Diagonalisation d’une Matrice : Cours et Méthodes

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La diagonalisation est l’une des techniques les plus puissantes de l’algèbre linéaire : écrire une matrice \(A\) sous la forme \(A = PDP^{-1}\) où \(D\) est diagonale simplifie radicalement le calcul de puissances, d’exponentielles et la résolution de systèmes différentiels. Ce cours développe les définitions, les critères de diagonalisabilité (CNS, polynôme minimal, théorème spectral), la méthode complète en 5 étapes et propose 11 exercices corrigés progressifs. Conforme au programme CPGE 2025-2026 (MPSI, PCSI, MP, PC, PSI).

I. Définitions fondamentales

Avant d’aborder la diagonalisation proprement dite, il est indispensable de maîtriser trois notions : matrice diagonale, similitude et matrice diagonalisable. Elles forment le socle de tout le chapitre de réduction.

A. Matrice diagonale

L’intérêt des matrices diagonales est que toutes les opérations deviennent triviales :

• Puissance : \(D^k = \mathrm{diag}(d_1^k, \ldots, d_n^k)\)
• Déterminant : \(\det D = d_1 d_2 \cdots d_n\)
• Inversibilité : \(D\) est inversible si et seulement si tous les \(d_i\) sont non nuls, et alors \(D^{-1} = \mathrm{diag}(d_1^{-1}, \ldots, d_n^{-1})\).

B. Similitude de matrices

La similitude est une relation d’équivalence. Géométriquement, deux matrices semblables représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes — c’est un changement de base. Les invariants de similitude sont les quantités préservées par cette relation :

• Le déterminant : \(\det B = \det(P^{-1}AP) = \det A\)
• La trace : \(\mathrm{Tr}(B) = \mathrm{Tr}(A)\)
• Le polynôme caractéristique (donc les valeurs propres avec multiplicités)
• Le rang

C. Matrice diagonalisable

Concrètement, diagonaliser \(A\) revient à trouver la matrice de passage \(P\) et la matrice diagonale \(D\). Les colonnes de \(P\) sont des vecteurs propres de \(A\), et les coefficients diagonaux de \(D\) sont les valeurs propres correspondantes.

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II. Spectre, espaces propres et polynôme caractéristique

Les outils de la diagonalisation sont les valeurs propres, les vecteurs propres et le polynôme caractéristique. Cette section en rappelle les définitions essentielles — pour un traitement complet, consulte la page valeurs propres et vecteurs propres.

A. Valeurs propres et vecteurs propres

L’équation \(Av = \lambda v\) se réécrit \((A – \lambda I_n)v = 0\), ce qui signifie que \(\lambda\) est valeur propre de \(A\) si et seulement si \(\ker(A – \lambda I_n) \neq \{0\}\), c’est-à-dire si et seulement si \(A – \lambda I_n\) n’est pas inversible.

B. Polynôme caractéristique

Les valeurs propres de \(A\) sont exactement les racines de \(\chi_A\) dans \(\mathbb{K}\). En effet, \(\lambda\) est valeur propre si et seulement si \(A – \lambda I_n\) n’est pas inversible, soit \(\det(A – \lambda I_n) = 0\), soit \(\chi_A(\lambda) = 0\).

C. Multiplicité algébrique et multiplicité géométrique

On a toujours l’encadrement fondamental :

\(1 \leq m_g(\lambda) \leq m_a(\lambda)\)

La borne inférieure \(m_g(\lambda) \geq 1\) vient du fait que \(E_\lambda \neq \{0\}\) dès que \(\lambda\) est valeur propre. La borne supérieure \(m_g(\lambda) \leq m_a(\lambda)\) est un résultat plus délicat.

D. Théorème d’indépendance des vecteurs propres

Ce théorème est la clé de voûte de la théorie de la diagonalisation. Il explique pourquoi des valeurs propres distinctes « ne se mélangent pas ».

Démonstration ⋆. Par récurrence forte sur \(p\).

Initialisation (\(p = 1\)) : un vecteur propre est non nul par définition, donc \((v_1)\) est libre.

Hérédité : supposons le résultat vrai pour toute famille de \(p – 1\) vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes. Soit \(\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_p v_p = 0\) une combinaison linéaire nulle. En multipliant par \(A\) :

\(\alpha_1 \lambda_1 v_1 + \cdots + \alpha_p \lambda_p v_p = 0\)

En soustrayant \(\lambda_p\) fois la relation initiale :

\(\alpha_1(\lambda_1 – \lambda_p)v_1 + \cdots + \alpha_{p-1}(\lambda_{p-1} – \lambda_p)v_{p-1} = 0\)

Par hypothèse de récurrence, \((v_1, \ldots, v_{p-1})\) est libre. Comme \(\lambda_i – \lambda_p \neq 0\) pour tout \(i \leq p-1\), on en déduit \(\alpha_1 = \cdots = \alpha_{p-1} = 0\). La relation initiale donne alors \(\alpha_p v_p = 0\), d’où \(\alpha_p = 0\) puisque \(v_p \neq 0\). ■

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III. Critères de diagonalisabilité

Comment savoir si une matrice est diagonalisable ? Cette section rassemble les critères essentiels, du plus général (la CNS) aux plus pratiques (valeurs propres distinctes, théorème spectral).

A. Condition nécessaire et suffisante

Idée de la démonstration ⋆.

Sens \(\Leftarrow\) : si les conditions sont vérifiées, la somme des espaces propres est directe (théorème précédent) et de dimension totale \(n\). En choisissant une base de chaque \(E_\lambda\), on obtient une base de \(\mathbb{K}^n\) formée de vecteurs propres. La matrice de passage \(P\) dont les colonnes sont ces vecteurs propres vérifie \(P^{-1}AP = D\).

Sens \(\Rightarrow\) : si \(A = PDP^{-1}\) avec \(D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\), alors \(\chi_A = \chi_D = \prod_{i=1}^n (\lambda_i – X)\) est scindé. Les colonnes de \(P\) fournissent suffisamment de vecteurs propres pour que \(m_g(\lambda) = m_a(\lambda)\) pour chaque \(\lambda\).

B. Caractérisation par le polynôme minimal

Ce critère est extrêmement puissant en pratique : pour montrer qu’une matrice est diagonalisable, il suffit d’exhiber un polynôme annulateur scindé à racines simples. Par le théorème de Cayley-Hamilton, \(\mu_A\) divise \(\chi_A\), donc tout diviseur de \(\chi_A\) à racines simples qui annule \(A\) convient.

C. Critères suffisants

Deux critères suffisants simplifient considérablement la vie :

Démonstration : chaque espace propre est de dimension au moins 1, et par le théorème d’indépendance, \(\sum m_g(\lambda_i) = \sum 1 = n\) puisque \(\sum m_a(\lambda_i) = n\) et \(m_g \leq m_a\). Donc \(m_g(\lambda_i) = m_a(\lambda_i) = 1\) pour tout \(i\).

D. Théorème spectral

Ce résultat est remarquable : pour les matrices symétriques, la diagonalisabilité est automatique. De plus, la matrice de passage peut être choisie orthogonale, ce qui simplifie les calculs puisque \(P^{-1} = P^\top\).

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IV. Méthode de diagonalisation en 5 étapes

Voici la procédure systématique pour diagonaliser une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), à maîtriser pour les DS et les concours.

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V. Exemples résolus

Appliquons la méthode sur trois exemples de difficulté croissante : une matrice \(2 \times 2\), une matrice \(3 \times 3\) symétrique avec valeur propre double, et une matrice \(3 \times 3\) dépendant d’un paramètre.

A. Matrice 2×2 (★)

B. Matrice 3×3 symétrique avec valeur propre double (★★)

C. Matrice dépendant d’un paramètre (★★★)

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VI. Applications de la diagonalisation

La diagonalisation ne se limite pas à un exercice théorique. Elle est l’outil central de nombreux problèmes concrets, de la résolution de récurrences au calcul d’exponentielles de matrices.

A. Calcul de \(A^n\)

Si \(A = PDP^{-1}\), alors pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :

\(A^n = PD^nP^{-1} = P \begin{pmatrix} \lambda_1^n & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_p^n \end{pmatrix} P^{-1}\)

Le calcul de \(A^n\) se ramène donc au calcul de puissances de scalaires. Pour un traitement approfondi, consulte la page matrice puissance.

B. Exponentielle de matrice et systèmes différentiels

La diagonalisation permet de calculer l’exponentielle de matrice :

\(\mathrm{exp}(tA) = P \begin{pmatrix} e^{\lambda_1 t} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & e^{\lambda_n t} \end{pmatrix} P^{-1}\)

C’est l’outil fondamental pour résoudre le système différentiel linéaire \(X^\prime(t) = AX(t)\) dont la solution est \(X(t) = \mathrm{exp}(tA) \cdot X(0)\). En passant dans la base de diagonalisation, le système se découple en \(n\) équations différentielles scalaires indépendantes.

C. Suites récurrentes linéaires

Soit \(U_{n+1} = AU_n\) un système de suites récurrentes vectoriel. Alors \(U_n = A^n U_0\). Si \(A\) est diagonalisable, on obtient :

\(U_n = PD^nP^{-1}U_0\)

En posant \(V_n = P^{-1}U_n\), le système se découple : chaque composante de \(V_n\) suit une suite géométrique de raison \(\lambda_i\). On repasse ensuite aux coordonnées initiales par \(U_n = PV_n\).

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VII. Exercices corrigés

Voici 11 exercices classés par difficulté croissante, de l’application directe aux problèmes de concours. Chaque correction est détaillée pas à pas.

Exercice 1 (★) — Diagonaliser la matrice \(A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}\).

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Étape 1-2. \(\chi_A(X) = (5-X)(-2-X) + 12 = X^2 – 3X + 2 = (X-1)(X-2)\).

Valeurs propres : \(\lambda_1 = 1\), \(\lambda_2 = 2\).

Étape 3.

\(E_1 = \ker\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(E_2 = \ker\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Conclusion : \(A = PDP^{-1}\) avec \(P = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\).

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Exercice 2 (★) — La matrice \(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) est-elle diagonalisable ? Justifier.

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\(\chi_N(X) = X^2\). Unique valeur propre : \(\lambda = 0\) de multiplicité algébrique \(m_a = 2\).

\(E_0 = \ker N = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), donc \(\dim E_0 = 1 \neq 2 = m_a(0)\).

Conclusion : \(N\) n’est pas diagonalisable. C’est une matrice nilpotente non nulle, donc jamais semblable à la matrice nulle (qui est la seule matrice diagonale ayant 0 comme unique valeur propre).

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Exercice 3 (★★) — Diagonaliser \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).

Voir la correction

\(B\) est symétrique réelle, donc diagonalisable (théorème spectral).

Polynôme caractéristique : développement selon la 2e ligne :

\(\chi_B(X) = (2-X)\big[(1-X)^2 – 1\big] = (2-X)(X^2 – 2X) = -X(X-2)^2\)

Valeurs propres : \(0\) (simple) et \(2\) (double).

Espaces propres :

\(E_0 = \ker B = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) (dim 1)

\(E_2 = \ker(B – 2I_3)\) : le système se réduit à \(x_1 = x_3\), \(x_2\) libre.

\(E_2 = \mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\; \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right)\) (dim 2 = \(m_a(2)\) ✓)

Conclusion : \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\), \(D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\).

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Exercice 4 (★★) — En utilisant la diagonalisation, calculer \(A^n\) pour \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) et tout \(n \in \mathbb{N}\).

Voir la correction

D’après la section V.A, \(A = PDP^{-1}\) avec \(P = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\).

On calcule \(P^{-1}\). Comme \(\det P = 0 – 1 = -1\) :

\(P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)

Alors :

\(A^n = PD^nP^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) \(= \begin{pmatrix} -2^n & 3^n \\ 2^n & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3^n & 3^n – 2^n \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}\)

Vérification : \(A^0 = I_2\) ✓ et \(A^1 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) ✓.

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Exercice 5 (★★★) — Pour quelles valeurs de \(a \in \mathbb{R}\), la matrice \(M(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}\) est-elle diagonalisable ?

Voir la correction

Voir la résolution complète dans l’exemple V.C ci-dessus. Résultat : \(M(a)\) est diagonalisable si et seulement si \(a \neq 2\).

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Exercice 6 (★★★) — On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par \(u_0 = 1\), \(v_0 = 0\) et :

\(\begin{cases} u_{n+1} = 3u_n + v_n \\ v_{n+1} = u_n + 3v_n \end{cases}\)

Exprimer \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\).

Voir la correction

Posons \(U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}\). Le système s’écrit \(U_{n+1} = MU_n\) avec \(M = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\).

Diagonalisation de \(M\) :

\(\chi_M(X) = (3-X)^2 – 1 = X^2 – 6X + 8 = (X-2)(X-4)\)

Valeurs propres : \(2\) et \(4\).

\(E_2 = \ker\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) \(E_4 = \ker\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

\(P = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\), \(\det P = -2\), \(P^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[6pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\)

Expression de \(U_n\) :

\(U_n = M^n U_0 = P\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 4^n \end{pmatrix}P^{-1}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\(P^{-1}U_0 = \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1/2 \end{pmatrix}\), puis \(D^n P^{-1}U_0 = \begin{pmatrix} -2^n/2 \\ 4^n/2 \end{pmatrix}\).

\(U_n = P\begin{pmatrix} -2^n/2 \\ 4^n/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^n/2 + 4^n/2 \\ -2^n/2 + 4^n/2 \end{pmatrix}\)

Résultat :

\(u_n = \frac{2^n + 4^n}{2}, \quad v_n = \frac{4^n – 2^n}{2}\)

Vérification : \(u_0 = 1\) ✓, \(v_0 = 0\) ✓, \(u_1 = 3\) ✓, \(v_1 = 1\) ✓.

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Exercice 7 (★★★) — Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telle que \(A^2 = A\) (matrice idempotente). Montrer que \(A\) est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres possibles.

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Valeurs propres possibles : si \(\lambda \in \mathrm{Sp}(A)\) avec vecteur propre \(v \neq 0\), alors \(A^2 v = Av\) donne \(\lambda^2 v = \lambda v\), d’où \(\lambda(\lambda – 1) = 0\). Donc \(\mathrm{Sp}(A) \subset \{0, 1\}\).

Diagonalisabilité : le polynôme \(P(X) = X^2 – X = X(X-1)\) annule \(A\) (car \(A^2 – A = 0\)).

Or \(P\) est scindé à racines simples (racines \(0\) et \(1\)). Comme le polynôme minimal \(\mu_A\) divise tout polynôme annulateur, \(\mu_A\) divise \(X(X-1)\) et est donc lui-même scindé à racines simples.

Par le critère du polynôme minimal, \(A\) est diagonalisable, avec valeurs propres dans \(\{0, 1\}\).

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Exercice 8 (★★★★) — Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) vérifiant \(A^3 = I_n\). Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\).

Voir la correction

\(A\) est annulée par \(P(X) = X^3 – 1\). Factorisons sur \(\mathbb{C}\) :

\(X^3 – 1 = (X – 1)(X – j)(X – j^2)\)

où \(j = e^{2i\pi/3}\) est une racine cubique primitive de l’unité.

Le polynôme \(P\) est scindé sur \(\mathbb{C}\) à racines simples (\(1, j, j^2\) sont deux à deux distincts). Le polynôme minimal \(\mu_A\) divise \(P\), donc \(\mu_A\) est également scindé à racines simples.

Par le critère du polynôme minimal, \(A\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\).

De plus, \(\mathrm{Sp}(A) \subset \{1, j, j^2\}\).

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Exercice 9 (★★★★ — concours) — Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) vérifiant \(A^2 + A + I_n = 0\).

1. Montrer que \(A\) est inversible et exprimer \(A^{-1}\) en fonction de \(A\).

2. \(A\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbb{R}\) ? Sur \(\mathbb{C}\) ?

3. En déduire que \(n\) est pair.

Voir la correction

1. De \(A^2 + A + I_n = 0\), on tire \(A(-A – I_n) = I_n\), donc \(A\) est inversible et \(A^{-1} = -A – I_n\).

2. Le polynôme \(P(X) = X^2 + X + 1\) annule \(A\). Son discriminant est \(\Delta = 1 – 4 = -3 \lt 0\), donc \(P\) n’a pas de racine réelle. Les racines sont \(j = e^{2i\pi/3}\) et \(\bar{j} = e^{-2i\pi/3}\).

Puisque le polynôme minimal \(\mu_A\) divise \(P\) et que \(P\) est irréductible sur \(\mathbb{R}\), on a \(\mu_A = P\) (car \(\mu_A \neq 1\) et les seuls diviseurs unitaires de \(P\) sur \(\mathbb{R}\) sont \(1\) et \(P\)). Les valeurs propres de \(A\) sont racines de \(\mu_A\). Or \(\mu_A\) n’a pas de racine réelle : \(A\) n’a pas de valeur propre réelle, donc \(A\) n’est pas diagonalisable sur \(\mathbb{R}\).

Sur \(\mathbb{C}\) : \(P(X) = (X – j)(X – \bar{j})\) est scindé à racines simples. Donc \(\mu_A\) est scindé à racines simples sur \(\mathbb{C}\) : \(A\) est diagonalisable sur \(\mathbb{C}\).

3. Le polynôme caractéristique \(\chi_A \in \mathbb{R}[X]\) est de degré \(n\) et ses racines sont \(j\) et \(\bar{j}\) (seules racines possibles de \(\mu_A\)). Puisque \(\chi_A\) est à coefficients réels, les racines complexes non réelles apparaissent par paires conjuguées. Notons \(p\) la multiplicité de \(j\) et \(q\) celle de \(\bar{j}\) dans \(\chi_A\). Par conjugaison, \(p = q\). Alors \(n = p + q = 2p\), donc \(n\) est pair.

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Exercice 10 (★★★★ — concours) — Soient \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) deux matrices diagonalisables telles que \(AB = BA\). Montrer que \(A\) et \(B\) sont simultanément diagonalisables, c’est-à-dire qu’il existe \(P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) telle que \(P^{-1}AP\) et \(P^{-1}BP\) soient toutes deux diagonales.

Voir la correction

Étape 1 : les espaces propres de \(A\) sont stables par \(B\).

Soit \(\lambda \in \mathrm{Sp}(A)\) et \(v \in E_\lambda(A)\). Alors \(A(Bv) = B(Av) = B(\lambda v) = \lambda(Bv)\) puisque \(AB = BA\). Donc \(Bv \in E_\lambda(A)\) : l’espace propre \(E_\lambda(A)\) est stable par \(B\).

Étape 2 : restriction de \(B\) à chaque \(E_\lambda(A)\).

Notons \(B_\lambda\) la restriction de \(B\) à \(E_\lambda(A)\) (l’endomorphisme induit). Montrons que \(B_\lambda\) est diagonalisable.

Puisque \(B\) est diagonalisable, son polynôme minimal \(\mu_B\) est scindé à racines simples : \(\mu_B(X) = (X – \mu_1)\cdots(X – \mu_r)\). Comme \(\mu_B(B) = 0\), on a \(\mu_B(B_\lambda) = 0\) par restriction. Le polynôme minimal de \(B_\lambda\) divise \(\mu_B\), qui est scindé à racines simples : \(B_\lambda\) est diagonalisable.

Étape 3 : construction de la base commune.

Pour chaque \(\lambda \in \mathrm{Sp}(A)\), on choisit une base \(\mathcal{B}_\lambda\) de \(E_\lambda(A)\) formée de vecteurs propres de \(B_\lambda\) (c’est possible car \(B_\lambda\) est diagonalisable). Puisque \(A\) est diagonalisable, \(\bigoplus_\lambda E_\lambda(A) = \mathbb{C}^n\). La réunion de toutes les bases \(\mathcal{B}_\lambda\) forme une base \(\mathcal{B}\) de \(\mathbb{C}^n\).

Chaque vecteur de \(\mathcal{B}\) est à la fois vecteur propre de \(A\) (car il appartient à un \(E_\lambda(A)\)) et vecteur propre de \(B\) (par construction). La matrice de passage \(P\) dont les colonnes sont les vecteurs de \(\mathcal{B}\) vérifie donc que \(P^{-1}AP\) et \(P^{-1}BP\) sont diagonales. ■

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Exercice 11 (★★★★ — concours) — Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) diagonalisable, et \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) telle que \(AB – BA = B\).

1. Soit \(\lambda \in \mathrm{Sp}(A)\) et \(v \in E_\lambda(A)\). Montrer que si \(Bv \neq 0\), alors \(Bv\) est vecteur propre de \(A\) pour la valeur propre \(\lambda + 1\).

2. En déduire que \(B\) est nilpotente.

Voir la correction

1. Soit \(v \in E_\lambda(A)\), c’est-à-dire \(Av = \lambda v\). La relation \(AB – BA = B\) donne \(AB = BA + B = B(A + I_n)\). En appliquant à \(v\) :

\(A(Bv) = B(Av) + Bv = B(\lambda v) + Bv = \lambda Bv + Bv = (\lambda + 1)Bv\)

Si \(Bv \neq 0\), alors \(Bv\) est un vecteur propre de \(A\) pour la valeur propre \(\lambda + 1\).

2. Soit \(\lambda \in \mathrm{Sp}(A)\). D’après la question 1, si \(B(E_\lambda) \neq \{0\}\), alors \(\lambda + 1 \in \mathrm{Sp}(A)\). Par récurrence, si \(B^k(E_\lambda) \neq \{0\}\) pour tout \(k\), alors \(\lambda, \lambda+1, \lambda+2, \ldots\) seraient toutes des valeurs propres de \(A\). Or \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) n’a qu’un nombre fini de valeurs propres (au plus \(n\)). Contradiction.

Donc pour chaque \(\lambda \in \mathrm{Sp}(A)\), il existe un plus petit entier \(k_\lambda \geq 0\) tel que \(B^{k_\lambda}(E_\lambda) = \{0\}\), ce qui donne \(k_\lambda \leq n – 1\) (car la chaîne \(\lambda, \lambda+1, \ldots\) reste dans \(\mathrm{Sp}(A)\) qui contient au plus \(n\) éléments).

Posons \(N = \max_{\lambda \in \mathrm{Sp}(A)} k_\lambda\). Puisque \(A\) est diagonalisable, \(\mathbb{C}^n = \bigoplus_{\lambda \in \mathrm{Sp}(A)} E_\lambda(A)\). Pour tout \(v \in \mathbb{C}^n\), on décompose \(v = \sum v_\lambda\) avec \(v_\lambda \in E_\lambda\). Montrons que \(B^n v = 0\).

Par le point 1, \(B\) envoie \(E_\lambda\) dans \(E_{\lambda+1}\) (si \(\lambda+1 \in \mathrm{Sp}(A)\)) ou dans \(\{0\}\). En itérant, \(B^n\) envoie \(E_\lambda\) dans \(E_{\lambda+n}\) (ou \(\{0\}\) si la chaîne s’interrompt). Comme \(\mathrm{Sp}(A)\) contient au plus \(n\) éléments, la chaîne \(\lambda, \lambda+1, \ldots, \lambda+n\) contient \(n+1\) termes, donc au moins un n’est pas valeur propre de \(A\) : la chaîne s’interrompt avant d’atteindre \(\lambda + n\).

Ainsi \(B^n(E_\lambda) = \{0\}\) pour tout \(\lambda\), d’où \(B^n = 0\) : \(B\) est nilpotente. ■

Tu veux t’entraîner davantage ? Retrouve nos exercices corrigés sur les matrices.

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VIII. Erreurs fréquentes et pièges de concours

La diagonalisation est un sujet riche en erreurs classiques. Voici les pièges les plus fréquents, avec un exemple de copie fautive commentée.

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IX. Questions fréquentes

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X. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant la diagonalisation des matrices. Pour approfondir et consolider, voici les ressources les plus utiles du cocon :

• Valeurs propres et vecteurs propres — le traitement complet (polynôme caractéristique, spectre, multiplicités)
• Matrice puissance : calcul de \(A^n\) — applications détaillées de la formule \(A^n = PD^nP^{-1}\)
• Matrice symétrique et antisymétrique — théorème spectral et diagonalisation orthogonale
• Matrice de changement de base — le cadre géométrique de la similitude
• Matrice nilpotente — l’archétype des matrices non diagonalisables
• Exercices corrigés sur les matrices — problèmes transversaux et sujets type concours

Conforme au programme officiel CPGE 2025-2026. Dernière mise à jour : juin 2025.