Fonction valeur absolue : définition, courbe, propriétés et méthodes

La fonction valeur absolue est un « classique » : on la rencontre dès le collège (pour mesurer une distance), puis au lycée et en prépa (équations, inéquations, tracés, études de fonctions par morceaux). Elle revient très souvent en DS, car elle permet de modéliser une distance et de traiter des situations « symétriques ».

Avant d’entrer dans le cours : si vous voulez revoir la notion de fonction (définition, image/antécédent, lecture de courbe), commencez par la page pilier Fonctions en maths.

Qu’est-ce que la valeur absolue d’un nombre réel ?

Avant d’étudier la fonction valeur absolue, il faut bien comprendre ce que cette notion signifie pour un nombre. L’idée est intuitive : c’est la distance entre ce nombre et zéro sur la droite des réels.

Définition : distance à zéro

Exemples numériques

Quelques exemples pour bien fixer la notion :

• \(|5| = 5\) (le nombre est déjà positif, on le garde tel quel).
• \(|-3| = 3\) (le nombre est négatif, on prend son opposé : \(-(-3) = 3\)).
• \(|0| = 0\).
• \(|-7{,}2| = 7{,}2\).

Cette opération « efface » le signe et ne conserve que la grandeur du nombre. C’est pourquoi le résultat est toujours positif ou nul.

Interprétation géométrique

Cette notion permet de calculer la distance entre deux réels \(a\) et \(b\) sur la droite graduée :

Distance entre \(a\) et \(b\) = \(|b – a|\)

Cela signifie que résoudre l’équation \(|x – 3| = 2\) revient géométriquement à chercher les points situés à une distance de 2 du point d’abscisse 3.

Étude de la fonction valeur absolue : variations et courbe

Étudions l’application \(f\) définie sur l’ensemble des réels par \(f(x) = |x|\).

Ensemble de définition et parité

• Domaine : Elle est définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier (voir le cours sur l’ensemble de définition).
• Parité : Pour tout réel \(x\), \(f(-x) = |-x| = |x| = f(x)\). La fonction est donc paire (voir parité des fonctions).

Conséquence graphique : le graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Variations et courbe représentative

La représentation graphique est constituée de deux demi-droites issues de l’origine :

• La droite d’équation \(y = -x\) pour les \(x\) négatifs (bissectrice du 2ᵉ quadrant).
• La droite d’équation \(y = x\) pour les \(x\) positifs (bissectrice du 1ᵉʳ quadrant).

L’ensemble forme un « V » caractéristique pointant vers l’origine.

Le récapitulatif ci-dessous résume les résultats (avec la dérivée, étudiée plus bas dans la page) :

Propriétés algébriques de la valeur absolue

Lien avec la racine carrée : √(x²) = |x|

Une propriété fondamentale relie la notion étudiée ici à la racine carrée et au carré :

Cette égalité est souvent source d’erreurs. Beaucoup d’élèves écrivent \(\sqrt{x^2} = x\), ce qui n’est vrai que lorsque \(x \geq 0\). Lorsque \(x\) est négatif, \(\sqrt{x^2} = -x = |x|\). C’est cette propriété qui fait le pont entre la fonction carrée et la notion étudiée ici.

Opérations sur les valeurs absolues

Pour tous réels \(x\) et \(y\) :

• Produit : \(|x \times y| = |x| \times |y|\)
• Quotient : Si \(y \neq 0\), \(\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}\)
• Puissance : \(|x^n| = |x|^n\) pour tout entier \(n\).
• Opposé : \(|-x| = |x|\)

Inégalité triangulaire

Fondamentale en prépa pour les majorations, elle stipule que le « chemin direct » est toujours plus court que le détour.

L’inégalité triangulaire possède également une forme inverse, moins connue mais tout aussi importante :

\(\big||x| – |y|\big| \leq |x – y|\)

Ces deux inégalités interviennent constamment en analyse (majorations, convergence de suites et de séries) et constituent un outil central en prépa.

Résoudre des équations et inéquations avec la valeur absolue

Savoir manipuler cette notion dans des équations et des inéquations est une compétence clé du programme de première. Voici les méthodes à retenir.

Résolution de |X| = a

Soit \(a\) un réel.

• Si \(a\) > \(0\) : l’équation \(|X| = a\) admet deux solutions : \(X = a\) et \(X = -a\).
• Si \(a = 0\) : l’unique solution est \(X = 0\).
• Si \(a\) < \(0\) : l’équation n’a aucune solution, car le résultat est toujours positif ou nul.

Résolution de |X| ≤ a et |X| ≥ a

Pour \(a \geq 0\) :

• \(|X| \leq a \iff -a \leq X \leq a\), c’est-à-dire \(X \in [-a\,;a]\).
• \(|X| \geq a \iff X \leq -a\) ou \(X \geq a\), c’est-à-dire \(X \in ]-\infty\,;-a] \cup [a\,;+\infty[\).

Résolution de |f(x)| = |g(x)|

Lorsqu’une équation met en jeu deux expressions entre barres, on dispose de deux techniques :

Technique 1 — Disjonction de cas : \(|A| = |B| \iff A = B\) ou \(A = -B\). On résout chaque équation séparément.

Technique 2 — Passage au carré : comme \(|A|^2 = A^2\) et \(|B|^2 = B^2\), on a \(|A| = |B| \iff A^2 = B^2 \iff (A-B)(A+B) = 0\).

Étudier une fonction du type |f(x)| : méthode complète

L’un des savoir-faire les plus importants du programme de première et de terminale consiste à étudier et représenter des expressions contenant des \(|\cdot|\). Voici la méthode en quatre étapes :

Étape 1 — Déterminer le signe de \(f(x)\) : trouver les valeurs de \(x\) qui annulent l’expression intérieure, puis dresser un tableau de signes.

Étape 2 — Réécrire sans valeur absolue : sur chaque intervalle, remplacer \(|f(x)|\) par \(f(x)\) (si positif) ou \(-f(x)\) (si négatif) pour obtenir une expression par morceaux.

Étape 3 — Étudier chaque morceau : calculer la dérivée, déterminer les variations et les limites de chaque expression de manière classique.

Étape 4 — Raccorder et tracer (le « redressement ») : relier les morceaux aux valeurs pivots. Graphiquement, cela revient à « replier » vers le haut la partie de la courbe de \(f\) située sous l’axe des abscisses.

Exemple complet : étude de g(x) = |x² − 4|

Dérivabilité de la fonction valeur absolue

Interprétation graphique : point anguleux et demi-tangentes

Graphiquement, le fait qu’elle ne soit pas dérivable en \(0\) se traduit par un point anguleux : la représentation présente un « angle » au sommet du V. La demi-tangente à gauche en \(0\) a pour coefficient directeur \(-1\), et la demi-tangente à droite a pour coefficient directeur \(+1\). Ces deux demi-tangentes ne sont pas alignées, ce qui empêche l’existence d’une tangente unique.

Cas général : dérivée de |u(x)|

Si \(u(x) \neq 0\), on peut écrire :

\((|u(x)|)’ = u'(x) \cdot \frac{u(x)}{|u(x)|}\)

Pour un cours complet sur la dérivation (règles, méthode, exercices) : Dérivées : cours complet et Calculer une dérivée : méthode pas à pas.

Exercices corrigés sur la fonction valeur absolue

Voici cinq exercices de difficulté progressive pour vous entraîner. Chaque correction détaillée est accessible en cliquant sur « Voir la correction ».

Exercice 1 (★) — Résoudre |x − 2| = 5

Énoncé. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(|x – 2| = 5\).

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Méthode « distance » : on cherche les réels dont la distance à \(2\) vaut \(5\). Ce sont \(x = 2 – 5 = -3\) et \(x = 2 + 5 = 7\).

Vérification algébrique : \(|x – 2| = 5\) donne \(x – 2 = 5\) (soit \(x = 7\)) ou \(x – 2 = -5\) (soit \(x = -3\)).

\(S = \{-3\,;7\}\).

Exercice 2 (★★) — Résoudre |3x + 1| < |x − 4|

Énoncé. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(|3x + 1|\) < \(|x – 4|\).

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Passage au carré (les deux membres sont positifs, donc l’inéquation est équivalente après élévation au carré) :

\((3x + 1)^2\) < \((x – 4)^2\)

\(9x^2 + 6x + 1\) < \(x^2 – 8x + 16\)

\(8x^2 + 14x – 15\) < \(0\)

Discriminant : \(\Delta = 196 + 480 = 676 = 26^2\). Les racines sont \(x_1 = \frac{-14 – 26}{16} = \frac{-40}{16} = -\frac{5}{2}\) et \(x_2 = \frac{-14 + 26}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}\).

Le trinôme est négatif entre ses racines, donc :

\(S = \left]-\frac{5}{2}\,;\frac{3}{4}\right[\).

Exercice 3 (★★) — Étudier f(x) = |2x − 6| − x + 1

Énoncé. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = |2x – 6| – x + 1\). Déterminer l’expression de \(f(x)\) sans valeur absolue, puis dresser le tableau de variation et tracer le graphe.

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Étape 1 — Signe de \(2x – 6\) : \(2x – 6 = 0 \iff x = 3\). On a \(2x – 6 \geq 0\) pour \(x \geq 3\).

Étape 2 — Réécriture :

• Si \(x \geq 3\) : \(f(x) = (2x – 6) – x + 1 = x – 5\).
• Si \(x\) < \(3\) : \(f(x) = -(2x – 6) – x + 1 = -2x + 6 – x + 1 = -3x + 7\).

Étape 3 — Variations :

• Sur \(]-\infty\,;3[\) : \(f(x) = -3x + 7\) est affine de pente \(-3\), donc strictement décroissante.
• Sur \([3\,;+\infty[\) : \(f(x) = x – 5\) est affine de pente \(1\), donc strictement croissante.

Minimum en \(x = 3\) : \(f(3) = 3 – 5 = -2\).

Valeur remarquable : \(f(0) = 7\). Le graphe coupe l’axe des abscisses lorsque \(-3x + 7 = 0\) (soit \(x = \frac{7}{3}\)) et lorsque \(x – 5 = 0\) (soit \(x = 5\)).

Exercice 4 (★★★) — Étudier g(x) = |x² − 2x − 3|

Énoncé. Soit \(g(x) = |x^2 – 2x – 3|\). Déterminer les valeurs pivots, réécrire \(g(x)\) sans valeur absolue et dresser son tableau de variation.

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Signe de \(x^2 – 2x – 3\) : \(\Delta = 4 + 12 = 16\). Racines : \(x_1 = -1\) et \(x_2 = 3\). Le trinôme est négatif sur \(]-1\,;3[\) et positif à l’extérieur.

Réécriture :

• Si \(x \leq -1\) ou \(x \geq 3\) : \(g(x) = x^2 – 2x – 3\).
• Si \(-1 \leq x \leq 3\) : \(g(x) = -(x^2 – 2x – 3) = -x^2 + 2x + 3\).

Dérivées :

• Sur \(]-1\,;3[\) : \(g'(x) = -2x + 2 = 0 \iff x = 1\). On a \(g(1) = -1 + 2 + 3 = 4\) (maximum local).
• Sur \(]3\,;+\infty[\) : \(g'(x) = 2x – 2\) > \(0\) pour \(x\) > \(3\), donc \(g\) est croissante.
• Sur \(]-\infty\,;-1[\) : \(g'(x) = 2x – 2\) < \(0\), donc \(g\) est décroissante.

Valeurs remarquables : \(g(-1) = 0\), \(g(1) = 4\), \(g(3) = 0\). Le tracé touche l’axe des abscisses en \(x = -1\) et \(x = 3\) avec la partie négative de la parabole « redressée » vers le haut.

Exercice 5 (★★★) — Montrer que max(a, b) = (a + b + |a − b|) / 2

Énoncé. Démontrer que pour tous réels \(a\) et \(b\) :

\(\max(a, b) = \frac{a + b + |a – b|}{2}\)

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On distingue deux cas :

Cas 1 : \(a \geq b\). Alors \(a – b \geq 0\), donc \(|a – b| = a – b\). D’où :

\(\frac{a + b + (a – b)}{2} = \frac{2a}{2} = a = \max(a, b)\). ✓

Cas 2 : \(a\) < \(b\). Alors \(a – b\) < \(0\), donc \(|a – b| = -(a – b) = b – a\). D’où :

\(\frac{a + b + (b – a)}{2} = \frac{2b}{2} = b = \max(a, b)\). ✓

Remarque : de la même manière, on démontre que \(\min(a, b) = \frac{a + b – |a – b|}{2}\). Ces formules sont utiles en prépa et en Python pour coder max/min sans condition.

Pour aller plus loin (terminale et prépa)

Les notions qui suivent dépassent le programme strict du lycée mais sont essentielles en prépa (MPSI, PCSI, BCPST…) et en licence.

Primitive de la fonction valeur absolue

Elle admet des primitives sur \(\mathbb{R}\). Sur chaque intervalle :

• Sur \(]-\infty\,;0[\) : une primitive de \(-x\) est \(-\frac{x^2}{2}\).
• Sur \(]0\,;+\infty[\) : une primitive de \(x\) est \(\frac{x^2}{2}\).

On peut unifier ces deux expressions en une formule compacte :

Valeur absolue dans Excel : la fonction ABS()

Dans un tableur comme Excel ou Google Sheets, on calcule une valeur absolue avec la fonction ABS(). La syntaxe est simple :

=ABS(-7)       → renvoie 7
=ABS(3.5)      → renvoie 3.5
=ABS(A2 - B2)  → renvoie la distance entre les cellules A2 et B2

Cette fonction est très utilisée pour calculer des écarts, des erreurs ou des distances dans des tableaux de données. Par exemple, =ABS(note_obtenue - note_cible) donne l’écart en points entre une note et un objectif, quel que soit le sens de l’écart.

Valeur absolue en Python : la fonction abs()

En programmation Python, la valeur absolue s’obtient avec la fonction native abs() :

>>> abs(-7)
7
>>> abs(3.5)
3.5
>>> abs(-2 + 3j)  # module d'un complexe
3.605551275463989

Elle gère automatiquement les entiers, les flottants et les nombres complexes. En prépa BCPST et MPSI, il est parfois demandé de recoder cette fonction à la main à l’aide d’une structure conditionnelle if/else.

Questions fréquentes (FAQ)

Résumé : l’essentiel sur la fonction valeur absolue

Cette page fait partie de notre cours complet sur les fonctions en maths. Retrouvez également nos pages sur les fonctions de référence, la fonction inverse, la fonction carrée, ou encore la fonction affine.