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Deux élèves ont la même moyenne en maths : 12/20. L’un a eu 12 à chaque devoir ; l’autre a alterné entre 4 et 20. Même moyenne, profils très différents — c’est exactement ce que la variance en mathématiques permet de mesurer. Elle quantifie la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Dans ce cours complet sur les variables aléatoires, tu vas maîtriser la définition de la variance, ses formules de calcul (dont König-Huygens), ses propriétés et t’entraîner sur 6 exercices corrigés — du lycée à la prépa. Conforme au programme officiel 2025-2026.
I. Définition de la variance en mathématiques
Commençons par comprendre ce que mesure la variance et pourquoi elle est indispensable dès qu’on travaille avec des variables aléatoires.
A. Variance d’une variable aléatoire discrète
Quand tu connais l’espérance \(E(X)\) d’une variable aléatoire \(X\), tu sais où se situe la valeur « moyenne » de \(X\). Mais cette information ne dit rien sur la façon dont les valeurs se répartissent autour de cette moyenne : sont-elles concentrées, ou au contraire très étalées ? La variance répond à cette question en mesurant l’écart quadratique moyen entre les valeurs de \(X\) et son espérance.
Définition — Variance d’une variable aléatoire discrète
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète prenant les valeurs \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) avec les probabilités \(p_1, p_2, \ldots, p_n\). La variance de \(X\), notée \(V(X)\), est définie par :
\(\displaystyle V(X) = E\left[(X – E(X))^2\right] = \sum_{i=1}^{n} (x_i – E(X))^2 \, p_i\)
La variance est toujours positive ou nulle. Elle vaut 0 si et seulement si \(X\) est constante.
Interprétation : chaque écart \((x_i – E(X))\) est mis au carré (pour éliminer les signes), puis pondéré par sa probabilité. La variance est donc une moyenne pondérée des carrés des écarts à l’espérance.
Voyons tout de suite un exemple pour fixer les idées.
Exemple — Deux variables, même espérance, variances différentes
Considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), chacune prenant deux valeurs avec probabilité \(\displaystyle\frac{1}{2}\) :
- \(X\) prend les valeurs 1 et 5
- \(Y\) prend les valeurs 2 et 4
Espérances :
\(\displaystyle E(X) = 1 \times \displaystyle\frac{1}{2} + 5 \times \displaystyle\frac{1}{2} = 3 \qquad E(Y) = 2 \times \displaystyle\frac{1}{2} + 4 \times \displaystyle\frac{1}{2} = 3\)
Même espérance ! Calculons maintenant les variances :
\(\displaystyle V(X) = (1-3)^2 \times \displaystyle\frac{1}{2} + (5-3)^2 \times \displaystyle\frac{1}{2} = 4 \times \displaystyle\frac{1}{2} + 4 \times \displaystyle\frac{1}{2} = 4\)
\(\displaystyle V(Y) = (2-3)^2 \times \displaystyle\frac{1}{2} + (4-3)^2 \times \displaystyle\frac{1}{2} = 1 \times \displaystyle\frac{1}{2} + 1 \times \displaystyle\frac{1}{2} = 1\)
\(V(X) = 4\) contre \(V(Y) = 1\) : \(X\) est quatre fois plus dispersée que \(Y\), ce que la seule espérance ne permettait pas de voir.
B. Variance en statistiques vs en probabilités : quelle différence ?
Tu as peut-être déjà rencontré la variance en Seconde, dans le cadre des statistiques descriptives. La formule ressemble beaucoup, mais le contexte est différent.
| Statistiques (série de données) | Probabilités (variable aléatoire) | |
|---|---|---|
| Contexte | Données observées (notes, mesures…) | Modèle théorique (loi de probabilité) |
| Formule | \(\displaystyle V = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2\) | \(\displaystyle V(X) = \sum_{i}(x_i – E(X))^2 \, p_i\) |
| Pondération | Fréquences \(\displaystyle\frac{1}{n}\) | Probabilités \(p_i\) |
| Programme | Seconde | Terminale |
En pratique, les formules se calculent de la même manière. La différence est conceptuelle : en statistiques tu résumes des données déjà observées, en probabilités tu caractérises un modèle théorique.
Piège classique : diviser par \(n\) ou par \(n – 1\) ?
Au lycée, on divise toujours par \(n\). La formule avec \(n – 1\) (variance corrigée ou empirique) apparaît en CPGE et à l’université, dans le cadre de l’estimation statistique. Sur ta calculatrice, \(\sigma_n^2\) utilise \(n\) et \(s^2\) (ou \(\sigma_{n-1}^2\)) utilise \(n – 1\). Au bac, utilise toujours \(n\).
C. 🟡 Extension CPGE — Variance d’une variable aléatoire continue
En classe préparatoire, tu travailles aussi avec des variables aléatoires continues, dont la loi est décrite par une densité de probabilité \(f\). La définition de la variance se prolonge naturellement par une intégrale.
Définition — Variance d’une variable aléatoire continue
Soit \(X\) une variable aléatoire admettant une densité \(f\) et une espérance \(E(X)\). La variance de \(X\) est :
\(\displaystyle V(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x – E(X))^2 \, f(x) \, dx\)
à condition que cette intégrale converge (on dit que \(X\) admet un moment d’ordre 2).
La formule de König-Huygens (que tu découvriras juste après) s’applique aussi dans le cas continu, ce qui simplifie considérablement les calculs.
II. Les formules de la variance
Tu connais maintenant la définition de la variance. Voyons les deux formules de calcul, et pourquoi l’une est presque toujours préférable à l’autre.
A. Formule par définition
La formule issue directement de la définition est :
\(\displaystyle V(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i – E(X))^2 \, p_i\)Elle est conceptuellement claire, mais souvent lourde en calcul : il faut d’abord calculer \(E(X)\), puis soustraire cette valeur à chaque \(x_i\) avant de mettre au carré et de pondérer. Quand \(E(X)\) n’est pas un entier, les calculs deviennent vite pénibles.
B. Formule de König-Huygens (la formule pratique)
La formule de König-Huygens est la reformulation la plus utilisée en pratique. Elle évite de calculer chaque écart \((x_i – E(X))\) individuellement.
Théorème — Formule de König-Huygens
Pour toute variable aléatoire \(X\) admettant une variance :
\(\displaystyle V(X) = E(X^2) – \left[E(X)\right]^2\)
Autrement dit : la variance est l’espérance du carré moins le carré de l’espérance.
Moyen mnémotechnique : retiens « E du carré moins carré de E ». C’est la formule que tu utiliseras dans 90 % des exercices, aussi bien au bac qu’en concours.
Exemple — Comparaison des deux méthodes
Reprenons \(X\) prenant les valeurs 1 et 5 avec probabilité \(\displaystyle\frac{1}{2}\).
Par König-Huygens :
\(\displaystyle E(X^2) = 1^2 \times \displaystyle\frac{1}{2} + 5^2 \times \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{25}{2} = 13\)
\(\displaystyle V(X) = E(X^2) – \left[E(X)\right]^2 = 13 – 3^2 = 13 – 9 = 4\)
On retrouve le même résultat qu’avec la définition, en deux lignes au lieu de quatre.
C. 🟡 Démonstration de la formule de König-Huygens
Démonstration au programme (Terminale et CPGE).
On développe le carré dans la définition. Notons \(\mu = E(X)\) pour alléger :
\(\displaystyle V(X) = E\left[(X – \mu)^2\right] = E\left[X^2 – 2\mu X + \mu^2\right]\)Par linéarité de l’espérance, et puisque \(\mu\) est une constante :
\(\displaystyle V(X) = E(X^2) – 2\mu \, E(X) + \mu^2 = E(X^2) – 2\mu^2 + \mu^2 = E(X^2) – \mu^2\)D’où \(V(X) = E(X^2) – \left[E(X)\right]^2\). ■
Conséquence utile : la formule de König-Huygens donne immédiatement \(E(X^2) = V(X) + \left[E(X)\right]^2\). C’est souvent demandé en exercice : « calculer \(E(X^2)\) » revient à appliquer cette identité.
III. Propriétés de la variance
Les propriétés de la variance sont au cœur des exercices du bac et des concours. Elles permettent de calculer la variance d’une combinaison de variables sans revenir à la définition.
A. Variance d’une transformation affine : V(aX + b)
Propriété — Transformation affine
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\(\displaystyle V(aX + b) = a^2 \, V(X)\)
Conséquences immédiates :
- Ajouter une constante ne change pas la variance : \(V(X + b) = V(X)\). Logique : décaler toutes les valeurs ne modifie pas la dispersion.
- Multiplier par \(a\) multiplie la variance par \(a^2\) : \(V(aX) = a^2 \, V(X)\).
- Positivité : puisque \(a^2 \geq 0\) et \(V(X) \geq 0\), on a toujours \(V(aX + b) \geq 0\).
Erreur classique : oublier le carré sur \(a\)
❌ Copie fautive : « \(V(3X + 2) = 3 \, V(X) + 2 = 3 \times 4 + 2 = 14\) »
→ Diagnostic : deux erreurs — le coefficient 3 n’est pas mis au carré, et la constante 2 est ajoutée (elle disparaît dans la variance).
✅ Correction : \(V(3X + 2) = 3^2 \times V(X) = 9 \times 4 = 36\).
Application : la variable centrée réduite
Si \(X\) a pour espérance \(\mu\) et pour écart-type \(\sigma\), la variable \(\displaystyle X^* = \displaystyle\frac{X – \mu}{\sigma}\) vérifie \(E(X^*) = 0\) et \(V(X^*) = 1\). C’est la variable centrée réduite associée à \(X\), essentielle pour la loi normale.
B. Variance d’une somme de variables indépendantes
Propriété — Variance d’une somme (cas indépendant)
Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires indépendantes :
\(\displaystyle V(X + Y) = V(X) + V(Y)\)
Plus généralement, si \(X_1, \ldots, X_n\) sont mutuellement indépendantes :
\(\displaystyle V(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = V(X_1) + V(X_2) + \cdots + V(X_n)\)
Attention : la variance d’une différence est aussi une somme de variances (si les variables sont indépendantes) :
\(\displaystyle V(X – Y) = V(X) + V(Y)\)En effet, \(V(-Y) = (-1)^2 \, V(Y) = V(Y)\). Le signe moins dans \(X – Y\) disparaît dans la variance.
Piège : oublier de vérifier l’indépendance
La formule \(V(X + Y) = V(X) + V(Y)\) n’est valable que si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes. Dans le cas général, il faut ajouter le terme de covariance : \(\displaystyle V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\mathrm{Cov}(X, Y)\). Au bac, l’indépendance est presque toujours donnée ou évidente (par exemple, des tirages successifs avec remise). En concours, vérifie systématiquement l’hypothèse avant d’appliquer la formule.
C. 🔴 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est un résultat fondamental de la théorie des probabilités. Elle montre que la variance contrôle la probabilité de s’écarter de l’espérance.
Théorème — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit \(X\) une variable aléatoire d’espérance \(\mu = E(X)\) et de variance \(V(X)\). Pour tout réel \(\varepsilon\) > \(0\) :
\(\displaystyle P\left(|X – \mu| \geq \varepsilon\right) \leq \displaystyle\frac{V(X)}{\varepsilon^2}\)
Interprétation : plus la variance est petite, plus la probabilité que \(X\) s’écarte de \(\mu\) est faible. C’est une majoration universelle, valable pour toute variable aléatoire.
Exemple : Si \(V(X) = 4\) et \(\varepsilon = 6\), alors :
\(\displaystyle P(|X – \mu| \geq 6) \leq \displaystyle\frac{4}{36} = \displaystyle\frac{1}{9} \approx 0{,}11\)
La probabilité que \(X\) s’écarte de plus de 6 de sa moyenne est inférieure à 11 %. En utilisant la loi normale, on obtient des bornes encore plus précises.
IV. Variance des lois classiques — Tableau récapitulatif
Voici les formules de la variance pour toutes les lois de probabilité classiques du programme. Quand tu reconnais la loi de \(X\), tu peux appliquer directement la formule sans passer par König-Huygens.
| Loi | Paramètres | Espérance \(E(X)\) | Variance \(V(X)\) |
|---|---|---|---|
| Bernoulli | \(p\) | \(p\) | \(p(1-p)\) |
| Binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) | \(n, p\) | \(np\) | \(np(1-p)\) |
| Uniforme discrète sur \(\{1, \ldots, n\}\) | \(n\) | \(\displaystyle\frac{n+1}{2}\) | \(\displaystyle\frac{n^2-1}{12}\) |
| Uniforme continue sur \([a\,;\,b]\) | \(a, b\) | \(\displaystyle\frac{a+b}{2}\) | \(\displaystyle\frac{(b-a)^2}{12}\) |
| Géométrique | \(p\) | \(\displaystyle\frac{1}{p}\) | \(\displaystyle\frac{1-p}{p^2}\) |
| Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\) | \(\lambda\) | \(\lambda\) | \(\lambda\) |
| Normale \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) | \(\mu, \sigma^2\) | \(\mu\) | \(\sigma^2\) |
| Exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\) | \(\lambda\) | \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\) | \(\displaystyle\frac{1}{\lambda^2}\) |
Cas remarquable : pour la loi de Poisson, l’espérance et la variance sont égales (\(E(X) = V(X) = \lambda\)). C’est un critère rapide pour la reconnaître dans un exercice.
Pour la loi géométrique, la démonstration de la formule de la variance utilise la somme d’une série géométrique. Tu la trouveras dans le cours dédié.
Fiche de révision — Variance et lois classiques
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V. Méthode pas à pas : comment calculer une variance
Maintenant que tu connais les formules et les propriétés, voici la marche à suivre concrète devant un exercice.
A. Les 4 étapes
- Identifier la loi de \(X\). Si \(X\) suit une loi classique (binomiale, Poisson, normale…), applique directement la formule du tableau ci-dessus. Pas besoin de König-Huygens.
- Calculer \(E(X)\). C’est le point de départ : \(\displaystyle E(X) = \sum_i x_i \, p_i\). Consulte le cours sur l’espérance si nécessaire.
- Calculer \(E(X^2)\). Applique la même formule mais avec les valeurs au carré : \(\displaystyle E(X^2) = \sum_i x_i^2 \, p_i\).
- Appliquer König-Huygens : \(V(X) = E(X^2) – \left[E(X)\right]^2\).
Sur ta calculatrice
- NumWorks : Application Statistiques → entre tes valeurs et effectifs → lis directement \(\sigma^2\) (variance) et \(\sigma\) (écart-type).
- TI-83/84 :
STAT→CALC→1-Var Stats→ la variance est \(\sigma x^2\). - Casio Graph : Mode
STAT→ entre les données →CALC→1-VAR→ lis \(\sigma^2 x\).
B. Exemples résolus
Exemple 1 (★ 🟢 Lycée) — Lancer d’un dé équilibré
On lance un dé équilibré à 6 faces. \(X\) désigne le numéro obtenu. Calculons \(V(X)\).
Étape 1 : \(X\) suit la loi uniforme discrète sur \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) avec \(p_i = \displaystyle\frac{1}{6}\).
Étape 2 : \(\displaystyle E(X) = \displaystyle\frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \displaystyle\frac{21}{6} = \displaystyle\frac{7}{2}\)
Étape 3 : \(\displaystyle E(X^2) = \displaystyle\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \displaystyle\frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \displaystyle\frac{91}{6}\)
Étape 4 : \(\displaystyle V(X) = \displaystyle\frac{91}{6} – \left(\displaystyle\frac{7}{2}\right)^2 = \displaystyle\frac{91}{6} – \displaystyle\frac{49}{4} = \displaystyle\frac{182 – 147}{12} = \displaystyle\frac{35}{12} \approx 2{,}92\)
Exemple 2 (★★ 🟢 Lycée) — Loi binomiale
Un QCM comporte 20 questions. Chaque question a 4 réponses possibles et l’élève répond au hasard. \(X\) désigne le nombre de bonnes réponses.
\(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}\left(20\,;\, \displaystyle\frac{1}{4}\right)\). On applique directement la formule :
\(\displaystyle E(X) = np = 20 \times \displaystyle\frac{1}{4} = 5\) \(\displaystyle V(X) = np(1-p) = 20 \times \displaystyle\frac{1}{4} \times \displaystyle\frac{3}{4} = \displaystyle\frac{60}{16} = 3{,}75\)En moyenne, l’élève obtient 5 bonnes réponses, avec une dispersion mesurée par \(V(X) = 3{,}75\) (soit un écart-type \(\sigma(X) \approx 1{,}94\)).
Exemple 3 (★★★ 🟡 CPGE) — Variable continue
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \([0\,;\,6]\). Calculons \(V(X)\) par intégration.
La densité est \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{6}\) sur \([0\,;\,6]\).
\(\displaystyle E(X) = \int_0^6 x \cdot \displaystyle\frac{1}{6}\,dx = \displaystyle\frac{1}{6}\left[\displaystyle\frac{x^2}{2}\right]_0^6 = \displaystyle\frac{1}{6} \times 18 = 3\) \(\displaystyle E(X^2) = \int_0^6 x^2 \cdot \displaystyle\frac{1}{6}\,dx = \displaystyle\frac{1}{6}\left[\displaystyle\frac{x^3}{3}\right]_0^6 = \displaystyle\frac{1}{6} \times 72 = 12\) \(\displaystyle V(X) = 12 – 3^2 = 12 – 9 = 3\)Vérification : \(\displaystyle\frac{(b-a)^2}{12} = \displaystyle\frac{36}{12} = 3\) ✓
VI. Exercices corrigés sur la variance
Voici 6 exercices classés par difficulté croissante, de l’application directe au problème de concours. Essaie de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 (★)
Un sac contient 3 boules rouges (valeur 1) et 2 boules bleues (valeur 5). On tire une boule au hasard et on note \(X\) sa valeur. Calcule \(E(X)\) et \(V(X)\).
Voir la correction
\(X\) prend la valeur 1 avec probabilité \(\displaystyle\frac{3}{5}\) et la valeur 5 avec probabilité \(\displaystyle\frac{2}{5}\).
Calcul de \(E(X)\) :
\(\displaystyle E(X) = 1 \times \displaystyle\frac{3}{5} + 5 \times \displaystyle\frac{2}{5} = \displaystyle\frac{3}{5} + \displaystyle\frac{10}{5} = \displaystyle\frac{13}{5} = 2{,}6\)Calcul de \(E(X^2)\) :
\(\displaystyle E(X^2) = 1^2 \times \displaystyle\frac{3}{5} + 5^2 \times \displaystyle\frac{2}{5} = \displaystyle\frac{3}{5} + \displaystyle\frac{50}{5} = \displaystyle\frac{53}{5} = 10{,}6\)König-Huygens :
\(\displaystyle V(X) = \displaystyle\frac{53}{5} – \left(\displaystyle\frac{13}{5}\right)^2 = \displaystyle\frac{53}{5} – \displaystyle\frac{169}{25} = \displaystyle\frac{265 – 169}{25} = \displaystyle\frac{96}{25} = 3{,}84\)Exercice 2 (★)
\(Y\) est une variable aléatoire dont la loi est donnée par le tableau :
| \(y_i\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(P(Y = y_i)\) | \(0{,}4\) | \(0{,}1\) | \(0{,}5\) |
Calcule \(V(Y)\) en utilisant la formule de König-Huygens.
Voir la correction
Étape 1 — \(E(Y)\) :
\(\displaystyle E(Y) = (-1) \times 0{,}4 + 0 \times 0{,}1 + 2 \times 0{,}5 = -0{,}4 + 0 + 1 = 0{,}6\)Étape 2 — \(E(Y^2)\) :
\(\displaystyle E(Y^2) = (-1)^2 \times 0{,}4 + 0^2 \times 0{,}1 + 2^2 \times 0{,}5 = 0{,}4 + 0 + 2 = 2{,}4\)Étape 3 — König-Huygens :
\(\displaystyle V(Y) = 2{,}4 – (0{,}6)^2 = 2{,}4 – 0{,}36 = 2{,}04\)Exercice 3 (★★)
Soit \(X\) une variable aléatoire telle que \(E(X) = 4\) et \(V(X) = 3\). On pose \(Y = -2X + 7\).
- Calcule \(E(Y)\).
- Calcule \(V(Y)\).
- En déduis \(E(Y^2)\).
Voir la correction
1. Par linéarité de l’espérance :
\(E(Y) = -2\,E(X) + 7 = -2 \times 4 + 7 = -1\)2. En appliquant \(V(aX + b) = a^2\,V(X)\) :
\(V(Y) = (-2)^2 \times V(X) = 4 \times 3 = 12\)3. On utilise \(E(Y^2) = V(Y) + [E(Y)]^2\) :
\(E(Y^2) = 12 + (-1)^2 = 12 + 1 = 13\)Exercice 4 (★★) — Type bac
Une entreprise fabrique des composants électroniques dont 4 % présentent un défaut. On contrôle un lot de 150 composants. On note \(X\) le nombre de composants défectueux dans le lot.
- Justifie que \(X\) suit une loi binomiale et précise ses paramètres.
- Calcule l’espérance et la variance de \(X\).
- Interprète ces résultats.
Voir la correction
1. Chaque composant est indépendamment défectueux avec probabilité \(p = 0{,}04\). Le lot de 150 constitue la répétition de \(n = 150\) épreuves de Bernoulli indépendantes. Donc \(X \sim \mathcal{B}(150\,;\,0{,}04)\).
2.
\(E(X) = np = 150 \times 0{,}04 = 6\) \(V(X) = np(1-p) = 150 \times 0{,}04 \times 0{,}96 = 5{,}76\)3. On s’attend en moyenne à 6 composants défectueux par lot. L’écart-type vaut \(\sigma(X) = \sqrt{5{,}76} \approx 2{,}4\), ce qui signifie que le nombre de défauts varie typiquement entre 4 et 8 environ (à un écart-type près de la moyenne).
Exercice 5 (★★★)
\(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires indépendantes telles que \(E(X) = 2\), \(V(X) = 5\), \(E(Y) = -3\) et \(V(Y) = 1\). On pose \(Z = 3X – 2Y + 4\).
- Calcule \(E(Z)\).
- Calcule \(V(Z)\).
- En déduis l’écart-type de \(Z\).
Voir la correction
1. Par linéarité :
\(E(Z) = 3\,E(X) – 2\,E(Y) + 4 = 3 \times 2 – 2 \times (-3) + 4 = 6 + 6 + 4 = 16\)2. On utilise deux propriétés : \(V(aX + b) = a^2\,V(X)\) et, puisque \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, \(V(X + Y) = V(X) + V(Y)\). On obtient :
\(V(Z) = V(3X – 2Y + 4) = 3^2\,V(X) + (-2)^2\,V(Y) = 9 \times 5 + 4 \times 1 = 45 + 4 = 49\)3. \(\sigma(Z) = \sqrt{V(Z)} = \sqrt{49} = 7\)
Exercice 6 (★★★ 🟡 CPGE)
Soit \(X\) une variable aléatoire de densité \(f(x) = 3x^2\) sur \([0\,;\,1]\) (et \(f(x) = 0\) sinon).
- Vérifie que \(f\) est bien une densité de probabilité.
- Calcule \(E(X)\) et \(V(X)\).
- Applique l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour majorer \(\displaystyle P\left(\left|X – E(X)\right| \geq \displaystyle\frac{1}{2}\right)\).
Voir la correction
1. On vérifie : \(f(x) = 3x^2 \geq 0\) sur \([0\,;\,1]\) ✓, et :
\(\displaystyle \int_0^1 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_0^1 = 1\) ✓
\(f\) est bien une densité de probabilité.
2.
\(\displaystyle E(X) = \int_0^1 x \cdot 3x^2\,dx = \int_0^1 3x^3\,dx = \left[\displaystyle\frac{3x^4}{4}\right]_0^1 = \displaystyle\frac{3}{4}\) \(\displaystyle E(X^2) = \int_0^1 x^2 \cdot 3x^2\,dx = \int_0^1 3x^4\,dx = \left[\displaystyle\frac{3x^5}{5}\right]_0^1 = \displaystyle\frac{3}{5}\) \(\displaystyle V(X) = E(X^2) – \left[E(X)\right]^2 = \displaystyle\frac{3}{5} – \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 = \displaystyle\frac{3}{5} – \displaystyle\frac{9}{16} = \displaystyle\frac{48 – 45}{80} = \displaystyle\frac{3}{80}\)3. D’après Bienaymé-Tchebychev avec \(\displaystyle\varepsilon = \displaystyle\frac{1}{2}\) :
\(\displaystyle P\left(\left|X – \displaystyle\frac{3}{4}\right| \geq \displaystyle\frac{1}{2}\right) \leq \displaystyle\frac{V(X)}{\varepsilon^2} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{80}}{\displaystyle\frac{1}{4}} = \displaystyle\frac{3}{80} \times 4 = \displaystyle\frac{3}{20} = 0{,}15\)La probabilité que \(X\) s’écarte de plus de \(0{,}5\) de son espérance est au plus 15 %.
VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les erreurs les plus courantes sur la variance, celles qu’on voit régulièrement sur les copies du bac et des concours. Lis attentivement les copies fautives pour ne pas les reproduire.
Erreur 1 — Oublier le carré dans V(aX + b)
❌ Copie fautive : « On a \(V(X) = 4\). Donc \(V(3X + 2) = 3 \times V(X) + 2 = 3 \times 4 + 2 = 14\). »
→ Diagnostic : le coefficient 3 doit être élevé au carré, et la constante 2 disparaît dans la variance (ajouter 2 à toutes les valeurs ne change pas la dispersion).
✅ Correction : \(V(3X + 2) = 3^2 \times V(X) = 9 \times 4 = 36\).
Erreur 2 — Écrire V(X − Y) = V(X) − V(Y)
❌ Copie fautive : « \(X\) et \(Y\) indépendantes, \(V(X) = 3\), \(V(Y) = 5\). Donc \(V(X – Y) = 3 – 5 = -2\). »
→ Diagnostic : le signe moins dans \(X – Y\) ne passe pas dans la variance. De plus, une variance ne peut jamais être négative. Le coefficient de \(Y\) est \(-1\) et on a \((-1)^2 = 1\).
✅ Correction : \(V(X – Y) = V(X) + (-1)^2\,V(Y) = V(X) + V(Y) = 3 + 5 = 8\) (grâce à l’indépendance).
Erreur 3 — Utiliser V(X + Y) = V(X) + V(Y) sans vérifier l’indépendance
❌ Copie fautive : « Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires. \(V(X + Y) = V(X) + V(Y)\). »
→ Diagnostic : cette formule nécessite l’indépendance de \(X\) et \(Y\). Sans cette hypothèse, il manque le terme de covariance : \(\displaystyle V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\mathrm{Cov}(X,Y)\).
✅ Correction : vérifier l’indépendance dans l’énoncé avant d’appliquer la formule. Si elle n’est pas donnée, on ne peut pas conclure.
Erreur 4 — Confondre variance et écart-type
❌ Copie fautive : « \(X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}3)\). La variance vaut \(V(X) = \sqrt{100 \times 0{,}3 \times 0{,}7} = \sqrt{21} \approx 4{,}58\). »
→ Diagnostic : la racine carrée donne l’écart-type \(\sigma(X)\), pas la variance \(V(X)\).
✅ Correction : \(V(X) = np(1-p) = 100 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 21\). L’écart-type est \(\sigma(X) = \sqrt{21} \approx 4{,}58\).
VIII. Questions fréquentes sur la variance
Quelle est la différence entre la variance et l'écart-type ?
La variance \(V(X)\) et l’écart-type \(\sigma(X)\) mesurent tous les deux la dispersion, mais l’écart-type est simplement la racine carrée de la variance : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\). L’avantage de l’écart-type est qu’il s’exprime dans la même unité que la variable (euros, mètres…), alors que la variance s’exprime dans l’unité au carré. En pratique, on calcule d’abord la variance, puis on en déduit l’écart-type.
C'est quoi la variance en maths ?
En mathématiques, la variance d’une variable aléatoire \(X\) est un nombre positif qui mesure à quel point les valeurs de \(X\) sont dispersées autour de son espérance \(E(X)\). Plus la variance est grande, plus les valeurs sont étalées. Une variance nulle signifie que \(X\) est constante (toujours la même valeur).
Comment calculer la variance et l'écart-type ?
La méthode la plus efficace utilise la formule de König-Huygens en 4 étapes : (1) calculer \(E(X)\), (2) calculer \(E(X^2)\), (3) appliquer \(V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2\), et (4) en déduire \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\) pour l’écart-type. Si \(X\) suit une loi classique (binomiale, normale, etc.), utilise directement la formule du tableau des lois.
La variance peut-elle être négative ?
Non, jamais. Par définition, la variance est une somme (ou une intégrale) de termes au carré pondérés par des probabilités positives : \(V(X) = E[(X – E(X))^2] \geq 0\). Si tu obtiens une variance négative dans un calcul, c’est le signe d’une erreur. Vérifie en particulier que tu n’as pas inversé les termes dans König-Huygens (c’est \(E(X^2) – [E(X)]^2\), pas l’inverse).
Qu'est-ce que la formule de König-Huygens ?
La formule de König-Huygens est la relation \(V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2\). Elle permet de calculer la variance sans passer par les écarts \((x_i – E(X))\), ce qui simplifie considérablement les calculs. Elle se retient par la phrase « E du carré moins carré de E » et se démontre en développant le carré dans la définition (cf. démonstration ci-dessus).
À quoi sert la variance ?
La variance sert à quantifier l’incertitude ou la dispersion d’un phénomène aléatoire. En pratique, elle intervient dans le contrôle qualité (dispersion des mesures), en finance (volatilité d’un actif), en physique (fluctuations d’une grandeur) et dans tous les tests statistiques. En mathématiques, elle est au cœur de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et du théorème central limite.
Quelle différence entre variance de population et variance d'échantillon ?
La variance de population divise par \(n\) : c’est la formule standard au lycée. La variance d’échantillon (ou variance corrigée) divise par \(n – 1\) : elle est utilisée en statistique inférentielle (CPGE, université) pour obtenir un estimateur sans biais de la variance réelle. Au bac, on utilise toujours la formule avec \(n\).
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la variance : sa définition, ses formules (dont König-Huygens), ses propriétés et les pièges à éviter. Voici les prochaines étapes pour approfondir tes connaissances en variables aléatoires :
- Écart-type : formule, calcul et interprétation — la racine carrée de la variance, avec ses propres propriétés
- Espérance : cours complet — la notion fondamentale qui précède la variance
- Loi binomiale : cours et propriétés — la loi discrète la plus fréquente au bac
- Loi normale : cours et propriétés — la loi continue incontournable, avec \(V(X) = \sigma^2\)
- Exercices corrigés sur les variables aléatoires — pour t’entraîner davantage
- Exercices corrigés sur la loi binomiale — exercices type bac et concours
