Continuité d’une fonction : cours complet, méthodes et exercices corrigés

Une fonction continue, c’est une fonction « sans cassure » au voisinage d’un point. Mais en DS (lycée ou prépa), on attend surtout une méthode rigoureuse pour montrer qu’une fonction est continue (ou pour repérer une discontinuité), puis pour appliquer des outils puissants comme le théorème des valeurs intermédiaires (TVI).

Navigation rapide.

Fonction continue : définition (en un point, sur un intervalle)

Approche graphique intuitive

Visuellement, une fonction est dite continue sur un intervalle si sa courbe représentative ne présente aucune « rupture » ou « saut ».

  • Continue : on peut parcourir la courbe du début à la fin de l’intervalle d’un seul trait continu.
  • Discontinue : la courbe « saute » à un moment donné (comme la fonction de Heaviside) ou présente un « trou » (fonction non définie en un point).
Comparaison entre une fonction continue (courbe tracée d'un seul trait) et une fonction discontinue avec un saut en x = 1

Mais attention : en mathématiques, l’intuition ne remplace pas la définition. Une courbe d’apparence « propre » peut masquer un point problématique si le domaine n’a pas été vérifié (voir ensemble de définition d’une fonction).

Définition : continuité en un point

Continuité en un point. Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) contenant un réel \(a\). On dit que \(f\) est continue en \(a\) si :

\(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)

Autrement dit, trois conditions doivent être réunies simultanément :

  1. \(f(a)\) existe (la fonction est bien définie en \(a\)),
  2. \(\lim_{x \to a} f(x)\) existe (la limite en \(a\) est un réel),
  3. cette limite est égale à \(f(a)\).

On peut aussi parler de continuité à gauche et de continuité à droite en un point. La fonction \(f\) est continue à gauche en \(a\) si \(\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)\), et continue à droite en \(a\) si \(\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\). La continuité en \(a\) équivaut à la continuité à gauche et à droite en \(a\).

Continuité sur un intervalle

Continuité sur un intervalle. Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On dit que \(f\) est continue sur \(I\) si elle est continue en tout point de \(I\).

Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de \(f\) peut être tracée d’un seul trait sur l’intervalle \(I\), sans aucune interruption.

Exemple et contre-exemple.

La fonction \(f(x) = x^2 – 3x + 1\) est un polynôme : elle est continue sur \(\mathbb{R}\) tout entier.

La fonction partie entière \(E(x)\), qui associe à tout réel \(x\) le plus grand entier inférieur ou égal à \(x\), n’est pas continue en chaque entier. Par exemple, en \(x = 2\), la fonction « saute » brusquement de la valeur \(1\) (limite à gauche) à la valeur \(2\) (valeur en \(2\)).

Exemples de fonctions non continues

Voici les trois cas de discontinuité les plus fréquents :

  1. Saut de discontinuité : les limites à gauche et à droite existent mais ne sont pas égales. C’est le cas de la fonction partie entière aux points entiers, ou d’une fonction de Heaviside en \(x = 0\).
  2. Valeur isolée (discontinuité amovible) : les limites à gauche et à droite coïncident, mais ne sont pas égales à \(f(a)\). On dit que le graphe présente un « trou ».
  3. Discontinuité infinie : la limite n’existe pas (elle est infinie ou oscille). Par exemple, \(\frac{1}{x}\) en \(0\) (asymptote verticale).
Trois types de discontinuité : amovible (trou), par saut (Heaviside), infinie (asymptote verticale de 1/x)

Piège classique : la continuité de \(\frac{1}{x}\).

La fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\) (c’est-à-dire sur \(]-\infty\,;\,0[\) et sur \(]0\,;\,+\infty[\)). Dire qu’elle « n’est pas continue en \(0\) » n’a pas de sens : \(0\) n’appartient pas à son ensemble de définition. On ne parle de continuité en un point que si la fonction y est définie.

Fonctions continues usuelles et opérations

Les fonctions de référence continues

Bonne nouvelle : la plupart des fonctions que tu rencontres en cours sont continues sur leur domaine de définition. Les connaître permet de conclure immédiatement dans 90 % des exercices.

Fonctions de référence continues (à connaître par cœur) :

Opérations sur les fonctions continues

Les opérations algébriques conservent la continuité. Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions continues sur un intervalle \(I\) :

Opérations sur les fonctions continues
Opération Propriété Condition
Somme \(f + g\) est continue sur \(I\) Aucune
Produit \(f \times g\) est continue sur \(I\) Aucune
Quotient \(\frac{f}{g}\) est continue sur \(I\) \(g(x) \neq 0\) pour tout \(x \in I\)
Composée \(g \circ f\) est continue \(f\) continue sur \(I\) et \(g\) continue sur \(f(I)\)

Dérivabilité et continuité

C’est l’un des pièges conceptuels les plus fréquents au lycée et en prépa. Le lien entre dérivabilité et continuité est à sens unique :

  • Si une fonction est dérivable en un point, alors elle est forcément continue en ce point.
  • Mais la réciproque est fausse : une fonction peut être continue sans être dérivable.

Attention : Dérivable ⇒ Continue, mais Continue ⇏ Dérivable !

Le contre-exemple absolu : la fonction valeur absolue \(x \mapsto |x|\).
Elle est continue en \(0\) (pas de saut dans la courbe), mais elle n’est pas dérivable en \(0\) : la courbe forme un angle (pas de tangente unique en ce point).

Pour approfondir : cours complet sur les dérivées.

Méthode : comment montrer qu’une fonction est continue ?

Cas général : utiliser les théorèmes d’opérations

Dans la grande majorité des exercices, il suffit de justifier que la fonction est construite à partir de fonctions usuelles continues par des opérations qui conservent la continuité (somme, produit, quotient, composée).

La rédaction type tient en quelques lignes :

Exemple de rédaction (DS type).
Soit \(f(x) = e^{x^2 + 3x}\) sur \(\mathbb{R}\).

La fonction \(x \mapsto x^2 + 3x\) est un polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\).
La fonction exponentielle \(t \mapsto e^t\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Par composition de fonctions continues, \(f = \exp \circ (x^2+3x)\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

C’est exactement ce niveau de détail qu’on attend en DS. Pas besoin de revenir à la définition avec les limites : la stabilité fait le travail.

Cas particulier : étudier la continuité en un point de raccord

Pour une fonction définie par morceaux (une formule si \(x\) < \(a\), une autre si \(x\) ≥ \(a\)), il faut vérifier que les deux morceaux « se recollent » bien au point de jonction.

Méthode en 4 étapes :

  1. Calculer la limite à gauche : \(\lim_{x \to a^-} f(x)\).
  2. Calculer la limite à droite : \(\lim_{x \to a^+} f(x)\).
  3. Calculer la valeur \(f(a)\).
  4. Conclure : si les trois résultats sont identiques, la fonction est continue en \(a\). Sinon, il y a discontinuité.

Exemple (raccordement).
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x) = x^2 + 1\) si \(x\) ≤ \(1\), et \(f(x) = 3x – 1\) si \(x\) > \(1\).

Valeur en 1 : on utilise la première formule (\(x\) ≤ \(1\)) : \(f(1) = 1^2 + 1 = 2\).
Limite à gauche : \(\lim_{x \to 1^-}(x^2+1) = 2\).
Limite à droite : \(\lim_{x \to 1^+}(3x-1) = 2\).

Les trois valeurs coïncident : \(f\) est continue en 1.

Piège classique. Vérifier uniquement « limite à gauche = limite à droite » ne suffit pas : il faut aussi comparer à \(f(a)\). Si la valeur est imposée et différente des limites, la fonction est discontinue même si les deux limites coïncident.

Cas fréquent en DS : on te demande de trouver la valeur d’un paramètre (souvent \(a\) ou \(k\)) pour que le raccord soit continu. Il suffit d’écrire l’égalité des limites et de la valeur, puis de résoudre.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Le TVI est l’application principale de la continuité dans les exercices type Bac et en prépa. Il permet de prouver qu’une équation \(f(x) = k\) a au moins une solution.

Énoncé du TVI

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI).
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a,b]\) (avec \(a\) < \(b\)).
Alors, pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c \in [a,b]\) tel que \(f(c) = k\).

Interprétation graphique : une fonction continue qui passe d’une valeur négative à une valeur positive coupe obligatoirement l’axe des abscisses entre les deux bornes.

Piège TVI. Le TVI exige la continuité sur tout \([a,b]\), pas seulement au voisinage d’un point. Si la fonction a une rupture (ou n’est pas définie) à l’intérieur de l’intervalle, le TVI ne s’applique pas.

Méthode type Bac : prouver l’existence d’une solution

Voici la méthode de rédaction attendue au Bac (et en khôlle) pour prouver qu’une équation \(f(x) = 0\) admet une solution :

  1. Justifier la continuité : « \(f\) est un polynôme / composée de fonctions continues, donc continue sur \([a,b]\). »
  2. Calculer les images aux bornes : \(f(a)\) et \(f(b)\).
  3. Constater le changement de signe : si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes opposés, alors \(0\) est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\).
  4. Conclure par le TVI : « D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(c \in [a,b]\) tel que \(f(c) = 0\). »

Exemple type Bac (existence).
Montrer que l’équation \(x^3 + x – 1 = 0\) admet au moins une solution dans \([0,\,1]\).

On pose \(f(x) = x^3 + x – 1\). C’est un polynôme, donc continu sur \(\mathbb{R}\), en particulier sur \([0,1]\).

On calcule : \(f(0) = -1\) < \(0\) et \(f(1) = 1\) > \(0\).

La valeur \(0\) est comprise entre \(f(0) = -1\) et \(f(1) = 1\).
D’après le TVI, il existe au moins un réel \(c \in [0,\,1]\) tel que \(f(c) = 0\). ∎

Illustration du théorème des valeurs intermédiaires : la courbe de f(x) = x³ − x − 1 passe de f(1) = −1 (négatif) à f(2) = 5 (positif), avec une racine α ≈ 1,32

Unicité : corollaire du TVI (continue + strictement monotone)

Le TVI seul donne l’existence. Pour prouver l’unicité, on ajoute une hypothèse de stricte monotonie :

Corollaire (TVI + monotonie).
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a,b]\), alors pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l’équation \(f(x) = k\) a exactement une solution dans \([a,b]\).

Exemple type Bac (existence + unicité).
Montrer que l’équation \(x^3 + x – 1 = 0\) a une unique solution dans \(\mathbb{R}\).

On pose \(f(x) = x^3 + x – 1\).
Continuité : \(f\) est un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\).
Monotonie : pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f'(x) = 3x^2 + 1\) > \(0\) (somme d’un carré et de 1).
Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

On a vu que \(f(0) = -1\) < \(0\) et \(f(1) = 1\) > \(0\).
D’après le corollaire du TVI (continue + strictement monotone), l’équation \(f(x) = 0\) admet exactement une solution \(\alpha \in [0,\,1]\). ∎

Pour justifier la monotonie, on utilise le signe de la dérivée : voir dérivées et tableau de variation.

Encadrement par dichotomie

En Terminale et en prépa, on te demande souvent d’approcher la solution trouvée par le TVI. La méthode de dichotomie consiste à couper l’intervalle en deux à chaque étape :

  1. On part de l’intervalle \([a,b]\) où le changement de signe est établi.
  2. On calcule le milieu \(m = \frac{a+b}{2}\).
  3. On évalue \(f(m)\) et on regarde son signe.
  4. On garde le demi-intervalle où le changement de signe se produit.
  5. On recommence jusqu’à la précision voulue.

Exemple (dichotomie sur \(x^3 + x – 1 = 0\)).

On sait que \(\alpha \in [0,\,1]\).
Milieu : \(m = 0{,}5\). On calcule \(f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 – 1 = -0{,}375\) < \(0\).
Donc \(\alpha \in [0{,}5 ;\, 1]\).

Milieu : \(m = 0{,}75\). On calcule \(f(0{,}75) \approx 0{,}172\) > \(0\).
Donc \(\alpha \in [0{,}5 ;\, 0{,}75]\).

On peut continuer pour obtenir \(\alpha \approx 0{,}68\) à \(10^{-2}\) près.

Application aux suites récurrentes

Théorème du point fixe : si la suite converge, sa limite est solution de \(f(L) = L\)

Quand une suite est définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) et qu’on sait (ou qu’on admet) qu’elle converge vers une limite \(L\), on peut déterminer \(L\) grâce à la continuité de \(f\) :

Théorème (point fixe et continuité).
Soit \((u_n)\) une suite définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\), avec \(f\) continue sur un intervalle \(I\).
Si \((u_n)\) converge vers \(L \in I\), alors \(f(L) = L\).

La preuve repose sur le passage à la limite dans \(u_{n+1} = f(u_n)\) : à gauche, \(u_{n+1} \to L\) ; à droite, \(f(u_n) \to f(L)\) par continuité de \(f\).

Méthode : déterminer la limite d’une suite \(u_{n+1} = f(u_n)\)

  1. Montrer que la suite converge (monotonie + bornée, ou théorème des suites adjacentes).
  2. Utiliser la continuité pour écrire \(f(L) = L\).
  3. Résoudre l’équation \(f(x) = x\) (les solutions sont les points fixes de \(f\)).
  4. Sélectionner la bonne solution en fonction du comportement de la suite (monotonie, bornes).

Exemple (suite récurrente).
Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}\).

On admet que \((u_n)\) converge vers \(L\) ≥ \(0\).
Par continuité de \(x \mapsto \sqrt{2+x}\) sur \([-2, +\infty)\) : \(L = \sqrt{2 + L}\).
En élevant au carré : \(L^2 = 2 + L\), soit \(L^2 – L – 2 = 0\).
On factorise : \((L-2)(L+1) = 0\), donc \(L = 2\) ou \(L = -1\).

Comme \(u_n\) ≥ \(0\) pour tout \(n\), on retient \(L = 2\).

Pour aller plus loin (Prépa / L1)

Les résultats qui suivent dépassent le programme de Terminale mais sont fondamentaux en CPGE. Ils sont exposés brièvement ici à titre d’aperçu.

Théorème des bornes atteintes (extrema sur un segment)

C’est un résultat qu’on utilise constamment en prépa, notamment dans les exercices d’optimisation :

Théorème des bornes atteintes.
Si \(f\) est continue sur un segment \([a,b]\), alors \(f\) est bornée et elle atteint ses bornes : il existe \(c, d \in [a,b]\) tels que \(f(c) = \min_{[a,b]} f\) et \(f(d) = \max_{[a,b]} f\).

Attention : l’hypothèse « segment » (fermé et borné) est essentielle. Sur un intervalle ouvert comme \((0,1)\) ou non borné comme \([0, +\infty)\), une fonction continue peut très bien ne pas atteindre ses bornes.

Prolongement par continuité

Quand \(f\) n’est pas définie en \(a\) mais que la limite \(\lim_{x \to a} f(x)\) existe et est finie, on peut « boucher le trou » :

  • On définit une nouvelle fonction \(\tilde{f}\) identique à \(f\) pour \(x \neq a\).
  • Et on pose \(\tilde{f}(a) = \lim_{x \to a} f(x)\).

Exemple classique (sinus cardinal).
La fonction \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\) n’est pas définie en \(0\).
Mais on sait que \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\).

On prolonge par continuité en posant \(\tilde{f}(0) = 1\). La fonction \(\tilde{f}\) est alors continue en \(0\).

Ce schéma revient très souvent en prépa : factoriser / simplifier / calculer la limite, puis poser la valeur. Un autre cas fréquent : \(x \ln x\) en \(0\) (prolongé par \(0\) puisque \(\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0\)).

Exercices corrigés sur la continuité

Exercices niveau Terminale (★ à ★★)

Exercice 1 ★ — Justifier la continuité par opérations

Montrer que la fonction \(f(x) = (3x^2 – 2x + 1)\,e^x\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

Voir la correction

La fonction \(3x^2 – 2x + 1\) est un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\). La fonction \(e^x\) est continue sur \(\mathbb{R}\). Comme \(f\) est le produit de deux fonctions continues sur \(\mathbb{R}\), elle est continue sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 2 ★★ — Fonction définie par morceaux

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\(f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x < 1 \\ 3x – 1 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}\)

La fonction \(f\) est-elle continue sur \(\mathbb{R}\) ?

Voir la correction

Chaque morceau est un polynôme, donc continu sur son intervalle. Étudions la continuité en \(x = 1\) :

  • Limite à gauche : \(\lim_{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 1 + 1 = 2\).
  • Limite à droite : \(\lim_{x \to 1^+} (3x – 1) = 3 – 1 = 2\).
  • Valeur : \(f(1) = 3(1) – 1 = 2\).

Les trois quantités sont égales à \(2\). La fonction \(f\) est continue en \(1\), donc continue sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 3 ★★ — Appliquer le TVI

Montrer que l’équation \(e^x = 2x + 1\) admet au moins une solution sur \([0\,;\,1]\).

Voir la correction

Posons \(g(x) = e^x – 2x – 1\). La fonction \(g\) est la différence d’une exponentielle et d’un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\) et en particulier sur \([0\,;\,1]\).

  • \(g(0) = e^0 – 0 – 1 = 1 – 1 = 0\).

On constate que \(g(0) = 0\) : la valeur \(x = 0\) est déjà solution ! L’équation admet donc au moins la solution \(x = 0\) sur \([0\,;\,1]\).

Exercice 4 ★★ — TVI avec unicité

Montrer que l’équation \(\ln(x) = 2 – x\) admet une unique solution sur \([1\,;\,e]\).

Voir la correction

Posons \(h(x) = \ln(x) – 2 + x\).

1. Continuité : \(\ln(x)\) est continue sur \(]0\,;\,+\infty[\) et \(x – 2\) est un polynôme continu sur \(\mathbb{R}\). Par somme, \(h\) est continue sur \([1\,;\,e]\).

2. Changement de signe :

  • \(h(1) = \ln(1) – 2 + 1 = 0 – 2 + 1 = -1\) < \(0\).
  • \(h(e) = \ln(e) – 2 + e = 1 – 2 + e = e – 1 \approx 1{,}718\) > \(0\).

3. Monotonie : \(h'(x) = \frac{1}{x} + 1\). Pour tout \(x\) > \(0\), \(h'(x)\) > \(0\). Donc \(h\) est strictement croissante sur \([1\,;\,e]\).

Conclusion : \(h\) est continue et strictement croissante sur \([1\,;\,e]\), avec \(h(1)\) < \(0\) < \(h(e)\). D’après le TVI, l’équation \(h(x) = 0\) (soit \(\ln(x) = 2 – x\)) admet une unique solution sur \([1\,;\,e]\).

Exercice 5 ★★ — Suite récurrente et point fixe

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 4\) et \(u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3\). On admet que \((u_n)\) converge. Déterminer sa limite.

Voir la correction

La fonction \(f(x) = \frac{1}{2}x + 3\) est affine, donc continue sur \(\mathbb{R}\). Si \((u_n)\) converge vers \(L\), alors par le théorème du point fixe, \(f(L) = L\) :

\(\frac{1}{2}L + 3 = L \iff \frac{1}{2}L = 3 \iff L = 6\)

La suite \((u_n)\) converge vers \(6\).

Exercices niveau Prépa (★★★)

Exercice 6 ★★★ — Prolongement par continuité

Soit \(f(x) = \frac{e^x – 1 – x}{x^2}\) définie pour \(x \neq 0\). La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité en \(0\) ?

Voir la correction

On calcule \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{x^2}\). On utilise le développement limité \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\) au voisinage de \(0\) :

\(\frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \frac{1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) – 1 – x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2} + o(1) \xrightarrow[x \to 0]{} \frac{1}{2}\)

La limite est finie et vaut \(\frac{1}{2}\). On peut donc prolonger \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(\tilde{f}(0) = \frac{1}{2}\).

Exercice 7 ★★★ — TVI et encadrement par dichotomie

Montrer que l’équation \(x^5 + x – 3 = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}^+\), puis donner un encadrement de \(\alpha\) à \(10^{-1}\) près.

Voir la correction

Posons \(f(x) = x^5 + x – 3\).

\(f\) est un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\). On a \(f'(x) = 5x^4 + 1\) > \(0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Sur \(\mathbb{R}^+\) : \(f(0) = -3\) < \(0\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). D’après le TVI, l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}^+\).

Encadrement par dichotomie :

  • \(f(1) = 1 + 1 – 3 = -1\) < \(0\) et \(f(2) = 32 + 2 – 3 = 31\) > \(0\) : donc \(\alpha \in [1\,;\,2]\).
  • \(f(1{,}1) \approx 1{,}61 + 1{,}1 – 3 = -0{,}29\) < \(0\) et \(f(1{,}2) \approx 2{,}49 + 1{,}2 – 3 = 0{,}69\) > \(0\) : donc \(\alpha \in [1{,}1\,;\,1{,}2]\).

Exercice 8 ★★★ — Théorème des bornes en application

Soit \(f\) une fonction continue sur le segment \([0\,;\,1]\) telle que pour tout \(x \in [0\,;\,1]\), \(f(x) \in [0\,;\,1]\). Montrer que \(f\) admet un point fixe, c’est-à-dire qu’il existe \(c \in [0\,;\,1]\) tel que \(f(c) = c\).

Voir la correction

Posons \(g(x) = f(x) – x\). La fonction \(g\) est continue sur \([0\,;\,1]\) comme différence de deux fonctions continues.

  • \(g(0) = f(0) – 0 = f(0) \geq 0\) (car \(f(0) \in [0\,;\,1]\)).
  • \(g(1) = f(1) – 1 \leq 0\) (car \(f(1) \in [0\,;\,1]\)).

Si \(g(0) = 0\), alors \(c = 0\) convient. Si \(g(1) = 0\), alors \(c = 1\) convient. Sinon, \(g(0)\) > \(0\) et \(g(1)\) < \(0\) : d’après le TVI, il existe \(c \in ]0\,;\,1[\) tel que \(g(c) = 0\), soit \(f(c) = c\).

FAQ : continuité des fonctions

Comment savoir si une fonction est continue ?

Deux cas : si la fonction est construite à partir de fonctions usuelles (polynôme, exp, ln, sin, cos, racine) par des opérations classiques (somme, produit, quotient, composée), alors elle est continue sur son domaine. Si la fonction est définie par morceaux, il faut vérifier le raccord au point de jonction en comparant les limites à gauche, à droite, et la valeur.

Quand dit-on qu'une fonction est continue sur R ?

On dit que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) quand elle est définie pour tout réel et continue en chaque point. Par exemple, un polynôme ou l’exponentielle sont continus sur \(\mathbb{R}\). En revanche, \(\frac{1}{x}\) n’est pas continue sur \(\mathbb{R}\) car elle n’est pas définie en \(0\).

Comment trouver les fonctions continues et discontinues ?

On repère les discontinuités par le domaine (exclusions), les raccords (fonctions par morceaux), et les signatures : « trou » (discontinuité amovible), saut (limites gauche ≠ droite), asymptote verticale (limite infinie) ou oscillation.

Trois types de discontinuité : amovible (trou), par saut (Heaviside), infinie (asymptote verticale de 1/x)

Une fonction continue est-elle toujours dérivable ?

Non. La dérivabilité est plus forte que la continuité. Si une fonction est dérivable en un point, elle est forcément continue, mais la réciproque est fausse. Exemple : \(f(x) = |x|\) est continue en \(0\) mais pas dérivable en \(0\) (point anguleux). Voir cours sur les dérivées.

Peut-on parler de continuité en un point hors du domaine ?

Non : la continuité en \(a\) suppose que \(f(a)\) existe, donc que \(a\) appartienne au domaine. En revanche, si \(\lim_{x \to a} f(x)\) existe et est finie, on peut définir un prolongement par continuité en posant \(\tilde{f}(a)\) égal à cette limite.

Qu'est-ce que le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) ?

Le TVI affirme qu’une fonction continue sur \([a,b]\) prend toutes les valeurs comprises entre \(f(a)\) et \(f(b)\). En pratique, on l’utilise pour prouver qu’une équation \(f(x) = 0\) a au moins une solution : il suffit de trouver \(a\) et \(b\) tels que \(f(a)\) et \(f(b)\) soient de signes opposés.

Comment encadrer une solution par dichotomie ?

On part d’un intervalle \([a,b]\) où le TVI garantit une solution, puis on coupe en deux au milieu \(m = \frac{a+b}{2}\). Selon le signe de \(f(m)\), on garde le demi-intervalle où le changement de signe se produit. À chaque étape, la largeur de l’intervalle est divisée par 2.

Comment déterminer la limite d'une suite u(n+1) = f(u(n)) ?

Si la suite converge vers \(L\) et que \(f\) est continue, alors on peut passer à la limite dans la relation de récurrence : \(L = f(L)\). On résout ensuite cette équation (point fixe) et on sélectionne la solution compatible avec le comportement de la suite.

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