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La relation de Chasles est l’outil fondamental pour additionner et simplifier des vecteurs en Seconde. Elle traduit une idée simple : enchaîner deux déplacements revient à un seul trajet direct. Dans cet article, tu découvriras sa formule, sa démonstration (y compris par composition de translations), une méthode pas à pas pour l’appliquer, et 5 exercices corrigés pour t’entraîner.
I. Définition et formule de la relation de Chasles
A. Formule fondamentale
Relation de Chasles
Pour tous points \(A\), \(B\) et \(C\) du plan :
\(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)
En français : la somme du vecteur \(\vec{AB}\) et du vecteur \(\vec{BC}\) donne le vecteur \(\vec{AC}\).
La « magie » de cette relation tient au point \(B\), qui apparaît comme point d’arrivée du premier vecteur (\(\vec{AB}\)) et comme point de départ du deuxième (\(\vec{BC}\)). C’est cette lettre commune qui permet la simplification : le \(B\) « s’efface ».
On peut bien sûr l’écrire avec d’autres lettres. Pour tous points \(M\), \(N\) et \(P\) :
\(\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}\)Le point intermédiaire \(N\) disparaît : on part du premier point \(M\) et on arrive au dernier \(P\).
Généralisation à plusieurs points. En enchaînant la relation, on obtient pour tous points \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) :
\(\vec{A_1 A_2} + \vec{A_2 A_3} + \cdots + \vec{A_{n-1} A_n} = \vec{A_1 A_n}\)
Les points intermédiaires disparaissent tous : seuls restent le premier point de départ et le dernier point d’arrivée.
B. Interprétation géométrique
La relation de Chasles traduit une idée concrète : enchaîner deux déplacements revient à effectuer un seul déplacement direct.
Imagine que tu marches de \(A\) à \(B\), puis de \(B\) à \(C\). Le résultat global de ton déplacement est le trajet direct de \(A\) à \(C\). C’est exactement ce que dit la relation de Chasles.
Cette interprétation est fondamentale : chaque fois que tu vois une somme de vecteurs dont le point d’arrivée de l’un coïncide avec le point de départ du suivant, tu peux simplifier.
C. Un mot d’histoire : Michel Chasles
Michel Chasles (1793–1880) est un mathématicien français, membre de l’Académie des sciences et professeur à la Sorbonne. Il a contribué de façon décisive à la géométrie projective et au développement de la notion de vecteur dans les mathématiques modernes. La relation qui porte son nom est aujourd’hui un pilier de l’enseignement des vecteurs en France, du lycée jusqu’en classe préparatoire.
II. Addition de vecteurs et règle du parallélogramme
La relation de Chasles fournit une première façon d’additionner des vecteurs (en les mettant « bout à bout »). Il en existe une deuxième, tout aussi utile : la règle du parallélogramme. Ces deux méthodes sont complémentaires.
A. Construire la somme de deux vecteurs
Méthode 1 — La méthode « bout à bout » (enchaînement)
- Place le vecteur \(\vec{u}\) à partir d’un point \(A\) : tu obtiens le point \(B\) tel que \(\vec{AB} = \vec{u}\).
- Place le vecteur \(\vec{v}\) à partir de \(B\) : tu obtiens le point \(C\) tel que \(\vec{BC} = \vec{v}\).
- Le vecteur somme est \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{AC}\) (relation de Chasles).
Méthode 2 — La règle du parallélogramme
- Place les deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) à partir du même point \(A\).
- Note \(B\) tel que \(\vec{AB} = \vec{u}\) et \(D\) tel que \(\vec{AD} = \vec{v}\).
- Construis le point \(C\) pour compléter le parallélogramme \(ABCD\).
- Le vecteur somme est la diagonale : \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{AC}\).
Quand utiliser quelle méthode ?
- Bout à bout : quand tu manipules des vecteurs avec des points nommés (\(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\)) — idéal pour appliquer la relation de Chasles.
- Parallélogramme : quand tu manipules des vecteurs libres (\(\vec{u}\), \(\vec{v}\)) placés au même point — idéal pour une construction graphique.
B. Propriétés de l’addition vectorielle
Propriétés de l’addition des vecteurs
Pour tous vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) :
- Commutativité : \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\)
- Associativité : \((\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})\)
- Élément neutre : \(\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}\)
- Opposé : pour tout vecteur \(\vec{u}\), il existe un vecteur \(-\vec{u}\) tel que \(\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}\)
La commutativité se vérifie géométriquement par la règle du parallélogramme : que tu places \(\vec{u}\) puis \(\vec{v}\), ou \(\vec{v}\) puis \(\vec{u}\), tu aboutis au même sommet \(C\).
L’associativité permet de calculer des sommes de trois vecteurs ou plus sans se soucier de l’ordre des parenthèses. Combinée avec la relation de Chasles, c’est ce qui rend les simplifications en chaîne possibles.
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Relation de Chasles, règle du parallélogramme, méthode de simplification et formules clés — résumé PDF prêt à imprimer.
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III. Soustraction de vecteurs et multiplication par un réel
L’addition n’est pas la seule opération sur les vecteurs. La soustraction et la multiplication par un réel sont deux opérations complémentaires qui s’utilisent en permanence avec la relation de Chasles.
A. Vecteur opposé et soustraction
Le vecteur opposé de \(\vec{AB}\) est le vecteur \(\vec{BA}\). On note :
\(-\vec{AB} = \vec{BA}\)La soustraction de deux vecteurs se ramène alors à une addition :
\(\vec{u} – \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})\)Exemple : Simplifier \(\vec{AB} – \vec{AC}\).
On transforme la soustraction : \(-\vec{AC} = \vec{CA}\).
\(\vec{AB} – \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{CA} = \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}\)
On a utilisé la commutativité, puis la relation de Chasles (le point \(A\) s’efface).
Formule à retenir. Quand on soustrait deux vecteurs de même origine :
\(\vec{AB} – \vec{AC} = \vec{CB}\)
L’origine commune (\(A\)) disparaît. Le résultat va du point d’arrivée du vecteur soustrait (\(C\)) vers le point d’arrivée du premier vecteur (\(B\)).
B. Multiplication d’un vecteur par un réel
Soit \(k\) un nombre réel et \(\vec{u}\) un vecteur non nul. Le vecteur \(k\vec{u}\) est défini par :
- Même direction que \(\vec{u}\)
- Norme : \(\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|\)
- Même sens que \(\vec{u}\) si \(k\) > \(0\), sens opposé si \(k\) < \(0\)
Exemple : Si \(\vec{u}\) a pour norme \(3\) :
- \(2\vec{u}\) a pour norme \(6\), même sens que \(\vec{u}\)
- \(-\vec{u}\) a pour norme \(3\), sens opposé à \(\vec{u}\)
- \(\displaystyle\frac{1}{2}\vec{u}\) a pour norme \(\displaystyle\frac{3}{2}\), même sens que \(\vec{u}\)
La multiplication par un réel est distributive par rapport à l’addition :
\(k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}\) \((k + l)\vec{u} = k\vec{u} + l\vec{u}\)Ces propriétés sont essentielles pour manipuler des expressions vectorielles avec des coefficients. Elles interviennent notamment dans l’étude des vecteurs colinéaires : deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l’un est un multiple de l’autre.
IV. Démonstration de la relation de Chasles
La relation de Chasles n’est pas un simple « truc de calcul » : elle se démontre rigoureusement. Voici deux approches complémentaires, la seconde offrant un éclairage plus profond sur le lien entre vecteurs et translations.
A. Démonstration géométrique
Démonstration au programme
On veut montrer que pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) : \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\).
Preuve. Par définition de l’addition de vecteurs (méthode bout à bout) :
- On place le vecteur \(\vec{AB}\) à partir du point \(A\) : on arrive en \(B\).
- On place le vecteur \(\vec{BC}\) à partir du point \(B\) : on arrive en \(C\).
Le vecteur résultant part de \(A\) (point de départ du premier vecteur) et arrive en \(C\) (point d’arrivée du deuxième). Par définition, ce vecteur est \(\vec{AC}\).
Donc \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). ∎
B. Démonstration par composition de translations
Cette deuxième démonstration utilise le lien entre vecteurs et translations. Elle est plus élégante et éclaire la nature profonde de la relation de Chasles — c’est un angle qu’on ne trouve quasiment jamais dans les manuels de Seconde.
Démonstration par composition de translations
On note \(t_{\vec{u}}\) la translation de vecteur \(\vec{u}\), qui envoie tout point \(M\) sur le point \(M^\prime\) tel que \(\vec{MM^\prime} = \vec{u}\).
Preuve.
- La translation \(t_{\vec{AB}}\) envoie \(A\) sur \(B\) (car \(\vec{AB} = \vec{AB}\)).
- La translation \(t_{\vec{BC}}\) envoie \(B\) sur \(C\) (car \(\vec{BC} = \vec{BC}\)).
- La composée \(t_{\vec{BC}} \circ t_{\vec{AB}}\) envoie donc \(A\) sur \(C\).
- Or, la composée de deux translations est une translation dont le vecteur est la somme des vecteurs. Donc \(t_{\vec{BC}} \circ t_{\vec{AB}} = t_{\vec{AB} + \vec{BC}}\).
- La translation qui envoie \(A\) sur \(C\) a pour vecteur \(\vec{AC}\).
Par identification du vecteur de la translation : \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). ∎
Pourquoi cette deuxième démonstration ? Elle montre que la relation de Chasles est une conséquence naturelle du lien entre vecteurs et translations. Ce point de vue sera central en Première et en Terminale, notamment pour les transformations du plan et la géométrie analytique.
📌 Voir aussi — la relation de Chasles dans d’autres domaines
Le nom « relation de Chasles » apparaît aussi dans d’autres chapitres du programme :
- Pour les intégrales (Terminale spé) : \(\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx\) — voir la section « Au-delà de la Seconde ».
- Pour les angles orientés (Première spé) : \((\vec{u}, \vec{w}) = (\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w})\)
Dans chaque cas, le même principe est à l’œuvre : on enchaîne deux étapes intermédiaires pour obtenir le résultat global.
V. Méthode pas à pas : décomposer et simplifier avec Chasles
A. Les 4 étapes de la méthode
Méthode — Simplifier une somme de vecteurs avec la relation de Chasles
- Identifier les points communs : repère les vecteurs dont le point d’arrivée de l’un est le point de départ du suivant (ex : \(\vec{AB}\) et \(\vec{BC}\) s’enchaînent grâce au point \(B\)).
- Transformer les soustractions : remplace chaque \(-\vec{XY}\) par \(\vec{YX}\) pour ne manipuler que des additions.
- Réordonner si nécessaire : utilise la commutativité pour mettre les vecteurs dans un ordre qui crée des chaînes.
- Appliquer Chasles : simplifie les paires de vecteurs qui s’enchaînent, jusqu’à obtenir un seul vecteur résultant.
B. Exemples résolus
Exemple 1 : Simplifier \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}\).
Solution :
Les vecteurs s’enchaînent parfaitement : \(\vec{AB}\) arrive en \(B\), point de départ de \(\vec{BC}\), qui arrive en \(C\), point de départ de \(\vec{CD}\).
On applique Chasles deux fois :
\(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}\)
Exemple 2 : Simplifier \(\vec{CA} + \vec{BD} + \vec{AB}\).
Solution :
Les vecteurs ne s’enchaînent pas directement. On réordonne :
\(\vec{CA} + \vec{BD} + \vec{AB} = \vec{CA} + \vec{AB} + \vec{BD}\) (commutativité)
Maintenant \(\vec{CA}\) arrive en \(A\), point de départ de \(\vec{AB}\). On applique Chasles :
\(\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}\)
Puis \(\vec{CB}\) arrive en \(B\), point de départ de \(\vec{BD}\) :
\(\vec{CB} + \vec{BD} = \vec{CD}\)
Résultat : \(\vec{CA} + \vec{BD} + \vec{AB} = \vec{CD}\)
Exemple 3 : Simplifier \(\vec{AB} – \vec{CB}\).
Solution :
On transforme la soustraction : \(-\vec{CB} = \vec{BC}\).
\(\vec{AB} – \vec{CB} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) (Chasles)
Exemple 4 : Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Exprimer \(\vec{AI}\) en fonction de \(\vec{AB}\).
Solution :
Par la relation de Chasles : \(\vec{AB} = \vec{AI} + \vec{IB}\).
Comme \(I\) est le milieu de \([AB]\), on a \(\vec{AI} = \vec{IB}\). Donc :
\(\vec{AB} = \vec{AI} + \vec{AI} = 2\vec{AI}\)
D’où : \(\vec{AI} = \displaystyle\frac{1}{2}\vec{AB}\)
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les trois erreurs les plus fréquentes que les correcteurs rencontrent dans les copies de DS.
Piège n°1 — L’ordre des lettres
❌ Copie fautive : « \(\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{AC}\) par la relation de Chasles. »
Diagnostic : Pour appliquer Chasles, le point d’arrivée du premier vecteur doit être le point de départ du second. Ici, \(\vec{AB}\) arrive en \(B\), mais \(\vec{CB}\) part de \(C\), pas de \(B\). La chaîne est rompue.
✅ Correction : \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) (on utilise \(\vec{BC}\), pas \(\vec{CB}\)).
Piège n°2 — Confondre Chasles et parallélogramme
❌ Copie fautive : « Par la règle du parallélogramme, \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). »
Diagnostic : La règle du parallélogramme s’utilise quand les deux vecteurs partent du même point (ex : \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\) dans un parallélogramme \(ABCD\)). Quand les vecteurs s’enchaînent (bout à bout), c’est la relation de Chasles.
✅ Correction : « Par la relation de Chasles, \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). »
Piège n°3 — Oublier de transformer les soustractions
❌ Copie fautive : « \(\vec{AB} – \vec{AC}\), donc par Chasles : \(\vec{BC}\). »
Diagnostic : On ne peut pas appliquer Chasles directement à une soustraction. Il faut d’abord transformer \(-\vec{AC}\) en \(\vec{CA}\), puis réordonner.
✅ Correction : \(\vec{AB} – \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{CA} = \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}\) (le résultat est \(\vec{CB}\), pas \(\vec{BC}\)).
VII. Exercices corrigés
Voici 5 exercices classés par difficulté croissante. Essaie de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 ★ — Simplifications directes
Simplifie les expressions vectorielles suivantes :
- \(\vec{MA} + \vec{AB}\)
- \(\vec{PQ} + \vec{QR} + \vec{RS}\)
- \(\vec{EF} + \vec{FG} + \vec{GE}\)
Voir la correction
a) Les vecteurs s’enchaînent : \(\vec{MA}\) arrive en \(A\), point de départ de \(\vec{AB}\).
\(\vec{MA} + \vec{AB} = \vec{MB}\) (Chasles)
b) On applique Chasles deux fois : \(\vec{PQ} + \vec{QR} + \vec{RS} = \vec{PR} + \vec{RS} = \vec{PS}\)
c) \(\vec{EF} + \vec{FG} + \vec{GE} = \vec{EG} + \vec{GE} = \vec{EE} = \vec{0}\)
Les trois vecteurs forment un « circuit fermé » qui revient au point de départ : leur somme est le vecteur nul.
Exercice 2 ★ — Simplifications avec soustraction
Simplifie les expressions suivantes :
- \(\vec{AB} – \vec{AC}\)
- \(\vec{AB} – \vec{CB} + \vec{CD}\)
Voir la correction
a) On transforme la soustraction : \(-\vec{AC} = \vec{CA}\).
\(\vec{AB} – \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{CA} = \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}\)b) On transforme : \(-\vec{CB} = \vec{BC}\).
\(\vec{AB} – \vec{CB} + \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}\)Exercice 3 ★★ — Démontrer une égalité vectorielle
Montrer que pour tous points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) :
\(\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{CB}\)Voir la correction
On travaille sur le membre de gauche. On introduit le point \(C\) dans \(\vec{AB}\) grâce à Chasles :
\(\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}\)Donc :
\(\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{CB} + \vec{CD}\)On réordonne (commutativité) :
\(= \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{CB}\)On applique Chasles à \(\vec{AC} + \vec{CD}\) :
\(= \vec{AD} + \vec{CB}\)Ce qui est bien le membre de droite. ∎
Remarque : cette identité est utile pour réorganiser des sommes de vecteurs quand les points ne s’enchaînent pas directement.
Exercice 4 ★★ — Milieu et relation de Chasles
Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([BC]\). Montrer que :
\(\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AI}\)Voir la correction
On décompose \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) en passant par le point \(I\) (relation de Chasles) :
\(\vec{AB} = \vec{AI} + \vec{IB}\) \(\vec{AC} = \vec{AI} + \vec{IC}\)On additionne membre à membre :
\(\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AI} + \vec{IB} + \vec{IC}\)Or \(I\) est le milieu de \([BC]\), donc \(\vec{IC} = -\vec{IB}\), ce qui donne :
\(\vec{IB} + \vec{IC} = \vec{IB} + (-\vec{IB}) = \vec{0}\)Conclusion :
\(\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AI}\) ∎
Conséquence : \(\vec{AI} = \displaystyle\frac{1}{2}\vec{AB} + \displaystyle\frac{1}{2}\vec{AC}\). C’est la formule du milieu en vecteurs, très utile pour exprimer la position d’un milieu.
Exercice 5 ★★★ — Type DS : parallélogramme et milieux
\(ABCD\) est un parallélogramme. On note \(I\) le milieu de \([AB]\).
- Exprimer \(\vec{DI}\) en fonction de \(\vec{DA}\) et \(\vec{AB}\).
- Montrer que \(\vec{DI} = \vec{DA} + \displaystyle\frac{1}{2}\vec{DC}\).
- Le point \(J\) est le milieu de \([DC]\). Montrer que \(\vec{IJ} = \vec{AD}\). Qu’en déduit-on pour les segments \([IJ]\) et \([AD]\) ?
Voir la correction
1) Par la relation de Chasles (en passant par \(A\)) :
\(\vec{DI} = \vec{DA} + \vec{AI}\)Comme \(I\) est le milieu de \([AB]\) : \(\vec{AI} = \displaystyle\frac{1}{2}\vec{AB}\).
Donc : \(\vec{DI} = \vec{DA} + \displaystyle\frac{1}{2}\vec{AB}\)
2) Dans le parallélogramme \(ABCD\), les côtés opposés sont égaux : \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
En remplaçant dans le résultat de la question 1 :
\(\vec{DI} = \vec{DA} + \displaystyle\frac{1}{2}\vec{DC}\) ∎
3) On calcule \(\vec{IJ}\) en passant par \(A\) et \(D\) (relation de Chasles) :
\(\vec{IJ} = \vec{IA} + \vec{AD} + \vec{DJ}\)On sait que :
- \(\vec{IA} = -\vec{AI} = -\displaystyle\frac{1}{2}\vec{AB}\)
- \(\vec{DJ} = \displaystyle\frac{1}{2}\vec{DC} = \displaystyle\frac{1}{2}\vec{AB}\) (car \(\vec{DC} = \vec{AB}\))
Donc :
\(\vec{IJ} = -\displaystyle\frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \displaystyle\frac{1}{2}\vec{AB} = \vec{AD}\) ∎
Puisque \(\vec{IJ} = \vec{AD}\), les segments \([IJ]\) et \([AD]\) sont parallèles et de même longueur. De plus, le quadrilatère \(ADJI\) est un parallélogramme.
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VIII. Questions fréquentes
Qu'est-ce que la relation de Chasles ?
La relation de Chasles est une propriété fondamentale des vecteurs. Elle affirme que pour tous points \(A\), \(B\) et \(C\) du plan : \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Concrètement, elle signifie qu’enchaîner deux déplacements (de \(A\) à \(B\), puis de \(B\) à \(C\)) équivaut au déplacement direct de \(A\) à \(C\).
Quelle est la formule de la relation de Chasles ?
La formule est \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Elle se généralise à \(n\) points : \(\vec{A_1 A_2} + \vec{A_2 A_3} + \cdots + \vec{A_{n-1} A_n} = \vec{A_1 A_n}\). Les points intermédiaires s’effacent dans la somme.
Comment appliquer la relation de Chasles ?
Suis ces 4 étapes :
- Repère les vecteurs dont le point d’arrivée de l’un est le point de départ du suivant.
- Transforme les soustractions : remplace \(-\vec{XY}\) par \(\vec{YX}\).
- Réordonne les vecteurs (commutativité) pour créer des chaînes.
- Applique Chasles pour simplifier chaque paire qui s’enchaîne.
Quelle est la différence entre la relation de Chasles et la règle du parallélogramme ?
La relation de Chasles s’applique quand les vecteurs s’enchaînent (bout à bout) : le point d’arrivée de l’un est le point de départ du suivant (\(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)). La règle du parallélogramme s’applique quand les vecteurs partent du même point : on complète le parallélogramme et la somme est la diagonale (\(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\) dans le parallélogramme \(ABCD\)). Les deux méthodes donnent le même résultat mais s’utilisent dans des situations différentes.
La relation de Chasles fonctionne-t-elle pour les intégrales ?
Oui. En Terminale spé, la relation de Chasles pour les intégrales s’écrit : \(\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx\). Le principe est identique : on « découpe » l’intervalle \([a ; c]\) en deux parties en introduisant un point intermédiaire \(b\).
À quoi sert la relation de Chasles ?
La relation de Chasles sert à simplifier des sommes de vecteurs, à décomposer un vecteur en passant par un point intermédiaire, et à démontrer des propriétés géométriques (alignement de points, parallélisme, parallélogrammes). Elle est indispensable dans quasiment tous les exercices sur les vecteurs, de la Seconde jusqu’en classe préparatoire.
IX. Pour aller plus loin
A. La relation de Chasles pour les intégrales (Terminale spé)
En Terminale, la relation de Chasles réapparaît dans le chapitre sur l’intégration. Pour toute fonction \(f\) continue sur un intervalle contenant \(a\), \(b\) et \(c\) :
\(\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx\)Mini-démonstration. Si \(F\) est une primitive de \(f\) :
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \big(F(b) – F(a)\big) + \big(F(c) – F(b)\big) = F(c) – F(a) = \int_a^c f(x)\,dx\)Le terme \(F(b)\) s’annule — exactement comme le point intermédiaire \(B\) disparaît dans la relation vectorielle.
B. La relation de Chasles pour les angles orientés (Première spé)
En Première, la relation de Chasles s’applique aux mesures d’angles orientés de vecteurs. Pour tous vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) non nuls :
\((\vec{u}, \vec{w}) = (\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w})\)Le vecteur intermédiaire \(\vec{v}\) joue le même rôle que le point \(B\) dans la version vectorielle.
C. Continuer le chapitre
Tu maîtrises maintenant la relation de Chasles et les opérations sur les vecteurs. Pour approfondir :
- Les vecteurs en maths : cours complet du lycée — le pilier du chapitre
- Coordonnées d’un vecteur — calculer les coordonnées d’une somme de vecteurs
- Norme d’un vecteur — la norme d’une somme et l’inégalité triangulaire
- Vecteurs colinéaires — utiliser Chasles pour montrer un alignement de points
- Vecteur directeur d’une droite — en Première et Terminale
- Vecteur normal à une droite et à un plan — en Première et Terminale
- Vecteurs dans l’espace (Terminale spé) — la relation de Chasles en 3D
- Exercices corrigés sur les vecteurs en Seconde (PDF) — pour t’entraîner davantage
