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Quand tu manipules les nombres complexes, une question revient sans cesse : quelle est la « taille » de ce nombre ? C’est exactement ce que mesure le module. Géométriquement, le module de \(z\) est la distance entre le point \(M\) qui le représente et l’origine du plan complexe — une application directe du théorème de Pythagore. Tu trouveras ici la définition formelle, toutes les propriétés (avec démonstrations au programme), une méthode de calcul en 3 étapes et des exercices corrigés progressifs. Les sections marquées 🔴 sont dédiées à la prépa.
I. Définition du module d’un nombre complexe
A. Définition formelle et formule
Le module d’un nombre complexe quantifie sa « distance à zéro ». C’est toujours un réel positif ou nul.
Définition — Module d’un nombre complexe
Soit \(z = a + bi\) un nombre complexe, avec \(a, b \in \mathbb{R}\). Le module de \(z\), noté \(|z|\), est le réel positif ou nul :
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
où \(a = \mathrm{Re}(z)\) est la partie réelle et \(b = \mathrm{Im}(z)\) est la partie imaginaire de \(z\).
Exemple : Calculons le module de \(z = 3 + 4i\).
On identifie \(a = 3\) et \(b = 4\), puis :
\(|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
Si tu reconnais la formule de la distance entre un point et l’origine en géométrie repérée, c’est normal : le module est exactement le théorème de Pythagore appliqué dans le plan complexe. On y revient en détail dans la section suivante.
B. Cas particuliers
Trois cas méritent d’être retenus :
- Si \(z\) est un réel (\(b = 0\)) : \(|z| = \sqrt{a^2} = |a|\). Le module coïncide avec la valeur absolue usuelle.
- Si \(z\) est un imaginaire pur (\(a = 0\)) : \(|z| = \sqrt{b^2} = |b|\).
- \(|z| = 0\) si et seulement si \(z = 0\). C’est la seule situation où le module est nul.
Retenir : le module « prolonge » la valeur absolue des réels au monde des complexes. Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a \(|x + 0i| = |x|\) : les deux notions sont parfaitement cohérentes.
II. Interprétation géométrique : le module comme distance
A. Le module dans le plan complexe
Dans le plan complexe muni du repère orthonormé \((O\,;\,\vec{u},\,\vec{v})\), tout nombre complexe \(z = a + bi\) est représenté par le point \(M\) de coordonnées \((a\,;\,b)\). On dit que \(z\) est l’affixe de \(M\).
Propriété — Module et distance
Le module \(|z|\) est la distance \(OM\) entre l’origine \(O\) et le point \(M\) d’affixe \(z\) :
\(|z| = OM = \sqrt{a^2 + b^2}\)
Plus généralement, la distance entre deux points \(M_1\) et \(M_2\) d’affixes \(z_1\) et \(z_2\) est :
\(M_1 M_2 = |z_2 – z_1|\)
Sur cette figure, tu vois apparaître un triangle rectangle \(OHM\) : le théorème de Pythagore donne immédiatement \(OM^2 = OH^2 + HM^2 = a^2 + b^2\). C’est exactement la formule du module.
Cette interprétation géométrique est fondamentale : elle transforme chaque question sur les modules en une question de distance dans le plan. C’est le pont qui relie l’algèbre des complexes à la géométrie plane.
B. Cercles et disques dans le plan complexe
L’interprétation « module = distance » permet de décrire des lieux géométriques classiques avec une seule équation :
Cercle et disque
Soit \(z_0 \in \mathbb{C}\) et \(r\) > \(0\).
- Cercle de centre \(z_0\) et de rayon \(r\) : \(\{z \in \mathbb{C} \mid |z – z_0| = r\}\)
- Disque fermé de centre \(z_0\) et de rayon \(r\) : \(\{z \in \mathbb{C} \mid |z – z_0| \leq r\}\)
Exemple : L’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z – 2 + 3i| = 5\) est le cercle de centre \(\Omega(2 – 3i)\) et de rayon \(5\).
En effet, \(|z – 2 + 3i| = |z – (2 – 3i)|\), donc on reconnaît la distance \(M\Omega = 5\).
C. Module et argument : le duo de la forme trigonométrique
Le module \(|z|\) mesure la « distance à l’origine », tandis que l’argument d’un nombre complexe mesure l’« angle avec l’axe réel ». Ensemble, ces deux quantités localisent entièrement \(z\) dans le plan — exactement comme les coordonnées polaires \((r\,;\,\theta)\) en géométrie.
C’est cette lecture qui conduit à la forme trigonométrique \(z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)\) et à la forme exponentielle \(z = |z|\,e^{i\theta}\), où \(\theta = \arg(z)\). Sous ces formes, le module est directement le facteur devant le terme angulaire.
Le module et toutes ses propriétés en une fiche PDF
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III. Propriétés du module
Les propriétés du module permettent de calculer \(|z|\) sans revenir systématiquement à la définition \(\sqrt{a^2 + b^2}\). Elles sont au cœur de la plupart des exercices de Terminale et de prépa.
A. Tableau récapitulatif
| Propriété | Formule | Conditions |
|---|---|---|
| Positivité | \(|z| \geq 0\) et \(|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0\) | \(z \in \mathbb{C}\) |
| Module et conjugué | \(|z|^2 = z \cdot \bar{z}\) | \(z \in \mathbb{C}\) |
| Module du conjugué | \(|\bar{z}| = |z|\) | \(z \in \mathbb{C}\) |
| Module d’un produit | \(|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\) | \(z_1, z_2 \in \mathbb{C}\) |
| Module d’un quotient | \(\left|\displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right| = \displaystyle\frac{|z_1|}{|z_2|}\) | \(z_2 \neq 0\) |
| Module d’une puissance | \(|z^n| = |z|^n\) | \(n \in \mathbb{Z}\), \(z \neq 0\) si \(n\) < \(0\) |
| Inégalité triangulaire | \(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\) | \(z_1, z_2 \in \mathbb{C}\) |
B. Module et conjugué — la propriété fondamentale
Propriété — Module et conjugué
Pour tout nombre complexe \(z \in \mathbb{C}\) :
\(|z|^2 = z \cdot \bar{z}\)
Démonstration au programme. Posons \(z = a + bi\) avec \(a, b \in \mathbb{R}\). Le conjugué d’un nombre complexe est \(\bar{z} = a – bi\). On calcule :
\(z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a – bi) = a^2 – (bi)^2 = a^2 – b^2 i^2 = a^2 + b^2 = |z|^2\) ∎
Pourquoi cette propriété est essentielle : elle permet de calculer \(|z|^2\) directement par le produit \(z \cdot \bar{z}\), sans identifier \(a\) et \(b\) séparément. C’est souvent plus rapide — on le verra dans la section méthode.
Conséquence immédiate : si \(|z| = 1\), alors \(z \cdot \bar{z} = 1\), donc \(\bar{z} = \displaystyle\frac{1}{z}\). Autrement dit, pour les nombres complexes de module \(1\), le conjugué et l’inverse coïncident. Tu retrouveras ce résultat dans les exercices.
C. Multiplicativité du module
Propriété — Module d’un produit
Pour tous nombres complexes \(z_1, z_2 \in \mathbb{C}\) :
\(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
Le module d’un quotient s’en déduit : \(\left|\displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right| = \displaystyle\frac{|z_1|}{|z_2|}\) pour \(z_2 \neq 0\).
Démonstration au programme. On utilise la propriété \(|z|^2 = z \cdot \bar{z}\) et le fait que \(\overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2\) :
\(|z_1 z_2|^2 = (z_1 z_2) \cdot \overline{z_1 z_2} = (z_1 z_2)(\bar{z}_1 \bar{z}_2) = (z_1 \bar{z}_1)(z_2 \bar{z}_2) = |z_1|^2 \cdot |z_2|^2\)
Comme \(|z_1 z_2| \geq 0\), \(|z_1| \geq 0\) et \(|z_2| \geq 0\), on prend la racine carrée : \(|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\). ∎
En pratique : pour calculer le module d’un produit (ou d’un quotient), calcule séparément le module de chaque facteur. C’est souvent bien plus simple que de développer le produit puis d’appliquer la définition.
D. Inégalité triangulaire
Propriété — Inégalité triangulaire
Pour tous nombres complexes \(z_1, z_2 \in \mathbb{C}\) :
\(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\)
Cas d’égalité : \(|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|\) si et seulement si \(z_1\) et \(z_2\) sont de même argument (ou l’un des deux est nul), c’est-à-dire s’il existe \(t \geq 0\) tel que \(z_1 = t \cdot z_2\) ou \(z_2 = t \cdot z_1\).
Interprétation géométrique : si tu traces le triangle formé par les points \(O\), \(M_1(z_1)\) et \(M_2(z_1 + z_2)\), l’inégalité triangulaire dit simplement que le côté direct est toujours plus court que la somme des deux autres côtés. L’égalité correspond au cas où les trois points sont alignés (le « triangle » est aplati).
Démonstration au programme (cliquer pour dérouler)
On développe \(|z_1 + z_2|^2\) en utilisant \(|w|^2 = w \cdot \bar{w}\) :
\(|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\bar{z}_1 + \bar{z}_2) = |z_1|^2 + z_1 \bar{z}_2 + \bar{z}_1 z_2 + |z_2|^2\)
Or \(z_1 \bar{z}_2 + \bar{z}_1 z_2 = z_1 \bar{z}_2 + \overline{z_1 \bar{z}_2} = 2\,\mathrm{Re}(z_1 \bar{z}_2)\).
Comme \(\mathrm{Re}(w) \leq |w|\) pour tout \(w \in \mathbb{C}\), on obtient :
\(|z_1 + z_2|^2 \leq |z_1|^2 + 2|z_1 \bar{z}_2| + |z_2|^2 = |z_1|^2 + 2|z_1| \cdot |z_2| + |z_2|^2 = (|z_1| + |z_2|)^2\)
Les deux membres étant positifs, on prend la racine carrée : \(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\). ∎
IV. Méthode : calculer le module d’un nombre complexe
A. Méthode générale en 3 étapes
Méthode — Calculer \(|z|\) en 3 étapes
- Identifier la partie réelle \(a\) et la partie imaginaire \(b\) de \(z = a + bi\).
- Calculer \(a^2 + b^2\).
- Prendre la racine carrée : \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
Cette méthode directe fonctionne toujours. Mais quand \(z\) est donné sous forme de produit, de quotient ou de puissance, les propriétés du module (section III) offrent souvent un raccourci bien plus rapide.
B. Astuce : le calcul par \(z \cdot \bar{z}\) (sans racine carrée intermédiaire)
Quand tu dois comparer deux modules ou montrer une égalité du type \(|z| = k\), il est souvent plus efficace de travailler avec \(|z|^2 = z \cdot \bar{z}\) plutôt qu’avec \(\sqrt{a^2 + b^2}\). Tu évites ainsi les racines carrées, ce qui simplifie les calculs et réduit les risques d’erreur.
Exemple : Montrer que \(\left|\displaystyle\frac{1 + i}{1 – i}\right| = 1\).
Avec la méthode directe : on développe le quotient (multiplication par le conjugué du dénominateur), on identifie \(a\) et \(b\), on calcule la racine…
Avec l’astuce : on utilise \(\left|\displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right| = \displaystyle\frac{|z_1|}{|z_2|}\). On calcule \(|1 + i| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\) et \(|1 – i| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\), d’où \(\left|\displaystyle\frac{1+i}{1-i}\right| = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1\). ✓
C. Exemples résolus
Exemple 1 🟢 (application directe)
Calculer \(|z|\) pour \(z = -5 + 12i\).
Solution : On identifie \(a = -5\), \(b = 12\). Alors :
\(|z| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
Exemple 2 🟢 (module d’un produit)
Calculer \(|w|\) pour \(w = (2 + i)(3 – 2i)\).
Solution (avec les propriétés) :
\(|w| = |2 + i| \cdot |3 – 2i| = \sqrt{4 + 1} \cdot \sqrt{9 + 4} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{65}\)
C’est plus rapide que de développer \(w = 6 – 4i + 3i – 2i^2 = 8 – i\) puis de calculer \(|8 – i| = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}\) (même résultat, mais plus de calculs).
Exemple 3 🟡 (forme exponentielle)
Calculer le module de \(z = 3e^{i\pi/6}\).
Solution : Sous forme exponentielle \(z = r\,e^{i\theta}\) avec \(r \geq 0\), le module est directement le coefficient \(r\) :
\(|z| = |3\,e^{i\pi/6}| = 3 \cdot |e^{i\pi/6}| = 3 \cdot 1 = 3\)
(En effet, \(|e^{i\theta}| = 1\) pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\), d’après la formule d’Euler.)
V. Pour aller en prépa (MPSI/PCSI) 🔴
Les propriétés qui suivent complètent l’inégalité triangulaire et interviennent dans les majorations de suites et de séries en CPGE.
A. Inégalité triangulaire inverse
Propriété — Inégalité triangulaire inverse (seconde inégalité triangulaire)
Pour tous \(z_1, z_2 \in \mathbb{C}\) :
\(\big| |z_1| – |z_2| \big| \leq |z_1 – z_2|\)
Démonstration ⋆ (exigible en concours). On applique l’inégalité triangulaire à \(z_1 = (z_1 – z_2) + z_2\) :
\(|z_1| = |(z_1 – z_2) + z_2| \leq |z_1 – z_2| + |z_2|\)
d’où \(|z_1| – |z_2| \leq |z_1 – z_2|\). En échangeant les rôles de \(z_1\) et \(z_2\), on obtient \(|z_2| – |z_1| \leq |z_1 – z_2|\). La réunion des deux inégalités donne :
\(\big| |z_1| – |z_2| \big| \leq |z_1 – z_2|\) ∎
Application typique en prépa : l’inégalité triangulaire inverse sert à minorer un module. Par exemple, pour montrer qu’un dénominateur ne s’annule pas : si \(|z| \geq 2\), alors \(|z – 1| \geq |z| – 1 \geq 1\) > \(0\). C’est l’outil de base pour les majorations dans les preuves de convergence.
B. Exercice type concours corrigé
Exercice 🔴 ★★★
Soient \(z_1, z_2 \in \mathbb{C}\) tels que \(|z_1| = |z_2| = 1\) et \(z_1 z_2 \neq -1\). Montrer que \(\displaystyle\frac{z_1 + z_2}{1 + z_1 z_2} \in \mathbb{R}\).
Voir la correction
Posons \(w = \displaystyle\frac{z_1 + z_2}{1 + z_1 z_2}\). On montre que \(w = \bar{w}\), ce qui caractérise les réels.
Calcul de \(\bar{w}\) :
\(\bar{w} = \displaystyle\frac{\bar{z}_1 + \bar{z}_2}{1 + \bar{z}_1 \bar{z}_2}\)
Clé du problème : comme \(|z_1| = 1\), on a \(z_1 \bar{z}_1 = 1\), donc \(\bar{z}_1 = \displaystyle\frac{1}{z_1}\). De même, \(\bar{z}_2 = \displaystyle\frac{1}{z_2}\).
On remplace :
\(\bar{w} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{z_1} + \displaystyle\frac{1}{z_2}}{1 + \displaystyle\frac{1}{z_1 z_2}} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{z_2 + z_1}{z_1 z_2}}{\displaystyle\frac{z_1 z_2 + 1}{z_1 z_2}} = \displaystyle\frac{z_1 + z_2}{1 + z_1 z_2} = w\)
Donc \(w = \bar{w}\), ce qui prouve que \(w \in \mathbb{R}\). ∎
Ce que le correcteur attend : la rédaction doit être limpide. Énoncer le critère « \(w \in \mathbb{R} \Leftrightarrow w = \bar{w}\) » dès le début. Bien justifier le passage \(\bar{z} = \displaystyle\frac{1}{z}\) par \(|z| = 1\). Ne pas oublier de vérifier que le dénominateur \(1 + z_1 z_2 \neq 0\) (hypothèse de l’énoncé).
VI. Exercices corrigés (★ à ★★★)
Voici 5 exercices classés par difficulté croissante. Chaque correction est détaillée pas à pas. Pour un entraînement plus complet, consulte la page d’exercices corrigés sur les nombres complexes.
Exercice 1 ★ — Calcul direct
Calculer le module de \(z = 5 – 12i\).
Voir la correction
On identifie \(a = 5\) et \(b = -12\).
\(|z| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
Exercice 2 ★ — Module d’un quotient
Calculer \(\left|\displaystyle\frac{4 + 3i}{1 – 2i}\right|\).
Voir la correction
On utilise la propriété du module d’un quotient :
\(\left|\displaystyle\frac{4 + 3i}{1 – 2i}\right| = \displaystyle\frac{|4 + 3i|}{|1 – 2i|} = \displaystyle\frac{\sqrt{16 + 9}}{\sqrt{1 + 4}} = \displaystyle\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{5}} = \displaystyle\frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\)
Exercice 3 ★★ — Démonstration avec le module
Soit \(z \in \mathbb{C}\) tel que \(|z| = 1\). Montrer que \(\bar{z} = \displaystyle\frac{1}{z}\).
Voir la correction
On part de la propriété \(|z|^2 = z \cdot \bar{z}\).
Comme \(|z| = 1\), on a \(|z|^2 = 1\), donc :
\(z \cdot \bar{z} = 1\)
Or \(z \neq 0\) (puisque \(|z| = 1 \neq 0\)), donc on peut diviser par \(z\) :
\(\bar{z} = \displaystyle\frac{1}{z}\) ∎
Remarque : ce résultat est utilisé dans presque tous les exercices de concours impliquant des complexes de module 1 (voir l’exercice type concours de la section V).
Exercice 4 ★★ — Lieu géométrique (médiatrice)
Déterminer et représenter l’ensemble \(\mathcal{E}\) des points \(M(z)\) du plan complexe tels que \(|z – 1| = |z + i|\).
Voir la correction
Interprétation géométrique : \(|z – 1|\) est la distance de \(M(z)\) au point \(A(1)\), et \(|z + i| = |z – (-i)|\) est la distance de \(M(z)\) au point \(B(-i)\).
L’équation \(|z – 1| = |z – (-i)|\) signifie que \(M\) est équidistant de \(A\) et \(B\) : c’est la médiatrice du segment \([AB]\).
Vérification algébrique : posons \(z = x + yi\).
\(|z – 1|^2 = |z + i|^2\)
\((x – 1)^2 + y^2 = x^2 + (y + 1)^2\)
\(x^2 – 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 + 2y + 1\)
\(-2x = 2y\)
\(y = -x\)
Conclusion : \(\mathcal{E}\) est la droite d’équation \(y = -x\), c’est-à-dire la médiatrice de \([AB]\) avec \(A(1\,;\,0)\) et \(B(0\,;\,-1)\).
Exercice 5 ★★★ — Lieu géométrique (cercle d’Apollonius)
Déterminer et décrire l’ensemble \(\mathcal{C}\) des points \(M(z)\) du plan complexe tels que \(|z – 1| = 2|z + 1|\).
Voir la correction
On pose \(z = x + yi\) et on élève au carré :
\(|z – 1|^2 = 4|z + 1|^2\)
\((x – 1)^2 + y^2 = 4\big[(x + 1)^2 + y^2\big]\)
On développe :
\(x^2 – 2x + 1 + y^2 = 4x^2 + 8x + 4 + 4y^2\)
\(0 = 3x^2 + 10x + 3 + 3y^2\)
On divise par \(3\) et on complète le carré :
\(x^2 + \displaystyle\frac{10}{3}x + 1 + y^2 = 0\)
\(\left(x + \displaystyle\frac{5}{3}\right)^2 – \displaystyle\frac{25}{9} + 1 + y^2 = 0\)
\(\left(x + \displaystyle\frac{5}{3}\right)^2 + y^2 = \displaystyle\frac{16}{9}\)
Conclusion : \(\mathcal{C}\) est le cercle de centre \(\Omega\left(-\displaystyle\frac{5}{3}\,;\, 0\right)\) (d’affixe \(\omega = -\displaystyle\frac{5}{3}\)) et de rayon \(r = \displaystyle\frac{4}{3}\).
Remarque culturelle : ce résultat est un cas particulier du cercle d’Apollonius. En général, l’ensemble des points \(M\) tels que \(\displaystyle\frac{MA}{MB} = k\) avec \(k \neq 1\) est toujours un cercle. Si \(k = 1\), c’est une droite (la médiatrice, comme dans l’exercice 4).
VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les erreurs les plus courantes repérées sur les copies. Apprends à les reconnaître pour ne plus les commettre.
Piège n°1 — Le module n’est PAS linéaire
❌ Copie fautive : « \(|3 + 4i| = |3| + |4i| = 3 + 4 = 7\) »
Diagnostic : l’élève a appliqué \(|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|\). Or c’est l’inégalité triangulaire : \(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\), pas une égalité !
✅ Correction : \(|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). On a bien \(5 \leq 3 + 4 = 7\).
Piège n°2 — Confondre \(|z|^2\) et \(z^2\)
❌ Copie fautive : « \(|z|^2 = z^2\), donc \(|1 + i|^2 = (1 + i)^2 = 2i\) »
Diagnostic : \(z^2\) est un nombre complexe, tandis que \(|z|^2\) est un réel positif. La bonne relation est \(|z|^2 = z \cdot \bar{z}\), pas \(z^2\).
✅ Correction : \(|1 + i|^2 = (1+i)(1-i) = 1 + 1 = 2\) (un réel positif, comme attendu).
Piège n°3 — Oublier que le module est toujours positif
❌ Copie fautive : « \(|z| = -3\) »
Diagnostic : par définition, \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \geq 0\). Le module n’est jamais négatif. Si tu trouves une valeur négative, c’est qu’il y a une erreur dans ton calcul.
VIII. Questions fréquentes
C'est quoi le module d'un nombre complexe ?
Le module d’un nombre complexe \(z = a + bi\) (avec \(a, b \in \mathbb{R}\)) est le réel positif \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Géométriquement, c’est la distance entre le point d’affixe \(z\) et l’origine du plan complexe. Pour un réel pur, le module coïncide avec la valeur absolue.
Comment calculer le module d'un nombre complexe ?
Trois étapes : (1) identifier la partie réelle \(a\) et la partie imaginaire \(b\) de \(z = a + bi\) ; (2) calculer \(a^2 + b^2\) ; (3) prendre la racine carrée : \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Si \(z\) est un produit ou un quotient, utilise plutôt les propriétés \(|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\) et \(|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|\) pour simplifier les calculs.
Quel est le module de 12 + 5i ?
On applique la formule : \(|12 + 5i| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\). Le module de \(12 + 5i\) vaut \(13\). (C’est un triplet pythagoricien : \(5^2 + 12^2 = 13^2\).)
Le module d'un nombre complexe peut-il être négatif ?
Non, jamais. Par définition, \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\), et une racine carrée est toujours positive ou nulle. On a \(|z| \geq 0\) pour tout \(z \in \mathbb{C}\), avec \(|z| = 0\) uniquement si \(z = 0\).
Quelle est la différence entre le module et l'argument d'un nombre complexe ?
Le module \(|z|\) mesure la distance de \(z\) à l’origine (un réel positif), tandis que l’argument \(\arg(z)\) mesure l’angle entre l’axe réel et le segment \([Oz]\) (un angle en radians). Ensemble, module et argument déterminent entièrement la position de \(z\) dans le plan : \(z = |z|\,e^{i\arg(z)}\). Pour en savoir plus, consulte le cours sur l’argument d’un nombre complexe.
Comment calculer le module d'un quotient de nombres complexes ?
On utilise la propriété \(\left|\displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right| = \displaystyle\frac{|z_1|}{|z_2|}\) (avec \(z_2 \neq 0\)). Il suffit de calculer séparément le module du numérateur et celui du dénominateur, puis de faire le quotient. C’est beaucoup plus rapide que de d’abord simplifier le quotient sous forme algébrique \(a + bi\).
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le module d’un nombre complexe : définition, propriétés et méthodes de calcul. Voici les prochaines étapes pour compléter ta maîtrise des nombres complexes :
- Le compagnon du module : l’argument d’un nombre complexe — pour localiser entièrement un complexe dans le plan.
- Les trois écritures : forme trigonométrique et exponentielle — où module et argument s’assemblent.
- L’opération jumelle : le conjugué d’un nombre complexe — dont les liens avec le module (propriété \(|z|^2 = z \bar{z}\)) sont omniprésents.
- La base géométrique : l’affixe d’un point et d’un vecteur — pour les applications géométriques.
- La formule emblématique : la formule d’Euler — avec ses applications en linéarisation et en prépa.
- S’entraîner : exercices corrigés sur les nombres complexes — pour la Terminale Maths Expertes et la prépa.
Conforme au programme officiel de Terminale — option Mathématiques Expertes (2025-2026).
