Fonctions trigonométriques : cours, dérivées, variations et exercices corrigés

Les fonctions trigonométriques — sinus, cosinus et tangente — sont au cœur du programme de Terminale et reviennent systématiquement en DS, au bac et dans les concours. Résolution d’équations, lecture de courbes, phénomènes périodiques : impossible de les éviter. L’objectif de cette page : te donner un cours complet et rigoureux sur sin, cos et tan, avec des méthodes fiables et des exercices corrigés progressifs, de la Première jusqu’à la Prépa.

Si tu veux revoir le cadre général (vocabulaire, lecture graphique, méthodes transversales), commence par le cours complet sur les fonctions en maths.

Quelles sont les fonctions trigonométriques ? (sin, cos, tan)

Quand on parle de fonction trigonométrique en Terminale, on désigne presque toujours les trois fonctions « à 3 lettres » :

• sin — la fonction sinus, notée \(\sin(x)\)
• cos — la fonction cosinus, notée \(\cos(x)\)
• tan — la fonction tangente, notée \(\tan(x)\)

On peut voir \(\sin\) et \(\cos\) comme des fonctions qui transforment un réel \(x\) en un nombre compris entre \(-1\) et \(1\) :

• \(\sin : \mathbb{R} \to [-1,\,1]\)
• \(\cos : \mathbb{R} \to [-1,\,1]\)

La tangente se définit comme le quotient :

\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)  (à condition que \(\cos(x) \neq 0\)).

Ensembles de définition : sin et cos sur ℝ, tan et ses exclusions

• Sinus et cosinus sont définis pour tout réel : \(D_{\sin} = D_{\cos} = \mathbb{R}\).
• Tangente n’est pas définie quand \(\cos(x) = 0\), c’est-à-dire pour \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\). Son ensemble de définition est donc \(D_{\tan} = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Cercle trigonométrique : lire sin(x) et cos(x) sans se tromper

Le cercle trigonométrique est l’outil fondamental pour comprendre les fonctions trigonométriques. C’est un cercle de rayon 1, centré à l’origine, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (sens trigonométrique direct).

Enroulement de la droite des réels

Le principe est simple : imagine la droite des réels posée verticalement, tangente au cercle au point \(A(1,\,0)\). On « enroule » cette droite autour du cercle :

• Le réel \(0\) est au point \(A\).
• Un réel \(x\) positif se « plaque » sur le cercle dans le sens direct (anti-horaire). L’arc parcouru depuis \(A\) a pour longueur \(x\).
• Un réel \(x\) négatif se « plaque » dans le sens horaire.
• Deux réels dont la différence est un multiple de \(2\pi\) aboutissent au même point du cercle.

Le point d’arrivée \(M(x)\) a pour coordonnées \(\bigl(\cos(x),\,\sin(x)\bigr)\). C’est cette correspondance qui définit les fonctions sinus et cosinus.

Quadrants : signes de sin et cos (méthode fiable)

Une fois l’angle placé sur le cercle, le signe de \(\sin(x)\) et \(\cos(x)\) est immédiat :

• \(\cos(x)\) = abscisse du point : positif à droite de l’axe vertical, négatif à gauche.
• \(\sin(x)\) = ordonnée du point : positif en haut de l’axe horizontal, négatif en bas.

Valeurs remarquables de sin, cos et tan

Ces valeurs sont à connaître par cœur. Elles reviennent dans quasiment tous les exercices sur les fonctions trigonométriques.

Convertir degrés ↔ radians

Le point-clé : \(\pi\) radians = \(180°\). Donc :

• degrés → radians : multiplier par \(\frac{\pi}{180}\)
• radians → degrés : multiplier par \(\frac{180}{\pi}\)

Propriétés essentielles de sin, cos et tan

Périodicité : sin et cos (2π), tan (π)

Les fonctions trigonométriques sont périodiques :

• \(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\) — période \(2\pi\)
• \(\cos(x + 2\pi) = \cos(x)\) — période \(2\pi\)
• \(\tan(x + \pi) = \tan(x)\) — période \(\pi\)

Conséquence pratique : pour résoudre une équation ou étudier une courbe, tu peux souvent te limiter à une période (par exemple \([0,\,2\pi]\) pour sin et cos, ou \(\left]-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right[\) pour tan), puis « répéter » par périodicité.

Parité et symétries : sin impaire, cos paire, tan impaire

• \(\sin(-x) = -\sin(x)\) — la fonction sinus est impaire (symétrie par rapport à l’origine)
• \(\cos(-x) = \cos(x)\) — la fonction cosinus est paire (symétrie par rapport à l’axe des ordonnées)
• \(\tan(-x) = -\tan(x)\) — la fonction tangente est impaire

Pour la théorie générale sur la parité et les symétries de courbes, consulte notre page fonctions paires et impaires.

Encadrement de sin et cos : toujours entre −1 et 1

Sur le cercle trigonométrique, l’ordonnée et l’abscisse sont toujours comprises entre \(-1\) et \(1\). Donc pour tout réel \(x\) :

\(-1 \leq \sin(x) \leq 1\)  et  \(-1 \leq \cos(x) \leq 1\).

En pratique : si tu dois résoudre \(\sin(x) = a\) et que \(a\) est strictement supérieur à \(1\) ou strictement inférieur à \(-1\), alors il n’y a aucune solution.

Relation fondamentale et identités utiles

Zéros des fonctions trigonométriques

• \(\sin(x) = 0\) si et seulement si \(x = k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)
• \(\cos(x) = 0\) si et seulement si \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)
• \(\tan(x) = 0\) si et seulement si \(x = k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)

Fonction tangente : définition complète, courbe et asymptotes

La fonction tangente est souvent moins bien maîtrisée que sin et cos, alors qu’elle est incontournable en Terminale spécialité, en maths expertes et en Prépa.

Rappel : définition et ensemble de définition

\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\), définie sur \(\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Propriétés de la tangente

• Impaire : \(\tan(-x) = -\tan(x)\)
• Période \(\pi\) : \(\tan(x + \pi) = \tan(x)\)
• Non bornée : contrairement à sin et cos, la tangente peut prendre n’importe quelle valeur réelle.

On étudie donc la tangente sur l’intervalle \(\left]-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right[\), puis on étend par périodicité.

Courbe et asymptotes verticales

La courbe de la fonction tangente présente des asymptotes verticales en chaque valeur interdite \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\). Entre deux asymptotes consécutives, la courbe est strictement croissante (on le démontrera dans la section sur les variations).

Aux bornes de \(\left]-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right[\) :

• quand \(x \to -\frac{\pi}{2}^+\), \(\tan(x) \to -\infty\)
• quand \(x \to \frac{\pi}{2}^-\), \(\tan(x) \to +\infty\)

Dérivées des fonctions trigonométriques

Les fonctions sin, cos et tan sont dérivables sur leur domaine de définition. Connaître leurs dérivées est indispensable pour étudier leurs variations, résoudre des problèmes d’optimisation ou calculer des intégrales. Pour revoir la méthode générale, consulte notre page sur le calcul de dérivées pas à pas.

Dérivées de sin, cos et tan

Tu retrouveras ces résultats dans notre tableau des dérivées usuelles.

Dérivées de sin(u), cos(u), tan(u)

Lorsque l’argument est une fonction \(u\) dérivable (et non simplement \(x\)), on applique la règle de dérivation en chaîne :

• \((\sin(u))’ = u’ \times \cos(u)\)
• \((\cos(u))’ = -u’ \times \sin(u)\)
• \((\tan(u))’ = u’ \times (1 + \tan^2(u)) = \frac{u’}{\cos^2(u)}\)

Primitives des fonctions trigonométriques

Ces résultats sont nécessaires dès le calcul intégral (Terminale et Prépa).

Variations des fonctions sin, cos et tan

Les tableaux de variation des fonctions trigonométriques se déduisent directement du signe de leur dérivée.

Tableau de variations de sinus sur [−π ; π]

La dérivée de sinus est \(\sin'(x) = \cos(x)\). En étudiant le signe de \(\cos(x)\) et en utilisant l’imparité de la fonction sinus, on obtient le tableau de variation complet sur \([-\pi,\,\pi]\) :

On étend ensuite à \(\mathbb{R}\) par \(2\pi\)-périodicité.

Tableau de variations de cosinus sur [−π ; π]

La dérivée de cosinus est \(\cos'(x) = -\sin(x)\). En utilisant la parité de la fonction cosinus, on obtient le tableau de variation complet sur \([-\pi,\,\pi]\) :

Tableau de variations de tangente sur ]−π/2 ; π/2[

On a \(\tan'(x) = 1 + \tan^2(x)\), qui est strictement positif pour tout \(x\) du domaine. La fonction tangente est donc strictement croissante sur chaque intervalle \(\left]-\frac{\pi}{2} + k\pi,\,\frac{\pi}{2} + k\pi\right[\).

Courbes de sin(x) et cos(x)

Voici les courbes de \(\sin(x)\) et \(\cos(x)\) tracées sur \([-2\pi,\,2\pi]\). On retrouve la périodicité (\(2\pi\)), l’amplitude (entre \(-1\) et \(1\)) et le décalage de \(\frac{\pi}{2}\) entre les deux courbes : \(\cos(x) = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\).

Méthode : réduire le domaine d’étude

Limites remarquables des fonctions trigonométriques

Trois limites classiques sont à connaître. Elles sont omniprésentes dans les exercices de Terminale et les sujets de concours.

La première est la plus importante. Elle se démontre géométriquement par encadrement de l’aire d’un secteur circulaire. En Terminale, elle est souvent admise puis utilisée comme outil de calcul.

Rappelons aussi que les fonctions sinus et cosinus n’ont pas de limite en \(+\infty\) et \(-\infty\) : elles oscillent indéfiniment entre \(-1\) et \(1\).

Équations et inéquations trigonométriques : méthode fiable

La résolution d’équations trigonométriques est un classique du bac. La clé est de toujours se ramener à des formes canoniques, puis d’utiliser le cercle trigonométrique pour trouver toutes les solutions.

Résoudre cos(x) = cos(a) et sin(x) = sin(a)

Résoudre tan(x) = tan(a)

Inéquations trigonométriques : méthode avec le cercle

Pour résoudre une inéquation trigonométrique sur un intervalle donné :

1. résous d’abord l’équation associée (pour trouver les bornes) ;
2. reporte les solutions sur le cercle trigonométrique ;
3. identifie la zone du cercle qui satisfait l’inégalité ;
4. déduis l’ensemble des solutions sur l’intervalle demandé.

Fonctions sinusoïdales : f(x) = a·sin(bx + c) + d

En physique comme en mathématiques, on rencontre souvent des fonctions de la forme \(f(x) = a\sin(bx + c) + d\) (ou avec cos). Ce sont les fonctions sinusoïdales, qui modélisent les phénomènes périodiques : signaux, ondes, oscillations, courant alternatif.

Paramètres d’une fonction sinusoïdale et leur effet

Retrouver (a, b, c, d) à partir d’un graphe

Exercices corrigés sur les fonctions trigonométriques

Voici 10 exercices progressifs sur les fonctions trigonométriques. Tente de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction.

Exercice 1 — Valeurs remarquables

Énoncé. Calculer les valeurs exactes de \(\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)\), \(\cos(\pi)\) et \(\tan\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)\).

Voir la correction

À partir du tableau des valeurs remarquables :

• \(\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\)
• \(\cos(\pi) = -1\)
• \(\frac{3\pi}{4}\) est en quadrant II : \(\sin\!\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), donc \(\tan\!\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = -1\).

Exercice 2 — Signes selon le quadrant

Énoncé. Donner le signe de \(\sin(x)\) et \(\cos(x)\) pour \(x = \frac{5\pi}{6}\) et \(x = \frac{7\pi}{4}\).

Voir la correction

• \(\frac{5\pi}{6}\) est en quadrant II : \(\sin(x)\) positif, \(\cos(x)\) négatif.
• \(\frac{7\pi}{4}\) est en quadrant IV : \(\sin(x)\) négatif, \(\cos(x)\) positif.

Exercice 3 — Degrés ↔ radians

Énoncé. Convertir \(210°\) en radians, puis déterminer \(\cos(210°)\) et \(\sin(210°)\).

Voir la correction

\(210° = 210 \times \frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{6}\).

\(\frac{7\pi}{6}\) est en quadrant III, avec angle de référence \(\frac{\pi}{6}\) :

• \(\cos\!\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\sin\!\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\)

Exercice 4 — Périodicité (simplifier)

Énoncé. Simplifier : \(\sin(x + 4\pi)\), \(\cos(x – 2\pi)\), \(\tan(x + 3\pi)\).

Voir la correction

• \(\sin(x + 4\pi) = \sin(x)\) car \(4\pi = 2 \times 2\pi\).
• \(\cos(x – 2\pi) = \cos(x)\).
• \(\tan(x + 3\pi) = \tan(x)\) car \(3\pi = 3 \times \pi\) et la période de tan est \(\pi\).

Exercice 5 — Résoudre une équation en sinus

Énoncé. Résoudre \(\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) sur \(\mathbb{R}\) puis sur \([0,\,2\pi]\).

Voir la correction

On sait que \(\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Les solutions sur \(\mathbb{R}\) sont :

• \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\)
• \(x = \pi – \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)

Sur \([0,\,2\pi]\) : \(x \in \left\{\frac{\pi}{3},\,\frac{2\pi}{3}\right\}\).

Exercice 6 — Résoudre une équation en cosinus

Énoncé. Résoudre \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\) sur \([0,\,2\pi]\).

Voir la correction

L’angle de référence est \(\frac{\pi}{3}\) (car \(\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\)). Le cosinus est négatif en quadrants II et III.

Sur \([0,\,2\pi]\) : \(x \in \left\{\frac{2\pi}{3},\,\frac{4\pi}{3}\right\}\).

Exercice 7 — Tangente et domaine

Énoncé. Résoudre \(\tan(x) = 1\) sur \(\mathbb{R}\).

Voir la correction

On sait que \(\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\). La période de tan est \(\pi\), donc :

\(x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\).

Vérification rapide : ces solutions ne coïncident jamais avec \(\frac{\pi}{2} + k\pi\) (valeurs interdites de la tangente).

Exercice 8 — Paramètres d’une fonction sinusoïdale

Énoncé. Soit \(f(x) = 3\cos(2x – \pi) + 1\). Donner l’amplitude, la période, l’axe médian et l’ensemble des valeurs de \(f(x)\).

Voir la correction

• Amplitude : \(|a| = 3\).
• Période : \(T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi\).
• Axe médian : \(y = 1\).
• \(\cos\) varie entre \(-1\) et \(1\), donc \(3\cos(2x – \pi)\) entre \(-3\) et \(3\), et \(f(x)\) entre \(-2\) et \(4\).

Exercice 9 — Inéquation type bac

Énoncé. Résoudre \(\sin(x) \geq \frac{1}{2}\) sur \([0,\,2\pi]\).

Voir la correction

On résout d’abord \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) : les solutions sont \(x = \frac{\pi}{6}\) et \(x = \frac{5\pi}{6}\).

Entre ces deux valeurs (en quadrants I et II), le sinus est au-dessus de \(\frac{1}{2}\).

Solution : \(x \in \left[\frac{\pi}{6},\,\frac{5\pi}{6}\right]\).

Exercice 10 — Limite et étude de fonction (avancé)

Énoncé. Soit \(f(x) = x – \sin(x)\) définie sur \(\mathbb{R}\).

1. Montrer que \(f\) est impaire.
2. Étudier le signe de \(f'(x)\) et en déduire les variations de \(f\).
3. Calculer \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\).

Voir la correction

1) Parité : \(f(-x) = -x – \sin(-x) = -x + \sin(x) = -(x – \sin(x)) = -f(x)\). La fonction est impaire.

2) Dérivée : \(f'(x) = 1 – \cos(x)\). Or \(\cos(x) \leq 1\) pour tout \(x\), donc \(f'(x) \geq 0\). De plus \(f'(x) = 0 \iff \cos(x) = 1 \iff x = 2k\pi\). La fonction est croissante sur \(\mathbb{R}\).

3) Limites : \(f(x) = x – \sin(x) \geq x – 1\), et \(x – 1 \to +\infty\) quand \(x \to +\infty\). Donc \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

La courbe « suit » la droite \(y = x\) en oscillant autour d’elle, sans jamais la recouper sauf en \(x = 0\).

Pour aller plus loin : fonctions réciproques (arcsin, arccos, arctan)

En classes préparatoires et en licence, on définit les fonctions trigonométriques réciproques. Pour qu’une fonction admette une réciproque, elle doit être bijective — ce qui n’est pas le cas de sin, cos et tan sur \(\mathbb{R}\) entier (elles sont périodiques). On les restreint donc à un intervalle sur lequel elles sont strictement monotones. Pour la théorie générale, consulte notre page fonction réciproque.

FAQ : fonctions trigonométriques

Liens utiles dans le cocon Fonctions

• Cadre général : Fonctions en maths — cours complet
• Domaine de définition (utile avec tan et les composées) : Ensemble de définition d’une fonction
• Symétries et parité : Fonctions paires et impaires
• Méthode des variations : Tableau de variation d’une fonction
• Dérivées (cours complet) : Dérivées : cours complet
• Calcul de dérivées pas à pas : Calcul de dérivées
• Formules de dérivation : Tableau des dérivées usuelles
• Lecture image/antécédent : Image et antécédent d’une fonction
• Réciproques (théorie) : Fonction réciproque

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Les fonctions trigonométriques sont parmi les sujets les plus riches du programme de mathématiques : elles reviennent dans les études de fonctions, le calcul de dérivées, les résolutions d’équations et les intégrales. Si tu bloques sur un exercice ou si tu veux approfondir ta maîtrise de ces notions, un accompagnement personnalisé peut faire toute la différence.

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