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Le sujet BCE Maths Approfondies emlyon 2026, proposé le mercredi 22 avril de 14h à 18h (4 heures, sans calculatrice), se compose de deux problèmes indépendants. Le Problème 1 porte sur l’algèbre linéaire et l’optimisation matricielle (diagonalisation, trace, projections) tandis que le Problème 2 explore les probabilités discrètes (fonctions génératrices, lemme de Borel-Cantelli, marche aléatoire symétrique). L’ensemble constitue un sujet exigeant mais progressif, avec des premières questions accessibles dans chaque partie et une montée en difficulté marquée dans les questions finales.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Problème 1 – Partie 1 (Q1-2) | Diagonalisation et quotient de Rayleigh | Accessible | Matrices orthogonales, valeurs propres, points critiques |
| Problème 1 – Partie 2 (Q3-6) | Trace, optimisation linéaire et projections | Élevé | Trace, compacts, projections orthogonales, rang |
| Problème 1 – Partie 2 (Q7-10) | Optimisation spectrale de la trace | Très élevé | Théorème spectral, vecteurs propres, inégalité de trace |
| Problème 2 – Partie 1 (Q1) | Fonction génératrice | Accessible | Séries entières, convergence, continuité |
| Problème 2 – Partie 1 (Q2-4) | Borel-Cantelli et produit de Cauchy | Élevé | Indépendance, inégalité exponentielle, séries à termes positifs |
| Problème 2 – Partie 2 (Q5-12) | Marche aléatoire et temps de premier passage | Élevé à Très élevé | Loi binomiale, Stirling, convolution, simulations Python |
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Structure et thèmes du sujet
Problème 1 – Optimisation de la trace matricielle
Partie 1 – Un exemple (Q1-2). Le problème débute en dimension \(n = 2\) avec la matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\). La Q1 demande de trouver une matrice orthogonale \(Q\) et une matrice diagonale \(D\) (coefficients en ordre décroissant) telles que \(A = QD\,{}^tQ\). C’est un exercice de diagonalisation classique. La Q2 introduit la fonction \(\varphi(x,y)\), qui n’est autre que le quotient de Rayleigh de \(A\) : on montre que \(\varphi(x,y) = 1 + \displaystyle\frac{2xy}{x^2 + y^2}\), on étudie ses points critiques (il y en a une infinité), son homogénéité de degré 0, et on en déduit que son maximum global vaut 2, atteint sur la droite \(y = x\).
Partie 2 – Une inégalité sur la trace (Q3-10). On passe en dimension \(n\) quelconque. Les Q3-4 posent les fondations : propriétés de la trace (\(\mathrm{Tr}({}^tBB) = \mathrm{Tr}(B\,{}^tB)\)) et représentation graphique des ensembles \(D = [0,1]^n\) et \(\mathcal{C}_k\) pour \(n = 2\). La Q5 résout un problème d’optimisation linéaire de \(f_\Lambda = \sum \lambda_i x_i\) sur le compact \(D \cap \mathcal{C}_k\). Les Q6-10 construisent le résultat central : la quantité \(\mathrm{Tr}({}^tMAM)\) est maximale lorsque les colonnes de \(M\) sont les \(k\) premiers vecteurs propres de \(A\) (associés aux plus grandes valeurs propres). C’est un résultat fondamental en analyse en composantes principales (ACP).
Problème 2 – Marche aléatoire et récurrence
Partie 1 – Résultats préliminaires (Q1-4). Quatre résultats indépendants sont établis. La Q1 étudie la fonction génératrice \(G_W(t) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbf{P}(W = n)\,t^n\) d’une variable aléatoire discrète à valeurs entières : existence, croissance, continuité en 1, dérivabilité. La Q2 démontre le second lemme de Borel-Cantelli (avec indépendance). La Q3 établit la stationnarité de la marche. La Q4 traite le produit de Cauchy de deux séries convergentes à termes positifs.
Partie 2 – Une marche aléatoire (Q5-12). On considère la marche aléatoire simple symétrique \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} X_k\) où les \(X_k\) sont i.i.d. avec \(\mathbf{P}(X_k = 1) = \mathbf{P}(X_k = -1) = \displaystyle\frac{1}{2}\). On calcule espérance et variance (Q5), on montre la convergence en probabilité de \(\displaystyle\frac{S_n}{n}\) vers 0 (Q6), on programme des simulations Python (Q7). Les Q8-9 établissent la loi de \(S_n\) via la loi binomiale. La Q10 utilise la formule de Stirling pour montrer \(\mathbf{P}(S_{2n} = 0) \underset{n \to +\infty}{\sim} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\), puis conclut via Borel-Cantelli que la marche repasse par 0 une infinité de fois presque sûrement. Les Q11-12 étudient le temps de premier retour \(T\) et aboutissent à une relation de convolution reliant les \(\mathbf{P}(T = n)\).
Notions et chapitres testés
Algèbre linéaire et bilinéaire (Problème 1) :
- Réduction des matrices symétriques réelles (théorème spectral)
- Matrices orthogonales, décomposition \(A = QD\,{}^tQ\)
- Trace d’une matrice : linéarité, invariance par transposition, lien avec le rang des projections
- Projections orthogonales : caractérisation matricielle, propriétés spectrales
- Optimisation sous contrainte sur un compact (théorème des bornes atteintes)
Analyse (Problème 1, Q2) :
- Fonctions de plusieurs variables : régularité \(\mathcal{C}^2\), gradient, points critiques
- Fonctions homogènes de degré 0
Probabilités (Problème 2) :
- Fonctions génératrices de variables aléatoires discrètes
- Second lemme de Borel-Cantelli (événements indépendants)
- Variables aléatoires discrètes : espérance, variance, loi binomiale
- Formule de Stirling et équivalents asymptotiques
- Convergence en probabilité (inégalité de Bienaymé-Tchebychev)
- Produit de Cauchy de séries à termes positifs
- Stationnarité des incréments d’une marche aléatoire
Informatique (Q7) :
- Simulation de variables aléatoires discrètes en Python
- Fonctions avec
numpy.random
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Par rapport aux sujets emlyon Maths Approfondies des années 2022-2025, ce sujet 2026 se situe dans la moyenne haute. Le Problème 1 est sensiblement plus ambitieux que d’habitude dans ses dernières questions (Q10), qui demandent de synthétiser projections, trace et optimisation spectrale — un thème qui touche directement à l’ACP et qui est rarement poussé aussi loin dans les sujets ECG. Le Problème 2 est plus classique dans sa structure (la marche aléatoire symétrique est un grand classique), mais la fin (Q11-12) avec la relation de convolution sur le temps de premier passage est techniquement exigeante.
Les premières questions de chaque partie restent très abordables, ce qui maintient la possibilité de grappiller des points même sans maîtriser l’ensemble. Un candidat bien préparé pouvait espérer traiter environ 60 à 70 % du sujet en 4 heures, ce qui constituerait déjà une très bonne copie.
Pièges et points techniques délicats
Q1 (Problème 1) : L’énoncé impose que les coefficients diagonaux de \(D\) soient rangés dans l’ordre décroissant. Les valeurs propres de \(A\) sont 2 et 0 : il faut donc poser \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) et placer le vecteur propre associé à 2 en première colonne de \(Q\). Inverser l’ordre ruine toute la suite.
Q2b : On cherche les points critiques de \(\varphi\). Le piège est de s’attendre à un nombre fini de points. Or, l’homogénéité de degré 0 (Q2c) implique que si \((x_0, y_0)\) est critique, alors tout \((\alpha x_0, \alpha y_0)\) l’est aussi. Les points critiques forment des demi-droites issues de l’origine : \(y = x\) et \(y = -x\).
Q2d : Pour montrer que \(\varphi\) admet un maximum global, tu ne peux pas appliquer directement le théorème des bornes atteintes car le domaine \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\) n’est pas borné. La clé est d’utiliser la Q2c : \(\varphi(\alpha x, \alpha y) = \varphi(x,y)\), ce qui ramène l’étude au cercle unité \(S_1\), qui est compact.
Q5 : L’optimisation de \(f_\Lambda = \sum \lambda_i x_i\) sur \(D \cap \mathcal{C}_k\) est un problème linéaire. Si \(\Lambda \notin \mathrm{Vect}((1,\ldots,1))\), le maximum est atteint en saturant les premières coordonnées : \(x_1 = x_2 = \cdots = x_{k} = 1\) et les autres à 0 (si \(k\) est entier). Ne pas oublier la condition \(x_i \in [0,1]\).
Q6a : Montrer \(\mathrm{rg}(\pi) = \mathrm{Tr}(P)\) est un classique souvent mal rédigé. Il faut décomposer \(\mathbb{R}^n = \mathrm{Im}(\pi) \oplus \mathrm{Ker}(\pi)\), écrire la matrice de \(\pi\) dans une base adaptée (bloc \(I_r\) en haut à gauche, zéros ailleurs), puis utiliser l’invariance de la trace par changement de base.
Q10a-b (Problème 1) : Montrer que \(P = X\,{}^tX\) est une matrice de projection orthogonale et que \(\mathrm{Ker}(P) = \mathrm{Ker}({}^tX)\) demande de vérifier \(P^2 = P\) et \({}^tP = P\). L’égalité des noyaux se montre par double inclusion en exploitant \(\Vert Xu \Vert^2 = {}^tu\,{}^tX\,Xu = {}^tu\,Pu\).
Q2c (Problème 2) : C’est la partie la plus délicate du lemme de Borel-Cantelli. Il faut utiliser \(1 – x \leq e^{-x}\) sur chaque \(\mathbf{P}(A_k^c)\), multiplier par indépendance, puis faire tendre \(m \to +\infty\) en exploitant la divergence de \(\sum \mathbf{P}(A_n)\).
Q12d : La relation de convolution \(\mathbf{P}(T = n+1) = \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \mathbf{P}(T = k)\,\mathbf{P}(T = n-k)\) est le point culminant du sujet. Elle utilise la stationnarité (Q3) et l’indépendance des incréments pour réécrire les probabilités conditionnelles. Bien décomposer selon l’événement \(R_k\) (Q12c) avant de simplifier.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Q1 : Calculer le polynôme caractéristique \(\det(A – \lambda I) = \lambda^2 – 2\lambda = \lambda(\lambda – 2)\), en déduire les valeurs propres 0 et 2, déterminer les sous-espaces propres, normaliser les vecteurs pour former \(Q\).
Q2a : Poser \(u = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et développer \({}^tu\,A\,u = \displaystyle\frac{x^2 + 2xy + y^2}{x^2 + y^2} = 1 + \displaystyle\frac{2xy}{x^2+y^2}\).
Q2b-d : En coordonnées polaires, \(\varphi = 1 + \sin(2\theta)\), ce qui rend l’étude des extrema immédiate. Le maximum vaut 2, atteint pour \(\theta = \displaystyle\frac{\pi}{4}\), soit la direction \(y = x\).
Q3 : Écrire les coefficients : \(({}^tBB)_{i,j} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} b_{k,i}\,b_{k,j}\) et \((B\,{}^tB)_{i,j} = \displaystyle\sum_{k=1}^{m} b_{i,k}\,b_{j,k}\). Les traces sont toutes deux égales à \(\displaystyle\sum_{i,k} b_{i,k}^2\).
Q5 : Méthode de réarrangement : si \(\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\), le maximum de \(\sum \lambda_i x_i\) sous \(\sum x_i = k\) et \(x_i \in [0,1]\) est atteint en posant \(x_1 = \cdots = x_k = 1\), \(x_{k+1} = \cdots = x_n = 0\). La valeur maximale est \(\lambda_1 + \cdots + \lambda_k\).
Q6 : Décomposer \(\mathbb{R}^n = F \oplus G\) avec \(F = \mathrm{Im}(\pi)\). Dans une base adaptée, la matrice est \(\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), de trace \(r = \mathrm{rg}(\pi)\). Pour l’inégalité \(\Vert \pi(x) \Vert \leq \Vert x \Vert\) (projection orthogonale), utiliser Pythagore.
Q1 Problème 2 : \(G_W\) est bien définie car \(\sum \mathbf{P}(W=n)\,t^n \leq \sum \mathbf{P}(W=n) = 1\) pour \(t \in [0,1]\). Croissance : chaque terme est croissant en \(t\). Continuité en 1 par convergence monotone.
Q2 : Pour (a), étudier \(g(x) = e^{-x} – 1 + x\) : \(g^\prime(x) = -e^{-x} + 1 \geq 0\) pour \(x \geq 0\) et \(g(0) = 0\). Pour (b), écrire \(\mathbf{P}\left(\displaystyle\bigcap_{k=n}^{m} A_k^c\right) = \displaystyle\prod_{k=n}^{m}(1 – \mathbf{P}(A_k)) \leq \exp\left(-\displaystyle\sum_{k=n}^{m} \mathbf{P}(A_k)\right)\) par indépendance, puis passer au complémentaire.
Q9b : \(S_n = 2B_n – n\) où \(B_n \sim \mathcal{B}\left(n, \displaystyle\frac{1}{2}\right)\). Donc \(\mathbf{P}(S_n = i) = C_{n}^{\displaystyle\frac{n+i}{2}}\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^n\) si \(n\) et \(i\) ont même parité.
Q10a : Appliquer Stirling à \(C_{2n}^{n}\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{2n}\) : remplacer les factorielles par leurs équivalents et simplifier pour obtenir \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\).
Conseils pour les futurs candidats
Stratégie le jour J : Commence par les premières questions de chaque problème (Q1-2 du Problème 1, Q1 et Q5 du Problème 2) : ce sont des points quasi garantis si le cours est maîtrisé. Reviens ensuite aux questions intermédiaires avant d’attaquer les fins de problème.
En algèbre linéaire, ce sujet confirme une tendance forte des dernières sessions emlyon : la diagonalisation des matrices symétriques et ses applications à l’optimisation sont incontournables. Entraîne-toi particulièrement sur :
- Le théorème spectral et la décomposition \(A = QD\,{}^tQ\)
- Les propriétés de la trace (linéarité, invariance cyclique, lien avec le rang des projections)
- Les projections orthogonales : savoir montrer qu’une matrice est une matrice de projection, calculer son rang via la trace
En probabilités, la loi binomiale et la formule de Stirling reviennent chaque année ou presque. Le lemme de Borel-Cantelli (dans sa version avec indépendance) est un outil puissant qu’il faut savoir démontrer et appliquer. Les fonctions génératrices constituent un chapitre souvent négligé mais régulièrement testé — investis du temps dessus.
En Python, les questions de simulation (Q7) sont des points « gratuits » : sache simuler une variable aléatoire simple avec numpy.random et écrire une boucle de sommation. Ces quelques lignes de code rapportent des points précieux pour un effort minimal.
Sur le plan méthodologique, ce sujet récompense les candidats capables de faire le lien entre les parties. Les résultats préliminaires (Q1-4 du Problème 2) sont explicitement réutilisés dans la Partie 2 : le produit de Cauchy (Q4) sert pour la relation de convolution (Q12d), et Borel-Cantelli (Q2c) permet de conclure sur la récurrence de la marche (Q10b). Entraîne-toi à repérer ces connexions dans les sujets d’annales.
