25 Exercices Corrigés sur les Nombres Complexes — Terminale Maths Expertes

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur :

D’où \(z = \displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{5}{2}i\).

1. \(\bar{z} = 4 + 3i\).

2. \(|z| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\).

3. \(z \cdot \bar{z} = (4 – 3i)(4 + 3i) = 16 + 12i – 12i – 9i^2 = 16 + 9 = 25 = 5^2 = |z|^2\) ✓

Pour \(z_1 = 1 + i\) : \(|z_1| = \sqrt{2}\). On a \(\cos\theta = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) et \(\sin\theta = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\), d’où \(\mathrm{arg}(z_1) = \displaystyle\frac{\pi}{4}\).

Pour \(z_2 = -\sqrt{3} + i\) : \(|z_2| = 2\). On a \(\cos\theta = \displaystyle\frac{-\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\theta = \displaystyle\frac{1}{2}\), d’où \(\mathrm{arg}(z_2) = \displaystyle\frac{5\pi}{6}\).

Pour \(z_3 = -2i\) : \(|z_3| = 2\). On a \(\cos\theta = 0\) et \(\sin\theta = -1\), d’où \(\mathrm{arg}(z_3) = -\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

On calcule le module : \(|z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).

On détermine l’argument : \(\cos\theta = \displaystyle\frac{-1}{\sqrt{2}}\) et \(\sin\theta = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\), donc \(\theta = \displaystyle\frac{3\pi}{4}\).

D’où \(z = \sqrt{2}\left(\cos\displaystyle\frac{3\pi}{4} + i\sin\displaystyle\frac{3\pi}{4}\right)\).

Module : \(|z| = \sqrt{3 + 1} = 2\).

Argument : \(\cos\theta = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\theta = \displaystyle\frac{-1}{2}\), donc \(\theta = -\displaystyle\frac{\pi}{6}\).

D’où \(z = 2\,e^{-i\pi/6}\).

On multiplie par le conjugué du dénominateur :

D’où \(z = \displaystyle\frac{1}{5} – \displaystyle\frac{7}{5}i\).

Numérateur : \((1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i\), puis \((1 + i)^3 = (1 + i) \times 2i = 2i + 2i^2 = -2 + 2i\).

Dénominateur : \((1 – i)^2 = 1 – 2i + i^2 = -2i\).

Quotient : \(z = \displaystyle\frac{-2 + 2i}{-2i} = \displaystyle\frac{(-2 + 2i)(2i)}{(-2i)(2i)} = \displaystyle\frac{-4i + 4i^2}{4} = \displaystyle\frac{-4 – 4i}{4} = -1 – i\).

On calcule le discriminant : \(\Delta = (-4)^2 – 4 \times 13 = 16 – 52 = -36\), qui est strictement négatif.

On pose \(\Delta = -36 = (6i)^2\), d’où \(\sqrt{\Delta} = 6i\).

Les solutions sont : \(z = \displaystyle\frac{4 \pm 6i}{2}\), soit \(z_1 = 2 + 3i\) et \(z_2 = 2 – 3i\).

On vérifie que \(z_1\) et \(z_2\) sont conjugués, ce qui est attendu pour un polynôme à coefficients réels.

On cherche \(z = a + bi\) (avec \(a, b \in \mathbb{R}\)) tel que \(z^2 = 3 + 4i\).

L’identification des parties réelle et imaginaire donne le système :

• \(a^2 – b^2 = 3\)  (partie réelle)
• \(2ab = 4\)  (partie imaginaire)

On ajoute la condition sur le module : \(a^2 + b^2 = |w| = \sqrt{9 + 16} = 5\).

En additionnant \(a^2 – b^2 = 3\) et \(a^2 + b^2 = 5\) : \(2a^2 = 8\), soit \(a^2 = 4\), donc \(a = \pm 2\).

Avec \(2ab = 4\) : si \(a = 2\) alors \(b = 1\) ; si \(a = -2\) alors \(b = -1\).

Les deux racines carrées de \(3 + 4i\) sont \(2 + i\) et \(-2 – i\).

On réécrit : \(|z – (2 – i)| = 3\).

Or \(|z – z_\Omega|\) représente la distance entre \(M(z)\) et le point \(\Omega\) d’affixe \(z_\Omega = 2 – i\).

L’ensemble est donc le cercle de centre \(\Omega(2\,;\,-1)\) et de rayon \(3\).

On pose \(A\) d’affixe \(z_A = 1 + i\) et \(B\) d’affixe \(z_B = -1 – 2i\). La condition \(|z – z_A| = |z – z_B|\) signifie \(MA = MB\).

L’ensemble est la médiatrice du segment \([AB]\).

Pour obtenir l’équation cartésienne : on pose \(z = x + iy\) et on élève au carré :

En développant et simplifiant : \(-2x – 2y + 2 = 2x + 4y + 5\), soit \(4x + 6y + 3 = 0\).

Calculons les longueurs des côtés :

• \(AB = |z_B – z_A| = |2i| = 2\)
• \(BC = |z_C – z_B| = |-2| = 2\)
• \(AC = |z_C – z_A| = |-2 + 2i| = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}\)

On a \(AB = BC = 2\) : le triangle est isocèle en \(B\).

Vérifions le théorème de Pythagore : \(AB^2 + BC^2 = 4 + 4 = 8 = AC^2\).

Donc \(ABC\) est un triangle rectangle isocèle en \(B\).

Produit :

• \(|z_1 z_2| = |z_1| \times |z_2| = 2 \times 3 = 6\)
• \(\mathrm{arg}(z_1 z_2) = \displaystyle\frac{\pi}{6} + \displaystyle\frac{\pi}{4} = \displaystyle\frac{2\pi + 3\pi}{12} = \displaystyle\frac{5\pi}{12}\)

Quotient :

• \(\left|\displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right| = \displaystyle\frac{|z_1|}{|z_2|} = \displaystyle\frac{2}{3}\)
• \(\mathrm{arg}\!\left(\displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right) = \displaystyle\frac{\pi}{6} – \displaystyle\frac{\pi}{4} = \displaystyle\frac{2\pi – 3\pi}{12} = -\displaystyle\frac{\pi}{12}\)

On remplace \(z = x + iy\) :

On multiplie par le conjugué du dénominateur :

Numérateur : \(x^2 + (y-1)(y+1) + i[(y-1)x – x(y+1)] = x^2 + y^2 – 1 + i(-2x)\).

\(Z\) est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle :

L’ensemble est l’axe imaginaire (droite \(x = 0\)) privé du point \(-i\).

1. On calcule \(\vec{AB}\) et \(\vec{DC}\) :

• \(z_B – z_A = (3 + i) – (1 + 2i) = 2 – i\)
• \(z_C – z_D = (4 + 3i) – (2 + 4i) = 2 – i\)

\(\vec{AB} = \vec{DC}\), donc \(ABCD\) est un parallélogramme.

2. On calcule le vecteur \(\vec{AD}\) : \(z_D – z_A = (2 + 4i) – (1 + 2i) = 1 + 2i\).

On forme le quotient : \(\displaystyle\frac{z_D – z_A}{z_B – z_A} = \displaystyle\frac{1 + 2i}{2 – i} = \displaystyle\frac{(1 + 2i)(2 + i)}{(2 – i)(2 + i)} = \displaystyle\frac{2 + i + 4i + 2i^2}{5} = \displaystyle\frac{5i}{5} = i\)

Ce quotient vaut \(i\), dont le module est \(1\) et l’argument est \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\). Cela signifie :

• \(|AD| = |AB|\) (module 1 → même longueur)
• L’angle \((\vec{AB}, \vec{AD}) = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) (angle droit en \(A\))

Un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont égaux et forment un angle droit est un carré.

Vérification : \(1 – 3 + 7 – 5 = 0\) ✓

On factorise par \((z – 1)\). Par division euclidienne (ou identification des coefficients) :

On résout \(z^2 – 2z + 5 = 0\) :

\(\Delta = 4 – 20 = -16 = (4i)^2\), d’où \(z = \displaystyle\frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i\).

Les solutions sont \(z = 1\), \(z = 1 + 2i\) et \(z = 1 – 2i\).

1. \(z_1 = \omega = e^{i\pi/3}\),  \(z_2 = \omega^2 = e^{2i\pi/3}\),  \(z_3 = \omega^3 = e^{i\pi} = -1\).

2. On a \(|z_{n+1}| = |\omega| \times |z_n| = 1 \times |z_n| = |z_n|\). Par récurrence immédiate : \(|z_n| = |z_0| = 1\) pour tout \(n\).

3. \(\mathrm{arg}(z_{n+1}) = \mathrm{arg}(\omega) + \mathrm{arg}(z_n) = \displaystyle\frac{\pi}{3} + \mathrm{arg}(z_n)\). C’est une suite arithmétique de raison \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\) et de premier terme \(\mathrm{arg}(z_0) = 0\), donc :

4. \(z_6 = e^{6i\pi/3} = e^{2i\pi} = 1 = z_0\). La suite est périodique de période 6. Les points \(M_0, M_1, \ldots, M_5\) forment un hexagone régulier inscrit dans le cercle unité.

1. Le point invariant vérifie \(z = (1 + i)z + 1 – i\), soit \(z – (1 + i)z = 1 – i\), d’où \(-iz = 1 – i\).

\(z = \displaystyle\frac{1 – i}{-i} = \displaystyle\frac{(1 – i) \times i}{(-i) \times i} = \displaystyle\frac{i – i^2}{1} = 1 + i\). Donc \(\Omega(1 + i)\).

2. On réécrit : \(z^\prime – (1 + i) = (1 + i)(z – (1 + i))\), soit \(z^\prime – z_\Omega = a(z – z_\Omega)\) avec \(a = 1 + i\).

C’est une similitude directe de centre \(\Omega(1 + i)\), de rapport \(|a| = \sqrt{2}\) et d’angle \(\mathrm{arg}(a) = \displaystyle\frac{\pi}{4}\).

3.

• \(z_A^\prime = (1+i)(1) + 1 – i = 1 + i + 1 – i = 2\). Image de \(A\) : le point \(A^\prime(2)\).
• \(z_B^\prime = (1+i)(i) + 1 – i = i + i^2 + 1 – i = -1 + 1 = 0\). Image de \(B\) : le point \(B^\prime(0)\).

D’après la formule de Moivre : \((\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta)\).

On développe le membre de gauche (en posant \(c = \cos\theta\), \(s = \sin\theta\)) :

En séparant parties réelle et imaginaire :

Par identification :

(On a utilisé \(\sin^2\theta = 1 – \cos^2\theta\) et \(\cos^2\theta = 1 – \sin^2\theta\) pour obtenir les expressions simplifiées.)

1. On écrit \(-1 = e^{i\pi}\). Les solutions de \(z^4 = e^{i\pi}\) sont :

\(z_k = e^{i(\pi + 2k\pi)/4}\) pour \(k = 0, 1, 2, 3\)

Soit : \(z_0 = e^{i\pi/4}\),  \(z_1 = e^{i3\pi/4}\),  \(z_2 = e^{i5\pi/4}\),  \(z_3 = e^{i7\pi/4}\).

2. On regroupe les racines conjuguées : \(\{z_0, z_3\}\) et \(\{z_1, z_2\}\).

Premier facteur : \((z – z_0)(z – z_3) = z^2 – (z_0 + z_3)z + z_0 z_3\).

Or \(z_0 + z_3 = 2\cos\displaystyle\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}\) et \(z_0 z_3 = e^{i(\pi/4 + 7\pi/4)} = e^{2i\pi} = 1\).

Second facteur : \(z_1 + z_2 = 2\cos\displaystyle\frac{3\pi}{4} = -\sqrt{2}\) et \(z_1 z_2 = 1\).

D’où :

Avec la formule d’Euler : \(\cos x = \displaystyle\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\), d’où :

On développe avec la formule du binôme de Newton :

On considère la somme complexe \(T_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} e^{ik\theta}\), dont \(S_n = \mathrm{Re}(T_n)\).

C’est une somme géométrique de raison \(e^{i\theta} \neq 1\) :

On factorise numérateur et dénominateur :

• \(1 – e^{i\alpha} = -2i\sin\displaystyle\frac{\alpha}{2} \cdot e^{i\alpha/2}\)

D’où : \(T_n = \displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\displaystyle\frac{\theta}{2}} \cdot e^{in\theta/2}\)

En prenant la partie réelle :

Inégalité de droite : On développe \(|z_1 + z_2|^2\) :

Or \(\mathrm{Re}(z_1\bar{z_2}) \leq |z_1\bar{z_2}| = |z_1||z_2|\), d’où :

Par croissance de la racine carrée : \(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\).

Inégalité de gauche : On applique l’inégalité de droite à \(z_1 = (z_1 + z_2) + (-z_2)\) :

\(|z_1| \leq |z_1 + z_2| + |z_2|\), donc \(|z_1| – |z_2| \leq |z_1 + z_2|\).

Par symétrie : \(|z_2| – |z_1| \leq |z_1 + z_2|\).

D’où \(\big||z_1| – |z_2|\big| \leq |z_1 + z_2|\).

1. On remarque que \(z^5 – 1 = (z – 1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = (z – 1)P(z)\).

Donc les racines de \(P\) sont exactement les racines cinquièmes de l’unité différentes de \(1\), soit \(\omega^k\) pour \(k = 1, 2, 3, 4\) avec \(\omega = e^{2i\pi/5}\).

2. On regroupe les racines conjuguées : \(\{\omega, \omega^4 = \bar{\omega}\}\) et \(\{\omega^2, \omega^3 = \bar{\omega}^2\}\).

3. La somme des racines cinquièmes de l’unité vaut zéro : \(1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0\), d’où :

En utilisant \(\cos\displaystyle\frac{4\pi}{5} = 2\cos^2\displaystyle\frac{2\pi}{5} – 1\) dans \((\star)\) et en posant \(c = \cos\displaystyle\frac{2\pi}{5}\) :

Puisque \(\displaystyle\frac{2\pi}{5} \in \left]0, \displaystyle\frac{\pi}{2}\right[\), le cosinus est positif :

Cette valeur est liée au nombre d’or : \(\cos\displaystyle\frac{2\pi}{5} = \displaystyle\frac{\varphi – 1}{2}\) où \(\varphi = \displaystyle\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\).