Exercices corrigés sur les fonctions affines (3ème, Seconde)

Tu cherches un exercice de fonction affine (ou une série d’exercices fonction affine) avec correction pour progresser vite en contrôle ? Ici, tu as un entraînement complet par niveau (3e puis Seconde), avec des corrigés rédigés et les pièges à éviter.

Si tu sens que tu n’as pas la base (définition, lecture de \(a\) et \(b\), interprétation graphique), ne perds pas de temps à deviner : va d’abord sur le cours sur la fonction affine, puis reviens ici t’entraîner.

Avant de faire les exercices : méthode express (2 minutes)

L’objectif n’est pas de refaire le cours, mais d’avoir les réflexes DS.

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Exercices Niveau 1 : Fondamentaux (3ème) ★

Ces exercices couvrent les compétences de base du programme de 3ème : calcul d’images et d’antécédents, lecture graphique simple, et détermination de fonctions affines à partir de deux conditions. Difficulté : ★ Facile.

Calculs d’images et d’antécédents

Exercice 1 ★

Soit \(g\) la fonction affine définie par \(g(x) = -3x + 7\).

1. Calculer \(g(1)\).
2. Calculer \(g(3)\).
3. Calculer \(g(-1)\).

Voir la correction

1. \(g(1) = -3 \times 1 + 7 = -3 + 7 = 4\)

2. \(g(3) = -3 \times 3 + 7 = -9 + 7 = -2\)

3. \(g(-1) = -3 \times (-1) + 7 = 3 + 7 = 10\)

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Exercice 2 ★

Soit \(h\) la fonction affine définie par \(h(x) = 5x – 4\). Trouver l’antécédent de 11 par \(h\).

Voir la correction

On cherche \(x\) tel que \(h(x) = 11\).

\(5x – 4 = 11\) \(5x = 11 + 4\) \(5x = 15\) \(x = \frac{15}{5} = 3\)

L’antécédent de 11 par \(h\) est 3.

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Exercice 3 ★

Soit \(f\) la fonction linéaire définie par \(f(x) = 4x\).

1. Calculer \(f(7)\).
2. Trouver l’antécédent de 20 par \(f\).

Voir la correction

1. \(f(7) = 4 \times 7 = 28\)

2. On cherche \(x\) tel que \(4x = 20\).

\(x = \frac{20}{4} = 5\)

L’antécédent de 20 par \(f\) est 5.

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Lecture graphique

Exercice 4 ★

On considère une fonction affine \(f\) dont la représentation graphique passe par les points \(A(0; 2)\) et \(B(3; 8)\).

1. Déterminer graphiquement l’ordonnée à l’origine \(b\).
2. Calculer le coefficient directeur \(a\).
3. En déduire l’expression de \(f(x)\).

Voir la correction

1. Le point \(A(0; 2)\) est sur l’axe des ordonnées. Son ordonnée donne directement \(b = 2\).

2. Le coefficient directeur se calcule par : \(a = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \frac{8 – 2}{3 – 0} = \frac{6}{3} = 2\)

3. \(f(x) = 2x + 2\)

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Exercice 5 ★

Tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction affine \(f\) définie par \(f(x) = -x + 4\).

Voir la correction

Méthode : Pour tracer une droite, il suffit de placer deux points.

Point 1 : Pour \(x = 0\) : \(f(0) = -0 + 4 = 4\). Point \(A(0; 4)\).

Point 2 : Pour \(x = 4\) : \(f(4) = -4 + 4 = 0\). Point \(B(4; 0)\).

On place les points \(A(0; 4)\) et \(B(4; 0)\) dans le repère, puis on trace la droite passant par ces deux points.

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Déterminer une fonction affine

Exercice 6 ★

Déterminer la fonction affine \(f\) telle que \(f(2) = 7\) et \(f(5) = 13\).

Voir la correction

On cherche \(f(x) = ax + b\).

Système d’équations :

\(\begin{cases} 2a + b = 7 \\ 5a + b = 13 \end{cases}\)

On soustrait la première équation de la seconde :

\((5a + b) – (2a + b) = 13 – 7\) \(3a = 6\) \(a = 2\)

On remplace dans la première équation :

\(2 \times 2 + b = 7\) \(4 + b = 7\) \(b = 3\)

Donc \(f(x) = 2x + 3\).

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Exercice 7 ★

Déterminer la fonction affine \(h\) telle que \(h(1) = 3\) et \(h(4) = 0\).

Voir la correction

Système :

\(\begin{cases} a + b = 3 \\ 4a + b = 0 \end{cases}\)

On soustrait la première de la seconde :

\((4a + b) – (a + b) = 0 – 3\) \(3a = -3\) \(a = -1\)

On remplace dans la première équation :

\(-1 + b = 3\) \(b = 4\)

Donc \(h(x) = -x + 4\).

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Exercices Niveau 2 : Approfondissement (Seconde) ★★

Ces exercices approfondissent les notions du programme de Seconde : représentation graphique avancée, sens de variation, résolution d’inéquations, et détermination par calcul algébrique. Difficulté : ★★ Intermédiaire.

Représentation graphique et coefficient directeur

Exercice 8 ★★

Tracer dans un repère les droites représentant les fonctions suivantes :

1. \(f(x) = 3x – 2\)
2. \(g(x) = -2x + 5\)
3. \(h(x) = \frac{1}{2}x + 1\)

Voir la correction

Pour chaque fonction, on détermine deux points puis on trace la droite.

1. Pour \(f(x) = 3x – 2\) :

• \(f(0) = -2\) → Point \((0; -2)\)
• \(f(1) = 3 – 2 = 1\) → Point \((1; 1)\)

2. Pour \(g(x) = -2x + 5\) :

• \(g(0) = 5\) → Point \((0; 5)\)
• \(g(2) = -4 + 5 = 1\) → Point \((2; 1)\)

3. Pour \(h(x) = \frac{1}{2}x + 1\) :

• \(h(0) = 1\) → Point \((0; 1)\)
• \(h(2) = 1 + 1 = 2\) → Point \((2; 2)\)

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Exercice 9 ★★

Déterminer l’équation de la droite passant par les points \(A(-1; 3)\) et \(B(2; -6)\).

Voir la correction

On cherche \(f(x) = ax + b\).

Coefficient directeur : \(a = \frac{-6 – 3}{2 – (-1)} = \frac{-9}{3} = -3\)

On sait que \(f(x) = -3x + b\). Le point \(A(-1; 3)\) appartient à la droite :

\(f(-1) = 3\) \(-3 \times (-1) + b = 3\) \(3 + b = 3\) \(b = 0\)

L’équation de la droite est \(f(x) = -3x\).

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Exercice 10 ★★

On considère une droite \(d\) d’équation \(y = mx + 2\) qui passe par le point \(C(3; 8)\). Déterminer la valeur de \(m\).

Voir la correction

Le point \(C(3; 8)\) appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient l’équation :

\(8 = m \times 3 + 2\) \(8 = 3m + 2\) \(3m = 6\) \(m = 2\)

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Exercice 11 ★★

Déterminer l’équation de la droite parallèle à la droite d’équation \(y = -4x + 1\) et passant par le point \(D(2; 5)\).

Voir la correction

Une droite parallèle à \(y = -4x + 1\) a le même coefficient directeur : \(a = -4\).

Son équation est de la forme \(y = -4x + b\).

Le point \(D(2; 5)\) appartient à cette droite :

\(5 = -4 \times 2 + b\) \(5 = -8 + b\) \(b = 13\)

L’équation de la droite cherchée est \(y = -4x + 13\).

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Sens de variation et signe

Exercice 12 ★★

Pour chacune des fonctions affines suivantes, préciser si elle est croissante, décroissante ou constante sur \(\mathbb{R}\) :

1. \(f(x) = 5x + 2\)
2. \(g(x) = -3x + 7\)
3. \(h(x) = 4\)

Voir la correction

Le sens de variation d’une fonction affine \(f(x) = ax + b\) dépend du signe de \(a\) :

1. \(f(x) = 5x + 2\) : \(a = 5 > 0\), donc \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

2. \(g(x) = -3x + 7\) : \(a = -3 < 0[/latex], donc [latex]g[/latex] est décroissante sur [latex]\mathbb{R}\).

3. \(h(x) = 4\) : \(a = 0\), donc \(h\) est constante sur \(\mathbb{R}\).

Pour approfondir le lien entre le signe du coefficient directeur et les variations, consultez notre page sur le tableau de variation d’une fonction.

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Exercice 13 ★★

Soit \(f\) la fonction affine définie par \(f(x) = -2x + 6\). Résoudre l’inéquation \(f(x) \geq 0\).

Voir la correction

On résout \(-2x + 6 \geq 0\) :

\(-2x \geq -6\)

On divise par \(-2\) (attention, cela inverse le sens de l’inégalité) :

\(x \leq 3\)

L’ensemble des solutions est \(]-\infty; 3]\).

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Exercice 14 ★★

Soit \(h\) la fonction affine définie par \(h(x) = 5x + 10\). Résoudre successivement :

1. \(h(x) = 0\)
2. \(h(x) > 0\)
3. \(h(x) < 0[/latex]

Voir la correction

1. [latex]5x + 10 = 0\)

\(5x = -10\) \(x = -2\)

2. \(5x + 10 > 0\)

\(5x > -10\) \(x > -2\)

Solution : \(]-2; +\infty[\)

3. \(5x + 10 < 0[/latex]

[latex]5x < -10[/latex] [latex]x < -2[/latex]

Solution : [latex]]-\infty; -2[\)

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Détermination par calcul algébrique

Exercice 15 ★★

Montrer que la fonction \(f\) définie par \(f(x) = (2x + 1)(3x – 2) – 6x^2\) est une fonction affine. Préciser les valeurs de \(a\) et \(b\).

Voir la correction

On développe l’expression de \(f(x)\) :

\(f(x) = (2x + 1)(3x – 2) – 6x^2\) \(f(x) = 6x^2 – 4x + 3x – 2 – 6x^2\) \(f(x) = 6x^2 – 6x^2 – 4x + 3x – 2\) \(f(x) = -x – 2\)

L’expression est bien de la forme \(ax + b\) avec \(a = -1\) et \(b = -2\).

Donc \(f\) est une fonction affine.

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Exercice 16 ★★

On considère la fonction affine \(f\) définie par \(f(x) = (m – 3)x + 2m\), où \(m\) est un nombre réel. Déterminer la ou les valeurs de \(m\) telles que :

1. \(f\) est une fonction linéaire.
2. \(f\) est une fonction constante.
3. \(f(1) = 5\).

Voir la correction

1. Pour que \(f\) soit linéaire, il faut \(b = 0\) :

\(2m = 0\) \(m = 0\)

2. Pour que \(f\) soit constante, il faut \(a = 0\) :

\(m – 3 = 0\) \(m = 3\)

3. \(f(1) = 5\) :

\((m – 3) \times 1 + 2m = 5\) \(m – 3 + 2m = 5\) \(3m – 3 = 5\) \(3m = 8\) \(m = \frac{8}{3}\)

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Exercices problèmes concrets ★★★

Ces exercices placent les fonctions affines dans des contextes réels : tarifs, conversions, situations économiques. Difficulté : ★★★ Difficile.

Tarifs et abonnements

Exercice 17 ★★★

Un opérateur téléphonique propose deux forfaits mensuels :

• Forfait A : 0,20 € par minute de communication.
• Forfait B : 15 € d’abonnement mensuel + 0,05 € par minute de communication.

1. Modéliser chaque forfait par une fonction affine qui, au temps de communication \(t\) (en minutes), associe le prix à payer \(P\) (en euros).
2. Pour quelle durée de communication les deux forfaits ont-ils le même coût ?
3. Quel forfait est le plus avantageux si l’on consomme 50 minutes par mois ? Et si l’on consomme 150 minutes ?

Voir la correction

1. Forfait A : \(P_A(t) = 0{,}20t\)

Forfait B : \(P_B(t) = 0{,}05t + 15\)

2. On cherche \(t\) tel que \(P_A(t) = P_B(t)\) :

\(0{,}20t = 0{,}05t + 15\) \(0{,}15t = 15\) \(t = \frac{15}{0{,}15} = 100\)

Les deux forfaits coûtent le même prix pour 100 minutes de communication.

3. Pour \(t = 50\) :

• \(P_A(50) = 0{,}20 \times 50 = 10\) €
• \(P_B(50) = 0{,}05 \times 50 + 15 = 2{,}5 + 15 = 17{,}5\) €

Le forfait A est plus avantageux pour 50 minutes.

Pour \(t = 150\) :

• \(P_A(150) = 0{,}20 \times 150 = 30\) €
• \(P_B(150) = 0{,}05 \times 150 + 15 = 7{,}5 + 15 = 22{,}5\) €

Le forfait B est plus avantageux pour 150 minutes.

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Conversions et unités

Exercice 18 ★★★

La température en degrés Celsius \(T_C\) et la température en degrés Fahrenheit \(T_F\) sont reliées par la formule : \(T_F = 1{,}8 T_C + 32\).

1. Convertir 20 °C en degrés Fahrenheit.
2. Convertir 77 °F en degrés Celsius.
3. Existe-t-il une température pour laquelle les valeurs en Celsius et en Fahrenheit sont identiques ?

Voir la correction

1. \(T_F = 1{,}8 \times 20 + 32 = 36 + 32 = 68\) °F

2. On résout \(1{,}8 T_C + 32 = 77\) :

\(1{,}8 T_C = 45\)

\(T_C = \frac{45}{1{,}8} = 25\) °C

3. On cherche \(T\) tel que \(T_C = T_F\), c’est-à-dire \(T = 1{,}8T + 32\) :

\(T – 1{,}8T = 32\) \(-0{,}8T = 32\) \(T = \frac{32}{-0{,}8} = -40\)

La température \(-40\) °C est égale à \(-40\) °F.

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Situations économiques

Exercice 19 ★★★

Un commercial perçoit un salaire mensuel composé d’un fixe de 1 200 € et d’une commission de 5 % sur le montant total de ses ventes.

1. Exprimer son salaire mensuel \(S\) en fonction du montant \(V\) de ses ventes.
2. Calculer son salaire s’il réalise 8 000 € de ventes.
3. Quel montant de ventes doit-il réaliser pour atteindre un salaire de 2 000 € ?

Voir la correction

1. La commission est \(0{,}05V\), donc :

\(S(V) = 0{,}05V + 1\,200\)

2. \(S(8\,000) = 0{,}05 \times 8\,000 + 1\,200 = 400 + 1\,200 = 1\,600\) €

3. On cherche \(V\) tel que \(S(V) = 2\,000\) :

\(0{,}05V + 1\,200 = 2\,000\) \(0{,}05V = 800\)

\(V = \frac{800}{0{,}05} = 16\,000\) €

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Exercice 20 ★★★

Une entreprise a un budget mensuel de fonctionnement modélisé par la fonction \(B(x) = -500x + 8\,000\), où \(x\) représente le nombre de mois écoulés depuis le début de l’année et \(B(x)\) le budget restant (en euros).

1. Quel était le budget en début d’année (\(x = 0\)) ?
2. Quel est le budget restant au bout de 6 mois ?
3. Au bout de combien de mois le budget sera-t-il épuisé ?

Voir la correction

1. \(B(0) = -500 \times 0 + 8\,000 = 8\,000\) €

2. \(B(6) = -500 \times 6 + 8\,000 = -3\,000 + 8\,000 = 5\,000\) €

3. On cherche \(x\) tel que \(B(x) = 0\) :

\(-500x + 8\,000 = 0\) \(-500x = -8\,000\) \(x = 16\)

Le budget sera épuisé au bout de 16 mois.

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Fonction affine par morceaux

Exercice 21 ★★★

Le tarif de stationnement en centre-ville (de 8h à 18h) est défini par morceaux :

• 2 centimes par minute pendant la première heure.
• 4 centimes par minute pour la deuxième et la troisième heure.
• 1 centime par minute de la quatrième à la dixième heure.

On note \(t\) le temps de stationnement (en heures) et \(f(t)\) le tarif correspondant (en euros).

1. Exprimer \(f(t)\) selon les trois intervalles : \(0 \leq t \leq 1\), \(1 \leq t \leq 3\), et \(3 \leq t \leq 10\).
2. Calculer le tarif pour 2 heures de stationnement.
3. Calculer le tarif pour 5 heures de stationnement.

Voir la correction

1. On convertit d’abord en euros par heure :

• 2 centimes/min = 0,02 €/min = 0,02 × 60 = 1,2 €/h
• 4 centimes/min = 0,04 €/min = 0,04 × 60 = 2,4 €/h
• 1 centime/min = 0,01 €/min = 0,01 × 60 = 0,6 €/h

Pour \(0 \leq t \leq 1\) :

\(f(t) = 1{,}2t\)

Pour \(1 \leq t \leq 3\) :

On paie 1,2 € pour la première heure, puis 2,4 €/h pour le temps restant :

\(f(t) = 1{,}2 + 2{,}4(t – 1) = 1{,}2 + 2{,}4t – 2{,}4 = 2{,}4t – 1{,}2\)

Pour \(3 \leq t \leq 10\) :

On paie 1,2 € (1ère heure) + 2,4 × 2 = 4,8 € (2ème et 3ème heures) + 0,6 €/h pour le temps restant :

\(f(t) = 1{,}2 + 4{,}8 + 0{,}6(t – 3) = 6 + 0{,}6t – 1{,}8 = 0{,}6t + 4{,}2\)

Donc :

\(f(t) = \begin{cases} 1{,}2t & \text{si } 0 \leq t \leq 1 \\ 2{,}4t – 1{,}2 & \text{si } 1 \leq t \leq 3 \\ 0{,}6t + 4{,}2 & \text{si } 3 \leq t \leq 10 \end{cases}\)

2. Pour \(t = 2\) (intervalle \(1 \leq t \leq 3\)) :

\(f(2) = 2{,}4 \times 2 – 1{,}2 = 4{,}8 – 1{,}2 = 3{,}6\) €

3. Pour \(t = 5\) (intervalle \(3 \leq t \leq 10\)) :

\(f(5) = 0{,}6 \times 5 + 4{,}2 = 3 + 4{,}2 = 7{,}2\) €

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FAQ : questions fréquentes sur la fonction affine

Comment calculer une fonction affine (exemple) ?

On identifie \(a\) et \(b\) dans \(f(x)=ax+b\), puis on remplace \(x\) par la valeur demandée.
Exemple : si \(f(x)=2x-3\), alors \(f(4)=2\cdot 4-3=5\).

Qu'est-ce qu'une fonction affine en 3e ?

Au collège, une fonction affine est une fonction de la forme \(f(x)=ax+b\). Sa représentation graphique est une droite.
On retient surtout : \(b=f(0)\) et \(a\) décrit « la pente ».

Quels sont les 3 types de fonctions (au collège) ?

Dans ce chapitre, on distingue souvent : fonction constante \(f(x)=b\), fonction linéaire \(f(x)=ax\),
et fonction affine \(f(x)=ax+b\). (Ensuite, au lycée, on étudie aussi les fonctions quadratiques, exponentielles, etc.)

Comment calculer a dans y = ax + b ?

Si tu connais deux points \((x_1; y_1)\) et \((x_2; y_2)\), alors
\(a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). Puis \(b=y_1-ax_1\).
Si tu connais \(b\) et un point, tu peux aussi trouver \(a\) en résolvant une équation.

Quelle est la règle d'une fonction affine ?

La « règle » est la formule \(f(x)=ax+b\) : quand \(x\) augmente de 1, la valeur de \(f(x)\) augmente de \(a\) (si \(a\) > 0) ou diminue de \(a\) en valeur absolue (si \(a\) < 0). [/faq-item] [faq-item question="Quelle est la formule de axb ?"] En calcul, "axb" signifie généralement "a multiplié par b". On peut écrire [latex]a\times b[/latex] ou simplement [latex]ab[/latex]. [/faq-item] [/faq]

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Pour aller plus loin

Si tu veux consolider le cours, approfondir les bases ou t’entraîner sur d’autres chapitres du cocon « fonctions » :

• Fonction affine (cours complet)
• Image et antécédent d’une fonction
• Ensemble de définition
• Tableau de variation
• Fonctions en maths : la page pilier