Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec un niveau de rigueur pensé pour le lycée et la prépa. Découvrir le professeur
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une norme. Au programme de la Seconde à la Terminale, les vecteurs sont l’outil central de la géométrie analytique — et un passage obligé vers la prépa. Tu trouveras ici : définitions rigoureuses, propriétés, formules clés, exercices corrigés pas à pas et pièges classiques à éviter. Conforme au programme 2025-2026.
🗺️ Carte de progression : les vecteurs du lycée à la prépa
🟢 Seconde
Définition, addition, colinéarité, coordonnées, norme
🟡 Première
Vecteur directeur, vecteur normal, produit scalaire
🔴 Terminale
Vecteurs de l’espace, coplanarité, géométrie 3D
🔵 Prépa
Espaces vectoriels, bases, dimension, applications linéaires
I. Qu’est-ce qu’un vecteur en mathématiques ?
En mathématiques, le mot vecteur a un sens très précis — bien différent du « vecteur » de maladie en biologie ou de l’image vectorielle en graphisme. Un vecteur mathématique traduit un déplacement dans le plan (ou dans l’espace) : il indique dans quelle direction on se déplace, dans quel sens et de quelle longueur.
Définition — Vecteur
Un vecteur est un objet mathématique entièrement déterminé par trois éléments :
- une direction (la droite qui porte le déplacement) ;
- un sens (l’orientation choisie sur cette droite) ;
- une norme (la longueur du déplacement, toujours positive ou nulle).
Deux vecteurs ayant la même direction, le même sens et la même norme sont égaux, quelle que soit leur position dans le plan.
C’est une différence fondamentale avec un segment : un vecteur n’est pas attaché à un point de départ fixe. On peut le « glisser » librement dans le plan, tant qu’on conserve ses trois caractéristiques.
A. Direction, sens et norme : les trois caractéristiques
Prenons un exemple concret. Imagine un trajet en ligne droite entre deux points du plan :
- La direction : c’est la droite qui porte le trajet (horizontale, verticale, inclinée à 45°…). Deux vecteurs ont la même direction s’ils sont portés par des droites parallèles (ou confondues).
- Le sens : sur cette droite, il y a toujours deux sens possibles (gauche/droite, haut/bas…). Le vecteur en choisit un, matérialisé par la pointe de la flèche.
- La norme : c’est la longueur du déplacement, notée \(\|\vec{u}\|\). Tu apprendras à la calculer à partir des coordonnées d’un vecteur grâce au théorème de Pythagore.
B. Notations : \(\overrightarrow{AB}\) et \(\vec{u}\)
On utilise deux notations principales pour désigner un vecteur :
- Notation « deux points » : \(\overrightarrow{AB}\) désigne le vecteur qui va du point \(A\) (l’origine) au point \(B\) (l’extrémité). L’ordre des lettres compte : \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) ont le même support mais sont opposés.
- Notation « lettre » : \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) désignent des vecteurs sans préciser de point de départ ni d’arrivée. C’est la notation la plus courante pour les calculs.
Astuce de rédaction : la flèche au-dessus de la lettre signale qu’il s’agit d’un vecteur, pas d’un simple nombre. Ne l’oublie jamais dans tes copies — écrire \(AB\) au lieu de \(\overrightarrow{AB}\) est une erreur classique sanctionnée en contrôle.
C. Cas particuliers : vecteur nul, vecteurs égaux et vecteurs opposés
Trois cas reviennent constamment dans les exercices :
Le vecteur nul, noté \(\vec{0}\), est le vecteur dont la norme vaut 0. Il n’a ni direction ni sens définis. Pour tout point \(A\), on a \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\). Attention : le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur — c’est un piège fréquent en contrôle.
Vecteurs égaux : deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme. On écrit \(\vec{u} = \vec{v}\). Conséquence directe : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) signifie que le quadrilatère \(ABDC\) est un parallélogramme.
Vecteurs opposés : le vecteur opposé de \(\vec{u}\) est \(-\vec{u}\). Il a la même direction et la même norme que \(\vec{u}\), mais un sens contraire. Par exemple, \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\).
II. Les opérations sur les vecteurs
Les vecteurs ne servent pas qu’à représenter des déplacements : on peut les additionner, les multiplier par un nombre, et calculer leurs coordonnées et leur norme. Voici les quatre opérations fondamentales que tu dois maîtriser.
A. Addition de vecteurs et relation de Chasles
L’addition de deux vecteurs consiste à enchaîner deux déplacements. Si tu te déplaces d’abord de \(A\) vers \(B\), puis de \(B\) vers \(C\), le résultat est un déplacement direct de \(A\) vers \(C\).
Relation de Chasles
Pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) du plan :
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)
C’est l’une des formules les plus utilisées en géométrie au lycée. Elle permet de simplifier des sommes de vecteurs en « supprimant » les points intermédiaires. Pour un cours détaillé avec démonstration et exercices, consulte la page dédiée à la relation de Chasles.
Moyen mnémotechnique : dans \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\), la lettre de fin du premier vecteur (\(B\)) est la même que la lettre de début du second. Les lettres « intérieures » s’annulent, et il ne reste que \(A\) et \(C\).
B. Multiplication par un réel et translation
Multiplier un vecteur \(\vec{u}\) par un réel \(k\) donne un nouveau vecteur \(k\vec{u}\) :
- \(k\vec{u}\) a la même direction que \(\vec{u}\) ;
- si \(k\) > \(0\), il a le même sens ; si \(k\) < \(0\), le sens opposé ;
- sa norme vaut \(\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|\).
Cette opération est directement liée à la notion de translation. La translation de vecteur \(\vec{u}\) est la transformation qui, à tout point \(M\) du plan, associe l’unique point \(M^\prime\) tel que \(\overrightarrow{MM^\prime} = \vec{u}\). Chaque point est « glissé » dans la même direction, le même sens et de la même longueur.
C. Coordonnées d’un vecteur dans un repère
Dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j})\), tout vecteur \(\vec{u}\) s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de base :
\(\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\)Les nombres \(x\) et \(y\) sont les coordonnées du vecteur. On note \(\vec{u}(x\,;\,y)\) ou \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\).
Coordonnées d’un vecteur défini par deux points
Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors :
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B – x_A \\ y_B – y_A \end{pmatrix}\)
C’est la formule de base de toute la géométrie analytique au lycée. Elle te permet ensuite de tester la colinéarité, de calculer des distances et de résoudre des problèmes d’alignement. Pour la méthode détaillée, consulte notre cours sur les coordonnées d’un vecteur.
Toutes les formules sur les vecteurs en une fiche PDF
Coordonnées, norme, colinéarité, relation de Chasles… Une fiche recto-verso à imprimer pour tes révisions et tes contrôles.
📄 Télécharger la fiche PDF gratuiteUtilisée par plus de 3 000 lycéens — idéale la veille du contrôle.
D. Norme d’un vecteur
La norme d’un vecteur est sa longueur. On la calcule à partir des coordonnées grâce au théorème de Pythagore.
Formule de la norme (plan)
Si \(\vec{u}(x\,;\,y)\), alors :
\(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
En particulier, la distance entre deux points \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) vaut :
\(AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\)
La démonstration et les exemples détaillés sont dans notre page sur la norme d’un vecteur. En Terminale, la formule s’étend à l’espace avec une troisième coordonnée \(z\).
Piège fréquent : la norme est toujours positive ou nulle. Elle ne vaut zéro que pour le vecteur nul. N’écris jamais \(\|\vec{u}\| = -3\) — c’est impossible.
III. Les vecteurs au programme du lycée
Les vecteurs s’étudient sur trois ans au lycée, avec une difficulté croissante. Voici ce qui t’attend à chaque niveau. Conforme au programme officiel 2025-2026.
A. Programme de Seconde
C’est en Seconde que les vecteurs font leur entrée. Tu y apprends les fondamentaux :
- Définition d’un vecteur (direction, sens, norme)
- Notations \(\overrightarrow{AB}\) et \(\vec{u}\)
- Égalité de vecteurs et lien avec le parallélogramme
- Addition de vecteurs et relation de Chasles
- Multiplication par un réel
- Coordonnées d’un vecteur dans un repère
- Colinéarité de deux vecteurs (critère du déterminant)
- Calcul de la norme
Pour t’entraîner, retrouve nos exercices corrigés sur les vecteurs en Seconde avec PDF téléchargeable.
B. Programme de Première spé maths
En Première, les vecteurs deviennent un outil pour étudier les droites du plan :
- Vecteur directeur d’une droite : tout vecteur non nul parallèle à une droite. Il permet d’écrire l’équation cartésienne d’une droite.
- Vecteur normal : tout vecteur perpendiculaire à une droite. Il mène aussi à l’équation cartésienne, par une autre approche.
- Produit scalaire : un nouvel outil pour calculer des angles, des longueurs, et caractériser l’orthogonalité. La projection orthogonale d’un vecteur sur un autre en découle directement.
C. Programme de Terminale spé maths
En Terminale, on passe du plan à l’espace :
- Vecteurs de l’espace : repères en 3D, coordonnées \((x\,;\,y\,;\,z)\)
- Coplanarité : trois vecteurs sont coplanaires si l’un est combinaison linéaire des deux autres
- Vecteur normal à un plan : extension du vecteur normal vu en Première
- Représentations paramétriques de droites et plans
C’est un thème récurrent au bac. Retrouve notre cours complet sur les vecteurs dans l’espace en Terminale.
D. Et en prépa ?
🔵 Pour aller plus loin — Prépa MPSI/PCSI
En classe préparatoire, les vecteurs du lycée deviennent un cas particulier d’une structure bien plus vaste : l’espace vectoriel. Tu y manipuleras des bases, des familles libres et génératrices, la notion de dimension, et les applications linéaires. Les vecteurs « géométriques » du plan et de l’espace que tu connais correspondent à \(\mathbb{R}^2\) et \(\mathbb{R}^3\), mais un espace vectoriel peut avoir une infinité de dimensions…
IV. Formules essentielles à retenir
Le tableau ci-dessous récapitule toutes les formules clés sur les vecteurs. Garde-le sous les yeux pendant tes révisions.
| Notion | Formule | Niveau |
|---|---|---|
| Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) | \(\begin{pmatrix} x_B – x_A \\ y_B – y_A \end{pmatrix}\) | 🟢 Seconde |
| Relation de Chasles | \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) | 🟢 Seconde |
| Multiplication par un réel | \(k\vec{u}(x\,;\,y) = (kx\,;\,ky)\) | 🟢 Seconde |
| Milieu de \([AB]\) | \(M\!\left(\displaystyle\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,\displaystyle\frac{y_A + y_B}{2}\right)\) | 🟢 Seconde |
| Colinéarité de \(\vec{u}(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}(x^\prime\,;\,y^\prime)\) | \(xy^\prime – x^\prime y = 0\) | 🟢 Seconde |
| Norme (plan) | \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\) | 🟢 Seconde |
| Distance entre deux points | \(AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\) | 🟢 Seconde |
| Norme (espace 3D) | \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) | 🔴 Terminale |
V. Exercices corrigés
Voici quatre exercices progressifs pour vérifier que tu maîtrises les bases. Essaie de les résoudre avant de lire la correction.
Exercice 1 ★ — Coordonnées et norme
On donne les points \(A(1\,;\,4)\) et \(B(5\,;\,1)\).
- Calcule les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
- Calcule la norme \(\|\overrightarrow{AB}\|\).
Voir la correction
1. On applique la formule des coordonnées :
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B – x_A \\ y_B – y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 – 1 \\ 1 – 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}\)2. On applique la formule de la norme :
\(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)La distance \(AB\) vaut donc 5 unités.
Exercice 2 ★★ — Test de colinéarité
On donne \(\vec{u}(6\,;\,-3)\) et \(\vec{v}(-4\,;\,2)\). Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont-ils colinéaires ?
Voir la correction
On calcule le déterminant :
\(\det(\vec{u},\,\vec{v}) = 6 \times 2 – (-3) \times (-4) = 12 – 12 = 0\)Le déterminant est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
Vérification : on cherche \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\). On a \(6 = k \times (-4)\), soit \(k = -\displaystyle\frac{3}{2}\). On vérifie : \(-3 = -\displaystyle\frac{3}{2} \times 2 = -3\) ✓
Exercice 3 ★★ — Relation de Chasles
Dans un repère orthonormé, on donne \(A(2\,;\,3)\), \(B(5\,;\,1)\) et \(C(8\,;\,7)\).
- Calcule \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) par les coordonnées.
- Vérifie le résultat en utilisant la relation de Chasles.
Voir la correction
1. On calcule chaque vecteur :
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}\)
Somme : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3 + 3 \\ -2 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\)
2. Par la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).
Vérifions : \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 8 – 2 \\ 7 – 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\) ✓
Les deux résultats coïncident, ce qui confirme la relation de Chasles.
Exercice 4 ★★★ — Parallélogramme
On donne \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,3)\), \(C(6\,;\,7)\). Détermine les coordonnées du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
Voir la correction
\(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).
On calcule : \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\).
Notons \(D(x_D\,;\,y_D)\). Alors :
\(\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} 6 – x_D \\ 7 – y_D \end{pmatrix}\)L’égalité \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) donne le système :
\(6 – x_D = 3\) et \(7 – y_D = 1\)
D’où \(x_D = 3\) et \(y_D = 6\).
Conclusion : \(D(3\,;\,6)\).
Vérification : \(\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\), donc \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) ✓. Les côtés opposés sont bien parallèles et de même longueur.
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les cinq erreurs que je corrige le plus souvent dans les copies de mes élèves.
Piège n°1 — Oublier la flèche
❌ « Le vecteur \(AB\) a pour coordonnées… »
✅ « Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées… »
Sans la flèche, \(AB\) désigne la distance (un nombre positif), pas le vecteur.
Piège n°2 — Inverser l’ordre des points
❌ « \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\) »
✅ « \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\) »
Ces deux vecteurs ont le même support et la même norme, mais des sens opposés. L’ordre des lettres compte toujours.
Piège n°3 — Confondre colinéaire et égal
Deux vecteurs colinéaires ont la même direction, mais pas nécessairement le même sens ni la même norme. Colinéaire signifie « il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\) ». Si \(k = 1\), ils sont égaux. Si \(k = -1\), ils sont opposés. Mais si \(k = 3\), ils sont colinéaires sans être égaux.
Piège n°4 — Se tromper de signe dans les coordonnées
❌ « \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_A – x_B \\ y_A – y_B \end{pmatrix}\) »
✅ « \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B – x_A \\ y_B – y_A \end{pmatrix}\) »
Retiens : c’est toujours arrivée moins départ. Pour \(\overrightarrow{AB}\), on part de \(A\) (départ) et on arrive en \(B\) (arrivée).
Piège n°5 — Oublier que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur
Le vecteur \(\vec{0}\) est colinéaire à n’importe quel vecteur \(\vec{v}\), car \(\vec{0} = 0 \times \vec{v}\). C’est un cas limite que les élèves oublient systématiquement. Dans un exercice du type « les vecteurs sont-ils colinéaires ? », si l’un des deux est nul, la réponse est toujours oui.
VII. Questions fréquentes sur les vecteurs
C'est quoi un vecteur en maths ?
Un vecteur est un objet mathématique qui représente un déplacement dans le plan ou l’espace. Il est entièrement défini par trois éléments : une direction (la droite qui le porte), un sens (l’orientation sur cette droite) et une norme (sa longueur). Contrairement à un point, un vecteur n’est pas fixé à un endroit précis : on peut le « translater » librement.
Quelles sont les trois caractéristiques d'un vecteur ?
Les trois caractéristiques d’un vecteur sont : 1) la direction (la droite support du vecteur), 2) le sens (de gauche à droite, de bas en haut…), 3) la norme (la longueur du vecteur, notée \(\|\vec{u}\|\)). Deux vecteurs partageant ces trois caractéristiques sont considérés comme égaux, même s’ils ne sont pas tracés au même endroit du plan.
Comment calculer les coordonnées d'un vecteur ?
Si tu connais les coordonnées des deux points \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) se calculent par la formule : \(\overrightarrow{AB}(x_B – x_A\,;\,y_B – y_A)\). C’est toujours arrivée moins départ. Exemple : si \(A(2\,;\,5)\) et \(B(7\,;\,3)\), alors \(\overrightarrow{AB}(5\,;\,-2)\).
Comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires ?
Deux vecteurs \(\vec{u}(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}(x^\prime\,;\,y^\prime)\) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : \(xy^\prime – x^\prime y = 0\). Si le déterminant est différent de zéro, les vecteurs ne sont pas colinéaires. Consulte notre cours complet sur les vecteurs colinéaires pour la méthode détaillée et les exercices.
Quelle est la différence entre un vecteur et un scalaire ?
Un scalaire est un simple nombre réel (par exemple \(3\), \(-2{,}5\) ou \(\pi\)). Un vecteur est un objet à plusieurs composantes (direction, sens, norme) — dans un repère du plan, il a deux coordonnées \((x\,;\,y)\). On ne peut pas comparer un vecteur et un scalaire : un vecteur n’est ni positif ni négatif. En revanche, sa norme est un scalaire (un nombre positif ou nul).
Quelle est la différence entre vecteur directeur et vecteur normal ?
Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur parallèle à cette droite : il indique sa « direction ». Un vecteur normal est un vecteur perpendiculaire à cette droite. Si la droite a pour équation cartésienne \(ax + by + c = 0\), alors \(\vec{n}(a\,;\,b)\) est un vecteur normal et \(\vec{u}(-b\,;\,a)\) est un vecteur directeur. Voir nos cours dédiés au vecteur directeur et au vecteur normal.
À quoi sert la relation de Chasles ?
La relation de Chasles (\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)) sert à simplifier des sommes de vecteurs en supprimant les points intermédiaires. Elle est indispensable pour démontrer des alignements, des parallélismes et pour résoudre la plupart des exercices de géométrie analytique. En Terminale, une « relation de Chasles pour les intégrales » s’applique aussi : \(\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx\).
Qu'est-ce que la norme d'un vecteur ?
La norme d’un vecteur \(\vec{u}\), notée \(\|\vec{u}\|\), est sa longueur. Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}(x\,;\,y)\), alors \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\). La norme est toujours positive ou nulle ; elle vaut zéro uniquement pour le vecteur nul. En Terminale, la formule s’étend à l’espace : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\). Plus de détails sur notre page norme d’un vecteur.
📄 Révise 2× plus vite — fiche PDF
Tu maîtrises maintenant les fondamentaux des vecteurs. Pour approfondir chaque notion :
- Vecteurs colinéaires — critère du déterminant, alignement de points et exercices corrigés
- Coordonnées d’un vecteur — formules, calcul pas à pas et applications
- Addition de vecteurs et relation de Chasles — démonstration, méthode et exercices
- Norme d’un vecteur — formule, démonstration par Pythagore et calculateur
- Vecteur directeur d’une droite — définition et lien avec l’équation cartésienne
- Vecteur normal — droites et plans, méthode de calcul
- Vecteurs dans l’espace (Terminale) — cours complet, coplanarité et exercices type bac
- Exercices corrigés sur les vecteurs en Seconde (PDF)
