triangle isocèle avec \(AB = AC = 5\) et \(BC = 6\), calculons la médiane issue de \(A\).
\(m_a^2 = \displaystyle\frac{2 \times 25 + 2 \times 25 – 36}{4} = \displaystyle\frac{50 + 50 – 36}{4} = \displaystyle\frac{64}{4} = 16\)
Donc \(m_a = 4\).
B. Médiane et triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse possède une propriété remarquable :
Propriété — Médiane et triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l’angle droit est égale à la moitié de l’hypoténuse.
Démonstration : soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(B\), d’hypoténuse \([AC]\). Notons \(I\) le milieu de \([AC]\).
Le théorème de la médiane donne :
\(BA^2 + BC^2 = 2\,BI^2 + \displaystyle\frac{AC^2}{2}\)Par le théorème de Pythagore : \(BA^2 + BC^2 = AC^2\). D’où :
\(AC^2 = 2\,BI^2 + \displaystyle\frac{AC^2}{2}\) \(\displaystyle\frac{AC^2}{2} = 2\,BI^2\)\(BI^2 = \displaystyle\frac{AC^2}{4}\), donc \(BI = \displaystyle\frac{AC}{2}\) ∎
Exemple : dans un triangle rectangle de côtés \(AB = 6\), \(BC = 8\) et \(AC = 10\) (rectangle en \(B\)), la médiane issue de \(B\) vaut :
\(BI = \displaystyle\frac{AC}{2} = \displaystyle\frac{10}{2} = 5\)
C. Relation entre les trois médianes d’un triangle
En appliquant la formule de la longueur d’une médiane aux trois sommets et en additionnant, on obtient un résultat élégant :
Propriété — Somme des carrés des médianes
Dans un triangle de côtés \(a\), \(b\), \(c\) et de médianes \(m_a\), \(m_b\), \(m_c\) :
\(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \displaystyle\frac{3}{4}\left(a^2 + b^2 + c^2\right)\)
La somme des carrés des trois médianes vaut exactement les trois quarts de la somme des carrés des trois côtés. La preuve consiste simplement à additionner les trois formules :
\(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \displaystyle\frac{(2b^2 + 2c^2 – a^2) + (2a^2 + 2c^2 – b^2) + (2a^2 + 2b^2 – c^2)}{4} = \displaystyle\frac{3a^2 + 3b^2 + 3c^2}{4}\)Cette relation est très utile pour vérifier des calculs : si tu as déterminé les trois médianes, tu peux contrôler tes résultats en vérifiant cette égalité.
V. Exercices corrigés (★ à ★★★)
Voici 4 exercices progressifs pour t’entraîner. Essaie de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 (★) — Calculer une longueur de médiane
Dans le triangle \(ABC\), on donne \(AB = 5\), \(AC = 5\) et \(BC = 6\). Calculer la longueur de la médiane issue de \(A\).
Voir la correction
Notons \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(m_a = AI\) la médiane issue de \(A\).
Le théorème de la médiane donne :
\(AB^2 + AC^2 = 2\,AI^2 + \displaystyle\frac{BC^2}{2}\)On remplace par les valeurs numériques :
\(25 + 25 = 2\,AI^2 + \displaystyle\frac{36}{2}\) \(50 = 2\,AI^2 + 18\) \(2\,AI^2 = 32\) \(AI^2 = 16\)Résultat : \(AI = 4\).
Vérification : le triangle est isocèle en \(A\), donc la médiane issue de \(A\) est aussi la hauteur. Dans le triangle \(ABI\) rectangle en \(I\) : \(AI^2 = AB^2 – BI^2 = 25 – 9 = 16\). ✓
Exercice 2 (★) — Utiliser la version pour un point quelconque
Soient \(A\) et \(B\) deux points tels que \(AB = 10\). On note \(I\) le milieu de \([AB]\). Un point \(M\) du plan vérifie \(MA = 8\) et \(MB = 6\). Calculer \(MI\).
Voir la correction
On applique le théorème de la médiane (version générale) :
\(MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \displaystyle\frac{AB^2}{2}\)On remplace :
\(64 + 36 = 2\,MI^2 + \displaystyle\frac{100}{2}\) \(100 = 2\,MI^2 + 50\) \(2\,MI^2 = 50\) \(MI^2 = 25\)Résultat : \(MI = 5\).
Exercice 3 (★★) — Triangle rectangle et médiane
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), avec \(AB = 6\) et \(BC = 8\).
- Calculer \(AC\).
- Soit \(I\) le milieu de \([AC]\). Calculer \(BI\) à l’aide du théorème de la médiane.
- Retrouver ce résultat grâce à la propriété de la médiane dans un triangle rectangle.
Voir la correction
1. Par le théorème de Pythagore :
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 36 + 64 = 100\), donc \(AC = 10\).
2. Le théorème de la médiane avec \(I\) milieu de \([AC]\) donne :
\(BA^2 + BC^2 = 2\,BI^2 + \displaystyle\frac{AC^2}{2}\) \(36 + 64 = 2\,BI^2 + \displaystyle\frac{100}{2}\) \(100 = 2\,BI^2 + 50\)\(2\,BI^2 = 50\), donc \(BI^2 = 25\).
Résultat : \(BI = 5\).
3. Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l’angle droit est égale à la moitié de l’hypoténuse :
\(BI = \displaystyle\frac{AC}{2} = \displaystyle\frac{10}{2} = 5\) ✓
On retrouve bien le même résultat.
Exercice 4 (★★★) — Somme des carrés des médianes
Soit \(ABC\) un triangle de côtés \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\). On note \(m_a\), \(m_b\), \(m_c\) les longueurs des médianes issues respectivement de \(A\), \(B\) et \(C\).
- Montrer que \(m_a^2 = \displaystyle\frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{4}\).
- En déduire que \(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \displaystyle\frac{3}{4}\left(a^2 + b^2 + c^2\right)\).
- Calculer la longueur des médianes d’un triangle équilatéral de côté \(6\).
Voir la correction
1. Notons \(I\) le milieu de \([BC]\). Le théorème de la médiane s’écrit :
\(c^2 + b^2 = 2\,m_a^2 + \displaystyle\frac{a^2}{2}\)On isole \(m_a^2\) :
\(2\,m_a^2 = b^2 + c^2 – \displaystyle\frac{a^2}{2} = \displaystyle\frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{2}\)\(m_a^2 = \displaystyle\frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{4}\) ∎
2. Par des raisonnements analogues (en permutant les rôles des sommets) :
\(m_b^2 = \displaystyle\frac{2a^2 + 2c^2 – b^2}{4}\) et \(m_c^2 = \displaystyle\frac{2a^2 + 2b^2 – c^2}{4}\)
En additionnant les trois expressions :
\(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \displaystyle\frac{(2b^2 + 2c^2 – a^2) + (2a^2 + 2c^2 – b^2) + (2a^2 + 2b^2 – c^2)}{4}\)\(= \displaystyle\frac{3a^2 + 3b^2 + 3c^2}{4} = \displaystyle\frac{3}{4}\left(a^2 + b^2 + c^2\right)\) ∎
3. Dans un triangle équilatéral de côté \(a = b = c = 6\), les trois médianes ont la même longueur \(m\) :
\(m^2 = \displaystyle\frac{2 \times 36 + 2 \times 36 – 36}{4} = \displaystyle\frac{108}{4} = 27\)Résultat : \(m = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20\).
Vérification : \(3m^2 = 81\) et \(\displaystyle\frac{3}{4}(36 + 36 + 36) = \displaystyle\frac{3 \times 108}{4} = 81\) ✓
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les erreurs que je vois le plus souvent chez mes élèves sur ce théorème. Prends le temps de les lire — elles te feront gagner des points le jour du DS.
Piège n°1 — Confondre médiane et hauteur
La médiane issue de \(A\) va vers le milieu de \([BC]\). La hauteur issue de \(A\) est perpendiculaire à \((BC)\). Ce ne sont pas les mêmes segments — sauf dans un triangle isocèle en \(A\) où les deux coïncident.
Piège n°2 — Oublier le coefficient 2
L’erreur la plus fréquente est d’écrire :
❌ \(AB^2 + AC^2 = AI^2 + \displaystyle\frac{BC^2}{2}\)
La formule correcte comporte un facteur 2 devant \(AI^2\) :
✅ \(AB^2 + AC^2 = \mathbf{2}\,AI^2 + \displaystyle\frac{BC^2}{2}\)
Piège n°3 — Se tromper de médiane
Dans \(AB^2 + AC^2 = 2\,AI^2 + \displaystyle\frac{BC^2}{2}\), le segment \(AI\) est la médiane issue de A et \(BC\) est le côté opposé à \(A\). Si tu veux la médiane issue de \(B\), il faut réécrire la formule :
\(BA^2 + BC^2 = 2\,BJ^2 + \displaystyle\frac{AC^2}{2}\) (où \(J\) est le milieu de \([AC]\)).
Piège n°4 — Confondre avec le théorème d’Al-Kashi
Le théorème de la médiane ne fait intervenir aucun angle. Si l’énoncé mentionne un angle, c’est le théorème d’Al-Kashi qu’il faut utiliser (formule : \(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A\)).
VII. Questions fréquentes
Comment utiliser le théorème de la médiane ?
Repère d’abord la médiane dans la figure : c’est le segment d’un sommet au milieu du côté opposé. Écris la formule \(AB^2 + AC^2 = 2\,AI^2 + \displaystyle\frac{BC^2}{2}\) en identifiant le sommet (\(A\)) et le côté opposé (\(BC\)). Remplace les valeurs connues et isole l’inconnue. Si l’énoncé donne un point quelconque \(M\) et un milieu \(I\), utilise la version générale.
Quelle est la formule de la médiane ?
La longueur de la médiane \(m_a\) issue du sommet \(A\) dans un triangle de côtés \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\) vaut : \(m_a = \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 – a^2}\). Cette formule se déduit directement du théorème de la médiane en isolant \(m_a^2\).
Quelle est la différence entre le théorème de la médiane et le théorème d'Al-Kashi ?
Le théorème de la médiane relie les côtés et les médianes d’un triangle, sans aucun angle. Le théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus) relie les côtés et un angle : \(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A\). Retiens : si l’énoncé mentionne un milieu ou une médiane, utilise le théorème de la médiane ; s’il mentionne un angle, utilise Al-Kashi.
Le théorème de la médiane est-il au programme du bac ?
Oui. Le théorème de la médiane fait partie du chapitre « Produit scalaire » au programme de Première spé maths. Il est régulièrement utile dans les exercices de géométrie au bac de Terminale. Sa démonstration par le produit scalaire est un classique des interrogations de cours.
Comment calculer la longueur d'une médiane d'un triangle ?
Utilise la formule \(m_a^2 = \displaystyle\frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{4}\), où \(a\) est le côté opposé au sommet d’où part la médiane, et \(b\), \(c\) sont les deux autres côtés. Calcule d’abord \(m_a^2\), puis prends la racine carrée pour obtenir \(m_a\).
Peut-on utiliser le théorème de la médiane dans l'espace ?
Oui. La démonstration repose uniquement sur le produit scalaire et la relation de Chasles, qui sont valables dans le plan comme dans l’espace. Le théorème s’applique donc tel quel en géométrie dans l’espace, ce qui est au programme de Terminale. Voir le cours sur le produit scalaire dans l’espace.
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le théorème de la médiane : son énoncé, sa démonstration et ses principales applications. Pour poursuivre ta progression sur le produit scalaire, voici les ressources complémentaires du cours :
- Exercices corrigés sur le produit scalaire (Première) — pour t’entraîner sur tous les aspects du chapitre, y compris le théorème de la médiane
- Vecteurs orthogonaux — comment montrer que deux vecteurs sont perpendiculaires grâce au produit scalaire
- Projeté orthogonal — la notion de projection, fondamentale pour calculer des distances
- Distance d’un point à une droite et à un plan — une application directe du projeté orthogonal
- Produit scalaire dans l’espace (Terminale) — la suite naturelle du chapitre, où le théorème de la médiane s’applique aussi
