Tu veux t’entraîner sur les primitives et les intégrales ? Voici 20 exercices classés par difficulté croissante, de l’application directe (★) aux problèmes de concours (★★★). Chaque exercice est corrigé pas à pas avec les méthodes détaillées. Que tu prépares le bac ou les concours de prépa, tu trouveras ici de quoi progresser efficacement.
Conseil : essaie chaque exercice sur papier avant de consulter la correction. C’est en se confrontant à la difficulté qu’on progresse ! Les formules essentielles sont rappelées juste en dessous — si tu as besoin d’un cours complet, consulte notre cours sur les primitives et intégrales.
Rappel des formules essentielles
Avant de te lancer, assure-toi de maîtriser ces primitives de base. Tu retrouveras toutes les formules dans notre tableau complet des primitives usuelles.
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(x^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) (ou \(]0;+\infty[\) si \(n\) < \(0\)) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(u^\prime \cdot u^n\) | \(\frac{u^{n+1}}{n+1}\) | Selon \(u\) |
| \(\frac{u^\prime}{u}\) | \(\ln|u|\) | Selon \(u\) |
| \(u^\prime \cdot e^{u}\) | \(e^{u}\) | Selon \(u\) |
Règle d’or : primitiver est l’opération inverse de dériver. Pour vérifier ton résultat, dérive ta primitive : tu dois retomber sur la fonction de départ.
Ces formules te suffiront pour les exercices ★. Pour les primitives de fonctions composées et l’intégration par parties, consulte les pages dédiées.
Exercices d’application directe (★)
Ces sept premiers exercices portent sur les primitives et intégrales de base. Si tu connais le tableau ci-dessus, tu peux tous les réussir.
Exercice 1 — Primitives de polynômes ⏱ 5 min
Déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) de chacune des fonctions suivantes :
a) \(f(x) = 6x^2 – 4x + 3\)
b) \(g(x) = x^4 – 3x^2 + 5x – 2\)
Voir la correction
On primitive terme à terme en appliquant la règle : une primitive de \(x^n\) est \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\).
a) \(F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} – 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x = 2x^3 – 2x^2 + 3x\)
b) \(G(x) = \frac{x^5}{5} – 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 5 \cdot \frac{x^2}{2} – 2x = \frac{x^5}{5} – x^3 + \frac{5x^2}{2} – 2x\)
Vérification : dérive \(F\) et \(G\) pour retrouver \(f\) et \(g\).
Exercice 2 — Puissances fractionnaires et inverse ⏱ 5 min
Déterminer une primitive de \(h\) sur \(]0\,;+\infty[\) définie par :
\(h(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} – \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x}\)Voir la correction
On réécrit \(h\) avec des puissances : \(h(x) = 2x^{-1/2} – 3x^{-2} + x^{-1}\).
On primitive chaque terme :
- Primitive de \(2x^{-1/2}\) : \(2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 4\sqrt{x}\)
- Primitive de \(-3x^{-2}\) : \(-3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = \frac{3}{x}\)
- Primitive de \(\frac{1}{x}\) : \(\ln(x)\) (sur \(]0\,;+\infty[\), pas besoin de valeur absolue)
Résultat : \(H(x) = 4\sqrt{x} + \frac{3}{x} + \ln(x)\)
Attention : sur \(]0\,;+\infty[\), on écrit \(\ln(x)\). Sur \(\mathbb{R}^*\), il faudrait écrire \(\ln|x|\).
Exercice 3 — QCM : reconnaître une primitive ⏱ 2 min
Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une primitive de \(f(x) = 2\cos(x) – 3e^x\) sur \(\mathbb{R}\) ?
a) \(F(x) = -2\sin(x) – 3e^x\)
b) \(F(x) = 2\sin(x) – 3e^x\)
c) \(F(x) = 2\sin(x) + 3e^x\)
d) \(F(x) = -2\sin(x) + 3e^x\)
Voir la correction
On cherche \(F\) telle que \(F^\prime = f\). Dérivons chaque proposition :
- a) \(F^\prime(x) = -2\cos(x) – 3e^x \neq f(x)\) ✗
- b) \(F^\prime(x) = 2\cos(x) – 3e^x = f(x)\) ✓
- c) \(F^\prime(x) = 2\cos(x) + 3e^x \neq f(x)\) ✗
- d) \(F^\prime(x) = -2\cos(x) + 3e^x \neq f(x)\) ✗
Réponse : b). Retiens : la primitive de \(\cos\) est \(\sin\) (pas \(-\sin\)) et la primitive de \(e^x\) est \(e^x\) (le signe ne change pas).
Exercice 4 — Calculs d’intégrales définies ⏱ 5 min
Calculer les intégrales suivantes :
a) \(I_1 = \int_0^1 (3t^2 + 2t – 1)\,dt\)
b) \(I_2 = \int_1^e \frac{1}{x}\,dx\)
Voir la correction
a) Une primitive de \(3t^2 + 2t – 1\) est \(t^3 + t^2 – t\).
\(I_1 = \left[t^3 + t^2 – t\right]_0^1 = (1 + 1 – 1) – (0) = 1\)b) Une primitive de \(\frac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\) est \(\ln(x)\).
\(I_2 = \left[\ln(x)\right]_1^e = \ln(e) – \ln(1) = 1 – 0 = 1\)Exercice 5 — Primitive vérifiant une condition initiale ⏱ 5 min
Soit \(f(x) = 6x^2 – 2x + 1\) définie sur \(\mathbb{R}\). Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) vérifiant \(F(0) = 4\).
Voir la correction
Étape 1 : on trouve la forme générale des primitives de \(f\) :
\(F(x) = 2x^3 – x^2 + x + C\) où \(C \in \mathbb{R}\).
Étape 2 : on détermine \(C\) grâce à la condition \(F(0) = 4\) :
\(F(0) = 0 – 0 + 0 + C = C = 4\)Résultat : \(F(x) = 2x^3 – x^2 + x + 4\)
Rappel : une fonction admet une infinité de primitives, qui diffèrent par une constante. La condition initiale permet de sélectionner l’unique primitive qui convient.
Exercice 6 — Forme \(u^\prime \cdot u^n\) ⏱ 5 min
Déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) de chacune des fonctions :
a) \(f(x) = 3x^2(x^3 + 1)^4\)
b) \(g(x) = \cos(x) \cdot \sin^2(x)\)
Voir la correction
On reconnaît des primitives de fonctions composées de la forme \(u^\prime \cdot u^n\), dont une primitive est \(\frac{u^{n+1}}{n+1}\).
a) On pose \(u = x^3 + 1\), donc \(u^\prime = 3x^2\).
\(f(x) = u^\prime \cdot u^4\), donc \(F(x) = \frac{(x^3 + 1)^5}{5}\)
b) On pose \(u = \sin(x)\), donc \(u^\prime = \cos(x)\).
\(g(x) = u^\prime \cdot u^2\), donc \(G(x) = \frac{\sin^3(x)}{3}\)
Vérification de b) : \(G^\prime(x) = \frac{3\sin^2(x) \cdot \cos(x)}{3} = \cos(x)\sin^2(x) = g(x)\) ✓
Exercice 7 — Forme \(\frac{u^\prime}{u}\) ⏱ 3 min
Déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) de :
\(f(x) = \frac{6x + 2}{3x^2 + 2x + 5}\)Voir la correction
On pose \(u = 3x^2 + 2x + 5\). Alors \(u^\prime = 6x + 2\).
On reconnaît la forme \(\frac{u^\prime}{u}\), dont une primitive est \(\ln|u|\).
\(F(x) = \ln(3x^2 + 2x + 5)\)(On écrit \(\ln(\ldots)\) sans valeur absolue car le discriminant de \(3x^2 + 2x + 5\) est \(\Delta = 4 – 60\) < \(0\), donc \(3x^2 + 2x + 5\) > \(0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).)
Exercices d’approfondissement (★★)
Tu as réussi les exercices d’application directe ? Passons à la vitesse supérieure. Ces exercices combinent plusieurs techniques : fonctions composées, intégration par parties, calculs d’aires et encadrements.
Exercice 8 — Forme \(u^\prime \cdot e^{u}\) ⏱ 3 min
Déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) de :
\(f(x) = (2x – 3) \cdot e^{x^2 – 3x}\)Voir la correction
On pose \(u = x^2 – 3x\), donc \(u^\prime = 2x – 3\).
On reconnaît la forme \(u^\prime \cdot e^u\), dont une primitive est \(e^u\).
\(F(x) = e^{x^2 – 3x}\)Vérification : \(F^\prime(x) = (2x-3) \cdot e^{x^2-3x} = f(x)\) ✓
Pour plus de détails sur cette technique, consulte la page primitives de fonctions composées.
Exercice 9 — Aire sous une courbe (changement de signe) ⏱ 10 min
Soit \(f(x) = x^2 – 4\) définie sur \(\mathbb{R}\). Calculer l’aire \(\mathcal{A}\) de la surface délimitée par la courbe de \(f\), l’axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = 3\).
![Courbe f(x) = x²-4 sur [-1; 3.5], axe des abscisses. Zone entre x=0 et x=2 (sous l'axe) colorée en rouge #e15a4f avec op](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/03/graphe_exercice_9.png)
Voir la correction
Étape 1 — Étude du signe de \(f\).
\(f(x) = 0 \iff x^2 = 4 \iff x = -2\) ou \(x = 2\).
- Sur \([0\,;2]\) : \(f(x) \leq 0\) (la courbe est sous l’axe des abscisses)
- Sur \([2\,;3]\) : \(f(x) \geq 0\) (la courbe est au-dessus)
Étape 2 — Calcul de l’aire. Puisque \(f\) change de signe, on sépare le calcul :
\(\mathcal{A} = \left|\int_0^2 (x^2 – 4)\,dx\right| + \int_2^3 (x^2 – 4)\,dx\)Premier morceau : \(\int_0^2 (x^2 – 4)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} – 4x\right]_0^2 = \frac{8}{3} – 8 = -\frac{16}{3}\)
Second morceau : \(\int_2^3 (x^2 – 4)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} – 4x\right]_2^3 = (9-12) – \left(\frac{8}{3}-8\right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}\)
Résultat : \(\mathcal{A} = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} \approx 7{,}67\) unités d’aire.
⚠️ Piège classique : si tu calcules directement \(\int_0^3 (x^2-4)\,dx\) sans séparer, tu obtiens \(-\frac{16}{3} + \frac{7}{3} = -3\), ce qui ne représente pas l’aire (une aire est toujours positive).
Exercice 10 — Aire entre deux courbes ⏱ 10 min
Soient \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x\) définies sur \([0\,;3]\). Calculer l’aire de la surface comprise entre les deux courbes.
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Étape 1 — Intersection des courbes.
\(x^2 = 2x \iff x^2 – 2x = 0 \iff x(x-2) = 0 \iff x = 0\) ou \(x = 2\).
Étape 2 — Qui est au-dessus ?
- Sur \([0\,;2]\) : \(g(x) \geq f(x)\) (car \(2x \geq x^2 \iff x \leq 2\))
- Sur \([2\,;3]\) : \(f(x) \geq g(x)\)
Étape 3 — Calcul de l’aire.
\(\mathcal{A} = \int_0^2 (2x – x^2)\,dx + \int_2^3 (x^2 – 2x)\,dx\) \(\int_0^2 (2x-x^2)\,dx = \left[x^2 – \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 – \frac{8}{3} = \frac{4}{3}\) \(\int_2^3 (x^2-2x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} – x^2\right]_2^3 = (9-9) – \left(\frac{8}{3}-4\right) = 0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}\)Résultat : \(\mathcal{A} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\) unités d’aire.
Exercice 11 — Intégration par parties ⏱ 8 min
Calculer \(I = \int_0^1 x \cdot e^x\,dx\).
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On utilise l’intégration par parties : \(\int u \cdot v^\prime = [u \cdot v] – \int u^\prime \cdot v\).
Choix : \(u = x\) (qui se simplifie en dérivant) et \(v^\prime = e^x\).
Donc \(u^\prime = 1\) et \(v = e^x\).
\(I = \left[x \cdot e^x\right]_0^1 – \int_0^1 1 \cdot e^x\,dx = (1 \cdot e – 0) – \left[e^x\right]_0^1 = e – (e – 1) = 1\)Astuce : en IPP, on choisit pour \(u\) la fonction qui se « simplifie » quand on dérive (ici le polynôme \(x\)).
Exercice 12 — Primitive de ln(x) par IPP ⏱ 8 min
Calculer \(J = \int_1^e \ln(x)\,dx\).
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L’astuce classique consiste à écrire \(\ln(x) = 1 \times \ln(x)\) et à appliquer l’IPP. Pour la méthode complète, consulte la page primitive de ln x.
Choix : \(u = \ln(x)\) et \(v^\prime = 1\).
Donc \(u^\prime = \frac{1}{x}\) et \(v = x\).
\(J = \left[x\ln(x)\right]_1^e – \int_1^e x \cdot \frac{1}{x}\,dx = \left[x\ln(x)\right]_1^e – \int_1^e 1\,dx\) \(J = (e \cdot 1 – 1 \cdot 0) – \left[x\right]_1^e = e – (e – 1) = 1\)Exercice 13 — Intégrale dépendant d’un paramètre ⏱ 10 min
Pour tout réel \(a\) > \(0\), on pose \(I(a) = \int_0^a (a – x)e^x\,dx\). Exprimer \(I(a)\) en fonction de \(a\).
Voir la correction
On réalise une IPP avec \(u = a – x\) et \(v^\prime = e^x\).
Donc \(u^\prime = -1\) et \(v = e^x\).
\(I(a) = \left[(a-x)e^x\right]_0^a – \int_0^a (-1) \cdot e^x\,dx = \left[(a-x)e^x\right]_0^a + \int_0^a e^x\,dx\) \(I(a) = (0 \cdot e^a – a \cdot 1) + \left[e^x\right]_0^a = -a + e^a – 1\)Résultat : \(I(a) = e^a – a – 1\)
Vérification rapide : pour \(a = 1\), on a \(I(1) = e – 2\). Or \(I(1) = \int_0^1 (1-x)e^x\,dx = \int_0^1 e^x\,dx – \int_0^1 xe^x\,dx = (e-1) – 1 = e – 2\) ✓ (on a utilisé le résultat de l’exercice 11).
Exercice 14 — Encadrement d’une intégrale ⏱ 8 min
1. Montrer que : \(\frac{1}{2} \leq \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx \leq 1\)
2. En déduire un encadrement de \(\pi\).
Voir la correction
1. Encadrement de l’intégrale.
Pour tout \(x \in [0\,;1]\), on a \(0 \leq x^2 \leq 1\), donc :
\(1 \leq 1 + x^2 \leq 2\)En inversant (les termes sont positifs) : \(\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1+x^2} \leq 1\)
Par croissance de l’intégrale :
\(\int_0^1 \frac{1}{2}\,dx \leq \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx \leq \int_0^1 1\,dx\)Soit : \(\frac{1}{2} \leq \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx \leq 1\) ✓
2. Encadrement de \(\pi\).
Or, une primitive de \(\frac{1}{1+x^2}\) est \(\arctan(x)\). Donc :
\(\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx = \left[\arctan(x)\right]_0^1 = \frac{\pi}{4}\)L’encadrement donne : \(\frac{1}{2} \leq \frac{\pi}{4} \leq 1\), soit \(2 \leq \pi \leq 4\).
Remarque : ce type de raisonnement (encadrer une fonction, puis intégrer l’encadrement) est un grand classique du bac et des concours.
Tu arrives à faire ces exercices sans regarder la correction ? Tu es sur la bonne voie pour le bac. Si tu veux aller encore plus loin, nos professeurs peuvent t’accompagner avec un suivi personnalisé en Terminale.
Exercices de synthèse — type bac et concours (★★★)
Prêt pour l’épreuve ? Ces six exercices sont représentatifs de ce qui t’attend au bac et, pour les derniers, aux concours de prépa. Les exercices marqués 🟠 sont de niveau CPGE première année, et ceux marqués 🔴 relèvent des concours.
Exercice 15 — Étude de fonction et calcul d’aire 🔵 Type bac ⏱ 20 min
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (2x – 1)e^{-x}\).
1. Calculer \(f^\prime(x)\) et étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variation de \(f\).
3. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe de \(f\) avec l’axe des abscisses.
4. Calculer l’aire \(\mathcal{A}\) de la surface comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = \frac{1}{2}\).
![Courbe f(x) = (2x-1)e^{-x} sur [-0.5; 4]. Courbe en bleu #1f4acc. Zone entre x=0 et x=0.5 (sous l'axe) hachurée en or #c](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/03/graphe_exercice_15.png)
Voir la correction
1. Calcul de \(f^\prime(x)\).
\(f\) est un produit \(u \cdot v\) avec \(u = 2x – 1\) et \(v = e^{-x}\).
\(f^\prime(x) = 2 \cdot e^{-x} + (2x-1) \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}\left(2 – (2x-1)\right) = e^{-x}(3 – 2x)\)Comme \(e^{-x}\) > \(0\) pour tout \(x\), le signe de \(f^\prime(x)\) est celui de \(3-2x\) :
- \(f^\prime(x)\) > \(0\) si \(x\) < \(\frac{3}{2}\) (croissante)
- \(f^\prime(x)\) < \(0\) si \(x\) > \(\frac{3}{2}\) (décroissante)
2. Tableau de variation.
\(f\) admet un maximum en \(x = \frac{3}{2}\) avec \(f\!\left(\frac{3}{2}\right) = 2e^{-3/2}\).
Limites : \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\) (par croissances comparées).
3. Intersection avec l’axe des abscisses.
\(f(x) = 0 \iff (2x-1)e^{-x} = 0 \iff 2x – 1 = 0\) (car \(e^{-x} \neq 0\)).
Donc \(x = \frac{1}{2}\). Le point d’intersection est \(\left(\frac{1}{2}\,,\, 0\right)\).
4. Calcul de l’aire.
Sur \(\left[0\,;\frac{1}{2}\right]\), on a \(2x – 1 \leq 0\) donc \(f(x) \leq 0\).
\(\mathcal{A} = -\int_0^{1/2} (2x-1)e^{-x}\,dx = \int_0^{1/2} (1-2x)e^{-x}\,dx\)On cherche une primitive de \((1-2x)e^{-x}\) par IPP : \(u = 1-2x\), \(v^\prime = e^{-x}\), donc \(u^\prime = -2\), \(v = -e^{-x}\).
\(\int (1-2x)e^{-x}\,dx = -(1-2x)e^{-x} – \int 2e^{-x}\,dx = -(1-2x)e^{-x} + 2e^{-x} = e^{-x}(2x + 1)\)Vérification : \(\left[e^{-x}(2x+1)\right]^\prime = -e^{-x}(2x+1) + 2e^{-x} = e^{-x}(1-2x)\) ✓
\(\mathcal{A} = \left[e^{-x}(2x+1)\right]_0^{1/2} = e^{-1/2} \cdot 2 – 1 \cdot 1 = \frac{2}{\sqrt{e}} – 1\)Résultat : \(\mathcal{A} = \frac{2}{\sqrt{e}} – 1 \approx 0{,}21\) unité d’aire.
Exercice 16 — Double intégration par parties 🟠 Prépa ⏱ 15 min
Calculer \(I = \int_0^{\pi/2} e^x \cos(x)\,dx\).
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C’est un cas classique où une double IPP fait réapparaître l’intégrale de départ. Pour la méthode détaillée, consulte notre page intégration par parties.
Première IPP : \(u = \cos(x)\), \(v^\prime = e^x\), donc \(u^\prime = -\sin(x)\), \(v = e^x\).
\(I = \left[e^x\cos(x)\right]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} e^x\sin(x)\,dx = (0 – 1) + J\)où \(J = \int_0^{\pi/2} e^x\sin(x)\,dx\).
Seconde IPP sur \(J\) : \(u = \sin(x)\), \(v^\prime = e^x\), donc \(u^\prime = \cos(x)\), \(v = e^x\).
\(J = \left[e^x\sin(x)\right]_0^{\pi/2} – \int_0^{\pi/2} e^x\cos(x)\,dx = (e^{\pi/2} – 0) – I = e^{\pi/2} – I\)On rassemble : \(I = -1 + e^{\pi/2} – I\), donc \(2I = e^{\pi/2} – 1\).
Résultat : \(I = \frac{e^{\pi/2} – 1}{2}\)
Remarque : cette technique (double IPP + résolution d’équation en \(I\)) fonctionne pour toutes les intégrales de la forme \(\int e^{ax}\cos(bx)\,dx\) et \(\int e^{ax}\sin(bx)\,dx\).
Exercice 17 — Changement de variable 🟠 Prépa ⏱ 12 min
Calculer \(J = \int_1^4 \frac{1}{1 + \sqrt{x}}\,dx\) en posant \(u = \sqrt{x}\).
Voir la correction
Pour la méthode complète, consulte notre page changement de variable dans une intégrale.
Changement : \(u = \sqrt{x}\), donc \(x = u^2\) et \(dx = 2u\,du\).
Bornes : \(x = 1 \Rightarrow u = 1\) ; \(x = 4 \Rightarrow u = 2\).
\(J = \int_1^2 \frac{1}{1+u} \cdot 2u\,du = \int_1^2 \frac{2u}{1+u}\,du\)Division euclidienne : \(\frac{2u}{1+u} = \frac{2(u+1) – 2}{1+u} = 2 – \frac{2}{1+u}\)
\(J = \int_1^2 \left(2 – \frac{2}{1+u}\right)du = \left[2u – 2\ln(1+u)\right]_1^2\) \(J = (4 – 2\ln 3) – (2 – 2\ln 2) = 2 – 2\ln\!\left(\frac{3}{2}\right)\)Résultat : \(J = 2 – 2\ln\!\left(\frac{3}{2}\right) \approx 1{,}19\)
Exercice 18 — Suite d’intégrales par récurrence 🟠 Prépa ⏱ 15 min
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(I_n = \int_0^1 x^n e^x\,dx\).
1. Calculer \(I_0\).
2. Montrer que pour tout \(n \geq 1\) : \(I_n = e – nI_{n-1}\).
3. En déduire \(I_1\) et \(I_2\).
Voir la correction
1. \(I_0 = \int_0^1 e^x\,dx = \left[e^x\right]_0^1 = e – 1\)
2. On effectue une intégration par parties avec \(u = x^n\) et \(v^\prime = e^x\).
Donc \(u^\prime = nx^{n-1}\) et \(v = e^x\).
\(I_n = \left[x^n e^x\right]_0^1 – \int_0^1 nx^{n-1}e^x\,dx = 1 \cdot e – 0 – nI_{n-1} = e – nI_{n-1}\) ✓
3. Application de la relation de récurrence :
- \(I_1 = e – 1 \cdot I_0 = e – (e-1) = 1\)
- \(I_2 = e – 2 \cdot I_1 = e – 2\)
Remarque : ce type d’exercice (établir une relation de récurrence entre intégrales par IPP) est un grand classique des concours. Compare avec les intégrales de Wallis qui suivent le même schéma avec \(\int_0^{\pi/2} \sin^n(x)\,dx\).
Exercice 19 — Convergence d’une intégrale généralisée 🔴 Concours ⏱ 10 min
Montrer que l’intégrale \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx\) converge et calculer sa valeur.
Voir la correction
Pour un cours complet sur ce type d’intégrales, consulte la page intégrales généralisées.
Étape 1 — Calcul sur un segment \([1\,;A]\).
\(\int_1^A \frac{1}{x^2}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^A = -\frac{1}{A} + 1 = 1 – \frac{1}{A}\)Étape 2 — Passage à la limite.
\(\lim_{A \to +\infty} \left(1 – \frac{1}{A}\right) = 1\)La limite est finie, donc l’intégrale converge.
Résultat : \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = 1\)
Remarque : de manière générale, l’intégrale de Riemann \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha}\,dx\) converge si et seulement si \(\alpha\) > \(1\). Ici \(\alpha = 2\) > \(1\), ce qui confirme la convergence.
Exercice 20 — Décomposition en éléments simples 🔴 Concours ⏱ 12 min
Calculer \(K = \int_0^1 \frac{1}{(1+x)(2+x)}\,dx\).
Voir la correction
Étape 1 — Décomposition en éléments simples.
On cherche \(A\) et \(B\) tels que : \(\frac{1}{(1+x)(2+x)} = \frac{A}{1+x} + \frac{B}{2+x}\)
En multipliant par \((1+x)(2+x)\) : \(1 = A(2+x) + B(1+x)\)
- \(x = -1\) : \(1 = A \cdot 1\), donc \(A = 1\)
- \(x = -2\) : \(1 = B \cdot (-1)\), donc \(B = -1\)
Ainsi : \(\frac{1}{(1+x)(2+x)} = \frac{1}{1+x} – \frac{1}{2+x}\)
Étape 2 — Intégration.
\(K = \int_0^1 \left(\frac{1}{1+x} – \frac{1}{2+x}\right)dx = \left[\ln(1+x) – \ln(2+x)\right]_0^1\) \(K = \left[\ln\!\left(\frac{1+x}{2+x}\right)\right]_0^1 = \ln\!\left(\frac{2}{3}\right) – \ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = \ln\!\left(\frac{2}{3} \cdot 2\right) = \ln\!\left(\frac{4}{3}\right)\)Résultat : \(K = \ln\!\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0{,}288\)
Erreurs fréquentes et pièges classiques
En corrigeant des centaines de copies, on retrouve toujours les mêmes erreurs. Voici les cinq pièges les plus courants — vérifie que tu ne les commets pas.
Piège n°1 — Oublier la constante \(C\).
Si on te demande « déterminer les primitives de \(f\) », la réponse est \(F(x) + C\) avec \(C \in \mathbb{R}\). Si on te demande « une primitive », tu peux prendre \(C = 0\). Mais dans un calcul d’intégrale définie \(\int_a^b f(x)\,dx\), la constante disparaît : pas besoin de l’écrire.
Piège n°2 — Se tromper de signe avec \(\sin\) et \(\cos\).
❌ Copie fautive : « La primitive de \(\sin(x)\) est \(\cos(x)\). »
✅ Correction : la primitive de \(\sin(x)\) est \(-\cos(x)\). Moyen mnémotechnique : dériver ajoute un moins devant sin/cos en alternance, donc primitiver fait l’inverse.
Piège n°3 — Calculer une aire sans tenir compte du signe de la fonction.
❌ Copie fautive : « L’aire sous la courbe entre \(a\) et \(b\) est \(\int_a^b f(x)\,dx\). »
✅ Correction : l’intégrale peut être négative si la courbe passe sous l’axe des abscisses. Pour l’aire, il faut séparer les intervalles où \(f\) est positive et négative, puis prendre les valeurs absolues (voir exercice 9).
Piège n°4 — Confondre \(u^\prime\) et \(u\) dans les primitives composées.
❌ Copie fautive : « La primitive de \(\cos(3x)\) est \(\sin(3x)\). »
✅ Correction : ici \(u = 3x\) et \(u^\prime = 3\). Il manque le facteur \(\frac{1}{3}\). La bonne réponse est \(\frac{\sin(3x)}{3}\). Vérifie toujours : \(\left(\frac{\sin(3x)}{3}\right)^\prime = \frac{3\cos(3x)}{3} = \cos(3x)\) ✓
Piège n°5 — Écrire \(\ln(x)\) au lieu de \(\ln|x|\).
La primitive de \(\frac{1}{x}\) est \(\ln|x|\) (avec la valeur absolue) sur \(\mathbb{R}^*\). On n’écrit \(\ln(x)\) que si le domaine est restreint à \(]0\,;+\infty[\). En cas de doute, mets la valeur absolue — ce n’est jamais faux.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre primitive et intégrale ?
Une primitive est une fonction : c’est une fonction \(F\) telle que \(F^\prime = f\). Il y en a une infinité (elles diffèrent d’une constante). Une intégrale définie \(\int_a^b f(x)\,dx\) est un nombre : c’est la différence \(F(b) – F(a)\). La primitive est l’outil, l’intégrale est le résultat. Pour un cours complet, consulte notre page primitives et intégrales.
Comment savoir quelle méthode utiliser pour trouver une primitive ?
Procède par étapes : 1) Regarde si la fonction figure dans le tableau des primitives usuelles. 2) Vérifie si tu reconnais une forme composée \(u^\prime f(u)\). 3) Si c’est un produit, tente l’intégration par parties. 4) Sinon, essaie un changement de variable ou une décomposition en éléments simples.
Comment fait-on une primitive de polynôme ?
On primitive terme à terme : la primitive de \(ax^n\) est \(a \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}\). Par exemple, une primitive de \(5x^3 – 2x + 7\) est \(\frac{5x^4}{4} – x^2 + 7x\). N’oublie pas d’ajouter \(+ C\) si on te demande la primitive générale.
Quelle est la primitive de 5x ?
Une primitive de \(f(x) = 5x\) est \(F(x) = \frac{5x^2}{2}\). On applique la règle \(x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}\) avec \(n = 1\) : \(5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{5x^2}{2}\). Vérification : \(F^\prime(x) = 5x = f(x)\) ✓
Combien d'exercices faut-il faire pour maîtriser les primitives ?
En Terminale, vise une trentaine d’exercices variés couvrant les primitives directes, les composées, l’IPP et les calculs d’aire. Les 20 exercices de cette page, complétés par notre recueil PDF de 10 exercices bonus, constituent un excellent entraînement. En prépa, le volume doit doubler pour inclure les techniques avancées.
Pour aller plus loin
Tu as fait le tour de ces 20 exercices ? Voici comment continuer ta progression :
- 📖 Cours complet sur les primitives et intégrales — pour revoir les fondamentaux
- 📋 Tableau des primitives usuelles — toutes les formules en un coup d’œil
- 🔧 Intégration par parties : méthode détaillée
- 🔧 Primitives de fonctions composées
- 🔧 Changement de variable dans une intégrale
- 🔧 Primitive de ln x : méthode et démonstration
- 🎯 Intégrales de Wallis — pour les élèves de prépa
- 🎯 Intégrale de Gauss — un classique des concours
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