Cette page est dédiée à une seule compétence : calculer efficacement un total d’une progression géométrique, en faisant attention aux indices consécutifs (et donc au nombre d’éléments). En maths, c’est un réflexe naturel dès la première : le premier réflexe consiste à écrire l’addition exactement, puis à appliquer la bonne écriture.
À savoir : si vous cherchez le cours complet en maths (définition, variations, limites, méthodes générales), allez plutôt sur la page pilier : Suite géométrique : cours et méthodes.
Pour pratiquer sur des exercices (surtout sur les indices), utilisez la page d’entraînement : problèmes et entraînement (avec solutions) ou téléchargez le PDF : PDF d’exercices (avec solutions).
Astuce : pour vérifier un résultat sur une ligne, un petit code (calculatrice ou Python) suffit souvent ; des schémas ou des vidéos peuvent aussi aider à visualiser.
Prérequis en 60 secondes (notation, indices, raison)
On considère une suite géométrique \((u_n)\) de raison \(q\) (parfois notée \(r\) dans certains manuels de maths). L’idée centrale : chaque valeur s’obtient en multipliant par \(q\).
Ici, \(q\) est un réel et les \(u_n\) sont des réels. La maîtrise des puissances, vue dès la troisième, est indispensable pour aller vite.
Notations indispensables : \(u_0\) ou \(u_1\), raison \(q\), terme général
Définition minimale (utile pour les sommes)
La suite \((u_n)\) est géométrique si \(u_{n+1}=q\,u_n\). Si la valeur initiale est \(u_0\), alors \(u_n=u_0q^n\). Si l’énoncé démarre à \(u_1\) (valeur de départ), alors \(u_n=u_1q^{n-1}\).
Dans cette page, on note souvent le total par \(S_n\). Attention : selon les auteurs, \(S_n\) peut désigner \(u_0+\cdots+u_n\) (donc \(n+1\) valeurs), ou \(u_1+\cdots+u_n\) (donc \(n\) valeurs). On va clarifier systématiquement.
Où revoir la définition et les méthodes (sans surcharger cette page)
- Pour revoir “définition + variations + limites” : page pilier : suite géométrique.
- Pour le cas voisin hors programme mais très utile en approfondissement : cas arithmético-géométrique (SAG).
- Pour comparer avec le modèle additif : version additive.
La somme géométrique “de base” : \(1+q+q^2+\dots+q^n\)
C’est la brique fondamentale. Une fois ce total maîtrisé, tous les calculs “à indices” se ramènent à une factorisation simple.
Résultat à connaître (cas \(q\ne 1\))
On pose \(S=1+q+q^2+\cdots+q^n\). Alors, si \(q\ne 1\) :
Résultat (à connaître)
\(S=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) (écriture très utilisée)
Équivalent : \(S=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\) (même valeur, parfois plus pratique selon les signes).
Démonstration claire avec \(qS-S\) (méthode attendue)
Étape 1. Écrire \(S\) et \(qS\) :
\(S=1+q+q^2+\cdots+q^n\)
\(qS=q+q^2+\cdots+q^{n+1}\)
Étape 2. Soustraire :
\(qS-S=q^{n+1}-1\)
Étape 3. Factoriser et conclure :
\(S(q-1)=q^{n+1}-1\)
Donc \(S=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\), et en multipliant numérateur et dénominateur par \(-1\) : \(S=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\).
On peut aussi déduire cette égalité par récurrence, en repartant du rang précédent ; mais la méthode \(qS-S\) est la plus rapide en une ligne sur une copie.
Cas particulier \(q=1\)
Si \(q=1\), alors \(S=1+1+\cdots+1\) (il y a \(n+1\) valeurs), donc :
\(S=n+1\)
Somme des termes d’une suite géométrique : \(u_0+u_1+\dots+u_n\)
On passe maintenant de la série \(1+q+\cdots+q^n\) au total des valeurs \(u_0,u_1,\ldots,u_n\). L’astuce : factoriser par la première valeur effectivement additionnée.
Écriture 1 : de \(u_0\) à \(u_n\) (attention au nombre de termes)
Si \(u_n=u_0q^n\), alors :
Total de \(u_0\) à \(u_n\) (donc \(n+1\) valeurs)
Si \(q\ne 1\) : \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
Si \(q=1\) : \(S_n=(n+1)u_0\)
Écriture 2 : de \(u_1\) à \(u_n\) (variante fréquente)
Si on vous donne \(u_1\) comme valeur de départ et que l’on additionne \(u_1+\cdots+u_n\), alors il y a \(n\) valeurs :
Si \(q\ne 1\) : \(u_1+u_2+\cdots+u_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q}\)
Lien explicite avec la notation \(\sum\) (lecture et pièges)
- \(u_0+u_1+\cdots+u_n=\sum_{k=0}^n u_k\)
- \(u_1+u_2+\cdots+u_n=\sum_{k=1}^n u_k\)
Réflexe “Terminale” : avant de calculer, écrivez toujours “combien de valeurs ?”.
De \(0\) à \(n\) : \(n+1\) valeurs. De \(1\) à \(n\) : \(n\) valeurs.
| Écriture | Expression | Nombre de valeurs |
|---|---|---|
| \(\sum_{k=0}^n u_k\) | \(u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) (si \(q\ne 1\)) | \(n+1\) |
| \(\sum_{k=1}^n u_k\) | \(u_1\frac{1-q^{n}}{1-q}\) (si \(q\ne 1\)) | \(n\) |
Au premier calcul, prenez l’habitude d’écrire l’addition en toutes lettres : cela sécurise les indices et le comptage des valeurs.
Somme entre deux indices : \(u_m+u_{m+1}+\dots+u_n\)
C’est le cas qui piège le plus : on n’additionne plus “depuis le début”. La clé, encore une fois : factoriser et compter le nombre de valeurs.
Expression générale (en fonction de \(u_m\), \(q\), \(n-m+1\))
Total de \(u_m\) à \(u_n\) (si \(q\ne 1\))
\(u_m+u_{m+1}+\cdots+u_n=u_m\frac{1-q^{n-m+1}}{1-q}\)
Ici, le nombre de valeurs est \(n-m+1\).
Méthode 1 : factorisation par \(u_m\) (la plus propre)
On écrit : \(u_{m+k}=u_m q^k\), donc :
\(u_m+u_{m+1}+\cdots+u_n=u_m(1+q+q^2+\cdots+q^{n-m})\)
Puis on applique le résultat de base avec \(n-m\) à la place de \(n\).
Méthode 2 : différence de deux sommes \(S_n-S_{m-1}\) (utile si vous avez déjà \(S_n\))
Si \(S_n=\sum_{k=0}^n u_k\), alors :
\(\sum_{k=m}^n u_k=S_n-S_{m-1}\)
Cette méthode est pratique quand vous avez déjà calculé un total “depuis \(u_0\)” et que l’exercice demande ensuite une addition “à partir de \(u_m\)”.
Bloc anti-erreurs (à lire avant d’appliquer une formule)
Les 4 pièges qui font perdre des points (et comment les éviter)
- Piège n°1 : confondre \(n\) et \(n+1\).
De \(u_0\) à \(u_n\) : \(n+1\) valeurs. De \(u_1\) à \(u_n\) : \(n\) valeurs. - Piège n°2 : la valeur de départ de l’addition.
L’expression doit être factorisée par la première valeur effectivement additionnée : \(u_0\), \(u_1\) ou \(u_m\). - Piège n°3 : addition de \(m\) à \(n\) → le \(+1\) est obligatoire.
Le nombre de valeurs est \(n-m+1\), donc l’exposant devient \(n-m+1\) dans \(1-q^{n-m+1}\). - Piège n°4 : cas \(q=1\).
Dans ce cas, ce n’est plus un “total géométrique” : on additionne des valeurs toutes égales.
Ne confondez pas non plus la raison \(q\) avec la raison \(r\) utilisée dans le modèle additif : ce sont deux mécanismes différents. Ces points, simples mais essentiels, c’est le premier réflexe à automatiser.
Trouver le nombre de termes (ou l’indice) quand on connaît le dernier terme
Dans beaucoup de sujets, on ne vous donne pas directement \(n\). On vous donne plutôt un “dernier rang” (par exemple \(n\)) via une valeur comme \(u_n\), puis on vous demande un total.
Retrouver \(n\) via \(u_n=u_0q^n\) (méthode standard)
Si \(u_n=u_0q^n\) avec \(u_0\) et \(q\) connus, on commence par isoler \(q^n\) :
\(q^n=\frac{u_n}{u_0}\)
Quand \(q\) > 0 (cas le plus fréquent en applications), on peut utiliser les logarithmes (option) :
\(n=\frac{\ln\left(\frac{u_n}{u_0}\right)}{\ln(q)}\)
Point méthode : dans un exercice, \(n\) est un entier.
Si le calcul donne \(n\) “non entier”, c’est un signal d’alerte : soit il y a une erreur d’interprétation (mauvaise valeur de départ, mauvais indice), soit les données ne décrivent pas exactement une progression.
Retrouver le nombre de termes entre \(u_m\) et \(u_n\)
Entre \(m\) et \(n\) inclus, le nombre de valeurs vaut :
\(N=n-m+1\)
C’est exactement ce \(N\) qui apparaît dans l’écriture sous la forme \(1-q^N\).
Option : mention “log” (sans lourdeur) + prudence
Si vous devez résoudre une équation du type \(q^n=A\) avec \(q\) > 0 et \(A\) > 0, la transformation logarithmique donne \(n=\frac{\ln(A)}{\ln(q)}\). On s’en sert surtout pour trouver un seuil (à partir de quel rang on dépasse une valeur).
Cas guidés (5–10) : du classique au “type bac”
Les cas ci-dessous sont volontairement guidés (style “prof”) et en nombre limité, pour éviter de transformer cette page en banque d’entraînement.
Exemple 1 — Calculer \(1+q+\cdots+q^n\)
Calculer \(S=1+2+2^2+2^3+2^4+2^5\).
Solution. Ici \(q=2\) et \(n=5\).
\(S=\frac{1-2^{6}}{1-2}=\frac{1-64}{-1}=63\)
Exemple 2 — Total de \(u_0\) à \(u_n\)
Progression de valeur initiale \(u_0=3\) et de raison \(q=\frac{1}{2}\). Calculer \(S_6=u_0+u_1+\cdots+u_6\).
Solution. On additionne de \(0\) à \(6\), donc \(n+1=7\) valeurs.
\(S_6=u_0\frac{1-q^{7}}{1-q}=3\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{7}}{1-\frac{1}{2}}\)
\(S_6=3\cdot 2\left(1-\frac{1}{128}\right)=6\cdot\frac{127}{128}=\frac{381}{64}\)
Exemple 3 — Somme entre deux indices \(u_m+\cdots+u_n\)
On connaît \(u_2=9\) et \(q=3\). Calculer \(u_2+u_3+\cdots+u_7\).
Solution. Factorisation par \(u_2\).
\(u_2+u_3+\cdots+u_7=u_2\left(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5\right)\)
Il y a \(7-2+1=6\) valeurs, donc l’exposant final est \(6\).
\(u_2\frac{1-3^{6}}{1-3}=9\cdot\frac{1-729}{-2}=9\cdot 364=3276\)
Exemple 4 — Variante « départ à \(u_1\) »
On a \(u_1=5\), \(q=2\). Calculer \(u_1+u_2+\cdots+u_8\).
Solution. Ici, on additionne \(n=8\) valeurs (de \(1\) à \(8\) inclus).
\(u_1+u_2+\cdots+u_8=u_1\frac{1-q^{8}}{1-q}=5\frac{1-2^8}{1-2}=5(2^8-1)=5\cdot 255=1275\)
Exemple 5 — Trouver \(n\), puis calculer le total
Progression avec \(u_0=4\) et \(q=2\). On sait que \(u_n=1024\). Calculer \(S_n=u_0+\cdots+u_n\).
Solution. D’abord \(u_n=u_0q^n\) :
\(1024=4\cdot 2^n\Rightarrow 2^n=256=2^8\Rightarrow n=8\)
Ensuite :
\(S_8=u_0\frac{1-q^{9}}{1-q}=4\frac{1-2^9}{1-2}=4(2^9-1)=4\cdot 511=2044\)
Exemple 6 — Quotient négatif : attention aux signes (sans panique)
\(u_0=1\), \(q=-2\). Calculer \(S_4=u_0+u_1+u_2+u_3+u_4\).
Solution. L’expression reste valable si \(q\ne 1\) :
\(S_4=u_0\frac{1-q^{5}}{1-q}=1\cdot\frac{1-(-2)^5}{1-(-2)}=\frac{1-(-32)}{3}=\frac{33}{3}=11\)
Exemple 7 — Type Bac : total + rédaction (propre et courte)
On définit \((u_n)\) par \(u_0=3\) et \(u_{n+1}=1{,}2\,u_n\). Calculer \(S_{10}=u_0+u_1+\cdots+u_{10}\).
Solution. La relation est de la forme \(u_{n+1}=q\,u_n\) donc la suite est géométrique de raison \(q=1{,}2\).
\(S_{10}=u_0\frac{1-q^{11}}{1-q}=3\frac{1-1{,}2^{11}}{1-1{,}2}\)
(On peut laisser la valeur sous cette forme exacte puis donner une approximation à la calculatrice si demandé.)
Pour s’entraîner sans cannibaliser cette page : retrouvez des séries d’énoncés (dont des questions centrées sur les indices) ici :
Applications “réelles” : intérêts composés / investissement (1–2 problèmes)
Les calculs de total apparaissent très naturellement en finance (capitalisation, versements réguliers). C’est un excellent terrain pour comprendre le sens des écritures.
Problème 1 — Capital qui multiplie à chaque période (rappel : ce n’est pas une somme)
Un capital de départ vaut \(C_0=1000\) euros et augmente de \(5\%\) chaque année. Alors \(C_n=C_0\cdot 1{,}05^n\).
Remarque importante : ici, on calcule une valeur \(C_n\), pas un total. Les additions arrivent quand on additionne des versements.
Problème 2 — Versements réguliers + capitalisation (vrai cumul géométrique)
Vous versez \(200\) euros à la fin de chaque année, pendant \(10\) ans. Le placement rapporte \(5\%\) par an (raison \(q=1{,}05\)). Quel capital possédez-vous juste après le 10ᵉ versement ?
Solution guidée. Le 1ᵉʳ versement capitalise \(9\) ans, le 2ᵉ \(8\) ans, …, le 10ᵉ \(0\) an.
Capital \(=200\left(1{,}05^9+1{,}05^8+\cdots+1{,}05^0\right)\)
On reconnaît une somme géométrique de base avec \(n=9\) : \(1+q+\cdots+q^9=\frac{1-q^{10}}{1-q}\).
Donc le capital vaut : \(200\cdot\frac{1-1{,}05^{10}}{1-1{,}05}\). (Puis on calcule à la calculatrice si l’énoncé demande une valeur numérique.)
Bonus : somme infinie et convergence (quand \(|q|\) < 1)
On rencontre parfois (surtout en approfondissement) l’addition infinie : \(1+q+q^2+\cdots\). Elle n’a un sens “fini” que si les valeurs deviennent très petites, c’est-à-dire si \(|q|\) < 1. Dans ce cas, la série converge.
Condition \(|q|\) < 1 et formule de somme infinie
Somme infinie (cas convergent)
Si \(|q|\) < 1, alors : \(1+q+q^2+\cdots=\frac{1}{1-q}\).
Plus généralement : \(u_0+u_1+u_2+\cdots=\frac{u_0}{1-q}\) si \((u_n)\) est géométrique et si \(|q|\) < 1.
Exemple rapide + mise en garde (lycée vs prépa)
Exemple : \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots\) est une somme infinie avec \(q=\frac{1}{2}\), et \(|q|\) < 1, donc :
\(\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2\)
On retrouve aussi cette idée pour calculer l’aire d’une figure construite par découpages successifs : on additionne des contributions de plus en plus petites.
Mise en garde : au lycée, la somme infinie est souvent un “bonus” ou une ouverture. En prépa, elle devient centrale via les séries (niveau plus exigeant).
FAQ — Somme d’une suite géométrique
Quelle expression utiliser pour le total d’une suite géométrique ?
Si vous additionnez \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) et si \(q\ne 1\), alors : \(S_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\). Le point clé est le \(n+1\) (nombre de valeurs).
Comment éviter l’erreur “\(n\) vs \(n+1\)” ?
Écrivez d’abord l’addition en toutes lettres (par exemple \(u_0+u_1+\cdots+u_n\)) puis comptez. De \(0\) à \(n\) inclus : \(n+1\) valeurs.
Quelle expression pour \(u_m+u_{m+1}+\cdots+u_n\) ?
Si \(q\ne 1\) : \(u_m+u_{m+1}+\cdots+u_n=u_m\frac{1-q^{n-m+1}}{1-q}\). Le nombre de valeurs est \(n-m+1\).
Que faire si \(q=1\) ?
Tous les termes sont égaux : \(u_0=u_1=\cdots\). Vous additionnez donc des valeurs identiques. Par exemple, \(u_0+\cdots+u_n\) vaut \((n+1)u_0\).
Comment trouver le nombre de termes à sommer entre \(m\) et \(n\) ?
Entre \(m\) et \(n\) inclus, le nombre de valeurs est \(n-m+1\). C’est ce nombre qui apparaît dans \(1-q^{n-m+1}\).
Quand l’addition infinie converge-t-elle ?
Quand \(|q|\) < 1. Dans ce cas, \(1+q+q^2+\cdots=\frac{1}{1-q}\). Sinon, l’addition n’a pas de valeur finie (elle “diverge”).
Où trouver plus d’entraînement en mathématiques pour s’automatiser ?
Pour progresser vite, faites une série d’énoncés progressifs : page d’entraînement (avec solutions) ou PDF d’entraînement (avec solutions).
Pour aller plus loin :
- Revoir le chapitre complet : suite géométrique (page pilier)
- Cas avancé : Suites arithmético-géométriques (SAG)
- Comparer avec le modèle additif : Suites arithmétiques
Si vous souhaitez un accompagnement structuré en mathématiques (méthode + rigueur + automatisation des réflexes sur les indices), c’est exactement le type de chapitre où un bon coaching fait gagner très vite des points : le calcul se maîtrise en apprenant la bonne écriture et la bonne expression, puis en s’entraînant. Vous trouverez également sur notre site de nombreux exercices comme sur les nombres premiers en arithmétique.
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