Argument d’un Nombre Complexe : Définition, Calcul et Propriétés

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Pour décrire un nombre complexe non nul dans le plan, deux grandeurs suffisent : sa « longueur » — le module — et sa « direction » — l’argument. L’argument d’un nombre complexe est l’angle que fait le point correspondant avec l’axe des réels. Au programme de Terminale Maths Expertes et des classes préparatoires, c’est la clé pour passer de la forme algébrique aux formes trigonométrique et exponentielle, simplifier des produits et quotients, et résoudre des problèmes de géométrie complexe. Tu trouveras ici la définition précise, les propriétés fondamentales, une méthode de calcul en 3 cas, des exemples résolus pas à pas et des exercices corrigés.

I. Définition de l’argument d’un nombre complexe

A. Définition formelle et notation

Soit \(z \in \mathbb{C}^*\) (c’est-à-dire \(z \neq 0\)). Puisque \(|z| \neq 0\), on peut écrire :

\(z = |z|\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)\)

Le réel \(\theta\) qui vérifie cette égalité est appelé un argument de \(z\). On le note \(\arg(z)\).

Attention : l’argument n’est pas unique. Si \(\theta_0\) est un argument de \(z\), alors \(\theta_0 + 2\pi\), \(\theta_0 – 2\pi\), \(\theta_0 + 4\pi\)… le sont aussi. On dit que l’argument est défini à \(2\pi\) près, ou « modulo \(2\pi\) ».

Pour écrire \(z\) sous forme exponentielle, on utilise la relation \(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\) (c’est la formule d’Euler). On obtient alors :

\(z = |z|\,e^{i\,\arg(z)}\)

C’est cette écriture qui rend l’argument si puissant : les multiplications deviennent des additions d’angles.

B. Argument principal

Pour lever l’ambiguïté de la définition « modulo \(2\pi\) », on choisit une convention :

En Terminale Maths Expertes, c’est la convention standard en France. Quand un énoncé demande « l’argument de \(z\) » sans précision, il attend l’argument principal dans \(]-\pi\,;\,\pi]\).

C. Interprétation géométrique dans le plan complexe

Dans le plan complexe, chaque nombre complexe \(z = a + ib\) est représenté par le point \(M\) d’affixe \(z\). L’argument de \(z\) est la mesure de l’angle orienté \(\left(\vec{Ox}\,,\,\overrightarrow{OM}\right)\), exprimée en radians.

Concrètement, l’argument te dit dans quelle direction pointe \(z\) depuis l’origine :

• Si \(z\) est un réel positif (sur le demi-axe droit), son argument vaut \(0\).
• Si \(z\) est un réel négatif (sur le demi-axe gauche), son argument vaut \(\pi\).
• Si \(z\) est un imaginaire pur positif (sur le demi-axe vers le haut), son argument vaut \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\).
• Si \(z\) est un imaginaire pur négatif (sur le demi-axe vers le bas), son argument vaut \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

Retiens l’idée essentielle : le module mesure la distance du point à l’origine, et l’argument mesure la direction. Ces deux grandeurs définissent complètement le nombre complexe non nul.

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II. Propriétés de l’argument

La force de l’argument réside dans une idée simple : multiplier des complexes revient à additionner leurs arguments. Voici les propriétés essentielles, toutes au programme.

A. Argument d’un produit et d’un quotient

Pour tous \(z_1, z_2 \in \mathbb{C}^*\) :

\(\arg(z_1 \, z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) \pmod{2\pi}\) \(\arg\!\left(\displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) – \arg(z_2) \pmod{2\pi}\)

Démonstration au programme (produit)

En forme exponentielle : \(z_1 = |z_1|\,e^{i\theta_1}\) et \(z_2 = |z_2|\,e^{i\theta_2}\).

Alors \(z_1 z_2 = |z_1|\,|z_2|\,e^{i\theta_1}\,e^{i\theta_2} = |z_1 z_2|\,e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\).

Par identification, \(\arg(z_1 z_2) = \theta_1 + \theta_2 = \arg(z_1) + \arg(z_2) \pmod{2\pi}\). ∎

De même, pour un réel \(\lambda \neq 0\) et \(z \in \mathbb{C}^*\) :

• Si \(\lambda\) > \(0\) : \(\arg(\lambda z) = \arg(z) \pmod{2\pi}\) (même direction).
• Si \(\lambda\) < \(0\) : \(\arg(\lambda z) = \arg(z) + \pi \pmod{2\pi}\) (direction opposée).

B. Argument du conjugué, de l’opposé et de l’inverse

Pour tout \(z \in \mathbb{C}^*\) :

• Conjugué : \(\arg(\bar{z}) = -\arg(z) \pmod{2\pi}\). Géométriquement, le conjugué \(\bar{z}\) est le symétrique de \(z\) par rapport à l’axe réel : l’angle change de signe.
• Opposé : \(\arg(-z) = \arg(z) + \pi \pmod{2\pi}\). Le point \(-z\) est diamétralement opposé à \(z\) par rapport à l’origine.
• Inverse : \(\arg\!\left(\displaystyle\frac{1}{z}\right) = -\arg(z) \pmod{2\pi}\). En effet, \(\arg(1/z) = \arg(1) – \arg(z) = 0 – \arg(z)\).

C. Argument d’une puissance et formule de Moivre

Pour tout \(z \in \mathbb{C}^*\) et tout \(n \in \mathbb{Z}\) :

\(\arg(z^n) = n \times \arg(z) \pmod{2\pi}\)

C’est une conséquence directe de la propriété du produit appliquée \(n\) fois. En forme trigonométrique, cette propriété s’écrit sous le nom de formule de Moivre :

\((\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)\)

Cette formule, que tu retrouveras en détail dans la page sur la formule d’Euler, est un outil central pour le calcul de puissances et la recherche de racines n-ièmes.

Tableau récapitulatif

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III. Méthode : calculer l’argument en 3 cas

Le calcul de l’argument est la compétence la plus testée sur ce chapitre. Selon la forme dans laquelle \(z\) est donné, trois situations se présentent.

A. Cas 1 — Reconnaissance directe (angles remarquables)

Si tu reconnais un nombre complexe classique, tu peux lire l’argument sans calcul. Voici les valeurs à connaître par cœur :

Ce tableau se retrouve directement à partir des valeurs remarquables de cosinus et sinus. Si tu les connais bien, le Cas 1 est instantané.

B. Cas 2 — Forme algébrique \(z = a + ib\)

C’est la méthode la plus courante et la plus sûre. Elle fonctionne pour tout nombre complexe non nul.

La troisième étape est cruciale. La valeur de \(\cos \theta\) seule ne suffit pas à déterminer \(\theta\) de manière unique (deux angles dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) ont le même cosinus). C’est le signe de \(\sin \theta\) qui tranche :

• \(\sin \theta\) > \(0\) → le point est au-dessus de l’axe réel (quadrants I ou II).
• \(\sin \theta\) < \(0\) → le point est en-dessous de l’axe réel (quadrants III ou IV).

C. Cas 3 — Propriétés combinées (produit, quotient)

Quand \(z\) est donné comme un produit, un quotient ou une puissance de nombres complexes dont tu connais déjà l’argument, le Cas 3 est souvent le plus rapide.

Pense au Cas 3 chaque fois que tu vois un produit, un quotient, une puissance ou un conjugué de nombres complexes classiques.

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IV. Exemples résolus (Terminale Maths Expertes)

Voici trois exemples complets, avec la rédaction attendue en contrôle. Chaque exemple utilise un cas différent.

🔵 Exemple 1 (★) — Cas 2 : argument de \(z = -\sqrt{3} + i\)

Énoncé : Déterminer le module et l’argument principal de \(z = -\sqrt{3} + i\).

Module : \(|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\).

Système cos/sin :

\(\cos \theta = \displaystyle\frac{-\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad \sin \theta = \displaystyle\frac{1}{2}\)

Résolution : \(\cos \theta = -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) donne \(\theta = \displaystyle\frac{5\pi}{6}\) ou \(\theta = -\displaystyle\frac{5\pi}{6}\). Le signe de \(\sin \theta = \displaystyle\frac{1}{2}\) > \(0\) impose le deuxième quadrant.

Conclusion : \(\arg(z) = \displaystyle\frac{5\pi}{6}\) et \(z = 2\,e^{i\displaystyle\frac{5\pi}{6}}\).

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🔵 Exemple 2 (★★) — Cas 2 dans le 4ᵉ quadrant : \(z = \sqrt{6} – i\sqrt{2}\)

Énoncé : Écrire \(z = \sqrt{6} – i\sqrt{2}\) sous forme exponentielle.

Module : \(|z| = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

Système cos/sin :

\(\cos \theta = \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad \sin \theta = \displaystyle\frac{-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = -\displaystyle\frac{1}{2}\)

Résolution : \(\cos \theta = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin \theta = -\displaystyle\frac{1}{2}\) < \(0\) → quatrième quadrant.

Conclusion : \(\arg(z) = -\displaystyle\frac{\pi}{6}\) et \(z = 2\sqrt{2}\;e^{-i\displaystyle\frac{\pi}{6}}\).

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🔵 Exemple 3 (★★) — Cas 3 : argument d’un quotient

Énoncé : Calculer le module et l’argument de \(z = \displaystyle\frac{1 + i\sqrt{3}}{1 – i}\).

Avec les propriétés (Cas 3) :

\(|z| = \displaystyle\frac{|1 + i\sqrt{3}|}{|1 – i|} = \displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\) \(\arg(z) = \arg(1 + i\sqrt{3}) – \arg(1 – i) = \displaystyle\frac{\pi}{3} – \left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \displaystyle\frac{\pi}{3} + \displaystyle\frac{\pi}{4} = \displaystyle\frac{7\pi}{12}\)

Conclusion : \(z = \sqrt{2}\;e^{i\displaystyle\frac{7\pi}{12}}\).

Note que sans le Cas 3, il aurait fallu développer le quotient en forme algébrique (multiplication par le conjugué du dénominateur), puis appliquer le Cas 2 — beaucoup plus long.

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V. Pour aller en prépa (MPSI/PCSI)

En classe préparatoire, l’argument est revisité avec un éclairage plus structurel. Voici les deux compléments essentiels et un exercice type concours.

🟠 A. L’argument comme morphisme de groupes

En CPGE, on formalise la propriété du produit en disant que l’application :

\(\arg : (\mathbb{C}^*, \times) \longrightarrow (\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, +)\)

est un morphisme de groupes. Cela signifie exactement que \(\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\).

• Ce morphisme est surjectif : tout angle \(\theta \in \mathbb{R}\) est atteint (prendre \(z = e^{i\theta}\)).
• Son noyau est \(\ker(\arg) = \mathbb{R}_+^*\) : les réels strictement positifs sont exactement les complexes d’argument nul.

Cette vision structurelle explique pourquoi les propriétés du tableau de la section II ne sont pas des formules « à apprendre » indépendamment : elles découlent toutes du fait que \(\arg\) est un morphisme.

🟠 B. Logarithme complexe

Cette définition étend le logarithme réel à \(\mathbb{C}^*\). Elle est cohérente : si \(z \in \mathbb{R}_+^*\), alors \(\arg(z) = 0\) et \(\ln(z) = \ln|z|\), on retrouve le logarithme classique. Tu approfondiras cette notion en deuxième année de prépa.

🔴 C. Exercice type concours corrigé

Énoncé : Soit \(\theta \in \,]0\,;\,\pi[\,\). Calculer le module et l’argument de \(z = 1 + e^{i\theta}\).

Voir la correction (rédaction concours)

On développe \(e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin\theta\), d’où :

\(z = (1 + \cos\theta) + i\sin\theta\)

On utilise les formules de l’angle moitié (cf. factorisation par l’angle moitié) :

• \(1 + \cos\theta = 2\cos^2\!\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right)\)
• \(\sin\theta = 2\sin\!\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right)\cos\!\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right)\)

D’où :

\(z = 2\cos\!\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right)\left[\cos\!\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right) + i\sin\!\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right)\right] = 2\cos\!\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right)\,e^{i\theta/2}\)

Pour \(\theta \in \,]0\,;\,\pi[\,\), on a \(\displaystyle\frac{\theta}{2} \in \left]0\,;\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right[\), donc \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right)\) > \(0\).

Conclusion :

\(|z| = 2\cos\!\left(\displaystyle\frac{\theta}{2}\right) \qquad \text{et} \qquad \arg(z) = \displaystyle\frac{\theta}{2}\)

Ce que le correcteur attend : la factorisation par \(\cos(\theta/2)\) doit être immédiate. L’étape clé est la vérification du signe de \(\cos(\theta/2)\) pour justifier le module. Tout candidat qui écrirait \(|z| = 2\cos(\theta/2)\) sans vérifier que ce facteur est positif perdrait des points.

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VI. Exercices corrigés

Voici 5 exercices classés par difficulté croissante. Essaie de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction.

★ Exercice 1 — Argument de \(z = -1 + i\)

Déterminer le module et l’argument principal de \(z = -1 + i\).

Voir la correction

Module : \(|z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).

Système cos/sin :

\(\cos \theta = \displaystyle\frac{-1}{\sqrt{2}} \quad \text{et} \quad \sin \theta = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\cos \theta = -\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin \theta = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) > \(0\) → deuxième quadrant.

\(\arg(z) = \displaystyle\frac{3\pi}{4}\).

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★ Exercice 2 — Puissance et forme exponentielle

Écrire \(z = (1+i)^2\) sous forme exponentielle. Vérifier en développant le produit.

Voir la correction

Méthode 1 (Cas 3, propriétés) :

\(|z| = |1+i|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2\) \(\arg(z) = 2 \times \arg(1+i) = 2 \times \displaystyle\frac{\pi}{4} = \displaystyle\frac{\pi}{2}\)

Donc \(z = 2\,e^{i\pi/2}\).

Vérification (développement) :

\((1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i – 1 = 2i\)

Or \(2i\) a pour module \(2\) et pour argument \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\). ✓

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★★ Exercice 3 — Quotient de complexes remarquables

Calculer le module et l’argument de \(z = \displaystyle\frac{1 + i\sqrt{3}}{1 + i}\).

Voir la correction

Modules : \(|1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1 + 3} = 2\) et \(|1+i| = \sqrt{2}\).

\(|z| = \displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)

Arguments : \(\arg(1 + i\sqrt{3}) = \displaystyle\frac{\pi}{3}\) et \(\arg(1+i) = \displaystyle\frac{\pi}{4}\).

\(\arg(z) = \displaystyle\frac{\pi}{3} – \displaystyle\frac{\pi}{4} = \displaystyle\frac{4\pi – 3\pi}{12} = \displaystyle\frac{\pi}{12}\)

Conclusion : \(z = \sqrt{2}\;e^{i\pi/12}\).

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★★ Exercice 4 — Retrouver un angle à partir du module

Soit \(z = 3 – 3i\). Déterminer la forme exponentielle de \(z\).

Voir la correction

Module : \(|z| = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).

Système cos/sin :

\(\cos \theta = \displaystyle\frac{3}{3\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{et} \quad \sin \theta = \displaystyle\frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos \theta = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin \theta\) < \(0\) → quatrième quadrant.

\(\arg(z) = -\displaystyle\frac{\pi}{4}\).

Conclusion : \(z = 3\sqrt{2}\;e^{-i\pi/4}\).

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★★★ Exercice 5 — Module et argument d’une expression trigonométrique

Soit \(\alpha \in \left]-\displaystyle\frac{\pi}{2}\,;\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right[\), \(\alpha \neq 0\). On pose \(z = \displaystyle\frac{1 + i\tan\alpha}{1 – i\tan\alpha}\).

1. Montrer que \(|z| = 1\).
2. En déduire \(\arg(z)\) en fonction de \(\alpha\).

Voir la correction

1. Module :

\(|z| = \displaystyle\frac{|1 + i\tan\alpha|}{|1 – i\tan\alpha|} = \displaystyle\frac{\sqrt{1 + \tan^2\!\alpha}}{\sqrt{1 + \tan^2\!\alpha}} = 1\)

(Les modules du numérateur et du dénominateur sont égaux.)

2. Argument :

Remplaçons \(\tan\alpha = \displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) :

\(z = \displaystyle\frac{1 + i\,\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1 – i\,\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\cos\alpha + i\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\displaystyle\frac{\cos\alpha – i\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \displaystyle\frac{\cos\alpha + i\sin\alpha}{\cos\alpha – i\sin\alpha}\)

En forme exponentielle :

\(z = \displaystyle\frac{e^{i\alpha}}{e^{-i\alpha}} = e^{2i\alpha}\)

Conclusion : \(|z| = 1\) et \(\arg(z) = 2\alpha\).

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VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Voici les trois erreurs les plus courantes sur les copies. Prends le temps de les lire — les éviter te fera gagner des points à chaque évaluation.

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VIII. Questions fréquentes

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IX. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant la définition, les propriétés et les méthodes de calcul de l’argument d’un nombre complexe. Pour approfondir et consolider tes acquis :

• Module d’un nombre complexe : cours et calcul — l’autre coordonnée polaire, inséparable de l’argument.
• Forme trigonométrique et exponentielle — pour écrire \(z = |z|\,e^{i\,\arg(z)}\) et exploiter pleinement le couple (module, argument).
• Formule d’Euler : démonstration et applications — angle moitié, linéarisation, formule de Moivre en détail.
• Conjugué d’un nombre complexe — comprendre la symétrie \(\arg(\bar{z}) = -\arg(z)\) en profondeur.
• Affixe d’un point et d’un vecteur — l’argument comme outil de géométrie plane.
• Exercices corrigés sur les nombres complexes — pour t’entraîner sur l’ensemble du chapitre.
• Racines n-ièmes de l’unité — une application directe de l’argument en prépa.

Et pour une vue d’ensemble du chapitre, retrouve le cours complet sur les nombres complexes.

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