20 Exercices Corrigés : Convergence des Séries de Fonctions (Prépa)

Pour tout \(x \in [-1, 1]\) et tout \(n \geq 1\) :

Donc \(\| f_n \|_{\infty, [-1,1]} \leq \displaystyle\frac{1}{n^2}\). Or \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^2}\) converge (série de Riemann, \(\alpha = 2\) > \(1\)).

Par comparaison, \(\sum \| f_n \|_\infty\) converge : la série converge normalement sur \([-1, 1]\). \(\blacksquare\)

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \(\left| \displaystyle\frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \displaystyle\frac{1}{n^2}\), donc \(\| f_n \|_{\infty, \mathbb{R}} \leq \displaystyle\frac{1}{n^2}\).

La série \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^2}\) converge, donc CVN sur \(\mathbb{R}\).

Continuité : chaque \(f_n : x \mapsto \displaystyle\frac{\sin(nx)}{n^2}\) est continue sur \(\mathbb{R}\). La CVN implique la CVU, et par le théorème de continuité, \(S = \sum f_n\) est continue sur \(\mathbb{R}\). \(\blacksquare\)

a) Pour \(x\) > \(0\) fixé, posons \(r = e^{-x} \in {]0, 1[}\). On a \(f_n(x) = \displaystyle\frac{r^n}{n}\), et la série \(\sum \displaystyle\frac{r^n}{n}\) converge (par comparaison avec la série géométrique, ou car c’est \(-\ln(1 – r)\)). Donc CVS sur \({]0, +\infty[}\).

b) Sur \([a, +\infty[\) : \(\| f_n \|_{\infty, [a, +\infty[} = \sup_{x \geq a} \displaystyle\frac{e^{-nx}}{n} = \displaystyle\frac{e^{-na}}{n}\).

Or \(\sum \displaystyle\frac{e^{-na}}{n}\) converge (comparaison avec la série géométrique de raison \(e^{-a}\) < \(1\)). Donc CVN sur \([a, +\infty[\).

c) Sur \({]0, +\infty[}\) : \(\| f_n \|_{\infty, ]0, +\infty[} = \sup_{x > 0} \displaystyle\frac{e^{-nx}}{n} = \displaystyle\frac{1}{n}\) (borne atteinte à la limite \(x \to 0^+\)). Or \(\sum \displaystyle\frac{1}{n}\) diverge (série harmonique). La CVN n’a pas lieu sur \({]0, +\infty[}\).

a) Pour \(x = 0\) : \(f_n(0) = 0\) pour tout \(n\), donc \(S(0) = 0\).

Pour \(x\) > \(0\) : on a \(1 + x\) > \(1\), donc \(\displaystyle\frac{1}{1+x} \in {]0, 1[}\). La série \(\sum f_n(x) = x \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\displaystyle\frac{1}{1+x}\right)^n\) est géométrique :

D’où \(S(x) = x \cdot \displaystyle\frac{1}{x} = 1\) pour tout \(x\) > \(0\).

Bilan : \(S(0) = 0\) et \(S(x) = 1\) pour \(x\) > \(0\).

b) La somme \(S\) est discontinue en \(0\). Or chaque \(f_n\) est continue sur \([0, +\infty[\). Si la convergence était uniforme, \(S\) serait continue (théorème de continuité). Contradiction : la convergence n’est pas uniforme sur \([0, +\infty[\).

a) \(S_N(x) = (1 – x)\sum_{n=0}^{N} x^n = (1 – x) \cdot \displaystyle\frac{1 – x^{N+1}}{1 – x} = 1 – x^{N+1}\) pour \(x \in [0, 1[\).

Quand \(N \to +\infty\) : pour \(x \in [0, 1[\), \(x^{N+1} \to 0\), donc \(S(x) = 1\).

Pour \(x = 1\) : \(f_n(1) = 0\) pour tout \(n\), donc \(S(1) = 0\).

Bilan : \(S(x) = 1\) pour \(x \in [0, 1[\) et \(S(1) = 0\).

b) \(S\) est discontinue en \(x = 1\). Chaque \(f_n\) est continue. La convergence ne peut pas être uniforme (par contraposée du théorème de continuité de la somme).

Remarque quantitative : on peut aussi calculer \(\sup_{[0,1]} |R_N(x)| = \sup_{[0,1[} x^{N+1} = 1\), qui ne tend pas vers \(0\).

CVU : pour \(x \in \mathbb{R}\) fixé, posons \(u_n(x) = \displaystyle\frac{1}{n + x^2}\). La suite \((u_n(x))_n\) est décroissante et tend vers \(0\). Par le critère des séries alternées, la série converge et le reste vérifie :

Donc \(\sup_{x \in \mathbb{R}} |R_N(x)| \leq \displaystyle\frac{1}{N+1} \to 0\). La convergence est uniforme sur \(\mathbb{R}\).

Non CVN : \(\| f_n \|_{\infty, \mathbb{R}} = \sup_{x \in \mathbb{R}} \displaystyle\frac{1}{n + x^2} = \displaystyle\frac{1}{n}\) (atteinte en \(x = 0\)). Or \(\sum \displaystyle\frac{1}{n}\) diverge. La convergence n’est pas normale.

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et \(n \geq 1\) : \(\displaystyle\frac{1}{n^2 + x^2} \leq \displaystyle\frac{1}{n^2}\). Donc \(\| f_n \|_{\infty, \mathbb{R}} \leq \displaystyle\frac{1}{n^2}\).

La série \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^2}\) converge (Riemann, \(\alpha = 2\)). Donc CVN sur \(\mathbb{R}\).

Chaque \(f_n\) est continue, et CVN \(\Rightarrow\) CVU, donc \(S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{n^2 + x^2}\) est continue sur \(\mathbb{R}\). \(\blacksquare\)

Pour le calcul de \(S(x)\) quand \(x \neq 0\), poser \(q = \displaystyle\frac{1}{1 + x^2}\) et reconnaître une série géométrique.

a) Pour \(x = 0\) : \(f_n(0) = 0\) pour tout \(n\), donc \(S(0) = 0\).

Pour \(x \neq 0\) : posons \(q = \displaystyle\frac{1}{1 + x^2} \in {]0, 1[}\). Alors \(f_n(x) = x^2 q^n\), et :

La série converge simplement sur \(\mathbb{R}\) tout entier, avec \(S(0) = 0\) et \(S(x) = 1\) pour \(x \neq 0\).

b) \(S\) est discontinue en \(0\) : \(\lim_{x \to 0} S(x) = 1 \neq 0 = S(0)\).

c) Il n’y a pas de contradiction car la convergence n’est pas uniforme sur \(\mathbb{R}\). En effet, si elle l’était, la somme \(S\) serait continue (les \(f_n\) le sont). C’est exactement la contraposée du théorème de continuité.

📝 Ce que le correcteur attend : la justification en c) est essentielle. Ne jamais écrire « la somme est discontinue, contradiction avec le théorème ». Le théorème dit : CVU + fₙ continues ⟹ S continue. Ici l’hypothèse CVU n’est pas vérifiée, donc le théorème ne s’applique pas.

a) Sur \([a, +\infty[\) avec \(a\) > \(0\) : \(\| f_n \|_{\infty, [a, +\infty[} = \sup_{x \geq a} e^{-n^2 x} = e^{-n^2 a}\).

La série \(\sum e^{-n^2 a}\) converge car \(e^{-n^2 a} = o(1/n^2)\) (décroissance exponentielle). Donc CVN sur \([a, +\infty[\).

b) CVN sur \([a, +\infty[\) \(\Rightarrow\) CVU sur \([a, +\infty[\) \(\Rightarrow\) \(S\) continue sur \([a, +\infty[\) (les \(f_n\) sont continues). Ceci vaut pour tout \(a\) > \(0\). Comme la continuité est une propriété locale, \(S\) est continue sur \({]0, +\infty[}\).

c) Sur \({]0, +\infty[}\) : \(\| f_n \|_{\infty, ]0, +\infty[} = \sup_{x > 0} e^{-n^2 x} = 1\) pour tout \(n \geq 1\) (borne approchée quand \(x \to 0^+\)). Or \(\sum 1\) diverge. Pas de CVN sur \({]0, +\infty[}\).

a) Pour \(x \in {]-1, 1[}\) : convergence absolue par comparaison avec la série géométrique. Pour \(x = 1\) : série alternée \(\sum (-1)^{n-1}/n\), convergente par Leibniz. Pour \(x = -1\) : \(\sum -1/n\), divergente. Donc CVS sur \({]-1, 1]}\).

b) Sur \([0, 1]\) : posons \(u_n(x) = \displaystyle\frac{x^n}{n}\). Pour tout \(x \in [0, 1]\), \((u_n(x))_n\) est décroissante (car \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} = \displaystyle\frac{n}{n+1} x \leq 1\)) et tend vers \(0\). Par le critère des séries alternées :

Donc \(\sup_{[0,1]} |R_N(x)| \leq \displaystyle\frac{1}{N+1} \to 0\). CVU sur \([0, 1]\).

c) Sur \({]-1, 1[}\), on reconnaît \(S(x) = \ln(1 + x)\) (DSE classique). La fonction \(x \mapsto \ln(1+x)\) est continue sur \({]-1, 1]}\). La CVU sur \([0, 1]\) implique la continuité de \(S\) sur \([0, 1]\), donc :

Donc \(\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2\). \(\blacksquare\)

a) \(|\cos(nx)/n^2| \leq 1/n^2\), et \(\sum 1/n^2\) converge. CVN sur \(\mathbb{R}\), donc CVU, donc \(S\) est continue.

b) Les \(f_n(x) = \cos(nx)/n^2\) sont \(\mathcal{C}^1\) et \(f_n^\prime(x) = -\sin(nx)/n\). On vérifie les hypothèses du théorème de dérivation terme à terme sur \([a, 2\pi – a]\) :

• \(\sum f_n\) converge en au moins un point (par exemple \(x = \pi\)) : ✓
• \(\sum f_n^\prime = -\sum \sin(nx)/n\) converge uniformément sur \([a, 2\pi – a]\) : ✓ (admis)

Donc \(S\) est \(\mathcal{C}^1\) sur \({]0, 2\pi[}\) et \(S^\prime(x) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{\sin(nx)}{n} = -\displaystyle\frac{\pi – x}{2} = \displaystyle\frac{x – \pi}{2}\).

c) En intégrant : \(S(x) = \displaystyle\frac{x^2}{4} – \displaystyle\frac{\pi x}{2} + C\). Or \(S(0) = C = \displaystyle\frac{\pi^2}{6}\).

Donc \(S(x) = \displaystyle\frac{x^2}{4} – \displaystyle\frac{\pi x}{2} + \displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) sur \([0, 2\pi]\).

Vérification : \(S(\pi) = \displaystyle\frac{\pi^2}{4} – \displaystyle\frac{\pi^2}{2} + \displaystyle\frac{\pi^2}{6} = \pi^2\left(\displaystyle\frac{3 – 6 + 2}{12}\right) = -\displaystyle\frac{\pi^2}{12}\), ce qui est bien \(\sum (-1)^n/n^2\). ✓

a) Sur \([a, +\infty[\) : \(\| 1/n^x \|_{\infty, [a, +\infty[} = \sup_{x \geq a} \displaystyle\frac{1}{n^x} = \displaystyle\frac{1}{n^a}\). La série \(\sum 1/n^a\) converge car \(a\) > \(1\) (Riemann). Donc CVN sur \([a, +\infty[\).

b) CVN sur \([a, +\infty[\) \(\Rightarrow\) CVU \(\Rightarrow\) continuité sur \([a, +\infty[\), pour tout \(a\) > \(1\). Donc \(\zeta\) est continue sur \({]1, +\infty[}\).

c) Pour tout \(N \geq 1\) : \(\zeta(x) \geq \sum_{n=1}^{N} \displaystyle\frac{1}{n^x}\). En faisant \(x \to 1^+\) : \(\liminf_{x \to 1^+} \zeta(x) \geq \sum_{n=1}^{N} \displaystyle\frac{1}{n}\). Comme ceci vaut pour tout \(N\) et \(\sum 1/n = +\infty\), on conclut \(\zeta(x) \to +\infty\) quand \(x \to 1^+\).

CVN : sur \([-R, R]\), \(\| x^n/n! \|_\infty = R^n/n!\). La série \(\sum R^n/n!\) converge (c’est \(e^R\)). Donc CVN sur \([-R, R]\) pour tout \(R\) > \(0\).

Dérivation : posons \(f_n(x) = x^n/n!\). On a \(f_n^\prime(x) = x^{n-1}/(n-1)! = f_{n-1}(x)\) pour \(n \geq 1\). La série des dérivées \(\sum f_n^\prime = \sum_{n \geq 0} x^n/n!\) converge normalement sur \([-R, R]\) (même série). Par le théorème de dérivation terme à terme, \(S\) est \(\mathcal{C}^1\) et \(S^\prime(x) = S(x)\).

De plus \(S(0) = 1\). L’unique solution de \(y^\prime = y\), \(y(0) = 1\) est \(y = e^x\). Donc \(S(x) = e^x\). \(\blacksquare\)

On part de \(\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \displaystyle\frac{1}{1 – x}\) pour \(x \in {]-1, 1[}\). Cette série converge normalement sur \([-r, r]\) pour tout \(r \in {]0, 1[}\) (car \(\| x^n \|_\infty = r^n\) et \(\sum r^n\) converge).

La série des dérivées est \(\sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1}\). Elle converge aussi normalement sur \([-r, r]\) (car \(\| n x^{n-1} \|_\infty = n r^{n-1}\) et \(\sum n r^{n-1}\) converge par d’Alembert). Par le théorème de dérivation terme à terme :

En multipliant par \(x\) : \(S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n x^n = \displaystyle\frac{x}{(1 – x)^2}\).

Pour b), calculer \(\sup_{x > 0} n^2 x \, e^{-nx}\). Pour d), utiliser un théorème adapté aux fonctions positives.

a) Pour \(x\) > \(0\) fixé, \(f_n(x) = n^2 x \, e^{-nx} \to 0\) (l’exponentielle domine le polynôme). La série \(\sum f_n(x) = x \sum n^2 (e^{-x})^n\) converge car \(e^{-x} \in {]0, 1[}\).

b) On calcule \(\| f_n \|_{\infty, ]0, +\infty[}\). La dérivée \(f_n^\prime(x) = n^2(1 – nx)e^{-nx}\) s’annule en \(x = 1/n\). D’où :

Le terme général \(f_n\) ne tend pas vers \(0\) uniformément. Or c’est une condition nécessaire à la CVU. Donc la convergence n’est pas uniforme sur \({]0, +\infty[}\).

c) \(\displaystyle\int_0^{+\infty} f_n(x) \, dx = n^2 \displaystyle\int_0^{+\infty} x \, e^{-nx} \, dx = n^2 \cdot \displaystyle\frac{1}{n^2} = 1\)

(en utilisant \(\displaystyle\int_0^{+\infty} x \, e^{-\alpha x} \, dx = 1/\alpha^2\) pour \(\alpha\) > \(0\)).

Donc \(\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\int_0^{+\infty} f_n(x) \, dx = \sum 1 = +\infty\).

d) Malgré l’absence de CVU, l’interversion est valide ici. Les \(f_n\) sont continues et positives. Par le théorème d’intégration des séries de fonctions à termes positifs (convergence monotone) :

Les deux membres valent \(+\infty\) : l’interversion donne le bon résultat.

📝 Ce que le correcteur attend : la rédaction doit identifier le bon théorème. La CVU ne s’applique pas, mais la positivité des termes permet l’interversion (Tonelli ou convergence monotone). Citer le théorème précis.

Pour c), après interversion, on obtient une série dont le produit partiel est relié au produit de Wallis.

a) Pour \(x \geq 0\) fixé, la suite \(u_n(x) = 1/(n+x)\) est décroissante en \(n\) et tend vers \(0\). Par le critère des séries alternées, la série converge et :

Donc \(\sup_{x \geq 0} |R_N(x)| \leq 1/(N+1) \to 0\). CVU sur \([0, +\infty[\).

b) Chaque \(f_n(x) = (-1)^{n+1}/(n+x)\) est continue, et la CVU implique la continuité de \(F\).

c) La CVU sur \([0, 1] \subset [0, +\infty[\) justifie l’interversion :

Calculons le produit partiel. Posons \(P_N = \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n+1} \ln\!\left(\displaystyle\frac{n+1}{n}\right) = \ln \prod_{n=1}^{N} \left(\displaystyle\frac{n+1}{n}\right)^{(-1)^{n+1}}\).

En développant :

C’est exactement le produit de Wallis, dont la limite vaut \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

Donc \(\displaystyle\int_0^1 F(x) \, dx = \ln\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\).

📝 Ce que le correcteur attend : identifier le produit de Wallis est un vrai plus. L’argument de CVU pour justifier l’interversion est indispensable — ne pas oublier de le rédiger avant le calcul.

a) Posons \(f_n(x) = (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!\). Sur \([-R, R]\) : \(\| f_n \|_\infty = R^{2n+1}/(2n+1)!\). La série \(\sum R^{2n+1}/(2n+1)!\) converge (sous-série de \(e^R\)). Donc CVN.

b) On dérive terme à terme de façon itérative. La dérivée \(k\)-ième de \(f_n\) est un terme de la forme \(\pm x^{2n+1-k}/(2n+1-k)!\) (pour \(2n+1 \geq k\)) ou \(0\). La série des dérivées \(k\)-ièmes converge normalement sur tout \([-R, R]\) par le même argument. Par récurrence, \(\varphi \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})\).

c) En dérivant terme à terme :

\(\varphi^\prime(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\) et \(\varphi^{\prime\prime}(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n x^{2n-1}}{(2n-1)!} = -\sum_{m=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^m x^{2m+1}}{(2m+1)!} = -\varphi(x)\)

(reindexation \(m = n – 1\)). Donc \(\varphi^{\prime\prime} + \varphi = 0\).

De plus \(\varphi(0) = 0\) et \(\varphi^\prime(0) = 1\) (termes constants des séries).

d) La fonction \(\sin\) est l’unique solution de \(y^{\prime\prime} + y = 0\), \(y(0) = 0\), \(y^\prime(0) = 1\) (théorème de Cauchy-Lipschitz). Donc \(\varphi = \sin\). \(\blacksquare\)

a) Sur \([a, +\infty[\) : \(\| f_n \|_\infty = e^{-na}/n\). La série \(\sum e^{-na}/n\) converge par comparaison avec la série géométrique \(\sum (e^{-a})^n\) de raison \(e^{-a}\) < \(1\). Donc CVN.

b) CVN sur \([a, +\infty[\) \(\Rightarrow\) continuité sur \([a, +\infty[\), pour tout \(a\) > \(0\). Donc \(S\) continue sur \({]0, +\infty[}\).

c) Posons \(t = e^{-x} \in {]0, 1[}\). Alors :

par le DSE de \(\ln(1 + u) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} u^n/n\) pour \(u \in {]-1, 1]}\).

d) \(\lim_{x \to 0^+} S(x) = \lim_{x \to 0^+} \ln(1 + e^{-x}) = \ln(1 + 1) = \ln 2\).

Or, quand \(x \to 0^+\), \(S(x) \to \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1}/n\) (passage à la limite dans la série, justifié par CVU sur \([0, a]\) via le critère des séries alternées, comme à l’exercice 10). Donc \(\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2\). \(\blacksquare\)

a) Calculons \(\| f_n \|_\infty = \sup_{x \geq 0} x^2 e^{-nx}\). L’étude de \(g(x) = x^2 e^{-nx}\) donne \(g^\prime(x) = (2x – nx^2)e^{-nx} = x(2 – nx)e^{-nx}\), qui s’annule en \(x = 2/n\).

La série \(\sum \displaystyle\frac{4}{e^2 n^2}\) converge (Riemann, \(\alpha = 2\)). Donc CVN sur \([0, +\infty[\).

b) La CVN implique que l’on peut intervertir \(\sum\) et \(\displaystyle\int\) (les \(f_n\) sont continues positives sur \([0, +\infty[\), et la CVN sur \([0, +\infty[\) fournit une domination sommable) :

(en utilisant \(\displaystyle\int_0^{+\infty} x^2 e^{-\alpha x} \, dx = 2/\alpha^3\)).

Pour b), dériver terme à terme et majorer la série des dérivées. Pour c), calculer \(\sup_{\mathbb{R}} |\cos(nx)/n|\). Pour d), itérer la dérivation et identifier le seuil de convergence de la série des dérivées \(k\)-ièmes.

a) Pour \(\alpha\) > \(1\) : \(|\sin(nx)/n^\alpha| \leq 1/n^\alpha\) et \(\sum 1/n^\alpha\) converge. CVN sur \(\mathbb{R}\). Chaque \(f_n\) est continue, CVN \(\Rightarrow\) CVU, donc \(S_\alpha\) est continue.

b) Pour \(\alpha\) > \(2\) : \(f_n^\prime(x) = n\cos(nx)/n^\alpha = \cos(nx)/n^{\alpha – 1}\). On a \(|\cos(nx)/n^{\alpha-1}| \leq 1/n^{\alpha-1}\). Comme \(\alpha – 1\) > \(1\), la série \(\sum 1/n^{\alpha-1}\) converge. Donc la série des dérivées converge normalement sur \(\mathbb{R}\).

Par le théorème de dérivation terme à terme (la série \(\sum f_n\) converge en \(x = 0\) et la série des dérivées CVU), \(S_\alpha\) est \(\mathcal{C}^1\) et :

c) Pour \(\alpha = 2\) : la série des dérivées est \(\sum \cos(nx)/n\). Or \(\| \cos(nx)/n \|_{\infty, \mathbb{R}} = 1/n\) (atteinte en \(x = 0\)). La série \(\sum 1/n\) diverge : la série des dérivées ne converge pas normalement, et le théorème de dérivation terme à terme (dans sa forme standard avec CVU ou CVN de la série des dérivées sur \(\mathbb{R}\)) ne s’applique pas directement.

d) La dérivée \(k\)-ième de \(f_n(x) = \sin(nx)/n^\alpha\) est de la forme \(\pm n^k \sin(\text{ou } \cos)(nx)/n^\alpha = \pm \sin(\text{ou } \cos)(nx)/n^{\alpha – k}\). Sa norme infinie est \(1/n^{\alpha – k}\). Pour que la série des dérivées \(k\)-ièmes converge normalement, il faut \(\alpha – k\) > \(1\), soit \(\alpha\) > \(k + 1\).

Donc : \(S_\alpha \in \mathcal{C}^k(\mathbb{R})\) dès que \(\alpha\) > \(k + 1\). L’exposant \(\alpha\) contrôle directement la régularité de la somme.

📝 Ce que le correcteur attend : la question d) teste la capacité de synthèse. Le candidat qui formule clairement « \(\alpha\) > \(k+1\) donne \(\mathcal{C}^k\) » montre qu’il a compris le mécanisme fondamental de la dérivation terme à terme.