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Tu sais résoudre un triangle rectangle grâce aux rapports sinus, cosinus et tangente. Mais que faire quand le triangle n’a pas d’angle droit ? C’est exactement le rôle de la loi des sinus et du théorème d’Al-Kashi — aussi appelé loi des cosinus. Ces deux résultats permettent de résoudre n’importe quel triangle. Au programme de Première Spécialité, ils sont incontournables jusqu’au bac et au-delà. Tu trouveras ici les formules, leurs démonstrations, un arbre décisionnel exclusif pour choisir la bonne méthode, des exemples résolus et 6 exercices corrigés pas à pas. Pour une vue d’ensemble de la trigonométrie, consulte notre cours complet.
I. Définitions et formules
Programme officiel — Première Spécialité Mathématiques
Ce cours couvre les compétences du programme officiel (BO spécial n°1 du 22 janvier 2019, bloc « Produit scalaire dans le plan ») : formule d’Al-Kashi et loi des sinus pour la résolution de triangles quelconques.
Dans tout ce qui suit, on considère un triangle quelconque \(ABC\) :
- \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\) désignent les longueurs des côtés (chaque côté porte la lettre minuscule du sommet opposé) ;
- \(\hat{A}\), \(\hat{B}\), \(\hat{C}\) désignent les angles aux sommets correspondants.
A. La loi des sinus
Théorème — Loi des sinus
Dans tout triangle \(ABC\), les rapports entre chaque côté et le sinus de l’angle opposé sont égaux :
\(\displaystyle\frac{a}{\sin(\hat{A})} = \displaystyle\frac{b}{\sin(\hat{B})} = \displaystyle\frac{c}{\sin(\hat{C})}\)
Ce rapport commun est égal à \(2R\), où \(R\) est le rayon du cercle circonscrit au triangle.
En pratique, on n’utilise jamais les trois rapports en même temps. On isole deux d’entre eux selon les données de l’exercice. Par exemple, si tu connais \(a\), \(\hat{A}\) et \(\hat{B}\), tu calcules \(b\) par :
\(b = a \times \displaystyle\frac{\sin(\hat{B})}{\sin(\hat{A})}\)
Exemple rapide
Dans un triangle où \(a = 10\), \(\hat{A} = 30^\circ\) et \(\hat{B} = 45^\circ\) :
\(b = 10 \times \displaystyle\frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)} = 10 \times \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}{\displaystyle\frac{1}{2}} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14\)
B. Le théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus)
Théorème — Al-Kashi (loi des cosinus)
Dans tout triangle \(ABC\) :
\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos(\hat{A})\)
Par symétrie cyclique :
\(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cos(\hat{B})\)
\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(\hat{C})\)
Comment retenir la formule
« Le côté au carré = somme des carrés des deux autres côtés − double produit de ces deux côtés par le cosinus de l’angle qu’ils forment. »
Autrement dit : l’angle dans le \(\cos(\ldots)\) est toujours opposé au côté que tu calcules.
Exemple rapide
Dans un triangle où \(b = 3\), \(c = 5\) et \(\hat{A} = 60^\circ\) :
\(a^2 = 9 + 25 – 2 \times 3 \times 5 \times \cos(60^\circ) = 34 – 30 \times 0{,}5 = 19\)
Donc \(a = \sqrt{19} \approx 4{,}36\).
C. Al-Kashi généralise le théorème de Pythagore
Si \(\hat{A} = 90^\circ\), alors \(\cos(\hat{A}) = 0\) et la formule d’Al-Kashi se simplifie en :
\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \times 0 = b^2 + c^2\)
On retrouve le théorème de Pythagore ! Le théorème d’Al-Kashi en est donc une généralisation aux triangles quelconques. Le terme \(-2bc\cos(\hat{A})\) mesure l’écart par rapport au cas rectangle. Si tu débutes en trigonométrie du triangle rectangle, commence par cette page avant de revenir ici.
Attention au signe
Si l’angle \(\hat{A}\) est obtus (\(\hat{A}\) > \(90^\circ\)), alors \(\cos(\hat{A})\) < \(0\), et le terme \(-2bc\cos(\hat{A})\) devient positif. Le côté \(a\) est alors plus grand que \(\sqrt{b^2 + c^2}\). C’est cohérent : un angle obtus « étire » le triangle.
À quoi servent ces formules dans la vie réelle ?
- Navigation et GPS : calculer une distance sans parcourir le trajet (triangulation).
- Topographie : mesurer un terrain en relevant des angles depuis deux points fixes.
- Physique : composer des forces non perpendiculaires (mécanique, optique).
- Architecture : dimensionner des structures non rectangulaires.
La résolution de triangles quelconques est l’un des outils les plus utilisés en ingénierie.
Tu connais maintenant les deux formules. Voyons d’où elles viennent.
II. Démonstrations au programme
Ces deux preuves sont au programme de Première Spécialité. Les maîtriser te permettra de les retrouver le jour de l’examen si tu oublies les formules.
A. Démonstration de la loi des sinus
Démonstration au programme (cliquer pour déplier)
On part du triangle \(ABC\) et on trace la hauteur issue de \(A\), perpendiculaire à \((BC)\). Notons \(H\) son pied et \(h = AH\).
Dans le triangle rectangle \(ABH\) :
\(\sin(\hat{B}) = \displaystyle\frac{AH}{AB} = \displaystyle\frac{h}{c} \quad \Rightarrow \quad h = c\sin(\hat{B})\)
Dans le triangle rectangle \(ACH\) :
\(\sin(\hat{C}) = \displaystyle\frac{AH}{AC} = \displaystyle\frac{h}{b} \quad \Rightarrow \quad h = b\sin(\hat{C})\)
En égalant les deux expressions de \(h\) :
\(c\sin(\hat{B}) = b\sin(\hat{C}) \quad \Rightarrow \quad \displaystyle\frac{b}{\sin(\hat{B})} = \displaystyle\frac{c}{\sin(\hat{C})}\)
En traçant la hauteur issue de \(B\), on montre de même que \(\displaystyle\frac{a}{\sin(\hat{A})} = \displaystyle\frac{c}{\sin(\hat{C})}\).
Conclusion : \(\displaystyle\frac{a}{\sin(\hat{A})} = \displaystyle\frac{b}{\sin(\hat{B})} = \displaystyle\frac{c}{\sin(\hat{C})}\). ∎
B. Démonstration du théorème d’Al-Kashi
Démonstration au programme (cliquer pour déplier)
On place le triangle dans un repère orthonormé : \(A\) à l’origine, \(B\) sur le demi-axe des abscisses en \((c\,;\,0)\).
Le point \(C\) a pour coordonnées \(\big(b\cos(\hat{A})\,;\, b\sin(\hat{A})\big)\).
On calcule \(BC^2\) :
\(a^2 = \big(c – b\cos(\hat{A})\big)^2 + \big(b\sin(\hat{A})\big)^2\)
En développant :
\(a^2 = c^2 – 2bc\cos(\hat{A}) + b^2\cos^2(\hat{A}) + b^2\sin^2(\hat{A})\)
On factorise \(b^2\) et on utilise \(\cos^2(\hat{A}) + \sin^2(\hat{A}) = 1\) :
\(a^2 = c^2 – 2bc\cos(\hat{A}) + b^2\)
Conclusion : \(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos(\hat{A})\). ∎
Tu maîtrises maintenant les formules et leurs justifications. Reste une question cruciale : face à un exercice, comment savoir quelle formule utiliser ?
III. Quand utiliser quelle formule ? Arbre décisionnel
Voici un outil que tu ne trouveras dans aucun autre cours : un arbre décisionnel qui te dit immédiatement quelle formule sortir en fonction des données de l’énoncé.
Règle d’or
Si tu disposes d’un couple (côté ; angle opposé), pense loi des sinus. Si tu n’as que des côtés ou un angle compris entre deux côtés, pense Al-Kashi.
| Données connues | Configuration | Formule | Remarque |
|---|---|---|---|
| 2 angles + 1 côté | AAS ou ASA | Loi des sinus | Calcule le 3e angle (somme = \(180^\circ\)) puis les côtés. |
| 1 côté + angle opposé + 1 angle | AAS | Loi des sinus | Solution unique. |
| 2 côtés + angle opposé à l’un | SSA | Loi des sinus | ⚠️ Cas ambigu : 0, 1 ou 2 solutions possibles. |
| 2 côtés + angle inclus entre eux | SAS | Al-Kashi | Donne le 3e côté directement. |
| 3 côtés | SSS | Al-Kashi | Isole \(\cos(\hat{A})\) pour trouver un angle. |
Piège : la configuration SSA (2 côtés + angle opposé)
C’est le seul cas qui peut donner deux triangles différents. L’équation \(\sin(\hat{B}) = k\) admet en effet deux solutions dans \(]0^\circ\,;\,180^\circ[\) : l’angle \(\hat{B}_1\) et son supplémentaire \(180^\circ – \hat{B}_1\). Il faut vérifier pour chacune si un triangle valide existe. On détaille ce cas dans les erreurs fréquentes.
L’arbre décisionnel te donne la stratégie. Passons à la pratique avec des exemples détaillés.
IV. Méthode pas à pas et exemples résolus
A. Résoudre un triangle avec la loi des sinus
Étapes :
- Identifier les données : quels angles et côtés connais-tu ?
- Calculer le 3e angle si tu en connais deux (\(\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ\)).
- Écrire la loi des sinus sous forme de deux rapports utiles.
- Isoler l’inconnue et calculer.
Exemple — Trouver les côtés manquants
Dans le triangle \(ABC\), on donne \(\hat{A} = 42^\circ\), \(\hat{B} = 73^\circ\) et \(a = 12\) cm.
Étape 1 : On connaît deux angles et un côté (configuration AAS).
Étape 2 : \(\hat{C} = 180^\circ – 42^\circ – 73^\circ = 65^\circ\).
Étape 3 : \(\displaystyle\frac{12}{\sin(42^\circ)} = \displaystyle\frac{b}{\sin(73^\circ)} = \displaystyle\frac{c}{\sin(65^\circ)}\)
Étape 4 :
\(b = 12 \times \displaystyle\frac{\sin(73^\circ)}{\sin(42^\circ)} \approx 12 \times \displaystyle\frac{0{,}956}{0{,}669} \approx 17{,}15\) cm
\(c = 12 \times \displaystyle\frac{\sin(65^\circ)}{\sin(42^\circ)} \approx 12 \times \displaystyle\frac{0{,}906}{0{,}669} \approx 16{,}24\) cm
B. Résoudre un triangle avec Al-Kashi
Pour trouver un côté (configuration SAS) :
- Écrire la formule d’Al-Kashi avec l’angle connu et ses deux côtés adjacents.
- Substituer les valeurs et calculer \(a^2\).
- Prendre la racine carrée.
Exemple — Trouver un côté
Dans le triangle \(ABC\), on donne \(b = 6\) cm, \(c = 8\) cm et \(\hat{A} = 50^\circ\).
\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos(\hat{A}) = 36 + 64 – 2 \times 6 \times 8 \times \cos(50^\circ)\)
\(a^2 = 100 – 96 \times 0{,}643 \approx 100 – 61{,}7 = 38{,}3\)
\(a = \sqrt{38{,}3} \approx 6{,}19\) cm
Pour trouver un angle (configuration SSS) :
- Écrire Al-Kashi pour l’angle cherché.
- Isoler \(\cos(\hat{A})\).
- Utiliser la fonction \(\arccos\).
Exemple — Trouver un angle
Dans le triangle \(ABC\), on donne \(a = 7\), \(b = 5\), \(c = 9\). Trouver \(\hat{A}\).
\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos(\hat{A})\)
\(49 = 25 + 81 – 90\cos(\hat{A})\)
\(90\cos(\hat{A}) = 106 – 49 = 57\)
\(\cos(\hat{A}) = \displaystyle\frac{57}{90} = \displaystyle\frac{19}{30}\)
\(\hat{A} = \arccos\!\left(\displaystyle\frac{19}{30}\right) \approx 50{,}7^\circ\)
C. Formule bonus : l’aire d’un triangle quelconque
La loi des sinus donne aussi une formule d’aire très pratique. L’aire \(\mathcal{S}\) d’un triangle est la moitié du produit de deux côtés par le sinus de l’angle qu’ils forment :
Formule de l’aire d’un triangle
\(\mathcal{S} = \displaystyle\frac{1}{2}\,ab\sin(\hat{C}) = \displaystyle\frac{1}{2}\,ac\sin(\hat{B}) = \displaystyle\frac{1}{2}\,bc\sin(\hat{A})\)
Exemple
Aire du triangle avec \(b = 6\), \(c = 8\) et \(\hat{A} = 50^\circ\) :
\(\mathcal{S} = \displaystyle\frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \sin(50^\circ) \approx 24 \times 0{,}766 \approx 18{,}4\) unités d’aire.
Tu retrouveras d’autres formules de trigonométrie dans notre formulaire complet. À ton tour de pratiquer !
V. Exercices corrigés
Voici 6 exercices classés par difficulté croissante. Essaie de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 ★ — Loi des sinus : calculer un côté
Dans un triangle \(ABC\), on donne \(\hat{A} = 40^\circ\), \(\hat{B} = 75^\circ\) et \(a = 8\) cm. Calcule \(b\).
Voir la correction
On a deux angles et un côté (AAS) → loi des sinus.
\(\displaystyle\frac{a}{\sin(\hat{A})} = \displaystyle\frac{b}{\sin(\hat{B})}\) \(b = a \times \displaystyle\frac{\sin(\hat{B})}{\sin(\hat{A})} = 8 \times \displaystyle\frac{\sin(75^\circ)}{\sin(40^\circ)}\)\(b \approx 8 \times \displaystyle\frac{0{,}966}{0{,}643} \approx 12{,}02\) cm.
Exercice 2 ★ — Al-Kashi : calculer un côté
Dans un triangle \(ABC\), on donne \(b = 5\) cm, \(c = 7\) cm et \(\hat{A} = 60^\circ\). Calcule \(a\).
Voir la correction
On a deux côtés et l’angle inclus (SAS) → Al-Kashi.
\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos(\hat{A}) = 25 + 49 – 2 \times 5 \times 7 \times \cos(60^\circ)\) \(a^2 = 74 – 70 \times 0{,}5 = 74 – 35 = 39\)\(a = \sqrt{39} \approx 6{,}24\) cm.
Exercice 3 ★★ — Al-Kashi : trouver un angle obtus
Dans un triangle \(ABC\), on donne \(a = 5\) cm, \(b = 7\) cm et \(c = 9\) cm. Détermine la mesure de l’angle \(\hat{C}\). L’angle est-il aigu ou obtus ?
Voir la correction
On connaît trois côtés (SSS) → Al-Kashi pour trouver l’angle.
\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(\hat{C})\) \(81 = 25 + 49 – 70\cos(\hat{C})\) \(81 = 74 – 70\cos(\hat{C})\) \(-70\cos(\hat{C}) = 7\) \(\cos(\hat{C}) = -\displaystyle\frac{1}{10}\) \(\hat{C} = \arccos\!\left(-\displaystyle\frac{1}{10}\right) \approx 95{,}7^\circ\)Comme \(\cos(\hat{C})\) < \(0\), l’angle \(\hat{C}\) est obtus. C’est logique : le plus grand côté (\(c = 9\)) est opposé au plus grand angle.
Exercice 4 ★★ — Résolution complète d’un triangle
Dans un triangle \(ABC\), on donne \(a = 10\), \(\hat{B} = 35^\circ\) et \(\hat{C} = 80^\circ\). Détermine \(\hat{A}\), \(b\) et \(c\).
Voir la correction
Étape 1 : \(\hat{A} = 180^\circ – 35^\circ – 80^\circ = 65^\circ\).
Étape 2 : on connaît deux angles + un côté → loi des sinus.
\(\displaystyle\frac{10}{\sin(65^\circ)} = \displaystyle\frac{b}{\sin(35^\circ)} = \displaystyle\frac{c}{\sin(80^\circ)}\) \(b = 10 \times \displaystyle\frac{\sin(35^\circ)}{\sin(65^\circ)} \approx 10 \times \displaystyle\frac{0{,}574}{0{,}906} \approx 6{,}33\) \(c = 10 \times \displaystyle\frac{\sin(80^\circ)}{\sin(65^\circ)} \approx 10 \times \displaystyle\frac{0{,}985}{0{,}906} \approx 10{,}87\)Vérification : le plus grand côté (\(c \approx 10{,}87\)) est bien opposé au plus grand angle (\(\hat{C} = 80^\circ\)). ✓
Exercice 5 ★★★ — Problème concret : mesure de distance
Deux géomètres \(A\) et \(B\) sont séparés par une distance de \(500\) m. Ils observent le sommet \(C\) d’une colline. Depuis \(A\), l’angle \(\widehat{CAB} = 72^\circ\). Depuis \(B\), l’angle \(\widehat{CBA} = 63^\circ\).
- Calcule l’angle \(\hat{C}\).
- Détermine la distance \(AC\).
Voir la correction
1. \(\hat{C} = 180^\circ – 72^\circ – 63^\circ = 45^\circ\).
2. On connaît le côté \(AB = 500\) m et les trois angles → loi des sinus.
\(\displaystyle\frac{AB}{\sin(\hat{C})} = \displaystyle\frac{AC}{\sin(\hat{B})}\)\(AC = 500 \times \displaystyle\frac{\sin(63^\circ)}{\sin(45^\circ)} \approx 500 \times \displaystyle\frac{0{,}891}{0{,}707} \approx 630\) m.
Les géomètres ont mesuré la distance \(AC\) sans se déplacer jusqu’à la colline — c’est tout l’intérêt de la triangulation !
Exercice 6 ★★★ — Le cas ambigu de la loi des sinus
Dans un triangle \(ABC\), on donne \(a = 4\) cm, \(b = 6\) cm et \(\hat{A} = 30^\circ\).
- Montre qu’il existe deux valeurs possibles pour \(\hat{B}\).
- Résous les deux triangles correspondants.
Voir la correction
1. Par la loi des sinus :
\(\displaystyle\frac{\sin(\hat{B})}{b} = \displaystyle\frac{\sin(\hat{A})}{a}\) \(\sin(\hat{B}) = \displaystyle\frac{b\sin(\hat{A})}{a} = \displaystyle\frac{6 \times \sin(30^\circ)}{4} = \displaystyle\frac{6 \times 0{,}5}{4} = \displaystyle\frac{3}{4} = 0{,}75\)L’équation \(\sin(\hat{B}) = 0{,}75\) admet deux solutions dans \(]0^\circ\,;\,180^\circ[\) :
- \(\hat{B}_1 = \arcsin(0{,}75) \approx 48{,}6^\circ\)
- \(\hat{B}_2 = 180^\circ – 48{,}6^\circ \approx 131{,}4^\circ\)
Vérification : les deux solutions donnent-elles un triangle valide (somme des angles < \(180^\circ\)) ?
- \(\hat{A} + \hat{B}_1 = 30^\circ + 48{,}6^\circ = 78{,}6^\circ\) < \(180^\circ\) ✓ → \(\hat{C}_1 = 101{,}4^\circ\)
- \(\hat{A} + \hat{B}_2 = 30^\circ + 131{,}4^\circ = 161{,}4^\circ\) < \(180^\circ\) ✓ → \(\hat{C}_2 = 18{,}6^\circ\)
Les deux triangles existent !
2. Triangle 1 (\(\hat{B}_1 \approx 48{,}6^\circ\), \(\hat{C}_1 \approx 101{,}4^\circ\)) :
\(c_1 = 4 \times \displaystyle\frac{\sin(101{,}4^\circ)}{\sin(30^\circ)} \approx 4 \times \displaystyle\frac{0{,}981}{0{,}5} \approx 7{,}85\) cm.
Triangle 2 (\(\hat{B}_2 \approx 131{,}4^\circ\), \(\hat{C}_2 \approx 18{,}6^\circ\)) :
\(c_2 = 4 \times \displaystyle\frac{\sin(18{,}6^\circ)}{\sin(30^\circ)} \approx 4 \times \displaystyle\frac{0{,}319}{0{,}5} \approx 2{,}55\) cm.
Tu veux t’entraîner davantage ? Découvre nos exercices de trigonométrie corrigés pour le lycée et la prépa.
Fiche de révision : Loi des sinus & Al-Kashi
Toutes les formules, l’arbre décisionnel et les pièges à éviter — résumés en une seule page imprimable.
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VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Avant de quitter cette page, vérifie que tu ne commets pas ces erreurs que les correcteurs voient à chaque copie.
Piège n°1 — Confondre côté et angle opposé dans Al-Kashi
❌ Copie fautive :
« On cherche \(a\). Par Al-Kashi : \(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos(\hat{B})\). »
Diagnostic : l’angle dans le cosinus doit être opposé au côté calculé. Ici, \(a\) est opposé à \(\hat{A}\), pas à \(\hat{B}\).
✅ Correction : \(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos(\hat{A})\).
Piège n°2 — Oublier le cas ambigu
❌ Copie fautive :
« \(\sin(\hat{B}) = 0{,}75\) donc \(\hat{B} = \arcsin(0{,}75) \approx 48{,}6^\circ\). »
Diagnostic : \(\arcsin\) ne renvoie qu’une seule valeur, mais l’équation \(\sin(x) = 0{,}75\) possède deux solutions dans \(]0^\circ\,;\,180^\circ[\). Il faut toujours vérifier si le supplémentaire \(180^\circ – 48{,}6^\circ = 131{,}4^\circ\) donne aussi un triangle valide.
✅ Correction : « \(\hat{B} \approx 48{,}6^\circ\) ou \(\hat{B} \approx 131{,}4^\circ\). Vérifions chaque cas… »
Piège n°3 — Appliquer Pythagore à un triangle quelconque
❌ Copie fautive :
« Dans le triangle \(ABC\) : \(a^2 = b^2 + c^2\). »
Diagnostic : le théorème de Pythagore ne s’applique que dans un triangle rectangle. Pour un triangle quelconque, le terme correctif \(-2bc\cos(\hat{A})\) est indispensable.
✅ Correction : \(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos(\hat{A})\).
VII. Questions fréquentes
Qu'est-ce que la loi des sinus ?
La loi des sinus (ou théorème des sinus) est une relation valable dans tout triangle. Elle affirme que le rapport entre un côté et le sinus de l’angle opposé est constant : \(\displaystyle\frac{a}{\sin(\hat{A})} = \displaystyle\frac{b}{\sin(\hat{B})} = \displaystyle\frac{c}{\sin(\hat{C})}\). Ce rapport commun vaut \(2R\), où \(R\) est le rayon du cercle circonscrit. Elle est utilisée pour résoudre un triangle lorsqu’on connaît un couple (côté ; angle opposé).
Quelle est la différence entre la loi des sinus et le théorème d'Al-Kashi ?
La loi des sinus relie chaque côté au sinus de son angle opposé et s’utilise quand on connaît un couple (côté ; angle opposé). Le théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus) relie les trois côtés et un angle : \(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos(\hat{A})\). On l’utilise quand on connaît trois côtés (SSS) ou deux côtés et l’angle entre eux (SAS). Les deux formules sont complémentaires et couvrent toutes les configurations de résolution d’un triangle.
Quand utiliser la loi des sinus plutôt qu'Al-Kashi ?
Utilise la loi des sinus si tu connais un côté et son angle opposé (plus un troisième élément). Utilise Al-Kashi si tu connais trois côtés ou deux côtés avec l’angle entre eux. L’arbre décisionnel de notre cours te guide pas à pas.
Pourquoi dit-on que le théorème d'Al-Kashi généralise Pythagore ?
Quand l’angle \(\hat{A}\) vaut \(90^\circ\), \(\cos(90^\circ) = 0\) et la formule d’Al-Kashi \(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos(\hat{A})\) se réduit à \(a^2 = b^2 + c^2\), c’est-à-dire le théorème de Pythagore. Al-Kashi fonctionne pour tous les triangles, qu’ils soient rectangles ou non, ce qui en fait une version étendue de Pythagore.
Qu'est-ce que le cas ambigu de la loi des sinus ?
Le cas ambigu se produit lorsqu’on connaît deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux (configuration SSA). L’équation \(\sin(\hat{B}) = k\) peut alors donner deux solutions : \(\hat{B}\) et \(180^\circ – \hat{B}\). Il faut vérifier pour chacune si la somme des angles reste inférieure à \(180^\circ\). Selon les valeurs, on peut obtenir 0, 1 ou 2 triangles valides.
À quoi servent la loi des sinus et Al-Kashi dans la vie réelle ?
Ces formules sont à la base de la triangulation, une technique utilisée en topographie, en navigation (GPS), en astronomie et en architecture. Elles permettent de calculer des distances inaccessibles (hauteur d’une montagne, largeur d’un fleuve) à partir d’angles mesurés depuis deux points. En physique, Al-Kashi sert à composer des forces non perpendiculaires.
VIII. Pour aller plus loin
🔴 Pour aller plus loin (Prépa)
En classe préparatoire, le théorème d’Al-Kashi se démontre en une ligne grâce au produit scalaire :
\(a^2 = \|\vec{BC}\|^2 = \|\vec{AC} – \vec{AB}\|^2 = \|\vec{AC}\|^2 – 2\,\vec{AB}\cdot\vec{AC} + \|\vec{AB}\|^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos(\hat{A})\)
La loi des sinus se relie à l’aire du triangle : \(\mathcal{S} = \displaystyle\frac{abc}{4R}\), où \(R\) est le rayon du cercle circonscrit. En trigonométrie sphérique, ces lois se généralisent aux triangles tracés sur une sphère — un outil central en navigation astronomique.
Tu maîtrises maintenant la loi des sinus et le théorème d’Al-Kashi. Pour approfondir tes compétences en trigonométrie :
- Trigonométrie : cours complet du collège à la prépa
- Formulaire complet des formules de trigonométrie
- Tableau des valeurs trigonométriques
- Le cercle trigonométrique
- Fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, tangente
- Équations trigonométriques : méthodes de résolution
- Exercices de trigonométrie corrigés (Lycée & Prépa)
