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Une droite contient une infinité de points, mais elle n’a qu’une seule « inclinaison ». Comment décrire cette inclinaison avec un seul objet mathématique simple à manipuler ? C’est exactement le rôle du vecteur directeur : il capture la direction d’une droite et devient la clé pour écrire son équation, tester si deux droites sont parallèles, ou repérer un alignement. Dans cet article, tu vas comprendre ce qu’est un vecteur directeur, apprendre à le trouver à coup sûr (à partir de deux points ou d’une équation cartésienne), et éviter les pièges classiques.
I. Définition et contexte
Tout commence par une idée géométrique très intuitive : sur une droite, on peut se déplacer « dans le sens de la droite ». Un vecteur directeur, c’est précisément un vecteur qui indique ce sens de déplacement.
Définition — Vecteur directeur d’une droite
Soit \(d\) une droite. On appelle vecteur directeur de \(d\) tout vecteur non nul \(\vec{u}\) tel qu’il existe deux points \(A\) et \(B\) de \(d\) vérifiant \(\vec{u} = \vec{AB}\).
Autrement dit, \(\vec{u}\) « donne la direction » de la droite \(d\).
Le mot clé de cette définition est non nul : un vecteur nul n’indique aucune direction, il ne peut donc jamais être un vecteur directeur. Retiens aussi que, dès qu’une droite passe par deux points distincts \(A\) et \(B\), le vecteur \(\vec{AB}\) en est automatiquement un vecteur directeur.
A. Une droite, une infinité de vecteurs directeurs
Une question naturelle : une droite a-t-elle un vecteur directeur, ou plusieurs ? La réponse est qu’elle en a une infinité. En effet, si \(\vec{u}\) dirige la droite \(d\), alors \(2\vec{u}\) (deux fois plus long, même sens) et \(-\vec{u}\) (même longueur, sens opposé) la dirigent tout aussi bien.
Exemple : Si \(\vec{u}(3 ; 1)\) est un vecteur directeur d’une droite \(d\), alors :
- \(\vec{v}(6 ; 2) = 2\vec{u}\) est aussi un vecteur directeur de \(d\) ;
- \(\vec{w}(-3 ; -1) = -\vec{u}\) est aussi un vecteur directeur de \(d\) ;
- \(\vec{t}(1{,}5 ; 0{,}5) = \displaystyle\frac{1}{2}\vec{u}\) est aussi un vecteur directeur de \(d\).
Tous pointent « dans la direction » de \(d\), avec une longueur ou un sens différents.
B. Cas particuliers utiles
- Droite horizontale : un vecteur directeur est \(\vec{u}(1 ; 0)\).
- Droite verticale : un vecteur directeur est \(\vec{u}(0 ; 1)\).
- Droite passant par l’origine et un point \(M(a ; b)\) : \(\vec{OM}(a ; b)\) en est un vecteur directeur.
Maintenant que nous savons reconnaître un vecteur directeur, regardons la propriété centrale qui relie tous les vecteurs directeurs d’une même droite : la colinéarité.
II. Propriété fondamentale : la colinéarité
L’idée intuitive « tous les vecteurs directeurs pointent dans la même direction » se traduit mathématiquement par un mot précis : ils sont colinéaires.
Propriété — Caractérisation par la colinéarité
Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont des vecteurs directeurs d’une même droite si, et seulement si, ils sont colinéaires, c’est-à-dire s’il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\,\vec{u}\).
Cette propriété est extrêmement pratique : pour vérifier que deux droites sont parallèles, il suffit de vérifier que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Critère du déterminant. Si \(\vec{u}(x ; y)\) et \(\vec{v}(x’ ; y’)\), alors ils sont colinéaires si et seulement si :
\(x\,y’ – x’\,y = 0\)
Ce nombre \(xy’ – x’y\) s’appelle le déterminant des deux vecteurs.
A. Démonstration : les vecteurs directeurs sont colinéaires
Démonstration. Soit \(d\) une droite et \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) deux de ses vecteurs directeurs.
Par définition, il existe des points \(A, B, C, D\) de \(d\) tels que \(\vec{u} = \vec{AB}\) et \(\vec{v} = \vec{CD}\). Comme \(A, B, C, D\) appartiennent tous à la même droite \(d\), les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) ont la même direction (celle de \(d\)). Deux vecteurs de même direction sont colinéaires : il existe donc un réel \(k\) tel que \(\vec{CD} = k\,\vec{AB}\), soit \(\vec{v} = k\,\vec{u}\).
Réciproquement, si \(\vec{v} = k\,\vec{u}\) avec \(k\) non nul, alors \(\vec{v}\) garde la direction de \(d\) et en est donc un vecteur directeur. ∎
Une fois cette propriété acquise, on dispose d’un outil puissant pour relier la direction d’une droite à son équation. C’est l’objet de la méthode qui suit.
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III. Méthode : trouver un vecteur directeur
Dans les exercices, on te donne une droite sous deux formes principales : soit par deux points, soit par une équation. Voici la méthode dans chaque cas.
A. À partir de deux points
C’est le cas le plus direct.
Méthode en 2 étapes
- Repérer deux points distincts \(A(x_A ; y_A)\) et \(B(x_B ; y_B)\) de la droite.
- Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}(x_B – x_A \,;\, y_B – y_A)\) : c’est un vecteur directeur.
Exemple : La droite \((AB)\) passe par \(A(1 ; 2)\) et \(B(4 ; 8)\). Trouver un vecteur directeur.
On calcule : \(\vec{AB}(4 – 1 \,;\, 8 – 2) = \vec{AB}(3 ; 6)\).
Un vecteur directeur est donc \(\vec{u}(3 ; 6)\). On peut aussi le simplifier en divisant par \(3\) : \(\vec{v}(1 ; 2)\) convient tout aussi bien.
B. À partir d’une équation cartésienne
En Première, une droite est souvent donnée par une équation cartésienne de la forme \(ax + by + c = 0\) (avec \(a\) et \(b\) non tous les deux nuls). On lit alors directement un vecteur directeur sur les coefficients.
Propriété — Vecteur directeur et équation cartésienne
Si une droite \(d\) a pour équation cartésienne \(ax + by + c = 0\), alors le vecteur
\(\vec{u}(-b \,;\, a)\)
est un vecteur directeur de \(d\).
Attention à l’ordre et aux signes ! Le vecteur directeur est \(\vec{u}(-b ; a)\) et non \((a ; b)\). On échange les coefficients et on change un signe. Le vecteur \((a ; b)\), lui, est le vecteur normal à la droite (voir plus bas).
Exemple : Soit la droite \(d : 2x + 3y – 5 = 0\). Trouver un vecteur directeur.
Ici \(a = 2\) et \(b = 3\). Un vecteur directeur est donc \(\vec{u}(-3 ; 2)\).
Vérification : prenons deux points de \(d\). Pour \(x = 1\) : \(2 + 3y – 5 = 0\) donne \(y = 1\), d’où \(A(1 ; 1)\). Pour \(x = 4\) : \(8 + 3y – 5 = 0\) donne \(y = -1\), d’où \(B(4 ; -1)\). Alors \(\vec{AB}(3 ; -2) = -\vec{u}\) : c’est bien colinéaire à \(\vec{u}(-3 ; 2)\). ✓
C. Du coefficient directeur au vecteur directeur
Quand la droite est sous la forme \(y = mx + p\), le nombre \(m\) est le coefficient directeur. Le vecteur \(\vec{u}(1 ; m)\) est alors un vecteur directeur : quand on avance de \(1\) en abscisse, on monte de \(m\) en ordonnée.
Exemple : Pour \(y = 3x – 2\), on a \(m = 3\), donc \(\vec{u}(1 ; 3)\) est un vecteur directeur.
IV. Vecteur directeur ou vecteur normal ?
C’est la confusion la plus fréquente en Première. Les deux vecteurs sont liés à une droite, mais ils jouent des rôles opposés.
| Critère | Vecteur directeur | Vecteur normal |
|---|---|---|
| Rôle géométrique | Parallèle à la droite | Perpendiculaire à la droite |
| Coordonnées (depuis \(ax+by+c=0\)) | \(\vec{u}(-b ; a)\) | \(\vec{n}(a ; b)\) |
| Sert à… | tester un parallélisme, un alignement | tester une perpendicularité, calculer une distance |
Comment ne plus jamais confondre : le vecteur normal \(\vec{n}(a ; b)\) se lit « tel quel » sur l’équation. Le vecteur directeur, lui, « tourne » : on échange et on change un signe pour obtenir \((-b ; a)\). Le directeur et le normal sont d’ailleurs perpendiculaires entre eux.
Pour approfondir la notion perpendiculaire, consulte la page dédiée au vecteur normal. Voyons maintenant comment cette direction s’incarne sur un graphique.
V. Représentation graphique
Tracer un vecteur directeur est très visuel : on choisit un point de la droite comme origine, puis on reporte les coordonnées du vecteur. La flèche obtenue « glisse » le long de la droite.
On voit clairement que tous les vecteurs directeurs sont des « copies » du même vecteur, à un facteur multiplicatif près : c’est la traduction visuelle de la colinéarité démontrée plus haut.
Bonus — Représentation paramétrique (Première / Terminale)
Connaître un point \(A(x_A ; y_A)\) et un vecteur directeur \(\vec{u}(\alpha ; \beta)\) suffit à décrire toute la droite. Un point \(M(x ; y)\) appartient à \(d\) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que :
\(\left\{ \begin{array}{l} x = x_A + t\,\alpha \\ y = y_A + t\,\beta \end{array} \right.\)
C’est la représentation paramétrique de la droite : le vecteur directeur en est le moteur.
VI. Pour aller plus loin : l’espace et la prépa
La notion de vecteur directeur ne s’arrête pas au plan.
🟡 En Terminale (espace). Une droite de l’espace est décrite par un point et un vecteur directeur \(\vec{u}(\alpha ; \beta ; \gamma)\) à trois coordonnées. La logique reste identique : la droite \((AB)\) admet \(\vec{AB}\) comme vecteur directeur, et deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Pour découvrir ce cadre, va voir le cours sur les vecteurs dans l’espace.
🔴 Bonus prépa. En CPGE, une droite vectorielle est un sous-espace vectoriel de dimension \(1\) : \(\mathrm{Vect}(\vec{u}) = \{\, k\,\vec{u} \mid k \in \mathbb{R} \,\}\). Le vecteur directeur \(\vec{u}\) devient une base de cette droite. La notion de colinéarité se généralise alors en famille liée / famille libre.
Lien avec les dérivées. La tangente à une courbe d’équation \(y = f(x)\) au point d’abscisse \(x_0\) admet pour vecteur directeur \(\vec{u}\big(1 \,;\, f^\prime(x_0)\big)\) : c’est une belle application de la dérivée.
VII. Exercices corrigés
Place à la pratique. Les exercices sont classés par difficulté croissante. Essaie chacun avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 (★) — Vecteur directeur depuis deux points. La droite \((AB)\) passe par \(A(-2 ; 3)\) et \(B(2 ; -1)\). Donne un vecteur directeur de cette droite, puis un autre, colinéaire mais de coordonnées plus simples.
Correction de l'exercice 1
On calcule \(\vec{AB}(2 – (-2) \,;\, -1 – 3) = \vec{AB}(4 ; -4)\). C’est un vecteur directeur.
En divisant par \(4\), on obtient \(\vec{u}(1 ; -1)\), colinéaire et plus simple. Les deux conviennent.
Exercice 2 (★) — Lecture sur une équation cartésienne. Donne un vecteur directeur de la droite \(d : -x + 4y + 7 = 0\).
Correction de l'exercice 2
Ici \(a = -1\) et \(b = 4\). Un vecteur directeur est \(\vec{u}(-b ; a) = \vec{u}(-4 ; -1)\).
On peut aussi prendre l’opposé : \(\vec{v}(4 ; 1)\) convient également.
Exercice 3 (★★) — Droites parallèles. Les droites \(d_1 : 2x – 6y + 1 = 0\) et \(d_2 : -x + 3y – 4 = 0\) sont-elles parallèles ?
Correction de l'exercice 3
Vecteur directeur de \(d_1\) : \(\vec{u}(6 ; 2)\) (car \(a=2, b=-6 \Rightarrow (-b ; a) = (6 ; 2)\)).
Vecteur directeur de \(d_2\) : \(\vec{v}(-3 ; -1)\) (car \(a=-1, b=3 \Rightarrow (-b ; a) = (-3 ; -1)\)).
Calcul du déterminant : \(6 \times (-1) – (-3) \times 2 = -6 + 6 = 0\). Le déterminant est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires : les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont parallèles.
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Exercice 4 (★★) — Équation cartésienne à partir d’un point et d’un vecteur directeur. Détermine une équation cartésienne de la droite \(d\) passant par \(A(1 ; -2)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(3 ; 5)\).
Correction de l'exercice 4
Un point \(M(x ; y)\) appartient à \(d\) si et seulement si \(\vec{AM}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires, soit déterminant nul :
\(\vec{AM}(x – 1 \,;\, y + 2)\), donc \((x-1)\times 5 – 3 \times (y+2) = 0\).
On développe : \(5x – 5 – 3y – 6 = 0\), d’où \(5x – 3y – 11 = 0\).
Vérification : avec \((a ; b) = (5 ; -3)\), le vecteur directeur \((-b ; a) = (3 ; 5) = \vec{u}\). ✓
Exercice 5 (★★★) — Raisonnement : alignement. On considère \(A(0 ; 1)\), \(B(2 ; 4)\) et \(C(6 ; 10)\). Démontre que \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés en utilisant un vecteur directeur.
Correction de l'exercice 5
La droite \((AB)\) admet pour vecteur directeur \(\vec{AB}(2 ; 3)\).
Les points \(A, B, C\) sont alignés si et seulement si \(C\) appartient à \((AB)\), c’est-à-dire si \(\vec{AC}\) est colinéaire à \(\vec{AB}\).
On calcule \(\vec{AC}(6 ; 9)\). Déterminant : \(2 \times 9 – 6 \times 3 = 18 – 18 = 0\). Il est nul, donc \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires : les trois points sont alignés. On remarque d’ailleurs que \(\vec{AC} = 3\,\vec{AB}\). ∎
VIII. Erreurs fréquentes et pièges
Erreur 1 — Confondre \((a ; b)\) et \((-b ; a)\).
❌ Copie fautive : « L’équation est \(3x – 5y + 1 = 0\), donc le vecteur directeur est \((3 ; -5)\). »
Diagnostic : l’élève a lu \((a ; b)\), qui est le vecteur normal, pas le vecteur directeur.
✅ Correction : le vecteur directeur est \((-b ; a) = (5 ; 3)\).
Erreur 2 — Inverser l’ordre des points dans \(\vec{AB}\).
❌ Pour \(A(1 ; 2)\) et \(B(4 ; 5)\), écrire \(\vec{AB}(x_A – x_B ; y_A – y_B) = (-3 ; -3)\).
Diagnostic : ce résultat n’est pas faux comme vecteur directeur (il est colinéaire au bon), mais c’est \(\vec{BA}\), pas \(\vec{AB}\). C’est une source d’erreurs de signe.
✅ La bonne formule est \(\vec{AB}(x_B – x_A ; y_B – y_A) = (3 ; 3)\) : extrémité moins origine.
Erreur 3 — Proposer le vecteur nul. Un vecteur directeur est par définition non nul. Si tu trouves \(\vec{AB} = \vec{0}\), c’est que \(A = B\) : ces deux points ne définissent pas de droite.
IX. Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un vecteur directeur d'une droite ?
C’est un vecteur non nul qui indique la direction de la droite. Concrètement, si la droite passe par deux points A et B, alors le vecteur AB est un vecteur directeur. Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux.
Comment trouver un vecteur directeur à partir d'une équation cartésienne ?
Si l’équation est \(ax + by + c = 0\), un vecteur directeur est \(\vec{u}(-b ; a)\). On échange les coefficients a et b, puis on change le signe du premier. Par exemple, pour \(2x + 3y – 5 = 0\), le vecteur directeur est \((-3 ; 2)\).
Quelle est la différence entre vecteur directeur et vecteur normal ?
Le vecteur directeur est parallèle à la droite, le vecteur normal lui est perpendiculaire. Pour une droite \(ax + by + c = 0\), le vecteur normal est \((a ; b)\) (lu tel quel) et le vecteur directeur est \((-b ; a)\). Les deux sont perpendiculaires entre eux.
Une droite a-t-elle un seul vecteur directeur ?
Non, elle en a une infinité. Si \(\vec{u}\) est un vecteur directeur, alors tous les vecteurs de la forme \(k\vec{u}\) (avec k réel non nul) le sont aussi. On choisit en général le plus simple à coordonnées entières.
Comment savoir si deux droites sont parallèles avec les vecteurs directeurs ?
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. On le vérifie avec le déterminant : \(\vec{u}(x ; y)\) et \(\vec{v}(x’ ; y’)\) sont colinéaires lorsque \(xy’ – x’y = 0\).
Le coefficient directeur et le vecteur directeur, c'est pareil ?
Non, mais ils sont liés. Pour une droite \(y = mx + p\), le coefficient directeur est le nombre m, tandis qu’un vecteur directeur est \(\vec{u}(1 ; m)\). Le vecteur « contient » l’information du coefficient directeur sous forme de coordonnées.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le vecteur directeur d’une droite. Pour consolider et approfondir :
- Vecteurs colinéaires : définition, méthode et critère du déterminant, l’outil derrière toute cette page.
- Coordonnées d’un vecteur, pour lire et calculer un vecteur directeur sans erreur.
- Vecteur normal à une droite et à un plan, le complément perpendiculaire du vecteur directeur.
- Vecteurs dans l’espace (Terminale), la généralisation en 3D.
- Les vecteurs en maths : cours complet, le chapitre dans son ensemble.
- Exercices corrigés sur les vecteurs, pour t’entraîner davantage.
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