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En Seconde et en Première, tu as manipulé des vecteurs dans le plan. En Terminale spé maths, tu passes à la troisième dimension : les vecteurs vivent désormais dans l’espace. Une question fondamentale se pose alors : trois vecteurs donnés restent-ils « aplatis » dans un même plan, ou « remplissent-ils » véritablement tout l’espace ? C’est exactement ce que la notion de vecteurs coplanaires permet de trancher — et c’est un outil incontournable pour les sujets de bac.
Dans cet article, tu vas comprendre ce que signifie « vecteurs coplanaires », maîtriser les deux méthodes de démonstration (décomposition et déterminant), éviter les pièges classiques et t’entraîner sur 5 exercices type bac corrigés pas à pas. Conforme au programme de Terminale spé maths 2025-2026.
I. Qu’est-ce que des vecteurs coplanaires ?
A. Rappels — Les vecteurs dans l’espace
Dans l’espace, on travaille dans un repère \((O\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k})\). Chaque vecteur possède trois coordonnées :
\(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)Cela signifie que \(\vec{u} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k}\). Deux vecteurs sont colinéaires s’il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\,\vec{v}\) — ils pointent alors dans la même direction. Avec trois vecteurs, une question plus subtile apparaît : restent-ils tous dans un même plan, ou occupent-ils les trois dimensions de l’espace ?
B. Définition formelle
Définition — Vecteurs coplanaires
Trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) de l’espace sont dits coplanaires s’il existe un plan \(\mathcal{P}\) tel que les trois vecteurs, représentés à partir d’un même point, sont tous contenus dans \(\mathcal{P}\).
De manière équivalente : \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires si et seulement si l’un d’entre eux s’écrit comme combinaison linéaire des deux autres.
Le mot « coplanaire » vient du latin co- (ensemble) et planum (plan). Trois vecteurs coplanaires sont donc, littéralement, trois vecteurs qui vivent « dans un même plan ».
C. Interprétation géométrique
Imagine que tu places les trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) à partir du même point \(O\). Deux situations sont possibles :
- Cas coplanaire : les trois flèches restent « à plat », contenues dans un même plan passant par \(O\). Le troisième vecteur n’apporte pas de direction véritablement nouvelle — il est une combinaison des deux premiers.
- Cas non coplanaire : le troisième vecteur « sort » du plan défini par les deux premiers. Les trois vecteurs explorent les trois dimensions de l’espace.
Image mentale : pose trois crayons sur une table. Quoi que tu fasses, ils sont coplanaires (le plan de la table les contient tous). Maintenant, prends le troisième crayon et pointe-le vers le plafond : les trois crayons ne sont plus coplanaires.
D. Cas particuliers
Certaines situations méritent une attention particulière :
- Deux vecteurs sont toujours coplanaires. En effet, deux vecteurs issus du même point déterminent un plan (ou sont colinéaires, et tout plan les contenant convient). La question de la coplanarité n’a donc de sens qu’à partir de trois vecteurs.
- Si l’un des trois vecteurs est le vecteur nul \(\vec{0}\), les trois vecteurs sont automatiquement coplanaires. En effet, \(\vec{0} = 0 \cdot \vec{u} + 0 \cdot \vec{v}\) pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
- Si deux des trois vecteurs sont colinéaires, les trois vecteurs sont automatiquement coplanaires. Par exemple, si \(\vec{u} = k\,\vec{v}\), alors \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont contenus dans tout plan contenant \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\).
Attention : la réciproque du dernier point est fausse. Trois vecteurs peuvent être coplanaires sans qu’aucun couple ne soit colinéaire. Par exemple, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) et \(\vec{i} + \vec{j}\) sont coplanaires mais aucun n’est colinéaire à un autre.
II. Critère de coplanarité et propriétés
La définition géométrique (« contenus dans un même plan ») est intuitive, mais difficile à exploiter en calcul. Le théorème suivant donne un critère algébrique — c’est l’outil que tu utiliseras dans les exercices et au bac.
A. Théorème fondamental — Critère de décomposition
Théorème (critère de coplanarité)
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non colinéaires de l’espace. Un vecteur \(\vec{w}\) est coplanaire avec \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) si et seulement s’il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que :
\(\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}\)
Autrement dit, \(\vec{w}\) est coplanaire avec \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) si et seulement si \(\vec{w}\) est combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
Ce théorème est au cœur du programme. Il transforme la question géométrique « ces vecteurs sont-ils dans un même plan ? » en une question algébrique : « puis-je résoudre un système d’équations ? ».
B. Démonstration au programme
Démonstration au programme
Sens \(\Leftarrow\) : Supposons que \(\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}\). Choisissons un point \(O\) et plaçons \(A\), \(B\), \(C\) tels que \(\vec{OA} = \vec{u}\), \(\vec{OB} = \vec{v}\) et \(\vec{OC} = \vec{w}\). Comme \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires, les points \(O\), \(A\), \(B\) ne sont pas alignés et définissent un unique plan \(\mathcal{P}\). Le point \(C\), construit comme \(\vec{OC} = a\,\vec{OA} + b\,\vec{OB}\), est obtenu par des opérations qui restent dans \(\mathcal{P}\). Donc \(\vec{w} \in \mathcal{P}\) : les trois vecteurs sont coplanaires.
Sens \(\Rightarrow\) : Supposons que \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires, contenus dans un plan \(\mathcal{P}\). Dans ce plan, les deux vecteurs non colinéaires \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) forment une base des directions du plan : tout vecteur de \(\mathcal{P}\) peut s’écrire comme combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). En particulier, \(\vec{w} \in \mathcal{P}\), donc il existe \(a, b \in \mathbb{R}\) tels que \(\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}\). ∎
Pour le bac : le sens \(\Leftarrow\) (« si \(\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}\), alors ils sont coplanaires ») est celui que tu utiliseras le plus souvent. Tu trouves les coefficients \(a\) et \(b\), et tu conclus.
C. Conséquence fondamentale — Base de l’espace
Le théorème précédent a une conséquence majeure, qui relie la coplanarité à la notion de base de l’espace :
Propriété — Base de l’espace
Trois vecteurs de l’espace forment une base si et seulement s’ils sont non coplanaires.
Si \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) est une base de l’espace, alors tout vecteur \(\vec{t}\) de l’espace s’écrit de manière unique sous la forme :
\(\vec{t} = \alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v} + \gamma\,\vec{w} \quad \text{avec } (\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R}^3\)
En pratique, cela signifie :
- Vecteurs coplanaires : ils sont « redondants » — le troisième n’apporte pas de direction nouvelle. Ils ne suffisent pas à repérer tous les points de l’espace.
- Vecteurs non coplanaires : ils « couvrent » les trois dimensions et permettent de repérer tout point de l’espace par trois coordonnées. C’est exactement ce que fait le repère \((O\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k})\).
Exemple : Les vecteurs \(\vec{i}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{j}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) et \(\vec{k}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) ne sont pas coplanaires (aucun ne s’écrit comme combinaison des deux autres). Ils forment la base canonique de l’espace. Tout vecteur \(\vec{t}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) se décompose : \(\vec{t} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k}\).
Fiche de synthèse — Vecteurs dans l’espace (Terminale)
Définition, critère de coplanarité, règle de Sarrus et méthode de décomposition sur une seule page recto-verso.
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III. Méthodes pas à pas pour montrer la coplanarité
Tu disposes de deux méthodes pour montrer (ou réfuter) la coplanarité de trois vecteurs. La première est la méthode de décomposition, directement issue du théorème. La seconde utilise le déterminant 3×3, un raccourci calculatoire très efficace.
A. Méthode 1 — Par décomposition en combinaison linéaire
C’est la méthode « officielle » du programme. Elle consiste à chercher explicitement les coefficients \(a\) et \(b\).
Méthode — Décomposition
- Poser l’égalité \(\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}\).
- Traduire en coordonnées : un système de 3 équations à 2 inconnues \((a, b)\).
- Résoudre en utilisant deux des trois équations (choisir les plus simples).
- Vérifier que les valeurs obtenues satisfont la troisième équation.
- Conclure : si la vérification réussit, les vecteurs sont coplanaires. Sinon, ils ne le sont pas.
Exemple résolu : Les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w}\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\) sont-ils coplanaires ?
Étape 1 : On cherche \(a\) et \(b\) réels tels que \(\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}\).
Étape 2 : En coordonnées :
\(\begin{cases} a + 3b = 5 \\ 2a + b = 5 \\ -a + 2b = 0 \end{cases}\)
Étape 3 : L’équation (3) donne \(a = 2b\). On substitue dans (2) : \(4b + b = 5\), soit \(b = 1\) et \(a = 2\).
Étape 4 : Vérification dans (1) : \(2 + 3 \times 1 = 5\) ✓
Conclusion : \(\vec{w} = 2\,\vec{u} + \vec{v}\), donc les trois vecteurs sont coplanaires.
B. Méthode 2 — Par le déterminant 3×3
Cette méthode est un raccourci puissant qui évite de résoudre un système. Le déterminant d’une matrice 3×3 est un nombre qui vaut zéro exactement lorsque les trois vecteurs colonnes sont coplanaires.
Propriété — Critère du déterminant
Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w}\begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \\ z_3 \end{pmatrix}\). Les trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si :
\(\det(\vec{u},\,\vec{v},\,\vec{w}) = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{vmatrix} = 0\)
Comment calculer ce déterminant ? La règle de Sarrus donne directement le résultat :
\(\det = x_1 y_2 z_3 + x_2 y_3 z_1 + x_3 y_1 z_2 – x_3 y_2 z_1 – x_1 y_3 z_2 – x_2 y_1 z_3\)
Moyen mnémotechnique : recopie les deux premières colonnes à droite de la matrice. Fais les trois produits en diagonale descendante (signes +), puis les trois produits en diagonale montante (signes −). Additionne le tout.
Exemple résolu : Reprenons les mêmes vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w}\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\).
Diagonales descendantes : \((1)(1)(0) + (3)(5)(-1) + (5)(2)(2) = 0 – 15 + 20 = 5\)
Diagonales montantes : \((5)(1)(-1) + (1)(5)(2) + (3)(2)(0) = -5 + 10 + 0 = 5\)
\(\det = 5 – 5 = 0\)
Conclusion : le déterminant est nul, les trois vecteurs sont coplanaires ✓
C. Quelle méthode choisir ?
Les deux méthodes donnent évidemment le même résultat. Voici comment choisir :
| Méthode 1 — Décomposition | Méthode 2 — Déterminant | |
|---|---|---|
| Principe | Résoudre \(\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}\) | Calculer \(\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) |
| Résultat | Donne les coefficients \(a\) et \(b\) | Donne un nombre (0 ou non) |
| Quand l’utiliser | Quand l’énoncé demande d’exprimer un vecteur en fonction des autres | Quand on veut juste savoir si c’est coplanaire ou non |
| Avantage | Fournit la décomposition explicite | Calcul direct, rapide, sans système à résoudre |
| Inconvénient | Système de 3 éq. à 2 inconnues à résoudre | Ne donne pas les coefficients de la décomposition |
| Au programme ? | Oui (méthode officielle) | Outil pratique, formellement vu en prépa |
En résumé : si l’énoncé dit « montrer que les vecteurs sont coplanaires », les deux méthodes conviennent. Si l’énoncé dit « exprimer \(\vec{w}\) comme combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) », tu dois utiliser la méthode 1.
IV. Exercices corrigés type bac
Voici 5 exercices classés par difficulté croissante. Essaie de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction — c’est le seul moyen de progresser réellement.
Exercice 1 ★ — Vérifier la coplanarité (décomposition)
On considère les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w}\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\).
Montrer que \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires et exprimer \(\vec{w}\) comme combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
Voir la correction
On cherche \(a, b \in \mathbb{R}\) tels que \(\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}\), soit :
\(\begin{cases} a + 3b = 5 \quad (1) \\ 2a + b = 5 \quad (2) \\ -a + 2b = 0 \quad (3) \end{cases}\)L’équation (3) donne \(a = 2b\). On substitue dans (2) : \(4b + b = 5\), soit \(b = 1\) et \(a = 2\).
Vérification dans (1) : \(2 + 3 \times 1 = 5\) ✓
Le système admet la solution \((a ; b) = (2 ; 1)\). Donc \(\vec{w} = 2\,\vec{u} + \vec{v}\) et les trois vecteurs sont coplanaires.
Exercice 2 ★ — Montrer que trois vecteurs forment une base
On considère les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).
a) Montrer que \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) ne sont pas coplanaires.
b) En déduire que \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) est une base de l’espace.
Voir la correction
a) On cherche si \(\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}\) admet une solution :
\(\begin{cases} a = 1 \quad (1) \\ a + b = 0 \quad (2) \\ b = 1 \quad (3) \end{cases}\)De (1) : \(a = 1\). De (2) : \(b = -a = -1\). Mais (3) exige \(b = 1\). Contradiction.
Le système est incompatible : \(\vec{w}\) ne s’écrit pas comme combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.
b) Trois vecteurs de l’espace sont non coplanaires si et seulement s’ils forment une base. Donc \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) est une base de l’espace.
Exercice 3 ★★ — Montrer que quatre points sont coplanaires
On considère les points \(A(1\,;\,0\,;\,2)\), \(B(3\,;\,1\,;\,0)\), \(C(0\,;\,1\,;\,1)\) et \(D(2\,;\,2\,;\,-1)\).
Montrer que les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont coplanaires.
Voir la correction
Quatre points sont coplanaires si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{AD}\) sont coplanaires. Calculons :
\(\vec{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\quad\vec{AC}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\quad\vec{AD}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\)
On cherche \(a, b \in \mathbb{R}\) tels que \(\vec{AD} = a\,\vec{AB} + b\,\vec{AC}\) :
\(\begin{cases} 2a – b = 1 \quad (1) \\ a + b = 2 \quad (2) \\ -2a – b = -3 \quad (3) \end{cases}\)En additionnant (1) et (2) : \(3a = 3\), soit \(a = 1\). Alors \(b = 2 – 1 = 1\).
Vérification dans (3) : \(-2 \times 1 – 1 = -3\) ✓
On a \(\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}\). Les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{AD}\) sont coplanaires, donc les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont coplanaires.
Exercice 4 ★★ — Décomposer un vecteur dans une base
On reprend la base \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) de l’exercice 2. Décomposer le vecteur \(\vec{t}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) dans cette base.
Voir la correction
On cherche \(\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}\) tels que \(\vec{t} = \alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v} + \gamma\,\vec{w}\) :
\(\begin{cases} \alpha + \gamma = 3 \quad (1) \\ \alpha + \beta = 2 \quad (2) \\ \beta + \gamma = 1 \quad (3) \end{cases}\)Additionnons les trois équations : \(2(\alpha + \beta + \gamma) = 6\), soit \(\alpha + \beta + \gamma = 3\).
En soustrayant (3) : \(\alpha = 3 – 1 = 2\). Puis (2) : \(\beta = 2 – 2 = 0\). Puis (1) : \(\gamma = 3 – 2 = 1\).
Conclusion : \(\vec{t} = 2\,\vec{u} + 0\,\vec{v} + \vec{w} = 2\,\vec{u} + \vec{w}\).
Remarque : le coefficient \(\beta = 0\) signifie que \(\vec{t}\) est coplanaire avec \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\).
Exercice 5 ★★★ — Type bac — Coplanarité dans un cube
Soit \(ABCDEFGH\) un cube. On se place dans le repère \((A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE})\). On note \(M\) le milieu de \([BF]\) et \(N\) le milieu de \([DH]\).
a) Déterminer les coordonnées de \(M\), \(N\) et \(G\) dans ce repère.
b) Montrer que les points \(A\), \(M\), \(N\) et \(G\) sont coplanaires.
c) Le point \(E\) appartient-il au plan \((AMN)\) ?
Voir la correction
a) Dans le repère \((A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE})\), les sommets du cube ont pour coordonnées :
\(B(1\,;\,0\,;\,0)\), \(D(0\,;\,1\,;\,0)\), \(E(0\,;\,0\,;\,1)\), \(F(1\,;\,0\,;\,1)\), \(G(1\,;\,1\,;\,1)\), \(H(0\,;\,1\,;\,1)\).
\(M\) est le milieu de \([BF]\) : \(M\left(1\,;\,0\,;\,\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).
\(N\) est le milieu de \([DH]\) : \(N\left(0\,;\,1\,;\,\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).
b) On calcule les vecteurs issus de \(A(0\,;\,0\,;\,0)\) :
\(\vec{AM}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \displaystyle\frac{1}{2} \end{pmatrix}\), \(\quad\vec{AN}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \displaystyle\frac{1}{2} \end{pmatrix}\), \(\quad\vec{AG}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
On cherche \(a, b \in \mathbb{R}\) tels que \(\vec{AG} = a\,\vec{AM} + b\,\vec{AN}\) :
\(\begin{cases} a = 1 \quad (1) \\ b = 1 \quad (2) \\ \displaystyle\frac{a}{2} + \displaystyle\frac{b}{2} = 1 \quad (3) \end{cases}\)De (1) et (2) : \(a = 1\), \(b = 1\). Vérification dans (3) : \(\displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{2} = 1\) ✓
Donc \(\vec{AG} = \vec{AM} + \vec{AN}\). Les trois vecteurs sont coplanaires, et les points \(A\), \(M\), \(N\), \(G\) sont coplanaires.
c) On vérifie si \(\vec{AE}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) est combinaison linéaire de \(\vec{AM}\) et \(\vec{AN}\) :
\(\begin{cases} a = 0 \quad (1) \\ b = 0 \quad (2) \\ \displaystyle\frac{a}{2} + \displaystyle\frac{b}{2} = 1 \quad (3) \end{cases}\)De (1) et (2) : \(a = b = 0\). Mais (3) donnerait \(0 = 1\) : contradiction.
Le vecteur \(\vec{AE}\) n’est pas combinaison linéaire de \(\vec{AM}\) et \(\vec{AN}\). Donc le point \(E\) n’appartient pas au plan \((AMN)\).
V. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les erreurs que je constate le plus souvent chez mes élèves de Terminale. Chacune peut coûter des points au bac.
Piège 1 — Confondre « coplanaire » et « colinéaire »
❌ Copie fautive : « Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont coplanaires car \(\vec{u} = 2\,\vec{v}\). »
Diagnostic : Quand un vecteur est multiple de l’autre, ils sont colinéaires, pas coplanaires. La colinéarité concerne deux vecteurs et signifie qu’ils ont la même direction. La coplanarité concerne trois vecteurs et signifie qu’ils sont dans un même plan.
✅ Correction : « Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires car \(\vec{u} = 2\,\vec{v}\). » (Et si un troisième vecteur est en jeu : « \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires car deux d’entre eux sont colinéaires. »)
Piège 2 — Oublier de vérifier la troisième équation
❌ Copie fautive : « En résolvant les deux premières équations, on trouve \(a = 3\) et \(b = -1\), donc les vecteurs sont coplanaires. »
Diagnostic : Un système de 3 équations à 2 inconnues peut être incompatible. Trouver une solution aux deux premières ne garantit rien — il faut impérativement vérifier que cette solution satisfait aussi la troisième.
✅ Correction : « On trouve \(a = 3\) et \(b = -1\). Vérification dans la troisième équation : [valeur] ✓. Donc les vecteurs sont coplanaires. »
Piège 3 — Se tromper dans le calcul du déterminant
❌ Erreur fréquente : confondre les diagonales montantes et descendantes dans la règle de Sarrus, ou oublier un signe négatif.
Conseil : toujours écrire les 6 termes séparément avant de les additionner. Note les 3 termes positifs, puis les 3 négatifs. Ne calcule pas « de tête ».
Piège 4 — Conclure « base » sans avoir montré la non-coplanarité
❌ Copie fautive : « Les trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) forment une base de l’espace. » (sans justification)
Diagnostic : pour affirmer qu’un triplet forme une base, tu dois démontrer qu’ils ne sont pas coplanaires (système incompatible ou déterminant non nul). C’est une conclusion, pas un point de départ.
VI. 🔴 Pour aller plus loin — Approche CPGE
Si tu prépares une classe préparatoire scientifique (MPSI, PCSI…), voici comment la coplanarité se reformule dans le cadre plus général de l’algèbre linéaire.
Vocabulaire prépa — Famille liée et famille libre
En CPGE, on dit que trois vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires si et seulement si la famille \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) est liée, c’est-à-dire s’il existe \((\alpha, \beta, \gamma) \neq (0, 0, 0)\) tels que :
\(\alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v} + \gamma\,\vec{w} = \vec{0}\)
Inversement, trois vecteurs non coplanaires forment une famille libre (et même une base de \(\mathbb{R}^3\), car \(\dim(\mathbb{R}^3) = 3\)).
Le déterminant que tu as calculé en méthode 2 reçoit en prépa une interprétation profonde : c’est le déterminant de la matrice \(M = \begin{pmatrix} \vec{u} & \vec{v} & \vec{w} \end{pmatrix}\) dans la base canonique. On montre alors que :
- \(\det(M) = 0\) ⟺ famille liée ⟺ coplanaires ⟺ le rang de la famille est \(\leq 2\)
- \(\det(M) \neq 0\) ⟺ famille libre ⟺ base de \(\mathbb{R}^3\) ⟺ le rang vaut 3
Ce cadre se généralise à \(\mathbb{R}^n\) : en dimension \(n\), une famille de \(n\) vecteurs est libre si et seulement si le déterminant de la matrice associée est non nul. Tu retrouveras ces notions en détail dans le cours sur les espaces vectoriels.
VII. Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un vecteur coplanaire ?
On ne parle pas d’un vecteur coplanaire isolé : la coplanarité est une propriété de trois vecteurs (ou plus). Trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires si, représentés à partir d’un même point, ils sont contenus dans un même plan. Cela revient à dire que l’un des trois est combinaison linéaire des deux autres.
Comment montrer que des vecteurs sont coplanaires ?
Deux méthodes principales. Méthode 1 (décomposition) : on pose \(\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}\), on traduit en système d’équations et on résout. Si le système a une solution, les vecteurs sont coplanaires. Méthode 2 (déterminant) : on calcule le déterminant 3×3 formé par les coordonnées des trois vecteurs. Si ce déterminant vaut 0, les vecteurs sont coplanaires.
Comment savoir si 3 vecteurs sont non coplanaires ?
C’est la situation inverse : si le système \(\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}\) est incompatible (la 3ᵉ équation échoue à la vérification), ou si le déterminant 3×3 est non nul, alors les vecteurs ne sont pas coplanaires. Dans ce cas, ils forment une base de l’espace.
Quelle est la différence entre colinéaire et coplanaire ?
La colinéarité concerne deux vecteurs : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si l’un est un multiple de l’autre (\(\vec{u} = k\,\vec{v}\)). La coplanarité concerne trois vecteurs : ils sont coplanaires si l’un s’écrit comme combinaison linéaire des deux autres. Deux vecteurs colinéaires plus un troisième quelconque forment toujours un triplet coplanaire, mais la réciproque est fausse.
Deux vecteurs sont-ils toujours coplanaires ?
Oui, toujours. Deux vecteurs issus du même point définissent un plan (ou sont colinéaires, et n’importe quel plan passant par leur droite les contient). La question de la coplanarité ne devient intéressante qu’à partir de trois vecteurs.
Trois vecteurs coplanaires forment-ils une base de l'espace ?
Non, jamais. C’est exactement le contraire : trois vecteurs forment une base de l’espace si et seulement s’ils ne sont pas coplanaires. Des vecteurs coplanaires sont « redondants » (le troisième est exprimable à partir des deux autres) et ne suffisent pas à repérer tous les points de l’espace.
Peut-on utiliser le déterminant au bac de Terminale ?
Oui, dans la pratique. La règle de Sarrus est un outil de calcul largement admis au bac, même si la théorie formelle des déterminants relève de la prépa. Si l’énoncé demande « montrer que les vecteurs sont coplanaires », le déterminant est accepté. En revanche, si l’énoncé demande « décomposer \(\vec{w}\) en fonction de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) », il faut utiliser la méthode par système d’équations.
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la notion de vecteurs coplanaires. Pour approfondir la géométrie de l’espace et les vecteurs en général, voici les étapes logiques :
- Les vecteurs en maths : cours complet du lycée — le pilier pour revoir toutes les bases
- Vecteur normal à une droite et à un plan — pour caractériser un plan par son vecteur perpendiculaire
- Vecteur directeur d’une droite — pour les équations paramétriques dans l’espace
- Norme d’un vecteur — formule en 3D et applications aux distances
- Produit scalaire dans l’espace — pour l’orthogonalité et les angles
- Exercices corrigés sur les vecteurs en Seconde — pour consolider les fondamentaux si nécessaire
