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Tu dois calculer \(\int x \, e^x \, dx\) et tu ne sais pas par quoi commencer ? L’intégration par parties est la technique qu’il te faut. C’est l’une des méthodes les plus puissantes du calcul intégral — et aussi l’une des plus mal maîtrisées. Le principe est simple : transformer une intégrale compliquée en une intégrale plus simple, en exploitant la dérivation d’un produit de fonctions. Mais entre la formule et l’application sans erreur, il y a un écart que seule la pratique comble.

Dans cet article, tu vas découvrir la formule avec sa démonstration, maîtriser la méthode pas à pas grâce au mnémotechnique ALPES, et t’entraîner sur 5 exemples résolus et 5 exercices corrigés — du programme de Terminale spé maths jusqu’aux sujets de concours en prépa (MPSI, PCSI, MP, PC…).

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Niveau : Terminale spé maths · Prépa (MPSI, PCSI, MP, PC, PSI…)

L’intégration par parties fait partie des techniques fondamentales du chapitre Primitives et Intégrales. Si tu cherches plutôt le tableau des primitives usuelles ou la méthode de changement de variable, consulte directement les pages dédiées.

I. La formule d’intégration par parties

A. Formule fondamentale

La formule d’intégration par parties (souvent abrégée IPP) découle directement de la dérivation d’un produit. C’est la clé de voûte de cette méthode : une seule formule à connaître, dont tout le reste découle.

Formule d’intégration par parties (forme primitive)

Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\), dont les dérivées sont continues. Alors :

\(\int u(x) \, v^\prime(x) \, dx = u(x) \, v(x) – \int u^\prime(x) \, v(x) \, dx\)

En notation abrégée, on écrit souvent :

\(\int u \, v^\prime = u \, v – \int u^\prime \, v\)

Cette forme est celle que tu utiliseras pour calculer des primitives (intégrales sans bornes). Quand tu travailles avec une intégrale définie, la formule s’adapte avec un « crochet ».

Formule d’intégration par parties (avec bornes)

Pour une intégrale définie entre \(a\) et \(b\) :

\(\int_a^b u(x) \, v^\prime(x) \, dx = \Big[ u(x) \, v(x) \Big]_a^b – \int_a^b u^\prime(x) \, v(x) \, dx\)

Le terme \(\Big[ u(x) \, v(x) \Big]_a^b\) désigne \(u(b) \, v(b) – u(a) \, v(a)\). C’est le « crochet » que tu retrouves aussi dans le calcul classique d’une intégrale via le théorème fondamental de l’analyse.

B. Démonstration

La preuve est courte et éclairante. Elle montre que l’IPP n’est pas une formule « tombée du ciel », mais une simple lecture à l’envers de la règle de dérivation d’un produit.

Point de départ : la dérivée d’un produit de deux fonctions s’écrit :

\((u \times v)^\prime = u^\prime \times v + u \times v^\prime\)

Réarrangement : on isole le terme \(u \times v^\prime\) :

\(u \, v^\prime = (u \, v)^\prime – u^\prime \, v\)

Intégration des deux membres : on intègre entre \(a\) et \(b\) :

\(\int_a^b u(x) \, v^\prime(x) \, dx = \int_a^b (u(x) \, v(x))^\prime \, dx – \int_a^b u^\prime(x) \, v(x) \, dx\)

Par le théorème fondamental de l’analyse, le premier terme du membre de droite se simplifie :

\(\int_a^b (uv)^\prime \, dx = \Big[ u(x) \, v(x) \Big]_a^b\)

On obtient bien la formule d’intégration par parties. ∎

Retiens l’idée : l’intégration par parties, c’est la dérivation d’un produit « lue à l’envers ». Si tu sais dériver un produit, tu connais déjà l’IPP — il suffit d’intégrer au lieu de dériver.

C. Conditions d’application

Pour appliquer l’IPP correctement, trois conditions doivent être réunies :

  • \(u\) doit être dérivable sur l’intervalle considéré, avec \(u^\prime\) continue
  • \(v^\prime\) doit admettre une primitive connue \(v\) (il faut que tu saches intégrer \(v^\prime\))
  • L’intégrale \(\int u^\prime \, v\) obtenue doit être plus simple que l’intégrale de départ

Ce dernier point est le critère décisif. Si le choix de \(u\) et \(v^\prime\) complique l’intégrale au lieu de la simplifier, c’est que le choix est mauvais — il faut inverser les rôles.

D. Quand utiliser l’intégration par parties ?

L’IPP n’est pas toujours la bonne méthode. Avant de te lancer, vérifie que ton intégrale correspond à l’un des cas du tableau ci-dessous.

Quand utiliser l'IPP ?
Forme de l’intégrande Exemple Pourquoi l’IPP ?
Polynôme × exponentielle \(\int x^2 e^x \, dx\) Dériver le polynôme baisse son degré
Polynôme × sin ou cos \(\int x \cos(x) \, dx\) Dériver le polynôme baisse son degré
Polynôme × ln \(\int x \ln(x) \, dx\) Dériver ln simplifie (donne \(\displaystyle\frac{1}{x}\))
Fonction « seule » (ln, arctan…) \(\int \ln(x) \, dx\) Astuce : écrire \(1 \times f(x)\)
exp × sin ou cos \(\int e^x \sin(x) \, dx\) Double IPP → équation en \(I\)

En revanche, si tu vois une forme du type \(\displaystyle\frac{u^\prime(x)}{u(x)}\) ou \(u^\prime(x) \times f(u(x))\), il s’agit plutôt d’une primitive de fonction composée — pas besoin d’IPP.

II. Méthode pas à pas en 4 étapes

Voici la marche à suivre systématique pour réussir toute intégration par parties. Suis ces 4 étapes dans l’ordre et tu ne te perdras jamais.

Étape 1 — Identifier \(u\) et \(v^\prime\)

Décompose l’intégrande (la fonction sous le signe intégral) en un produit de deux facteurs. Choisis quel facteur sera \(u\) (celui que tu vas dériver) et quel facteur sera \(v^\prime\) (celui que tu vas intégrer). Le bon choix est celui où la dérivation de \(u\) simplifie l’expression.

Mnémotechnique ALPES — Pour choisir \(u\) (la fonction à dériver), retiens cet ordre de priorité :

  • Arctan (et les fonctions trigonométriques inverses)
  • Logarithme (ln)
  • Polynôme (puissances de \(x\))
  • Exponentielle
  • Sinus / cosinus

La fonction la plus haute dans la liste ALPES est celle que tu poses comme \(u\). Par exemple, si tu intègres \(x \, \ln(x)\), le logarithme (L) est au-dessus du polynôme (P) : tu poses \(u = \ln(x)\). Si tu intègres \(x \, e^x\), le polynôme (P) est au-dessus de l’exponentielle (E) : tu poses \(u = x\).

Étape 2 — Calculer \(u^\prime\) et \(v\)

Dérive \(u\) pour obtenir \(u^\prime\). Intègre \(v^\prime\) pour obtenir \(v\) (une seule primitive suffit, pas besoin de constante à cette étape). Organise ces quatre éléments dans un petit tableau pour t’y retrouver :

Tableau de choix IPP — modèle à reproduire
On pose On calcule
\(u = \ldots\) \(u^\prime = \ldots\)
\(v^\prime = \ldots\) \(v = \ldots\)

Ce tableau est ta feuille de route. En le posant clairement, tu évites les erreurs de signe et de calcul dans la suite. C’est aussi exactement ce que le correcteur attend de voir en devoir ou en concours.

Étape 3 — Appliquer la formule

Remplace dans la formule \(\int u \, v^\prime = u \, v – \int u^\prime \, v\) en utilisant les quatre éléments du tableau. Attention au signe moins devant l’intégrale restante — c’est l’erreur la plus fréquente (voir section IV).

Étape 4 — Calculer l’intégrale restante

L’intégrale \(\int u^\prime \, v\) doit être plus simple que celle de départ. Trois cas possibles :

  • Elle est immédiate → tu reconnais une primitive du tableau des primitives et tu conclus.
  • Elle nécessite une nouvelle IPP → tu repars à l’étape 1 (cas des IPP itérées, comme \(\int x^2 e^x \, dx\)).
  • Tu retombes sur l’intégrale de départ → tu poses \(I = \int \ldots\), tu obtiens une équation du type \(I = \ldots – I\) et tu résous (cas de la double IPP, voir l’exemple 4).

Signal d’alerte : si l’intégrale \(\int u^\prime v\) est plus compliquée que l’intégrale de départ, tu as inversé \(u\) et \(v^\prime\). Reviens à l’étape 1 et échange les rôles.

III. Exemples résolus

Passons à la pratique. Voici 5 exemples classiques, du plus accessible au plus exigeant. Pour chaque exemple, on applique scrupuleusement les 4 étapes de la méthode.

Exemple 1 (Lycée) — \(\int x \, e^x \, dx\)

C’est l’exemple d’introduction par excellence. Le produit d’un polynôme par une exponentielle est le cas le plus naturel d’IPP.

Exemple : Calculer \(\int x \, e^x \, dx\).

Étape 1 : L’intégrande est le produit \(x \times e^x\). D’après la règle ALPES, le polynôme \(x\) (P) est au-dessus de l’exponentielle \(e^x\) (E). On pose donc \(u = x\) (à dériver) et \(v^\prime = e^x\) (à intégrer).

Étape 2 :

On pose On calcule
\(u = x\) \(u^\prime = 1\)
\(v^\prime = e^x\) \(v = e^x\)

Étape 3 : On applique la formule :

\(\int x \, e^x \, dx = x \, e^x – \int 1 \times e^x \, dx\)

Étape 4 : L’intégrale restante \(\int e^x \, dx = e^x + C\) est immédiate. Donc :

\(\int x \, e^x \, dx = x \, e^x – e^x + C = (x – 1) \, e^x + C\)

Vérification : Dérivons \(F(x) = (x-1)e^x\) :

\(F^\prime(x) = 1 \times e^x + (x-1) \times e^x = e^x + xe^x – e^x = x \, e^x\) ✓

Réflexe : toujours vérifier le résultat en dérivant la primitive obtenue. C’est rapide et ça t’évite de perdre des points bêtement. Si \(F^\prime(x) = f(x)\), c’est gagné.

Exemple 2 (Lycée) — \(\int \ln(x) \, dx\)

Cet exemple est un classique absolu du programme de Terminale. L’astuce consiste à écrire \(\ln(x) = 1 \times \ln(x)\) pour faire apparaître un produit là où il n’y en a pas.

Exemple : Calculer \(\int \ln(x) \, dx\) pour \(x\) > \(0\).

L’astuce : On écrit \(\ln(x) = 1 \times \ln(x)\) et on pose :

On pose On calcule
\(u = \ln(x)\) \(u^\prime = \displaystyle\frac{1}{x}\)
\(v^\prime = 1\) \(v = x\)

On applique la formule :

\(\int \ln(x) \, dx = x \, \ln(x) – \int \displaystyle\frac{1}{x} \times x \, dx = x \, \ln(x) – \int 1 \, dx\)
\(= x \, \ln(x) – x + C = x(\ln(x) – 1) + C\)

Résultat : \(\int \ln(x) \, dx = x(\ln(x) – 1) + C\)

Vérification : \((x\ln(x) – x)^\prime = \ln(x) + x \times \displaystyle\frac{1}{x} – 1 = \ln(x) + 1 – 1 = \ln(x)\) ✓

Tu retrouveras le détail complet de cette primitive, avec ses variantes \(\int \ln(u) \, du\) et ses applications, sur la page dédiée : Primitive de ln x : méthode et démonstration.

Astuce à retenir : chaque fois que tu vois une fonction « seule » dont tu ne connais pas la primitive directe — comme \(\ln(x)\), \(\arctan(x)\) ou \(\arcsin(x)\) — essaie l’astuce « \(1 \times f(x)\) » avec une IPP. Ça marche presque toujours, car ces fonctions se simplifient en les dérivant.

Exemple 3 (Lycée) — \(\int x \, \ln(x) \, dx\)

Un produit polynôme × logarithme. D’après ALPES, le logarithme (L) est au-dessus du polynôme (P) : c’est le logarithme qu’on dérive.

Exemple : Calculer \(\int x \, \ln(x) \, dx\) pour \(x\) > \(0\).

On pose On calcule
\(u = \ln(x)\) \(u^\prime = \displaystyle\frac{1}{x}\)
\(v^\prime = x\) \(v = \displaystyle\frac{x^2}{2}\)

On applique :

\(\int x \, \ln(x) \, dx = \displaystyle\frac{x^2}{2} \ln(x) – \int \displaystyle\frac{1}{x} \times \displaystyle\frac{x^2}{2} \, dx = \displaystyle\frac{x^2}{2} \ln(x) – \int \displaystyle\frac{x}{2} \, dx\)
\(= \displaystyle\frac{x^2}{2} \ln(x) – \displaystyle\frac{x^2}{4} + C = \displaystyle\frac{x^2}{4}\big(2\ln(x) – 1\big) + C\)

Résultat : \(\int x \, \ln(x) \, dx = \displaystyle\frac{x^2}{2}\ln(x) – \displaystyle\frac{x^2}{4} + C\)

Vérification : Dérivons \(F(x) = \displaystyle\frac{x^2}{2}\ln(x) – \displaystyle\frac{x^2}{4}\) :

\(F^\prime(x) = x\ln(x) + \displaystyle\frac{x^2}{2} \times \displaystyle\frac{1}{x} – \displaystyle\frac{x}{2} = x\ln(x) + \displaystyle\frac{x}{2} – \displaystyle\frac{x}{2} = x\ln(x)\) ✓

Exemple 4 (Prépa) — \(\int e^x \sin(x) \, dx\) — double IPP

Cet exemple est un grand classique de concours. L’intégrale ne se simplifie pas en une seule IPP : il faut en faire deux, puis résoudre une équation. C’est la fameuse technique de la « double IPP ».

Exemple : Calculer \(I = \int e^x \sin(x) \, dx\).

Première IPP :

On pose On calcule
\(u = \sin(x)\) \(u^\prime = \cos(x)\)
\(v^\prime = e^x\) \(v = e^x\)

\(I = e^x \sin(x) – \int e^x \cos(x) \, dx\)

L’intégrale \(\int e^x \cos(x) \, dx\) n’est pas plus simple, mais pas plus compliquée non plus : on est dans le cas d’une double IPP. On continue avec le même choix de \(v^\prime = e^x\).

Deuxième IPP sur \(\int e^x \cos(x) \, dx\) :

On pose On calcule
\(u = \cos(x)\) \(u^\prime = -\sin(x)\)
\(v^\prime = e^x\) \(v = e^x\)

\(\int e^x \cos(x) \, dx = e^x \cos(x) – \int e^x \times (-\sin(x)) \, dx = e^x \cos(x) + I\)

On retrouve \(I\) ! En remplaçant dans l’expression de la première IPP :

\(I = e^x \sin(x) – \big(e^x \cos(x) + I\big)\)
\(I = e^x \sin(x) – e^x \cos(x) – I\)
\(2I = e^x(\sin(x) – \cos(x))\)

Résultat : \(\int e^x \sin(x) \, dx = \displaystyle\frac{e^x(\sin(x) – \cos(x))}{2} + C\)

Règle d’or de la double IPP : fais toujours le même choix de rôle pour les deux itérations (ici, \(v^\prime = e^x\) à chaque fois). Si tu inverses les rôles entre les deux IPP, tu défais la première et tu retombes sur \(I = I\), c’est-à-dire \(0 = 0\) — une tautologie inutile.

Exemple 5 (Prépa) — \(\int x^2 e^x \, dx\) — IPP itérée

Quand le facteur polynomial est de degré 2 ou plus, une seule IPP ne suffit pas. Chaque IPP baisse le degré du polynôme de 1 : il faut donc autant d’IPP que le degré.

Exemple : Calculer \(\int x^2 e^x \, dx\).

Première IPP : \(u = x^2\), \(v^\prime = e^x\), donc \(u^\prime = 2x\), \(v = e^x\).

\(\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x – \int 2x \, e^x \, dx = x^2 e^x – 2\int x \, e^x \, dx\)

Deuxième IPP : on utilise le résultat de l’exemple 1, \(\int x \, e^x \, dx = (x-1)e^x + C\).

\(\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x – 2(x-1)e^x + C = \big(x^2 – 2x + 2\big)e^x + C\)

Résultat : \(\int x^2 e^x \, dx = (x^2 – 2x + 2) \, e^x + C\)

Vérification : \(\big((x^2 – 2x + 2)e^x\big)^\prime = (2x – 2)e^x + (x^2 – 2x + 2)e^x = x^2 e^x\) ✓

Ce mécanisme s’étend : pour \(\int x^n e^x \, dx\), on effectue \(n\) IPP successives. Chaque étape baisse le degré du polynôme de 1. Cette idée est à la base des suites d’intégrales \((I_n)\) que tu rencontreras en classe préparatoire (voir la section VII).

IV. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Après avoir vu la méthode et les exemples, regardons les erreurs que font le plus souvent les élèves. Je les ai sélectionnées parmi celles que je rencontre le plus en cours particulier — avec le format « copie fautive commentée » pour que tu repères immédiatement le problème.

Piège 1 — Mauvais choix de \(u\) et \(v^\prime\)

Copie fautive :

« Calculons \(\int x \, e^x \, dx\). On pose \(u = e^x\) et \(v^\prime = x\). Alors \(u^\prime = e^x\) et \(v = \displaystyle\frac{x^2}{2}\). »

\(\int x \, e^x \, dx = \displaystyle\frac{x^2}{2} e^x – \int \displaystyle\frac{x^2}{2} e^x \, dx\)

Diagnostic : l’intégrale obtenue \(\int \displaystyle\frac{x^2}{2} e^x \, dx\) est plus compliquée que l’intégrale de départ — le degré du polynôme a augmenté de 1 au lieu de diminuer ! C’est le signe que \(u\) et \(v^\prime\) sont inversés.

Correction : Pose \(u = x\) (polynôme, à dériver pour baisser le degré) et \(v^\prime = e^x\) (exponentielle, facile à intégrer). La règle ALPES te donne le bon choix du premier coup.

Piège 2 — Oubli du signe moins

Copie fautive :

« \(\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) \boldsymbol{+} \int \sin(x) \, dx = x\sin(x) – \cos(x) + C\) »

Diagnostic : la formule d’IPP contient un signe moins : \(\int uv^\prime = uv \boldsymbol{-} \int u^\prime v\). L’élève a écrit un + au lieu d’un −. C’est l’erreur la plus fréquente et la plus coûteuse en points, car elle fausse le résultat final.

Correction : \(\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) – \int \sin(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x) + C\).

(Rappel : \(\int \sin(x) \, dx = -\cos(x)\), d’où le + final après application du − de la formule.)

Piège 3 — Double IPP avec inversion des rôles

Copie fautive :

« Pour \(\int e^x \sin(x) \, dx\), 1re IPP : \(u = \sin(x)\), \(v^\prime = e^x\). 2e IPP : \(u = e^x\), \(v^\prime = \cos(x)\). »

Diagnostic : en inversant les rôles entre les deux IPP, la deuxième défait exactement le travail de la première. Tu retombes sur \(I = I\), soit \(0 = 0\) : une tautologie qui ne fait pas avancer le calcul.

Règle : dans une double IPP, garde toujours le même choix de \(v^\prime\) (ici, \(v^\prime = e^x\) pour les deux itérations).

Piège 4 — Oubli de la constante d’intégration

Copie fautive :

« \(\int x \, e^x \, dx = (x-1)e^x\) »

Diagnostic : l’oubli du \(+ \, C\) est pénalisé en DS et au bac. La primitive n’est jamais unique : si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \(F + C\) l’est aussi pour tout \(C \in \mathbb{R}\).

Correction : \(\int x \, e^x \, dx = (x-1)e^x + C\). (Exception : pour une intégrale définie \(\int_a^b\), pas de constante — le résultat est un nombre.)

V. Exercices d’application

À ton tour ! Essaie de résoudre chaque exercice avant de regarder la correction. Rappel : la méthode ALPES t’aide à choisir \(u\), et le petit tableau \(u / u^\prime / v^\prime / v\) t’organise. Les exercices sont classés par niveau croissant.

Exercice 1 (★) — \(\int x \cos(x) \, dx\)

Énoncé : Calculer la primitive \(\int x \cos(x) \, dx\).

▶ Voir la correction

On pose \(u = x\) (polynôme, à dériver) et \(v^\prime = \cos(x)\) (trigonométrique, à intégrer). Donc \(u^\prime = 1\) et \(v = \sin(x)\).

Par intégration par parties :

\(\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) – \int 1 \times \sin(x) \, dx = x \sin(x) – (-\cos(x)) + C\)

Résultat : \(\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x) + C\)

Vérification : \((x\sin(x) + \cos(x))^\prime = \sin(x) + x\cos(x) – \sin(x) = x\cos(x)\) ✓

Exercice 2 (★) — \(\int_0^1 (2x+1) e^x \, dx\)

Énoncé : Calculer \(\int_0^1 (2x+1) \, e^x \, dx\).

▶ Voir la correction

On pose \(u = 2x + 1\) et \(v^\prime = e^x\), donc \(u^\prime = 2\) et \(v = e^x\).

Par intégration par parties :

\(\int_0^1 (2x+1) e^x \, dx = \Big[(2x+1)e^x\Big]_0^1 – \int_0^1 2e^x \, dx\)

Calculons chaque terme :

  • Crochet : \((2 \times 1 + 1)e^1 – (2 \times 0 + 1)e^0 = 3e – 1\)
  • Intégrale restante : \(2\Big[e^x\Big]_0^1 = 2(e – 1) = 2e – 2\)

\(\int_0^1 (2x+1) e^x \, dx = (3e – 1) – (2e – 2) = e + 1\)

Résultat : \(\int_0^1 (2x+1) e^x \, dx = e + 1\)

Exercice 3 (★★) — Montrer que \(\int_1^e \ln(x) \, dx = 1\)

Énoncé : Démontrer que \(\int_1^e \ln(x) \, dx = 1\). Interpréter géométriquement ce résultat.

▶ Voir la correction

On utilise l’astuce \(1 \times \ln(x)\). On pose \(u = \ln(x)\) et \(v^\prime = 1\), donc \(u^\prime = \displaystyle\frac{1}{x}\) et \(v = x\).

Par intégration par parties :

\(\int_1^e \ln(x) \, dx = \Big[x\ln(x)\Big]_1^e – \int_1^e \displaystyle\frac{x}{x} \, dx = \Big[x\ln(x)\Big]_1^e – \int_1^e 1 \, dx\)

Crochet : \(e \times \ln(e) – 1 \times \ln(1) = e \times 1 – 1 \times 0 = e\).

Intégrale restante : \(\int_1^e 1 \, dx = e – 1\).

Donc : \(\int_1^e \ln(x) \, dx = e – (e – 1) = 1\). ∎

Interprétation : L’aire sous la courbe de \(y = \ln(x)\) entre \(x = 1\) et \(x = e\) vaut exactement \(1\) unité d’aire. C’est un résultat remarquable lié aux propriétés du nombre \(e\).

Exercice 4 (★★★) — \(\int_0^1 \arctan(x) \, dx\)

Énoncé : Calculer \(\int_0^1 \arctan(x) \, dx\). Donner le résultat exact.

▶ Voir la correction

On utilise l’astuce \(1 \times \arctan(x)\). D’après ALPES, arctan (A) est en tête de liste — c’est donc arctan qu’on dérive.

\(u = \arctan(x)\), \(v^\prime = 1\), donc \(u^\prime = \displaystyle\frac{1}{1+x^2}\), \(v = x\).

Par intégration par parties :

\(\int_0^1 \arctan(x) \, dx = \Big[x \arctan(x)\Big]_0^1 – \int_0^1 \displaystyle\frac{x}{1+x^2} \, dx\)

Le crochet donne : \(1 \times \arctan(1) – 0 \times \arctan(0) = \displaystyle\frac{\pi}{4} – 0 = \displaystyle\frac{\pi}{4}\).

Pour l’intégrale restante, on reconnaît une primitive de fonction composée : avec \(h(x) = 1 + x^2\), on a \(h^\prime(x) = 2x\), donc \(\displaystyle\frac{x}{1+x^2} = \displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{h^\prime(x)}{h(x)}\).

\(\int_0^1 \displaystyle\frac{x}{1+x^2} \, dx = \displaystyle\frac{1}{2}\Big[\ln(1+x^2)\Big]_0^1 = \displaystyle\frac{1}{2}(\ln 2 – \ln 1) = \displaystyle\frac{\ln 2}{2}\)

Résultat : \(\int_0^1 \arctan(x) \, dx = \displaystyle\frac{\pi}{4} – \displaystyle\frac{\ln 2}{2}\)

Exercice 5 (★★★) — \(\int_0^{\pi} x \sin(x) \, dx\) — rédaction concours

Énoncé : Calculer \(\int_0^{\pi} x \sin(x) \, dx\). Rédiger proprement la solution comme pour un DS.

▶ Voir la correction (format rédaction concours)

Effectuons une intégration par parties. Posons :

\(u(t) = t \quad \Rightarrow \quad u^\prime(t) = 1\)
\(v^\prime(t) = \sin(t) \quad \Rightarrow \quad v(t) = -\cos(t)\)

Les fonctions \(u\) et \(v\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0, \pi]\). Par intégration par parties :

\(\int_0^{\pi} t \sin(t) \, dt = \Big[-t\cos(t)\Big]_0^{\pi} – \int_0^{\pi} 1 \times (-\cos(t)) \, dt\)

\(= \Big[-t\cos(t)\Big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos(t) \, dt\)

Calculons le crochet : \(-\pi\cos(\pi) – (-0 \times \cos(0)) = -\pi \times (-1) – 0 = \pi\).

L’intégrale restante : \(\int_0^{\pi} \cos(t) \, dt = \Big[\sin(t)\Big]_0^{\pi} = \sin(\pi) – \sin(0) = 0\).

Finalement :

\(\int_0^{\pi} t \sin(t) \, dt = \pi + 0 = \pi\)

Remarque : ce résultat élégant (\(\pi\)) est dû à la symétrie du produit \(t\sin(t)\) sur \([0, \pi]\). On le retrouve dans certains calculs de coefficients de Fourier.

Tu veux t’entraîner davantage ? Consulte notre recueil d’exercices corrigés sur les primitives et intégrales, avec plus de 15 exercices progressifs.

VI. Rédaction type concours (Prépa)

En DS ou en concours (X, Mines-Ponts, Centrale), la rigueur de la rédaction compte autant que le résultat. Un correcteur qui lit une centaine de copies repère immédiatement une IPP mal présentée. Voici la présentation qu’il attend, comparée à celle qu’il sanctionne.

Modèle de rédaction attendu

Effectuons une intégration par parties en posant :

\(u(t) = \ldots \quad \Rightarrow \quad u^\prime(t) = \ldots\)
\(v^\prime(t) = \ldots \quad \Rightarrow \quad v(t) = \ldots\)

Les fonctions \(u\) et \(v\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([a, b]\).

Par intégration par parties :

\(\int_a^b u(t) \, v^\prime(t) \, dt = \Big[u(t) \, v(t)\Big]_a^b – \int_a^b u^\prime(t) \, v(t) \, dt\)

Ce qui rapporte des points :

  • Annoncer explicitement « par intégration par parties » avant d’appliquer la formule
  • Écrire les 4 éléments \(u, u^\prime, v^\prime, v\) clairement avant le calcul
  • Justifier la régularité : « \(u\) et \(v\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([a,b]\) » — c’est trivial mais attendu
  • Utiliser la variable muette \(t\) (pas \(x\)) quand \(x\) apparaît comme borne d’intégrale
  • Détailler les calculs intermédiaires : crochet et intégrale restante calculés séparément

Ce qui fait perdre des points :

  • Écrire directement le résultat sans poser \(u\) et \(v^\prime\) (« IPP non justifiée »)
  • Oublier de mentionner la régularité des fonctions
  • Confondre la variable d’intégration \(t\) et la borne \(x\) — erreur grave quand on travaille avec des intégrales à borne variable du type \(F(x) = \int_0^x f(t) \, dt\)
  • Sauter des étapes intermédiaires (le correcteur veut voir le raisonnement, pas seulement la réponse)

Conseil : en concours, une IPP bien rédigée te prend environ 5 à 8 lignes. Si c’est plus court, il te manque une justification. Si c’est beaucoup plus long, tu compliques les choses.

VII. Suites d’intégrales par IPP (Prépa)

En classe préparatoire, les suites de la forme \(I_n = \int_a^b f_n(t) \, dt\) — où chaque \(I_n\) se ramène à \(I_{n-1}\) ou \(I_{n-2}\) par IPP — sont un incontournable des colles, DS et concours.

Principe général

On cherche, par IPP, une relation de récurrence entre \(I_n\) et \(I_{n-1}\) (ou \(I_{n-2}\)). Puis on calcule \(I_0\) (ou \(I_1\)) directement pour initialiser la récurrence et remonter la suite.

Exemple classique : \(I_n = \int_0^1 x^n e^x \, dx\)

Exemple : Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(I_n = \int_0^1 x^n e^x \, dx\). Établir une relation de récurrence entre \(I_n\) et \(I_{n-1}\).

Par IPP avec \(u(x) = x^n\) et \(v^\prime(x) = e^x\) (donc \(u^\prime(x) = nx^{n-1}\) et \(v(x) = e^x\)), les fonctions \(u\) et \(v\) étant de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0,1]\) :

\(I_n = \Big[x^n e^x\Big]_0^1 – \int_0^1 n \, x^{n-1} e^x \, dx = (1^n \times e – 0) – n \, I_{n-1}\)

Relation de récurrence : pour tout \(n \geq 1\), \(I_n = e – n \, I_{n-1}\)

Initialisation : \(I_0 = \int_0^1 e^x \, dx = \Big[e^x\Big]_0^1 = e – 1\).

Premiers termes :

  • \(I_1 = e – 1 \times (e – 1) = 1\)
  • \(I_2 = e – 2 \times 1 = e – 2\)
  • \(I_3 = e – 3(e – 2) = 6 – 2e\)

Ce type de suite d’intégrales apparaît constamment en exercices de concours. Les deux cas les plus célèbres sont :

  • Les intégrales de Wallis \(W_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(t) \, dt\), où l’IPP donne la relation de récurrence \(W_n = \displaystyle\frac{n-1}{n} \, W_{n-2}\)
  • La formule de Taylor avec reste intégral, obtenue par \(n\) IPP successives à partir de \(\int_a^x f^{(n+1)}(t) \displaystyle\frac{(x-t)^n}{n!} \, dt\)

Dans les deux cas, la démarche est identique : poser l’IPP, obtenir la récurrence, calculer les premiers termes, et éventuellement étudier la convergence de la suite \((I_n)\).

Réflexe concours : quand un énoncé te demande d’établir une relation de récurrence sur une suite d’intégrales, pense immédiatement à l’IPP. C’est la technique qui fait apparaître le lien entre \(I_n\) et \(I_{n-1}\) dans plus de 90 % des cas.

VIII. Questions fréquentes


Comment se fait l'intégration par partie ?

L’intégration par parties consiste à décomposer l’intégrande en un produit \(u \times v^\prime\), puis à appliquer la formule \(\int u \, v^\prime = u \, v – \int u^\prime \, v\). En pratique, tu choisis \(u\) (la fonction à dériver) grâce à la règle ALPES, tu calcules les 4 éléments dans un tableau, tu appliques la formule, puis tu calcules l’intégrale restante. Si celle-ci est immédiate, tu conclus. Si elle nécessite une nouvelle IPP, tu recommences.

Quand faut-il faire une intégration par partie ?

Tu utilises l’intégration par parties quand l’intégrande est un produit de deux fonctions dont l’une se simplifie en la dérivant. Les cas typiques : un polynôme multiplié par une exponentielle, un logarithme, ou une fonction trigonométrique. Si tu vois \(\ln(x)\), \(\arctan(x)\) ou \(\arcsin(x)\) seuls dans l’intégrale, l’IPP est presque toujours la bonne piste (via l’astuce \(1 \times f(x)\)). En revanche, si l’intégrande est de la forme \(u^\prime(x) \times f(u(x))\), c’est une primitive de fonction composée, pas une IPP.

Quelles sont les 4 méthodes d'intégration ?

Les quatre grandes techniques de calcul de primitives sont : (1) la reconnaissance directe via le tableau des primitives usuelles, (2) l’intégration par parties (cet article), (3) le changement de variable, et (4) la décomposition en éléments simples pour les fractions rationnelles (niveau prépa). Le choix dépend de la forme de l’intégrande — savoir reconnaître la bonne méthode est une compétence clé.

Comment faire quand l'intégration par parties tourne en boucle ?

Si après deux IPP tu retombes sur l’intégrale de départ — comme avec \(\int e^x \sin(x) \, dx\) — ce n’est pas un échec, c’est le résultat attendu. Tu as obtenu une équation en \(I\) : par exemple \(I = \ldots – I\), donc \(2I = \ldots\) et tu divises par 2. L’essentiel est de garder le même choix de \(v^\prime\) dans les deux IPP — si tu inverses les rôles, tu défais la première IPP et tu obtiens la tautologie \(I = I\).

L'intégration par parties est-elle au programme de Terminale ?

Oui, l’intégration par parties figure au programme de mathématiques en Terminale spécialité (programme 2025-2026). C’est aussi un outil central en classe préparatoire (MPSI, PCSI, MP, PC, PSI…), où elle intervient dans des démonstrations de cours (formule de Taylor, intégrales de Wallis) et dans de nombreux problèmes de concours. La maîtriser dès la Terminale te donne une longueur d’avance pour la prépa.


IX. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant l’intégration par parties, de la formule de base jusqu’aux suites d’intégrales de prépa. Pour continuer ta progression dans le chapitre Intégrales et Primitives :

EN BONUS

Fiche de synthèse — Intégration par parties

Formule, mnémotechnique ALPES, méthode en 4 étapes, cas de la double IPP et exemples résolus sur une fiche recto-verso.

La méthode en recto-verso — PDF

Format A4, prêt à imprimer. La formule et les exemples sous la main pendant tes révisions.

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