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L’épreuve de Maths 2 Centrale-Supélec MP/MPI 2026, d’une durée de 4 heures avec calculatrice autorisée, propose un problème unique et ambitieux autour de la fonction zêta de Riemann. Structuré en quatre parties (A à D) totalisant 38 questions, le sujet construit progressivement une condition suffisante de non-annulation de \(\zeta\) dans le demi-plan \(\mathrm{Re}(s) \gt \displaystyle\frac{1}{2}\), en lien direct avec l’hypothèse de Riemann. Le problème mêle analyse (séries, intégrales généralisées, prolongement analytique), algèbre (espaces préhilbertiens, orthonormalisation) et théorie des nombres (produit d’Euler, nombres premiers). La difficulté est globalement élevée, avec des questions préliminaires accessibles mais une synthèse finale exigeante.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Partie A – I, II (Q1-Q10) | Fonction zêta et produit d’Euler | Accessible à Élevé | Convergence normale, familles sommables, nombres premiers |
| Partie A – III, IV (Q11-Q14) | Intégrales et géométrie complexe | Élevé | Intégrales généralisées, disques du plan complexe |
| Partie B – I (Q15-Q21) | Transformée de Mellin de f_k | Élevé | Partie entière, intégration par morceaux, séries et intégrales |
| Partie B – II, III (Q22-Q26) | Prolongement analytique de ζ | Très élevé | Estimation asymptotique, passage à la limite sous l’intégrale |
| Partie C (Q27-Q36) | Espace L² préhilbertien réel | Élevé | Forme bilinéaire, indépendance linéaire, Gram-Schmidt |
| Partie D (Q37-Q38) | Synthèse : non-annulation de ζ | Très élevé | Cauchy-Schwarz complexe, distance à un sous-espace |
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Structure et thèmes du sujet
Le sujet s’organise comme un problème unique à fil conducteur, centré sur la fonction zêta \(\zeta(s) = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{k^s}\) et les fonctions auxiliaires \(f_k(t) = \displaystyle\frac{1}{k}\left\lfloor \displaystyle\frac{1}{t} \right\rfloor – \left\lfloor \displaystyle\frac{1}{kt} \right\rfloor\).
Partie A – Questions préliminaires (Q1-Q14) : On commence par l’étude de \(\zeta\) sur \(]1,+\infty[\) (convergence normale, continuité, signe), puis on passe au cas complexe : module de \(t^s\), convergence absolue pour \(\mathrm{Re}(s) \gt 1\), produit d’Euler \(S_n(s) = \displaystyle\prod_{i=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{1 – p_i^{-s}}\), et non-annulation de \(\zeta\). Les sections III et IV proposent un calcul d’intégrale lié à \(|t^{s-1}|^2\) et une étude géométrique d’ensembles \(\Delta_d\) dans le plan complexe.
Partie B – Étude analytique (Q15-Q26) : C’est le cœur technique du sujet. On calcule la transformée de Mellin des fonctions \(f_k\), établissant le lien fondamental \(\displaystyle\int_0^1 f_k(t) t^{s-1} \mathrm{d}t = \displaystyle\frac{1}{s}\left(\displaystyle\frac{1}{k} – \displaystyle\frac{1}{k^s}\right)\zeta(s)\). Puis on prolonge \(\zeta\) au demi-plan \(\mathrm{Re}(s) \gt 0\) via la formule \(\zeta(s) = \displaystyle\frac{1}{s-1} + G(s)\), et on établit que \(\displaystyle\int_0^1 f_k(t) \mathrm{d}t = \displaystyle\frac{\ln(k)}{k}\).
Partie C – Étude algébrique et géométrique (Q27-Q36) : On construit l’espace \(L^2\) des fonctions continues par morceaux de carré intégrable sur \([0,1]\), on vérifie qu’il s’agit d’un sous-espace vectoriel, et on montre que la forme bilinéaire \((f|g) = \displaystyle\int_0^1 f(t)g(t)\mathrm{d}t\) définit un produit scalaire sur le sous-espace \(F\) engendré par les \(f_k\) et la fonction constante 1. Un procédé de type Gram-Schmidt construit une famille orthonormale \((e_k)\), et on étudie la distance \(d_n\) de la fonction 1 au sous-espace engendré par \((f_2, \ldots, f_n)\).
Partie D – Synthèse (Q37-Q38) : On combine l’inégalité de Cauchy-Schwarz (version complexe pour fonctions de carré intégrable) avec tous les résultats précédents pour montrer que si \((d_n)\) tend vers 0, alors \(\zeta\) ne s’annule pas dans le demi-plan \(\mathrm{Re}(s) \gt \displaystyle\frac{1}{2}\), ce qui constitue une forme de l’hypothèse de Riemann.
Notions et chapitres testés
Ce sujet mobilise un spectre très large du programme de MP/MPI :
- Séries numériques et séries de fonctions : convergence normale, convergence absolue, interversion série-intégrale. C’est le socle des parties A et B.
- Familles sommables : sommation sur des multi-indices pour le produit d’Euler (Q6), un chapitre souvent délaissé mais ici central.
- Nombres premiers : utilisation de la suite \((p_i)\) et du théorème fondamental de l’arithmétique pour la factorisation en produit d’Euler.
- Intégrales généralisées : convergence sur \([0,1]\) avec singularité en 0 (Q11, Q19), passage à la limite sous le signe intégrale (Q25).
- Variable complexe : module de \(t^s = e^{s\ln t}\), parties réelle et imaginaire, prolongement de \(\zeta\) au-delà de \(\mathrm{Re}(s) \gt 1\).
- Espaces préhilbertiens réels : forme bilinéaire symétrique positive, produit scalaire, orthonormalisation de Gram-Schmidt, distance d’un vecteur à un sous-espace.
- Fonctions en escalier et partie entière : propriétés de \(\lfloor x \rfloor\), continuité par morceaux, intégrabilité.
- Inégalité de Cauchy-Schwarz : version intégrale pour fonctions à valeurs complexes (admise en Partie D).
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet se situe dans la tranche haute des épreuves de Maths 2 Centrale-Supélec MP. Plusieurs éléments le distinguent :
- Un fil conducteur exigeant : contrairement aux sujets de 2023 ou 2024 qui proposaient des parties plus indépendantes, celui-ci est un problème monolithique. Les résultats des premières questions sont réutilisés en cascade jusqu’à la synthèse finale. Un blocage précoce peut compromettre la suite.
- Le mélange analyse-algèbre : la transition entre la Partie B (purement analytique) et la Partie C (algèbre des espaces préhilbertiens) est inhabituelle et déstabilisante. On retrouve un esprit proche du sujet Maths 1 Centrale 2022 (espaces de Hilbert).
- La présence de la variable complexe : bien que le programme MP/MPI ne contienne pas d’analyse complexe à proprement parler, l’utilisation de \(t^s = e^{s\ln t}\) pour \(s \in \mathbb{C}\) et les manipulations de module associées sont exigeantes.
- Questions accessibles : les Q1-Q5, Q15-Q16, Q27 constituent des points « gratuits » pour tout candidat correctement préparé. Les Q11-Q12 et Q30-Q32 sont de difficulté standard.
- Questions très élevées : les Q9-Q10 (convergence du produit et non-annulation), Q24 (prolongement analytique), Q34-Q36 (Gram-Schmidt et distance), et surtout Q38 (synthèse finale) sont réservées aux meilleurs candidats.
En termes de barème implicite, viser 20 à 25 questions correctement traitées constitue déjà une excellente copie.
Pièges et points techniques délicats
Q4 – Module de \(t^s\) : Le piège classique est d’oublier que \(t^s = e^{s \ln t}\). Le module vaut \(|t^s| = e^{\mathrm{Re}(s) \ln t} = t^{\mathrm{Re}(s)}\). Beaucoup de candidats confondent avec \(t^{|s|}\) ou manipulent mal les exponentielles complexes.
Q6 – Famille sommable : Il faut justifier rigoureusement que la famille \(\left(\displaystyle\frac{1}{(p_1^{m_1} \cdots p_n^{m_n})^s}\right)\) est sommable. L’argument repose sur le fait que \(\displaystyle\sum |u_{m_1,\ldots,m_n}| = \displaystyle\prod_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{m_i=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{p_i^{m_i \cdot \mathrm{Re}(s)}}\), chaque série géométrique convergeant pour \(\mathrm{Re}(s) \gt 1\). Ne pas omettre l’étape de sommabilité avant d’écrire le produit.
Q9 – Convergence du produit \(a_n\) : Pour montrer que \(a_n = \displaystyle\prod_{i=1}^{n} \displaystyle\frac{p_i^x}{p_i^x + 1}\) converge vers un réel strictement positif, il faut passer au logarithme : \(\ln(a_n) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \ln\left(\displaystyle\frac{p_i^x}{p_i^x+1}\right) = -\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \ln\left(1 + \displaystyle\frac{1}{p_i^x}\right)\). La convergence de cette série est assurée par la convergence de \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{p_i^x}\) (Q8). L’oubli de la justification de la positivité stricte de la limite est une erreur fréquente.
Q11 – Intégrabilité de \(t \mapsto t^{2(\mathrm{Re}(s)-1)}\) : L’intégrale \(\displaystyle\int_0^1 |t^{s-1}|^2 \mathrm{d}t = \displaystyle\int_0^1 t^{2\mathrm{Re}(s)-2} \mathrm{d}t\) converge si et seulement si \(2\mathrm{Re}(s) – 2 \gt -1\), soit \(\mathrm{Re}(s) \gt \displaystyle\frac{1}{2}\). C’est là qu’apparaît la borne critique \(\displaystyle\frac{1}{2}\) qui relie le sujet à l’hypothèse de Riemann. Ne te trompe pas dans l’exposant !
Q12 – Identification du disque : L’inégalité \(d^2|s|^2 \geq 2\mathrm{Re}(s) – 1\) se réécrit \(d^2(\sigma^2 + \tau^2) – 2\sigma + 1 \geq 0\) avec \(s = \sigma + i\tau\). Compléter le carré en \(\sigma\) pour identifier le centre \(O_d = \displaystyle\frac{1}{d^2}\) et le rayon \(R_d = \displaystyle\frac{\sqrt{1-d^2}}{d^2}\). Attention au signe lors du passage au complémentaire.
Q30-Q32 – Indépendance linéaire des \(f_k\) : L’astuce consiste à évaluer la combinaison linéaire \(\displaystyle\sum \lambda_k f_k = 0\) en des points judicieusement choisis. Pour \(t \in ]\displaystyle\frac{1}{2}, 1]\), seuls certains \(f_k\) sont non nuls, ce qui donne \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{\lambda_k}{k} = 0\). Puis en évaluant en \(t = \displaystyle\frac{1}{\ell}\) pour \(\ell\) croissant, on extrait un par un les coefficients. C’est un raisonnement par récurrence déguisé qu’il faut mener proprement.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Q1-Q3 (Zêta réelle) : Pour la convergence normale, majorer \(|u_k(s)| = \displaystyle\frac{1}{k^s} \leq \displaystyle\frac{1}{k^a}\) sur \([a,+\infty[\) pour tout \(a \gt 1\). La continuité de \(\zeta\) découle du théorème de continuité des séries de fonctions à convergence normale. Pour le signe, comparer \(\zeta(s)\) à \(1\) (terme dominant) et à la somme des termes restants.
Q4-Q5 (Variable complexe) : Écrire \(t^s = e^{s \ln t}\) puis séparer parties réelle et imaginaire dans l’exponentielle. La convergence absolue de \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{k^s}\) se ramène à celle de \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{k^{\mathrm{Re}(s)}}\).
Q6-Q10 (Produit d’Euler) : Utiliser le théorème de Fubini pour les familles sommables afin de factoriser la somme en produit de séries géométriques. Pour Q7, relier \(\displaystyle\sum_{k \in N_n} \displaystyle\frac{1}{k^s}\) à \(S_n(s)\) et passer à la limite. Pour Q10, exploiter \(|S_n(s)| \geq a_n \gt 0\).
Q15-Q21 (Transformée de Mellin) : Pour Q15, le calcul direct donne \(f_k\left(\displaystyle\frac{1}{i}\right) = \displaystyle\frac{i}{k} – \left\lfloor \displaystyle\frac{i}{k} \right\rfloor\), soit la partie fractionnaire de \(\displaystyle\frac{i}{k}\). Pour Q20, découper l’intégrale de \(F(s)\) sur les intervalles \([\displaystyle\frac{1}{j+1}, \displaystyle\frac{1}{j}]\) où \(\left\lfloor \displaystyle\frac{1}{t} \right\rfloor = j\). Pour Q21, utiliser la décomposition \(f_k(t) = \displaystyle\frac{1}{k}\left\lfloor \displaystyle\frac{1}{t}\right\rfloor – \left\lfloor \displaystyle\frac{1}{kt}\right\rfloor\) et le changement de variable \(u = kt\) sur le second terme.
Q22-Q26 (Prolongement) : Pour Q24, écrire \(\zeta(s) = \displaystyle\sum_{k \geq 1} \displaystyle\int_k^{k+1} \displaystyle\frac{1}{k^s} \mathrm{d}t\) et comparer à \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{t^s} \mathrm{d}t = \displaystyle\frac{1}{s-1}\). L’estimation asymptotique \(\zeta(s) = \displaystyle\frac{1}{s-1} + O(1)\) quand \(s \to 1^+\) découle de la bornitude de \(G(s)\).
Q27-Q36 (Espace préhilbertien) : Pour Q29, le contre-exemple au caractère défini est toute fonction non nulle mais nulle presque partout (par exemple nulle sauf en un point). Pour Q33, l’argument clé est que les \(f_k\) sont continues par morceaux et que si \((f|f) = 0\) dans \(F\), alors \(f = 0\) sur \(]0,1]\) par continuité par morceaux. Pour Q35, utiliser la formule classique \(d_n^2 = \Vert 1 \Vert^2 – \displaystyle\sum_{k=2}^{n} (1|e_k)^2\).
Q37-Q38 (Synthèse) : Appliquer Cauchy-Schwarz à \(\displaystyle\int_0^1 \left(1 – \displaystyle\sum \lambda_k f_k(t)\right) t^{s-1} \mathrm{d}t\). Si \(\zeta(s) = 0\), alors Q21 donne \(\displaystyle\int_0^1 f_k(t) t^{s-1} \mathrm{d}t = 0\) pour tout \(k\), d’où le membre de gauche vaut \(\displaystyle\frac{1}{s}\). En optimisant sur les \(\lambda_k\), on obtient \(d_n^2 |s|^2 \geq 2\mathrm{Re}(s) – 1\), ce qui contredit \(d_n \to 0\) si \(\mathrm{Re}(s) \gt \displaystyle\frac{1}{2}\).
Conseils pour les futurs candidats
Ce sujet illustre une tendance marquée de Centrale-Supélec : des problèmes longs à fil conducteur qui valorisent autant la culture mathématique que la technique. Voici comment te préparer efficacement :
- Maîtrise les séries de fonctions : convergence normale, uniforme, et les théorèmes d’interversion (limite, continuité, intégration). C’est le socle de toute la Partie A. Travaille particulièrement les exemples liés aux séries de Dirichlet.
- Révise les familles sommables : ce chapitre souvent négligé en MP est ici incontournable (Q6). Les exercices classiques sur le produit de Cauchy et le théorème de Fubini discret sont à connaître parfaitement.
- Travaille les intégrales impropres sur [0,1] : les singularités en 0 de type \(t^\alpha\) avec la condition de convergence \(\alpha \gt -1\) sont récurrentes dans les concours. Entraîne-toi à déterminer rapidement les domaines de convergence.
- Consolide les espaces préhilbertiens : produit scalaire, orthonormalisation, projection orthogonale, distance à un sous-espace. La formule \(d^2 = \Vert x \Vert^2 – \displaystyle\sum (x|e_k)^2\) est un classique absolu qu’il faut savoir retrouver en quelques lignes.
- Entraîne-toi aux sujets « unitaires » : la difficulté ici n’est pas dans les questions isolées, mais dans la capacité à enchaîner les résultats sur 38 questions. Fais des sujets complets en temps limité pour développer ton endurance et ta vision d’ensemble.
- Ne néglige pas la partie entière : les fonctions \(f_k\) reposent sur \(\lfloor \cdot \rfloor\), dont les propriétés (encadrement, continuité par morceaux, valeurs aux points \(\displaystyle\frac{1}{i}\)) doivent être mobilisées rapidement.
Stratégie le jour J : Sur un sujet aussi long, commence par sécuriser les questions accessibles (Q1-Q5, Q15-Q16, Q27, Q29) qui rapportent des points sans difficulté majeure. Reviens ensuite sur les questions techniques des Parties B et C. La Partie D est un objectif pour les 30 dernières minutes si tu as bien avancé.
