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Tu sais repérer un point par ses coordonnées cartésiennes. L’affixe condense ce couple en un seul nombre complexe — et chaque opération algébrique sur cette affixe (somme, module, quotient) traduit une propriété géométrique (translation, distance, angle). C’est le pont entre algèbre et géométrie du plan. Tu trouveras ici les définitions, les propriétés clés et 5 exercices corrigés pas à pas, conformes au programme de Terminale Maths Expertes 2025-2026.
I. Définition : affixe d’un point et affixe d’un vecteur
En mathématiques, le mot affixe n’a rien à voir avec son sens grammatical. C’est un outil qui permet de coder un point du plan (ou un vecteur) par un seul nombre complexe. Voyons les deux définitions.
A. Affixe d’un point du plan complexe
Définition — Affixe d’un point
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct \((O\,;\,\vec{u},\,\vec{v})\). Soit \(M\) un point de coordonnées \((a\,;\,b)\). Le nombre complexe :
\(z = a + bi\)
est appelé l’affixe du point \(M\). On note \(M(z)\), et réciproquement, \(M\) est appelé l’image du nombre complexe \(z\).
L’idée est simple : au lieu de manipuler un couple \((a\,;\,b)\), on manipule un seul objet \(z = a + bi\) qui contient les deux informations. L’abscisse \(a\) est la partie réelle de \(z\), et l’ordonnée \(b\) est la partie imaginaire.
Exemple : Le point \(M\) de coordonnées \((3\,;\,2)\) a pour affixe \(z_M = 3 + 2i\). Le point \(N(-1\,;\,4)\) a pour affixe \(z_N = -1 + 4i\). L’origine \(O\) a pour affixe \(z_O = 0\).
B. Affixe d’un vecteur
Définition — Affixe d’un vecteur
Soit \(\vec{w}\) un vecteur de coordonnées \((a\,;\,b)\) dans le repère \((O\,;\,\vec{u},\,\vec{v})\). Le nombre complexe :
\(z_{\vec{w}} = a + bi\)
est appelé l’affixe du vecteur \(\vec{w}\).
Un cas fondamental : le vecteur \(\vec{AB}\) a pour coordonnées \((x_B – x_A\,;\,y_B – y_A)\), donc son affixe vaut :
\(z_{\vec{AB}} = z_B – z_A\)
Exemple : Avec \(A(1 + i)\) et \(B(4 + 3i)\), l’affixe du vecteur \(\vec{AB}\) est :
\(z_{\vec{AB}} = z_B – z_A = (4 + 3i) – (1 + i) = 3 + 2i\)
C. Notation et vocabulaire
Conventions à retenir
- On note \(M(z)\) pour dire « le point \(M\) d’affixe \(z\) ».
- L’affixe du point \(A\) se note \(z_A\) (indice en bas).
- L’affixe du vecteur \(\vec{AB}\) est \(z_B – z_A\) (toujours arrivée moins départ).
- Tout nombre complexe \(z \in \mathbb{C}\) admet exactement un point image \(M(z)\) dans le plan — et réciproquement.
Tu maîtrises maintenant les définitions. Visualisons ces affixes dans le plan pour comprendre leur signification géométrique.
II. Interprétation géométrique dans le plan complexe
A. Le plan d’Argand-Gauss
Quand on associe à chaque nombre complexe \(z = a + bi\) le point \(M(a\,;\,b)\), le plan muni du repère \((O\,;\,\vec{u},\,\vec{v})\) s’appelle le plan complexe, ou plan d’Argand-Gauss.
- L’axe horizontal (axe des abscisses) est l’axe réel : il porte les nombres réels.
- L’axe vertical (axe des ordonnées) est l’axe des imaginaires purs : il porte les nombres de la forme \(bi\) avec \(b \in \mathbb{R}\).
B. Placer un point et un vecteur d’affixe donnée
Placer un point : pour placer \(M(z)\) avec \(z = 3 + 2i\), on reporte \(a = 3\) sur l’axe réel et \(b = 2\) sur l’axe imaginaire. Le point \(M\) se lit comme en coordonnées cartésiennes.
Représenter un vecteur : un vecteur \(\vec{w}\) d’affixe \(z_{\vec{w}} = 3 + 2i\) a les mêmes coordonnées \((3\,;\,2)\). On peut le dessiner à partir de n’importe quel point — mais l’affixe correspond toujours au représentant issu de l’origine, c’est-à-dire au vecteur \(\vec{OM}\) où \(M(z_{\vec{w}})\).
La représentation géométrique est en place. Voyons maintenant comment les opérations algébriques sur les affixes se traduisent en propriétés géométriques.
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Définitions, propriétés, critères d’alignement et d’orthogonalité, équation du cercle — tout sur une seule fiche recto.
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III. Propriétés des affixes
A. Opérations sur les affixes
Propriétés — Opérations vectorielles et affixes
Soient \(A(z_A)\), \(B(z_B)\) et \(C(z_C)\) trois points, et \(\lambda \in \mathbb{R}\).
- Affixe de \(\vec{AB}\) : \(z_{\vec{AB}} = z_B – z_A\)
- Somme de vecteurs : \(z_{\vec{u} + \vec{v}} = z_{\vec{u}} + z_{\vec{v}}\)
- Multiplication par un réel : \(z_{\lambda\vec{u}} = \lambda \cdot z_{\vec{u}}\)
Autrement dit, les opérations algébriques sur les affixes correspondent exactement aux opérations vectorielles. C’est ce qui fait la puissance du calcul complexe en géométrie.
B. Affixe du milieu d’un segment
Propriété — Milieu d’un segment
Le milieu \(I\) du segment \([AB]\) a pour affixe :
\(z_I = \displaystyle\frac{z_A + z_B}{2}\)
Justification : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si \(\vec{OI} = \displaystyle\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})\), ce qui donne \(z_I = \displaystyle\frac{z_A + z_B}{2}\).
Exemple : Le milieu de \([AB]\) avec \(A(2 + 3i)\) et \(B(-1 + i)\) a pour affixe :
\(z_I = \displaystyle\frac{(2 + 3i) + (-1 + i)}{2} = \displaystyle\frac{1 + 4i}{2} = \displaystyle\frac{1}{2} + 2i\)
C. Distance et module
Propriété — Distance entre deux points
La distance entre \(A(z_A)\) et \(B(z_B)\) est donnée par le module d’un nombre complexe :
\(AB = |z_B – z_A|\)
Si \(z_B – z_A = \alpha + \beta i\), alors \(AB = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}\).
Cas particulier : la distance \(OM\) entre l’origine et un point \(M(z)\) est simplement le module \(|z|\). C’est le lien direct entre module et distance.
Exemple : Avec \(A(1 + i)\) et \(B(4 + 3i)\) :
\(AB = |z_B – z_A| = |(4 + 3i) – (1 + i)| = |3 + 2i| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)
D. Conjugué et symétrie axiale
Le conjugué d’un nombre complexe \(z = a + bi\) est \(\bar{z} = a – bi\). Géométriquement, passer de \(z\) à \(\bar{z}\) revient à changer le signe de la partie imaginaire, c’est-à-dire à effectuer une symétrie par rapport à l’axe réel.
De même, le point d’affixe \(-z\) est le symétrique par rapport à l’origine \(O\).
Retenir :
- \(M(\bar{z})\) = symétrique de \(M(z)\) par rapport à l’axe réel.
- \(M(-z)\) = symétrique de \(M(z)\) par rapport à l’origine.
- \(M(-\bar{z})\) = symétrique de \(M(z)\) par rapport à l’axe imaginaire.
Voici un tableau qui résume toutes les traductions géométrie ↔ affixes rencontrées dans ce chapitre :
| Objet ou propriété géométrique | Traduction en affixes |
|---|---|
| Vecteur \(\vec{AB}\) | \(z_{\vec{AB}} = z_B – z_A\) |
| Distance \(AB\) | \(AB = |z_B – z_A|\) |
| Milieu \(I\) de \([AB]\) | \(z_I = \displaystyle\frac{z_A + z_B}{2}\) |
| Symétrique / axe réel | \(\bar{z}\) |
| Symétrique / origine | \(-z\) |
| \(A, B, C\) alignés | \(\displaystyle\frac{z_C – z_A}{z_B – z_A} \in \mathbb{R}\) |
| \(\vec{AB} \perp \vec{CD}\) | \(\displaystyle\frac{z_B – z_A}{z_D – z_C}\) est imaginaire pur |
| Cercle de centre \(\Omega(\omega)\), rayon \(r\) | \(|z – \omega| = r\) |
Ces propriétés deviennent de véritables armes de résolution quand tu les appliques à des problèmes géométriques concrets. C’est l’objet de la section suivante.
IV. Applications géométriques des affixes
A. Alignement de trois points
Critère d’alignement
Trois points \(A(z_A)\), \(B(z_B)\) et \(C(z_C)\) (avec \(z_B \neq z_A\)) sont alignés si et seulement si le quotient :
\(\displaystyle\frac{z_C – z_A}{z_B – z_A}\)
est un nombre réel.
Pourquoi ? Le quotient \(\displaystyle\frac{z_C – z_A}{z_B – z_A}\) représente le rapport \(\displaystyle\frac{\vec{AC}}{\vec{AB}}\) en termes d’affixes. Ce rapport est réel si et seulement si \(\vec{AC}\) et \(\vec{AB}\) sont colinéaires, c’est-à-dire si \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.
En pratique : pour vérifier qu’un quotient \(\displaystyle\frac{p + qi}{r + si}\) est réel, calcule-le sous forme algébrique et vérifie que sa partie imaginaire est nulle.
B. Orthogonalité de deux vecteurs
Critère d’orthogonalité
Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont orthogonaux si et seulement si le quotient :
\(\displaystyle\frac{z_B – z_A}{z_D – z_C}\)
est un imaginaire pur (partie réelle nulle).
Justification : si le quotient est imaginaire pur, il s’écrit \(ki\) avec \(k \in \mathbb{R}^*\). En termes d’argument d’un nombre complexe, cela signifie que l’angle entre les deux vecteurs vaut \(\pm\displaystyle\frac{\pi}{2}\), soit un angle droit.
C. Équation d’un cercle dans le plan complexe
Propriété — Cercle
L’ensemble des points \(M(z)\) tels que :
\(|z – \omega| = r\)
est le cercle de centre \(\Omega(\omega)\) et de rayon \(r\).
De même, \(|z – \omega|\) < \(r\) décrit le disque ouvert de centre \(\Omega\) et de rayon \(r\).
Tu disposes de tous les outils. Voici une méthode systématique pour structurer ta résolution face à un exercice de géométrie complexe.
V. Méthode pas à pas : résoudre un problème de géométrie complexe
A. Les 4 étapes de la méthode
Méthode en 4 étapes
- Identifier les données : relever les affixes des points donnés et la propriété à démontrer (distance, alignement, orthogonalité, nature d’un triangle, lieu…).
- Traduire en affixes : écrire les vecteurs utiles sous forme \(z_B – z_A\), les distances sous forme \(|z_B – z_A|\), et choisir le bon critère (quotient réel pour l’alignement, imaginaire pur pour l’orthogonalité…).
- Calculer : effectuer les opérations algébriques (somme, produit, quotient de nombres complexes). Mettre les résultats sous forme algébrique \(a + bi\).
- Interpréter et conclure : lire la partie réelle et la partie imaginaire du résultat, puis formuler la conclusion géométrique.
B. Exemple résolu 1 — Triangle isocèle (★)
Énoncé : Soit \(A(1)\), \(B(3 + 2i)\) et \(C(-1 + 2i)\). Montrer que le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\).
Résolution :
Étape 1 : On veut montrer \(AB = AC\).
Étape 2 : On traduit : \(AB = |z_B – z_A|\) et \(AC = |z_C – z_A|\).
Étape 3 :
\(z_B – z_A = (3 + 2i) – 1 = 2 + 2i\), donc \(AB = |2 + 2i| = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}\).
\(z_C – z_A = (-1 + 2i) – 1 = -2 + 2i\), donc \(AC = |-2 + 2i| = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}\).
Étape 4 : On a \(AB = AC = 2\sqrt{2}\), donc le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\).
C. Exemple résolu 2 — Non-alignement (★★)
Énoncé : Soit \(A(2 + i)\), \(B(4 + 3i)\) et \(C(3 + 4i)\). Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ?
Résolution :
On calcule le quotient \(\displaystyle\frac{z_C – z_A}{z_B – z_A}\).
\(z_C – z_A = (3 + 4i) – (2 + i) = 1 + 3i\)
\(z_B – z_A = (4 + 3i) – (2 + i) = 2 + 2i\)
\(\displaystyle\frac{1 + 3i}{2 + 2i} = \displaystyle\frac{(1 + 3i)(2 – 2i)}{(2 + 2i)(2 – 2i)} = \displaystyle\frac{2 – 2i + 6i – 6i^2}{4 + 4} = \displaystyle\frac{2 + 4i + 6}{8} = \displaystyle\frac{8 + 4i}{8} = 1 + \displaystyle\frac{1}{2}i\)
La partie imaginaire vaut \(\displaystyle\frac{1}{2} \neq 0\) : le quotient n’est pas réel. Donc \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
Place à la pratique ! Voici 5 exercices progressifs pour consolider tes acquis.
VI. Exercices corrigés (★ à ★★★)
Exercice 1 (★) — Affixes et opérations de base
Soit \(A(2 + 3i)\) et \(B(-1 + i)\).
- Déterminer l’affixe du vecteur \(\vec{AB}\).
- Calculer la distance \(AB\).
- Déterminer l’affixe du milieu \(I\) de \([AB]\).
Voir la correction
1. \(z_{\vec{AB}} = z_B – z_A = (-1 + i) – (2 + 3i) = -3 – 2i\).
2. \(AB = |z_B – z_A| = |-3 – 2i| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\).
3. \(z_I = \displaystyle\frac{z_A + z_B}{2} = \displaystyle\frac{(2 + 3i) + (-1 + i)}{2} = \displaystyle\frac{1 + 4i}{2} = \displaystyle\frac{1}{2} + 2i\).
Exercice 2 (★) — Conjugué et symétries
Soit \(M\) le point d’affixe \(z = 3 – 2i\).
- Déterminer l’affixe du symétrique \(M^\prime\) de \(M\) par rapport à l’axe réel.
- Déterminer l’affixe du symétrique \(M^{\prime\prime}\) de \(M\) par rapport à l’origine.
- Soit \(A(1 + i)\). Déterminer l’affixe du symétrique \(N\) de \(M\) par rapport au point \(A\).
Voir la correction
1. Le symétrique par rapport à l’axe réel a pour affixe le conjugué : \(z_{M^\prime} = \bar{z} = 3 + 2i\).
2. Le symétrique par rapport à l’origine a pour affixe l’opposé : \(z_{M^{\prime\prime}} = -z = -3 + 2i\).
3. \(A\) est le milieu de \([MN]\), donc \(z_A = \displaystyle\frac{z_M + z_N}{2}\), soit :
\(z_N = 2z_A – z_M = 2(1 + i) – (3 – 2i) = 2 + 2i – 3 + 2i = -1 + 4i\).
Exercice 3 (★★) — Nature d’un triangle
Soit \(A(1 + 2i)\), \(B(5 + 2i)\) et \(C(3 + 4i)\).
- Calculer les distances \(AB\), \(AC\) et \(BC\).
- Le triangle \(ABC\) est-il isocèle ? rectangle ? Justifier.
Voir la correction
1.
\(AB = |z_B – z_A| = |(5 + 2i) – (1 + 2i)| = |4| = 4\) \(AC = |z_C – z_A| = |(3 + 4i) – (1 + 2i)| = |2 + 2i| = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}\) \(BC = |z_C – z_B| = |(3 + 4i) – (5 + 2i)| = |-2 + 2i| = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}\)2.
On a \(AC = BC = 2\sqrt{2}\) : le triangle est isocèle en \(C\).
De plus, \(AC^2 + BC^2 = 8 + 8 = 16 = AB^2\).
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en \(C\).
Vérification par les affixes : on calcule \(\displaystyle\frac{z_A – z_C}{z_B – z_C} = \displaystyle\frac{-2 – 2i}{2 – 2i} = \displaystyle\frac{(-2 – 2i)(2 + 2i)}{(2 – 2i)(2 + 2i)} = \displaystyle\frac{-4 – 4i – 4i – 4i^2}{8} = \displaystyle\frac{-8i}{8} = -i\).
Ce quotient est imaginaire pur, ce qui confirme \(\vec{CA} \perp \vec{CB}\). Son module vaut \(1\), ce qui confirme \(CA = CB\).
Conclusion : \(ABC\) est un triangle rectangle isocèle en \(C\).
Exercice 4 (★★) — Alignement
Soit \(A(-1 + i)\), \(B(1 + 2i)\) et \(C(5 + 4i)\). Démontrer que \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
Voir la correction
On calcule le quotient \(\displaystyle\frac{z_C – z_A}{z_B – z_A}\).
\(z_C – z_A = (5 + 4i) – (-1 + i) = 6 + 3i\) \(z_B – z_A = (1 + 2i) – (-1 + i) = 2 + i\) \(\displaystyle\frac{6 + 3i}{2 + i} = \displaystyle\frac{(6 + 3i)(2 – i)}{(2 + i)(2 – i)} = \displaystyle\frac{12 – 6i + 6i – 3i^2}{4 + 1} = \displaystyle\frac{12 + 3}{5} = \displaystyle\frac{15}{5} = 3\)Le quotient vaut \(3 \in \mathbb{R}\) : il est réel. Donc \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
Remarque : le rapport \(3\) signifie que \(\vec{AC} = 3\vec{AB}\), c’est-à-dire que \(C\) est situé au-delà de \(B\) sur la droite \((AB)\).
Exercice 5 (★★★) — Lieux géométriques
Soit \(O\) l’origine et \(B\) le point d’affixe \(z_B = 4 + 2i\). Soit \(M\) un point variable d’affixe \(z\).
- Déterminer et caractériser l’ensemble \((\mathcal{E}_1)\) des points \(M\) tels que \(|z| = |z – 4 – 2i|\).
- Déterminer et caractériser l’ensemble \((\mathcal{E}_2)\) des points \(M\) tels que \(|z|^2 + |z – 4 – 2i|^2 = 20\).
Voir la correction
1. On pose \(z = x + iy\) et on développe :
\(|z| = |z – 4 – 2i|\) équivaut à \(|z|^2 = |z – 4 – 2i|^2\), soit :
\(x^2 + y^2 = (x – 4)^2 + (y – 2)^2\) \(x^2 + y^2 = x^2 – 8x + 16 + y^2 – 4y + 4\)\(0 = -8x – 4y + 20\), d’où \(2x + y = 5\).
\((\mathcal{E}_1)\) est la droite d’équation \(2x + y = 5\), c’est-à-dire la médiatrice du segment \([OB]\).
Vérification : le milieu de \([OB]\) est \(I(2 + i)\), soit \((2\,;\,1)\). On vérifie : \(2 \times 2 + 1 = 5\). ✓
2. On développe de même :
\(x^2 + y^2 + (x – 4)^2 + (y – 2)^2 = 20\) \(2x^2 + 2y^2 – 8x – 4y + 20 = 20\) \(x^2 + y^2 – 4x – 2y = 0\) \((x – 2)^2 – 4 + (y – 1)^2 – 1 = 0\) \((x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 5\)\((\mathcal{E}_2)\) est le cercle de centre \(I(2 + i)\) et de rayon \(\sqrt{5}\).
Remarque : le centre \(I\) est le milieu de \([OB]\), et le rayon \(\sqrt{5} = \displaystyle\frac{|OB|}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{20}}{2}\). C’est le cercle de diamètre \([OB]\). Tout point \(M\) de ce cercle vérifie \(\widehat{OMB} = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) (théorème de l’angle inscrit).
Pour t’entraîner davantage, retrouve notre banque complète d’exercices corrigés sur les nombres complexes.
VII. 🟠 Pour aller en prépa (MPSI/PCSI) — Transformations du plan
En classe préparatoire, les affixes sont le point de départ de l’étude des transformations du plan complexe. L’idée centrale : toute application de la forme \(z \longmapsto az + b\) (avec \(a \in \mathbb{C}^*\) et \(b \in \mathbb{C}\)) définit une similitude directe.
Cas particuliers fondamentaux
- Translation de vecteur d’affixe \(b\) : \(z \longmapsto z + b\) (cas \(a = 1\)).
- Rotation de centre \(O\) et d’angle \(\theta\) : \(z \longmapsto e^{i\theta} z\) (cas \(|a| = 1\), \(b = 0\)).
- Homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) : \(z \longmapsto kz\) (cas \(a \in \mathbb{R}^*\), \(b = 0\)).
- Cas général : composition d’une rotation, d’une homothétie et d’une translation. Le module \(|a|\) donne le rapport de la similitude, et l’argument d’un nombre complexe de \(a\) donne l’angle de rotation.
Par exemple, la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) envoie le point d’affixe \(z\) sur le point d’affixe \(z^\prime = e^{i\pi/4} \cdot z\). Grâce à la formule d’Euler, \(e^{i\pi/4} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} + i\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\), ce qui permet de calculer explicitement les coordonnées de l’image.
Tu retrouveras ces notions développées dans le cours sur la forme trigonométrique et exponentielle et sur les racines n-ièmes de l’unité.
VIII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Piège n°1 — Inverser le sens de la soustraction
L’affixe de \(\vec{AB}\) est \(z_B – z_A\) (arrivée moins départ), pas \(z_A – z_B\).
❌ Copie fautive : « \(z_{\vec{AB}} = z_A – z_B = (2 + i) – (5 + 3i) = -3 – 2i\) »
✅ Correction : « \(z_{\vec{AB}} = z_B – z_A = (5 + 3i) – (2 + i) = 3 + 2i\) »
Piège n°2 — Confondre module de \(z_A\) et distance \(AB\)
\(|z_A|\) est la distance de \(A\) à l’origine \(O\), pas à \(B\). La distance \(AB\) vaut \(|z_B – z_A|\).
Piège n°3 — Alignement : oublier de vérifier que le quotient est réel
Pour prouver l’alignement de \(A\), \(B\), \(C\), il ne suffit pas de calculer \(z_C – z_A\) et \(z_B – z_A\) séparément. Il faut calculer le quotient \(\displaystyle\frac{z_C – z_A}{z_B – z_A}\) et montrer que sa partie imaginaire est nulle.
Piège n°4 — Confondre « réel » et « imaginaire pur »
Un nombre est réel si sa partie imaginaire est nulle (\(\mathrm{Im}(z) = 0\)). Il est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle (\(\mathrm{Re}(z) = 0\)). Pour l’alignement, il faut un quotient réel ; pour l’orthogonalité, un quotient imaginaire pur. Ne pas mélanger !
IX. Questions fréquentes
C'est quoi l'affixe d'un point en maths ?
En mathématiques, l’affixe d’un point \(M\) de coordonnées \((a\,;\,b)\) est le nombre complexe \(z = a + bi\). C’est une façon de coder la position d’un point du plan par un seul nombre complexe. On note \(M(z)\). Le mot « affixe » ici n’a aucun rapport avec la grammaire (préfixe, suffixe).
Comment déterminer l'affixe d'un vecteur ?
L’affixe du vecteur \(\vec{AB}\) est \(z_{\vec{AB}} = z_B – z_A\), où \(z_A\) et \(z_B\) sont les affixes des points \(A\) et \(B\). Il faut retenir la règle : arrivée moins départ. Pour un vecteur \(\vec{w}\) donné par ses coordonnées \((a\,;\,b)\), son affixe est \(a + bi\).
Quelle est la différence entre l'affixe d'un point et ses coordonnées ?
Les coordonnées d’un point \(M\) forment un couple \((a\,;\,b)\) de deux nombres réels. L’affixe de \(M\) est le nombre complexe \(z = a + bi\) : un seul objet qui encode les deux coordonnées. L’avantage de l’affixe est qu’on peut la multiplier, la diviser, en prendre le module — chaque opération traduisant une propriété géométrique. C’est impossible avec un simple couple de coordonnées.
Comment prouver que trois points sont alignés avec les affixes ?
Soit \(A(z_A)\), \(B(z_B)\) et \(C(z_C)\). On calcule le quotient \(\displaystyle\frac{z_C – z_A}{z_B – z_A}\) et on le met sous forme algébrique \(a + bi\). Si la partie imaginaire \(b\) est nulle (le quotient est réel), alors les trois points sont alignés. Sinon, ils ne le sont pas.
Quelle est la différence entre affixe, module et argument ?
L’affixe \(z = a + bi\) est le nombre complexe lui-même. Le module d’un nombre complexe \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) est la distance du point à l’origine. L’argument d’un nombre complexe \(\arg(z)\) est l’angle entre l’axe réel et le vecteur \(\vec{OM}\). L’affixe contient toute l’information ; le module et l’argument en sont des « composantes polaires ».
À quoi sert l'affixe en géométrie ?
L’affixe permet de traduire des problèmes de géométrie en calculs algébriques sur les nombres complexes. Prouver un alignement, une orthogonalité, calculer une distance ou trouver un lieu géométrique (cercle, droite) — tout se ramène à des opérations sur les affixes. C’est souvent plus efficace et plus rapide que les méthodes vectorielles classiques, surtout pour les problèmes faisant intervenir des rotations ou des angles.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les affixes et leur utilisation en géométrie. Pour compléter tes révisions sur les nombres complexes, voici les pages du cocon à explorer :
- Module d’un nombre complexe — définition, calcul et interprétation géométrique (distance).
- Argument d’un nombre complexe — définition, méthode de calcul et propriétés.
- Conjugué d’un nombre complexe — propriétés algébriques et lien avec la symétrie axiale.
- Forme trigonométrique et exponentielle — pour passer de la forme algébrique à la forme polaire.
- Exercices corrigés sur les nombres complexes — 20+ exercices classés par difficulté.
