Tu dois calculer la somme des termes d’une suite géométrique et tu ne sais plus quelle formule utiliser ? Cette page t’explique tout : les formules (cas \(q \neq 1\) et \(q = 1\)), la méthode pour compter les termes sans erreur, et 7 exemples corrigés progressifs. Niveau : Première et Terminale (section bonus pour la prépa).
Navigation dans le chapitre
- Tu cherches le cours complet (définition, variations, limites) ? → Suite géométrique : cours complet
- Tu veux t’entraîner sur des exercices corrigés ? → 30 exercices corrigés sur les suites géométriques (PDF)
- Cas avancé : Suites arithmético-géométriques (SAG)
Comment utiliser cette page
- La formule rapide → Tableau des formules
- Voir tout de suite comment ça marche → 7 exemples corrigés
- Méthode détaillée pour les sommes partielles → Somme de u₀ à uₙ | Somme de uₘ à uₙ
- Ne pas perdre de points → 4 erreurs classiques
- Comprendre pourquoi la formule marche → Démonstration
- Questions fréquentes → FAQ
Formule à retenir — somme d’une suite géométrique
Pour une suite géométrique \((u_n)\) de raison \(q\) et de premier terme \(u_0\), on note \(S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n\) la somme des \(n+1\) premiers termes.
Si \(q \ne 1\) :
\(\displaystyle S_n = u_0 \, \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\)
Cas particulier \(q = 1\) : tous les termes valent \(u_0\), donc \(S_n = (n+1) \, u_0\).
Démonstration, variantes (\(u_m\) à \(u_n\), notation \(\sum\)), exemples type Bac et pièges : tout est détaillé plus bas.
Variantes d’écriture fréquentes : « somme geometrique » (sans accent), « série géométrique » (cas infini), « formule somme suite geo » — elles renvoient toutes à la formule ci-dessus.
Formule de la somme d’une suite géométrique
Avant d’appliquer les formules, un rappel rapide des notations.
Prérequis : notation, indices, raison
Rappel — Suite géométrique
La suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) si \(u_{n+1} = q \, u_n\).
- Si le premier terme est \(u_0\) : \(u_n = u_0 \, q^n\)
- Si le premier terme est \(u_1\) : \(u_n = u_1 \, q^{n-1}\)
Dans cette page, on note le total \(S_n\). Attention : selon les auteurs, \(S_n\) peut désigner \(u_0 + \cdots + u_n\) (donc \(n+1\) termes) ou \(u_1 + \cdots + u_n\) (donc \(n\) termes). On clarifie systématiquement.
Tableau récapitulatif : toutes les formules
| Somme | Formule (\(q \neq 1\)) | Formule (\(q = 1\)) | Nombre de termes |
|---|---|---|---|
| \(1 + q + q^2 + \cdots + q^n\) | \(\displaystyle\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\) | \(n + 1\) | \(n + 1\) |
| \(u_0 + u_1 + \cdots + u_n\) | \(u_0 \displaystyle\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\) | \((n+1) \, u_0\) | \(n + 1\) |
| \(u_1 + u_2 + \cdots + u_n\) | \(u_1 \displaystyle\frac{1 – q^{n}}{1 – q}\) | \(n \, u_1\) | \(n\) |
| \(u_m + u_{m+1} + \cdots + u_n\) | \(u_m \displaystyle\frac{1 – q^{n-m+1}}{1 – q}\) | \((n – m + 1) \, u_m\) | \(n – m + 1\) |
Réflexe obligatoire : avant de calculer, écris toujours « combien de termes ? ». De \(0\) à \(n\) : \(n+1\) termes. De \(m\) à \(n\) : \(n – m + 1\) termes. C’est l’erreur n°1 en contrôle.
La somme géométrique de base : \(1 + q + q^2 + \cdots + q^n\)
C’est la brique fondamentale. Une fois ce résultat maîtrisé, tous les calculs « à indices » se ramènent à une factorisation simple.
Résultat (à connaître par cœur)
Si \(q \neq 1\) :
\(1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \displaystyle\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\)
Écriture équivalente : \(\displaystyle\frac{q^{n+1} – 1}{q – 1}\) (parfois plus pratique selon les signes).
Exemple rapide — Calculer \(S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5\).
Ici \(q = 2\) et \(n = 5\). On applique directement :
\(S = \displaystyle\frac{1 – 2^{6}}{1 – 2} = \displaystyle\frac{1 – 64}{-1} = 63\)
Exemples corrigés pas à pas
Voici 7 exemples progressifs, du calcul direct au sujet type Bac. Chacun détaille la démarche complète.
Exemple 1 — Somme de \(u_0\) à \(u_n\)
Suite géométrique de premier terme \(u_0 = 3\) et de raison \(q = \displaystyle\frac{1}{2}\). Calculer \(S_6 = u_0 + u_1 + \cdots + u_6\).
Solution. On somme de \(0\) à \(6\), donc \(n + 1 = 7\) termes.
\(S_6 = u_0 \displaystyle\frac{1 – q^{7}}{1 – q} = 3 \cdot \displaystyle\frac{1 – \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{7}}{1 – \displaystyle\frac{1}{2}}\)
\(S_6 = 3 \cdot 2 \left(1 – \displaystyle\frac{1}{128}\right) = 6 \cdot \displaystyle\frac{127}{128} = \displaystyle\frac{381}{64}\)
Exemple 2 — Somme entre deux indices \(u_m + \cdots + u_n\)
On connaît \(u_2 = 9\) et \(q = 3\). Calculer \(u_2 + u_3 + \cdots + u_7\).
Solution. Factorisation par \(u_2\).
\(u_2 + u_3 + \cdots + u_7 = u_2 (1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5)\)
Il y a \(7 – 2 + 1 = 6\) termes, donc l’exposant final est \(6\).
\(u_2 \displaystyle\frac{1 – 3^{6}}{1 – 3} = 9 \cdot \displaystyle\frac{1 – 729}{-2} = 9 \cdot 364 = 3\,276\)
Exemple 3 — Variante « départ à \(u_1\) »
On a \(u_1 = 5\), \(q = 2\). Calculer \(u_1 + u_2 + \cdots + u_8\).
Solution. On somme \(8\) termes (de \(1\) à \(8\) inclus).
\(u_1 + u_2 + \cdots + u_8 = u_1 \displaystyle\frac{1 – q^{8}}{1 – q} = 5 \cdot \displaystyle\frac{1 – 2^8}{1 – 2} = 5(2^8 – 1) = 5 \cdot 255 = 1\,275\)
Exemple 4 — Trouver \(n\), puis calculer la somme
Suite géométrique avec \(u_0 = 4\) et \(q = 2\). On sait que \(u_n = 1\,024\). Calculer \(S_n = u_0 + \cdots + u_n\).
Solution. D’abord, on trouve \(n\) :
\(1\,024 = 4 \cdot 2^n \Rightarrow 2^n = 256 = 2^8 \Rightarrow n = 8\)
Ensuite :
\(S_8 = u_0 \displaystyle\frac{1 – q^{9}}{1 – q} = 4 \cdot \displaystyle\frac{1 – 2^9}{1 – 2} = 4(2^9 – 1) = 4 \cdot 511 = 2\,044\)
Exemple 5 — Raison négative : attention aux signes
\(u_0 = 1\), \(q = -2\). Calculer \(S_4 = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4\).
Solution. La formule reste valable pour tout \(q \neq 1\) :
\(S_4 = u_0 \displaystyle\frac{1 – q^{5}}{1 – q} = 1 \cdot \displaystyle\frac{1 – (-2)^5}{1 – (-2)} = \displaystyle\frac{1 – (-32)}{3} = \displaystyle\frac{33}{3} = 11\)
Exemple 6 — Type Bac : somme + rédaction complète
On définit \((u_n)\) par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = 1{,}2 \, u_n\). Calculer \(S_{10} = u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}\).
Solution. La relation \(u_{n+1} = q \, u_n\) montre que la suite est géométrique de raison \(q = 1{,}2\).
\(S_{10} = u_0 \displaystyle\frac{1 – q^{11}}{1 – q} = 3 \cdot \displaystyle\frac{1 – 1{,}2^{11}}{1 – 1{,}2}\)
(On peut laisser la valeur sous cette forme exacte, puis donner une approximation à la calculatrice si l’énoncé le demande.)
Calculer la somme de \(u_0\) à \(u_n\)
On passe maintenant au détail de la méthode pour les deux écritures les plus fréquentes en énoncé. L’astuce : factoriser par le premier terme effectivement sommé.
Écriture 1 : de \(u_0\) à \(u_n\) (\(n+1\) termes)
Somme de \(u_0\) à \(u_n\)
Si \(q \neq 1\) : \(S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \displaystyle\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\)
Si \(q = 1\) : \(S_n = (n+1) \, u_0\)
Écriture 2 : de \(u_1\) à \(u_n\) (variante fréquente)
Si l’énoncé donne \(u_1\) comme premier terme et que l’on somme \(u_1 + \cdots + u_n\), il y a \(n\) termes :
Si \(q \neq 1\) : \(u_1 + u_2 + \cdots + u_n = u_1 \displaystyle\frac{1 – q^{n}}{1 – q}\)
Lien avec la notation \(\sum\)
- \(u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \sum_{k=0}^{n} u_k\)
- \(u_1 + u_2 + \cdots + u_n = \sum_{k=1}^{n} u_k\)
Calculer la somme de \(u_m\) à \(u_n\)
C’est le cas qui piège le plus : on ne somme plus « depuis le début ». La clé, encore une fois : factoriser et compter le nombre de termes.
Formule générale
Somme de \(u_m\) à \(u_n\) (si \(q \neq 1\))
\(u_m + u_{m+1} + \cdots + u_n = u_m \displaystyle\frac{1 – q^{n-m+1}}{1 – q}\)
Nombre de termes : \(n – m + 1\).
Méthode 1 : factorisation par \(u_m\) (la plus propre)
On écrit \(u_{m+k} = u_m \, q^k\), donc :
\(u_m + u_{m+1} + \cdots + u_n = u_m (1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-m})\)
Puis on applique la formule de base avec \(n – m\) à la place de \(n\).
Méthode 2 : différence de deux sommes \(S_n – S_{m-1}\)
Si \(S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k\), alors :
\(\sum_{k=m}^{n} u_k = S_n – S_{m-1}\)
Cette méthode est pratique quand tu as déjà calculé un total depuis \(u_0\) et que l’exercice demande ensuite une somme partielle à partir de \(u_m\).
Éviter les 4 erreurs classiques
Les 4 pièges qui font perdre des points (et comment les éviter)
- Piège n°1 : confondre \(n\) et \(n+1\). De \(u_0\) à \(u_n\) : \(n+1\) termes. De \(u_1\) à \(u_n\) : \(n\) termes.
- Piège n°2 : le premier terme de la somme. La formule doit être factorisée par le premier terme effectivement sommé : \(u_0\), \(u_1\) ou \(u_m\).
- Piège n°3 : somme de \(m\) à \(n\) → le « +1 » est obligatoire. Le nombre de termes est \(n – m + 1\), donc l’exposant dans la formule est \(n – m + 1\).
- Piège n°4 : oublier le cas \(q = 1\). Dans ce cas, ce n’est plus une « somme géométrique » : tous les termes sont égaux.
Ne confonds pas non plus la raison \(q\) d’une suite géométrique avec la raison \(r\) d’une suite arithmétique : multiplication vs addition.
Trouver le nombre de termes
Dans beaucoup de sujets, on ne te donne pas directement \(n\). On te donne une valeur \(u_n\), puis on demande un total.
Retrouver \(n\) via \(u_n = u_0 \, q^n\)
On isole \(q^n\) :
\(q^n = \displaystyle\frac{u_n}{u_0}\)
Quand \(q\) > \(0\), on peut passer au logarithme :
\(n = \displaystyle\frac{\ln\left(\displaystyle\frac{u_n}{u_0}\right)}{\ln(q)}\)
Point méthode : dans un exercice, \(n\) est un entier. Si le calcul donne un résultat non entier, c’est un signal d’alerte : vérifie les indices et les données de l’énoncé.
Nombre de termes entre \(u_m\) et \(u_n\)
Entre \(m\) et \(n\) inclus, le nombre de termes vaut \(N = n – m + 1\). C’est ce \(N\) qui apparaît dans \(1 – q^N\).
Démontrer la formule de la somme
La méthode \(qS – S\) est la démonstration la plus rapide et celle attendue au Bac. Si tu veux comprendre pourquoi la formule fonctionne, déplie la preuve ci-dessous.
Voir la démonstration (méthode \(qS – S\))
Étape 1. Écrire \(S\) et \(qS\) :
\(S = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n\)
\(qS = q + q^2 + \cdots + q^{n+1}\)
Étape 2. Soustraire :
\(qS – S = q^{n+1} – 1\)
Étape 3. Factoriser et conclure :
\(S(q – 1) = q^{n+1} – 1\)
Donc \(S = \displaystyle\frac{q^{n+1} – 1}{q – 1}\), et en multipliant numérateur et dénominateur par \(-1\) : \(S = \displaystyle\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\).
On peut aussi établir cette égalité par récurrence, mais la méthode \(qS – S\) est la plus rapide en une ligne sur une copie. C’est celle qui est attendue au Bac.
Cas particulier \(q = 1\) : tous les termes valent 1, donc \(S = 1 + 1 + \cdots + 1 = n + 1\).
Appliquer la formule : intérêts composés et versements
Les sommes de suites géométriques apparaissent naturellement en finance (capitalisation, versements réguliers). C’est un terrain idéal pour donner du sens aux formules.
Problème 1 — Capital qui se multiplie à chaque période
Un capital de départ vaut \(C_0 = 1\,000\) euros et augmente de \(5\%\) chaque année. Alors \(C_n = C_0 \cdot 1{,}05^n\).
Remarque : ici, on calcule une valeur \(C_n\), pas une somme. Les sommes interviennent quand on cumule des versements.
Problème 2 — Versements réguliers + capitalisation
Tu verses \(200\) euros à la fin de chaque année, pendant \(10\) ans. Le placement rapporte \(5\%\) par an (raison \(q = 1{,}05\)). Quel capital possèdes-tu juste après le 10ᵉ versement ?
Solution guidée. Le 1ᵉʳ versement capitalise \(9\) ans, le 2ᵉ \(8\) ans, …, le 10ᵉ \(0\) an.
Capital \(= 200 (1{,}05^9 + 1{,}05^8 + \cdots + 1{,}05^0)\)
On reconnaît une somme géométrique de base avec \(n = 9\) :
Capital \(= 200 \cdot \displaystyle\frac{1 – 1{,}05^{10}}{1 – 1{,}05}\)
(Puis on calcule à la calculatrice si l’énoncé demande une valeur numérique.)
Calculer une somme infinie (série géométrique)
On rencontre parfois (en approfondissement ou en prépa) la somme infinie : \(1 + q + q^2 + \cdots\). Elle n’a une valeur finie que si les termes deviennent très petits, c’est-à-dire si \(|q|\) < \(1\).
Condition de convergence et formule
Somme infinie (série géométrique convergente)
Si \(|q|\) < \(1\), alors :
\(1 + q + q^2 + \cdots = \displaystyle\frac{1}{1 – q}\)
Plus généralement : \(u_0 + u_1 + u_2 + \cdots = \displaystyle\frac{u_0}{1 – q}\) si \((u_n)\) est géométrique et \(|q|\) < \(1\).
Exemple rapide
\(1 + \displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{4} + \displaystyle\frac{1}{8} + \cdots\) est une série géométrique avec \(q = \displaystyle\frac{1}{2}\), donc :
\(\displaystyle\frac{1}{1 – \displaystyle\frac{1}{2}} = 2\)
| Type | Condition | Formule |
|---|---|---|
| Somme finie (\(n+1\) termes) | \(q \neq 1\) | \(\displaystyle\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\) |
| Somme infinie (série convergente) | \(|q|\) < \(1\) | \(\displaystyle\frac{1}{1 – q}\) |
On retrouve aussi cette idée pour calculer l’aire d’une figure construite par découpages successifs : on somme des contributions de plus en plus petites.
Lycée vs prépa : au lycée, la somme infinie est souvent un bonus ou une ouverture. En prépa (MPSI, PCSI…), elle devient centrale via les séries numériques.
Exercices corrigés — Suites géométriques (PDF)
Séries d’exercices progressifs avec corrections détaillées. Raison, terme général, somme et applications.
📄 Télécharger les exercices (PDF)
Format A4, idéal pour réviser sur papier.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de la somme d'une suite géométrique ?
Si tu sommes \(S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n\) et si \(q \neq 1\), alors : \(S_n = u_0 \displaystyle\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\). Le point clé est le \(n + 1\) à l’exposant (nombre de termes).
Comment calculer la somme d'une suite géométrique ?
Trois étapes : (1) identifier le premier terme sommé et la raison \(q\), (2) compter le nombre de termes (de \(0\) à \(n\) → \(n+1\) termes), (3) appliquer la formule \(\text{premier terme} \times \displaystyle\frac{1 – q^{\text{nb termes}}}{1 – q}\). Pense toujours à vérifier que \(q \neq 1\) avant d’appliquer.
Comment éviter l'erreur n vs n+1 ?
Écris d’abord la somme en toutes lettres (par exemple \(u_0 + u_1 + \cdots + u_n\)), puis compte les termes. De \(0\) à \(n\) inclus : \(n + 1\) termes.
Comment calculer la somme de u_m à u_n ?
Si \(q \neq 1\) : \(u_m + u_{m+1} + \cdots + u_n = u_m \displaystyle\frac{1 – q^{n-m+1}}{1 – q}\). Le nombre de termes est \(n – m + 1\).
Comment démontrer la formule de la somme d'une suite géométrique ?
On utilise la méthode \(qS – S\) : on écrit \(S = 1 + q + \cdots + q^n\), puis \(qS = q + q^2 + \cdots + q^{n+1}\). En soustrayant, presque tous les termes s’annulent et on obtient \(S(q – 1) = q^{n+1} – 1\), soit \(S = \displaystyle\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\).
Que vaut la somme d'une suite géométrique quand q = 1 ?
Tous les termes sont égaux. Par exemple, \(u_0 + \cdots + u_n = (n+1) \, u_0\). Pas besoin de formule géométrique : c’est une simple multiplication.
Quand la somme infinie d'une suite géométrique converge-t-elle ?
Quand \(|q|\) < \(1\). Dans ce cas, \(u_0 + u_1 + u_2 + \cdots = \displaystyle\frac{u_0}{1 – q}\). Sinon, la somme diverge (pas de valeur finie).
Quelle est la différence entre somme finie et série géométrique ?
La somme finie additionne un nombre précis de termes (de \(u_0\) à \(u_n\)). La série géométrique est la somme infinie \(u_0 + u_1 + u_2 + \cdots\), qui n’a de valeur finie que si \(|q|\) < \(1\).
Où trouver des exercices corrigés sur la somme d'une suite géométrique ?
Retrouve des exercices progressifs (dont des questions centrées sur les indices et les sommes) sur la page d’exercices corrigés sur les suites géométriques ou télécharge le PDF d’exercices corrigés.
Pour aller plus loin
Liens utiles
- Revoir le chapitre complet : Suite géométrique : cours complet (définition, formule, terme général)
- S’entraîner : 30 exercices corrigés sur les suites géométriques (PDF)
- Cas avancé : Suites arithmético-géométriques (SAG) : méthode et exercices
- Comparer avec le modèle additif : Suites arithmétiques et Somme d’une suite arithmétique
Tu veux progresser plus vite en maths ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour la Terminale : un accompagnement structuré avec un professeur diplômé de Polytechnique, Centrale ou Mines.
