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« Montre que ces deux vecteurs sont orthogonaux. » C’est l’une des questions les plus fréquentes en Première spé maths, dans les exercices comme au contrôle. Bonne nouvelle : il n’existe qu’un seul critère à retenir, mais quatre façons de l’appliquer selon les données de l’énoncé. Cette page te donne la méthode complète, avec exemples résolus et exercices corrigés.
I. Le critère d’orthogonalité : un produit scalaire nul
Avant de parler de méthode, il faut comprendre le seul résultat dont tout découle. Deux vecteurs sont orthogonaux exactement quand leur produit scalaire est nul. Tout le reste n’est qu’une question de calcul.
Définition — Vecteurs orthogonaux
Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan. On dit que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul :
\(\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
Par convention, le vecteur nul \(\vec{0}\) est orthogonal à tous les vecteurs.
Le symbole \(\perp\) se lit « est orthogonal à ». Retiens bien le sens de l’équivalence : il fonctionne dans les deux directions. Si tu calcules un produit scalaire et que tu trouves \(0\), tu peux conclure que les vecteurs sont orthogonaux. Et inversement, si on te dit que deux vecteurs sont orthogonaux, tu sais immédiatement que leur produit scalaire vaut \(0\).
Orthogonal ou perpendiculaire ? On parle de vecteurs orthogonaux et de droites perpendiculaires. Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Le vocabulaire diffère, mais l’idée géométrique est la même : un angle droit.
II. Quelle méthode choisir selon l’énoncé ?
Le critère est unique, mais selon ce que l’énoncé te donne (coordonnées, longueurs, figure), tu n’utiliseras pas le même outil. Voici le tableau qui te dit en un coup d’œil quelle méthode sortir.
| Tu disposes de… | Méthode à utiliser | Formule clé |
|---|---|---|
| Les coordonnées dans un repère orthonormé | Méthode 1 — Formule analytique | \(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx’+yy’\) |
| Les longueurs des trois côtés d’un triangle | Méthode 2 — Réciproque de Pythagore | \(BC^2=AB^2+AC^2\) |
| Une figure avec un projeté orthogonal | Méthode 3 — Projeté orthogonal | voir la fiche |
| Une figure usuelle (carré, losange, cercle) | Méthode 4 — Propriétés géométriques | angle droit connu |
Les 4 méthodes d’orthogonalité sur une fiche recto-verso
Le tableau de décision, les formules clés et un exemple résolu pour chaque méthode, prêts à réviser avant le contrôle.
📄 Télécharger la fiche PDFChoisir la bonne méthode en un coup d’œil, sans hésiter.
Dans 8 exercices sur 10 de Première, tu auras les coordonnées : la méthode 1 sera ta réponse réflexe. Mais les autres méthodes sont indispensables quand la figure ne se prête pas au calcul de coordonnées. Voyons-les une par une.
III. Les 4 méthodes pas à pas
A. Méthode 1 — Avec les coordonnées (la plus fréquente)
C’est la méthode reine en Première. Dès qu’un repère orthonormé est posé et que tu connais les coordonnées des vecteurs, tu calcules directement le produit scalaire avec la formule analytique.
Formule analytique. Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}\,(x\,;y)\) et \(\vec{v}\,(x’\,;y’)\), alors :
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx’+yy’\)
Attention : cette formule n’est valable que si le repère est orthonormé.
Les 3 étapes :
- Lire ou calculer les coordonnées de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
- Calculer le produit scalaire \(xx’+yy’\).
- Conclure : si le résultat vaut \(0\), les vecteurs sont orthogonaux.
Exemple : Montrer que \(\vec{u}\,(3\,;2)\) et \(\vec{v}\,(-2\,;3)\) sont orthogonaux.
On calcule le produit scalaire :
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=3\times(-2)+2\times 3=-6+6=0\)
Le produit scalaire est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux. ∎
Mini-exercice : Les vecteurs \(\vec{u}\,(4\,;-1)\) et \(\vec{v}\,(2\,;8)\) sont-ils orthogonaux ?
Correction. \(\vec{u}\cdot\vec{v}=4\times 2+(-1)\times 8=8-8=0\). Oui, ils sont orthogonaux.
Quand l’énoncé donne les points plutôt que les vecteurs, calcule d’abord les coordonnées avec \(\vec{AB}\,(x_B-x_A\,;y_B-y_A)\), puis applique la formule.
B. Méthode 2 — Avec les longueurs (réciproque de Pythagore)
Parfois, tu n’as pas les coordonnées mais les longueurs des côtés d’un triangle. La réciproque du théorème de Pythagore te permet alors de prouver un angle droit, donc l’orthogonalité de deux vecteurs.
Lien avec le produit scalaire. Le théorème de Pythagore est un cas particulier du produit scalaire. Pour trois points \(A\), \(B\), \(C\) :
\(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0 \Leftrightarrow BC^2=AB^2+AC^2\)
Exemple : Dans un triangle \(ABC\), on a \(AB=3\), \(AC=4\) et \(BC=5\). Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont-ils orthogonaux ?
On compare : \(AB^2+AC^2=9+16=25\) et \(BC^2=25\).
Comme \(AB^2+AC^2=BC^2\), le triangle est rectangle en \(A\), donc \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont orthogonaux. ∎
Tu peux aussi utiliser la formule du produit scalaire avec un angle : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos(\vec{u},\vec{v})\). Si l’angle vaut \(90^\circ\), alors \(\cos(90^\circ)=0\) et le produit scalaire est nul : les vecteurs sont orthogonaux.
Mini-exercice : Un triangle a pour côtés \(MN=6\), \(NP=8\) et \(MP=10\). Le triangle est-il rectangle en \(N\) ?
Correction. \(MN^2+NP^2=36+64=100=MP^2\). Oui, rectangle en \(N\), donc \(\vec{NM}\) et \(\vec{NP}\) sont orthogonaux.
C. Méthode 3 — Avec le projeté orthogonal
Quand l’énoncé fait apparaître une projection sur une droite, l’orthogonalité se lit directement. Le produit scalaire \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) s’exprime à l’aide du projeté orthogonal de \(\vec{v}\) sur la direction de \(\vec{u}\) : il est nul exactement quand ce projeté est réduit à un point.
Concrètement, si le pied du projeté orthogonal d’un point sur une droite coïncide avec l’origine du vecteur, c’est que le vecteur considéré est orthogonal à la droite. Cette méthode est surtout utile dans les figures géométriques où les longueurs et coordonnées ne sont pas données. Le détail complet est traité dans la fiche dédiée : le projeté orthogonal d’un vecteur sur une droite.
Exemple : Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((AC)\). Par définition du projeté, \(\vec{BH}\) est orthogonal à \(\vec{AC}\), donc \(\vec{BH}\cdot\vec{AC}=0\).
D. Méthode 4 — Avec les propriétés d’une figure connue
Inutile de calculer si la figure te donne déjà l’angle droit ! Dans un carré ou un rectangle, deux côtés consécutifs sont orthogonaux. Dans un losange, les diagonales sont orthogonales. Dans un cercle, un diamètre et un point du cercle forment un angle droit (théorème de l’angle inscrit dans un demi-cercle).
Exemple : \(ABCD\) est un carré. Alors \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\) sont orthogonaux, car les côtés \([AB]\) et \([AD]\) sont perpendiculaires. On a donc directement \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0\).
Cette méthode est souvent la plus rapide pour justifier une orthogonalité dans une démonstration : on cite la propriété de la figure, sans aucun calcul.
Tu hésites encore sur la méthode à choisir face à un énoncé précis ? Un professeur d’Excellence Maths peut t’entraîner à reconnaître la bonne stratégie en quelques séances.
IV. Erreurs fréquentes à éviter
Voici les pièges qui coûtent le plus de points aux élèves de Première sur ce type de question.
Erreur n°1 — Utiliser la formule analytique dans un repère non orthonormé.
❌ Copie fautive : « le repère est orthogonal donc \(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx’+yy’\) ».
Diagnostic : la formule \(xx’+yy’\) exige un repère orthonormé (axes perpendiculaires et même unité). Orthogonal ne suffit pas.
✅ Correction : vérifier que le repère est orthonormé avant d’appliquer la formule.
Erreur n°2 — Confondre orthogonaux et colinéaires.
Deux vecteurs orthogonaux forment un angle droit (\(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)). Deux vecteurs colinéaires sont alignés (même direction). Ce sont des situations opposées ! Pour distinguer les deux, vois la différence dans le cours sur la colinéarité.
Erreur n°3 — Conclure trop vite à partir d’un dessin.
Un angle qui « a l’air » droit sur la figure n’est pas une preuve. Tant que tu n’as pas montré que le produit scalaire vaut \(0\) (ou cité une propriété), tu n’as rien démontré.
Erreur n°4 — Erreur de signe dans le calcul.
Avec \(\vec{u}\,(3\,;-2)\) et \(\vec{v}\,(4\,;6)\) : ❌ « \(3\times 4+2\times 6=24\) ». On a oublié le signe moins ! ✅ \(3\times 4+(-2)\times 6=12-12=0\) : ils sont bien orthogonaux. Recopie toujours les signes des coordonnées.
V. Exercices d’application corrigés
À toi de jouer. Cherche chaque exercice avant de regarder la correction.
Exercice 1 (★). Dans un repère orthonormé, on donne \(\vec{u}\,(5\,;-3)\) et \(\vec{v}\,(3\,;5)\). Montre que ces vecteurs sont orthogonaux.
Correction. \(\vec{u}\cdot\vec{v}=5\times 3+(-3)\times 5=15-15=0\). Le produit scalaire est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux.
Exercice 2 (★★). On considère les points \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;3)\) et \(C(2\,;5)\) dans un repère orthonormé. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle en \(A\) ?
Correction. On calcule les coordonnées des vecteurs :
\(\vec{AB}\,(4-1\,;3-2)=\vec{AB}\,(3\,;1)\) et \(\vec{AC}\,(2-1\,;5-2)=\vec{AC}\,(1\,;3)\).
Puis le produit scalaire : \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=3\times 1+1\times 3=3+3=6\).
Le produit scalaire n’est pas nul, donc \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) ne sont pas orthogonaux : le triangle n’est pas rectangle en \(A\).
Exercice 3 (★★). Détermine le réel \(k\) pour que les vecteurs \(\vec{u}\,(2\,;k)\) et \(\vec{v}\,(6\,;-4)\) soient orthogonaux.
Correction. Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement si \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) :
\(2\times 6+k\times(-4)=0\), soit \(12-4k=0\), donc \(k=3\).
Pour \(k=3\), les vecteurs sont orthogonaux.
Exercice 4 (★★★ — raisonnement). \(ABCD\) est un carré de centre \(O\). Sans utiliser de coordonnées, justifie que \(\vec{AC}\) et \(\vec{BD}\) sont orthogonaux.
Correction. Les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) d’un carré sont perpendiculaires (propriété du carré). Or \(\vec{AC}\) est un vecteur directeur de la diagonale \((AC)\) et \(\vec{BD}\) un vecteur directeur de \((BD)\). Deux droites perpendiculaires ont des vecteurs directeurs orthogonaux, donc \(\vec{AC}\cdot\vec{BD}=0\) : les vecteurs sont orthogonaux. Ici, la méthode 4 (propriété de la figure) évite tout calcul.
Pour t’entraîner davantage, retrouve une série graduée dans les exercices corrigés sur le produit scalaire, du calcul direct au type bac.
VI. Questions fréquentes
Comment montrer que deux vecteurs sont orthogonaux ?
Il faut prouver que leur produit scalaire est nul. En pratique, si tu as les coordonnées dans un repère orthonormé, calcule \(xx’+yy’\) : s’il vaut \(0\), les vecteurs sont orthogonaux. Sinon, utilise la réciproque de Pythagore (longueurs) ou une propriété de la figure (carré, losange, cercle).
Quelle est la différence entre vecteurs orthogonaux et vecteurs colinéaires ?
Deux vecteurs sont orthogonaux quand ils forment un angle droit : leur produit scalaire est nul (\(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)). Deux vecteurs sont colinéaires quand ils ont la même direction (l’un est un multiple de l’autre). Ce sont des situations opposées : l’orthogonalité teste un angle de 90°, la colinéarité teste un alignement.
Le vecteur nul est-il orthogonal à tous les vecteurs ?
Oui. Par convention, le vecteur nul \(\vec{0}\) est orthogonal à n’importe quel vecteur, car son produit scalaire avec tout vecteur vaut toujours \(0\).
La formule xx' + yy' marche-t-elle dans tous les repères ?
Non. La formule analytique \(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx’+yy’\) n’est valable que dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires et même unité de longueur). Dans un repère quelconque, elle donne un résultat faux : c’est l’une des erreurs les plus pénalisées.
Orthogonal et perpendiculaire, c'est pareil ?
L’idée géométrique (l’angle droit) est la même, mais le vocabulaire diffère. On dit que des vecteurs sont orthogonaux et que des droites sont perpendiculaires. Deux droites sont perpendiculaires exactement quand leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
VII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant montrer que deux vecteurs sont orthogonaux dans toutes les configurations. Pour consolider :
- Le cours complet sur le produit scalaire : toutes les formules et propriétés.
- Le projeté orthogonal : cas particulier où le projeté est nul.
- Distance d’un point à une droite : une application directe de l’orthogonalité.
- Exercices corrigés produit scalaire : pour tester ta méthode.
Pour aller plus loin (Prépa). En classes préparatoires, l’orthogonalité se généralise à n’importe quel espace muni d’un produit scalaire (espaces préhilbertiens et euclidiens). On y rencontre des familles orthonormales et le procédé de Gram-Schmidt — mais le critère « produit scalaire nul » reste exactement le même qu’en Première.
