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Comment trouver le point d’une droite le plus proche d’un point donné ? C’est exactement le rôle du projeté orthogonal. En Première spé maths, cette notion intervient partout : pieds de hauteurs dans un triangle, calculs de distances, et nombreux problèmes de géométrie analytique liés au produit scalaire. Tu trouveras ici la formule, la méthode en 4 étapes, des exemples résolus et des exercices corrigés. Conforme au programme officiel 2025-2026.
I. Définition et formule du projeté orthogonal
A. Définition géométrique
L’idée est simple : depuis un point M, tu « descends » perpendiculairement sur une droite (d). Le point d’arrivée s’appelle le projeté orthogonal.
Définition — Projeté orthogonal d’un point sur une droite
Soit \((d)\) une droite du plan et \(M\) un point du plan. Le projeté orthogonal de \(M\) sur \((d)\) est l’unique point \(H \in (d)\) tel que la droite \((MH)\) est perpendiculaire à \((d)\).
En termes de vecteurs : si \(\vec{u}\) est un vecteur directeur de \((d)\), alors \(H\) est l’unique point de \((d)\) vérifiant :
\(\vec{HM} \cdot \vec{u} = 0\)
Cas particulier : si \(M \in (d)\), alors \(H = M\).
Le projeté orthogonal est donc le point de \((d)\) le plus proche de \(M\). Toute la question est : comment calculer ses coordonnées ?
B. La formule avec le produit scalaire
Prenons un point \(A \in (d)\) et un vecteur directeur \(\vec{u}\) de \((d)\). Puisque \(H \in (d)\), il existe un réel \(t\) tel que :
\(\vec{AH} = t\,\vec{u}\)On traduit ensuite la condition d’orthogonalité. On exprime \(\vec{HM}\) :
\(\vec{HM} = \vec{HA} + \vec{AM} = -t\,\vec{u} + \vec{AM}\)La condition \(\vec{HM} \cdot \vec{u} = 0\) donne :
\((-t\,\vec{u} + \vec{AM}) \cdot \vec{u} = 0\) \(-t\,\|\vec{u}\|^2 + \vec{AM} \cdot \vec{u} = 0\)D’où l’on tire le paramètre \(t\) :
Formule du projeté orthogonal
Soit \(A \in (d)\) et \(\vec{u}\) un vecteur directeur de \((d)\). Le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \((d)\) vérifie \(\vec{AH} = t\,\vec{u}\) avec :
\(t = \displaystyle\frac{\vec{AM} \cdot \vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}\)
En coordonnées, si \(A(x_A \,;\, y_A)\), \(M(x_M \,;\, y_M)\) et \(\vec{u}(a \,;\, b)\) :
\(t = \displaystyle\frac{(x_M – x_A) \times a + (y_M – y_A) \times b}{a^2 + b^2}\)
puis \(H(x_A + t\,a \;;\; y_A + t\,b)\).
Interpréter le paramètre \(t\) : il mesure la position de \(H\) sur la droite, en « unités de \(\vec{u}\) ». Si \(t = 0\), alors \(H = A\). Si \(t = 1\), alors \(H\) est à une distance \(\|\vec{u}\|\) de \(A\) dans la direction de \(\vec{u}\). Le paramètre \(t\) peut être négatif (H est alors « de l’autre côté » de A).
Cette formule est directement liée à l’une des expressions du produit scalaire : le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) s’interprète comme la norme de \(\vec{u}\) multipliée par la « composante de \(\vec{v}\) dans la direction de \(\vec{u}\) ». Retrouve les quatre formules dans le cours complet.
II. Quand utiliser le projeté orthogonal ?
Le projeté orthogonal n’est pas la réponse à tout. Voici un tableau pour t’aider à choisir la bonne technique selon ce que tu cherches :
| Tu cherches à… | Projeté orthogonal ? | Technique à utiliser |
|---|---|---|
| Trouver le point de \((d)\) le plus proche de \(M\) | ✅ Oui | Formule du projeté (cette page) |
| Calculer la distance d’un point à une droite | ✅ Oui (étape 1) | Projeté + \(\|\vec{MH}\|\) → fiche méthode distance |
| Trouver le pied d’une hauteur d’un triangle | ✅ Oui | Formule du projeté (cette page) |
| Trouver le symétrique de \(M\) par rapport à \((d)\) | ✅ Oui (étape 1) | Projeté \(H\), puis \(M^\prime(2x_H – x_M \,;\, 2y_H – y_M)\) |
| Montrer que deux vecteurs sont orthogonaux | ❌ Non | \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) → vecteurs orthogonaux |
| Calculer l’angle entre deux vecteurs | ❌ Non | Formule \(\cos \theta\) → produit scalaire |
En résumé : dès que tu as besoin d’un point précis sur une droite lié à une condition de perpendicularité, le projeté orthogonal est l’outil à utiliser.
III. Méthode pas à pas en 4 étapes
Voici la marche à suivre pour trouver les coordonnées du projeté orthogonal dans le plan muni d’un repère orthonormé.
Étape 1 — Identifier les données
Repère les éléments du problème :
- Le point \(M(x_M \,;\, y_M)\) dont tu cherches le projeté.
- La droite \((d)\) sur laquelle tu projettes.
Extrais (ou choisis) un point \(A \in (d)\) et un vecteur directeur \(\vec{u}(a \,;\, b)\) de \((d)\).
Si la droite est donnée par une équation \(ax + by + c = 0\) : un vecteur normal est \(\vec{n}(a \,;\, b)\) et un vecteur directeur est \(\vec{u}(-b \,;\, a)\). Pour trouver un point \(A\), fixe \(x = 0\) (ou \(y = 0\)) et résous. Besoin de revoir les équations de droites ?
Étape 2 — Calculer le vecteur \(\vec{AM}\)
Calcule les coordonnées de \(\vec{AM}\) :
\(\vec{AM}(x_M – x_A \,;\, y_M – y_A)\)Étape 3 — Calculer le paramètre \(t\)
Applique la formule :
\(t = \displaystyle\frac{\vec{AM} \cdot \vec{u}}{\|\vec{u}\|^2} = \displaystyle\frac{(x_M – x_A) \times a + (y_M – y_A) \times b}{a^2 + b^2}\)Au numérateur, c’est un produit scalaire. Au dénominateur, c’est le carré de la norme du vecteur directeur.
Étape 4 — En déduire \(H\) et vérifier
Les coordonnées de \(H\) sont :
\(H(x_A + t \times a \;;\; y_A + t \times b)\)Vérifie toujours ton résultat avec deux contrôles rapides :
- \(H \in (d)\) : les coordonnées de \(H\) satisfont l’équation de \((d)\) (si elle est donnée).
- \(\vec{HM} \cdot \vec{u} = 0\) : le vecteur \(\vec{HM}\) est bien orthogonal à \(\vec{u}\).
Piège : la vérification n’est pas facultative ! Une erreur de signe dans le calcul de \(t\) passe facilement inaperçue. Les deux contrôles ci-dessus te prennent 30 secondes et te sauvent des points.
IV. Exemples résolus
🔵 Exemple 1 — Application directe (coordonnées données)
Soit \(M(5 \,;\, 1)\), \(A(1 \,;\, 2)\) et \(\vec{u}(2 \,;\, 1)\) vecteur directeur de \((d)\). Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \((d)\).
Étape 2 : \(\vec{AM} = (5 – 1 \,;\, 1 – 2) = (4 \,;\, -1)\)
Étape 3 :
\(t = \displaystyle\frac{\vec{AM} \cdot \vec{u}}{\|\vec{u}\|^2} = \displaystyle\frac{4 \times 2 + (-1) \times 1}{2^2 + 1^2} = \displaystyle\frac{8 – 1}{5} = \displaystyle\frac{7}{5}\)
Étape 4 :
\(H\!\left(1 + \displaystyle\frac{7}{5} \times 2 \;;\; 2 + \displaystyle\frac{7}{5} \times 1\right) = \left(\displaystyle\frac{19}{5} \;;\; \displaystyle\frac{17}{5}\right)\)
Vérification : \(\vec{HM} = \left(\displaystyle\frac{6}{5} \,;\, -\displaystyle\frac{12}{5}\right)\), donc \(\vec{HM} \cdot \vec{u} = \displaystyle\frac{12}{5} – \displaystyle\frac{12}{5} = 0\) ✓
La fiche méthode « Projeté orthogonal » en PDF
Les 4 étapes résumées, la formule encadrée, les pièges à éviter et 2 exercices types corrigés — le tout sur une fiche recto-verso à garder sous la main.
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🔵 Exemple 2 — Droite donnée par une équation
Soit \(M(3 \,;\, 1)\) et la droite \((d) : x – y + 2 = 0\). Déterminer \(H\) et calculer \(MH\).
Étape 1 : le vecteur normal est \(\vec{n}(1 \,;\, -1)\), donc un vecteur directeur est \(\vec{u}(1 \,;\, 1)\). En posant \(x = 0\) dans l’équation, on obtient \(y = 2\), soit \(A(0 \,;\, 2)\).
Étape 2 : \(\vec{AM} = (3 \,;\, -1)\)
Étape 3 :
\(t = \displaystyle\frac{3 \times 1 + (-1) \times 1}{1^2 + 1^2} = \displaystyle\frac{2}{2} = 1\)
Étape 4 :
\(H(0 + 1 \,;\, 2 + 1) = (1 \,;\, 3)\)
Vérification : \(H \in (d)\) ? \(1 – 3 + 2 = 0\) ✓. Et \(\vec{HM} = (2 \,;\, -2)\), \(\vec{HM} \cdot \vec{u} = 2 – 2 = 0\) ✓
Distance : \(MH = \|\vec{HM}\| = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}\)
🔵 Exemple 3 — Pied de la hauteur d’un triangle
Soit le triangle \(ABC\) avec \(A(0 \,;\, 0)\), \(B(6 \,;\, 0)\) et \(C(2 \,;\, 4)\). Déterminer le pied \(H\) de la hauteur issue de \(C\) sur \((AB)\).
La hauteur issue de \(C\) est la perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(C\). Son pied est donc le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\).
Données : on projette \(C\) sur la droite \((AB)\). Point \(A(0 \,;\, 0)\), vecteur directeur \(\vec{AB} = (6 \,;\, 0)\).
Calcul : \(\vec{AC} = (2 \,;\, 4)\)
\(t = \displaystyle\frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{\|\vec{AB}\|^2} = \displaystyle\frac{2 \times 6 + 4 \times 0}{36} = \displaystyle\frac{12}{36} = \displaystyle\frac{1}{3}\)
\(H = A + \displaystyle\frac{1}{3}\,\vec{AB} = \left(\displaystyle\frac{1}{3} \times 6 \,;\, 0\right) = (2 \,;\, 0)\)
Vérification : \(\vec{CH} = (0 \,;\, -4)\), \(\vec{AB} \cdot \vec{CH} = 6 \times 0 + 0 \times (-4) = 0\) ✓
La hauteur \(CH = \|\vec{CH}\| = 4\).
🔵 Exemple 4 — Calcul de distance point-droite
Soit \(M(3 \,;\, 5)\) et la droite \((d)\) passant par \(A(1 \,;\, 1)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(1 \,;\, 1)\). Calculer la distance de \(M\) à \((d)\).
Calcul du projeté : \(\vec{AM} = (2 \,;\, 4)\)
\(t = \displaystyle\frac{2 + 4}{1 + 1} = 3\)
\(H(1 + 3 \,;\, 1 + 3) = (4 \,;\, 4)\)
Distance : \(MH = \|\vec{MH}\| = \sqrt{(4-3)^2 + (4-5)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)
La distance de \(M\) à \((d)\) est \(\sqrt{2}\). Pour approfondir les méthodes de calcul de distance, consulte la fiche sur la distance d’un point à une droite.
V. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les trois erreurs les plus courantes sur le projeté orthogonal. Chacune est illustrée par une copie fautive commentée.
Erreur 1 — Inverser \(\vec{AM}\) et \(\vec{MA}\)
❌ Copie fautive : « \(t = \displaystyle\frac{\vec{MA} \cdot \vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}\) »
Diagnostic : \(\vec{MA} = -\vec{AM}\), donc cette erreur donne \(-t\) au lieu de \(t\). Le point \(H\) obtenu tombe du mauvais côté de \(A\) sur la droite — c’est un point qui n’a aucun sens géométrique.
✅ Correction : toujours utiliser \(\vec{AM}\), qui va du point \(A\) de la droite vers le point \(M\) à projeter.
Erreur 2 — Confondre projeté et symétrique
❌ Copie fautive : « Le projeté de \(M\) par rapport à \((d)\) a pour coordonnées \(M^\prime(2x_H – x_M \,;\, 2y_H – y_M)\). »
Diagnostic : cette formule donne le symétrique de \(M\) par rapport à \((d)\), pas le projeté. Le projeté est le point \(H\) lui-même (le « milieu » du trajet), pas le point \(M^\prime\) de l’autre côté.
✅ Correction : le projeté orthogonal est \(H\). Pour le symétrique, on calcule d’abord \(H\), puis \(M^\prime = 2H – M\) (en coordonnées : \(M^\prime(2x_H – x_M \,;\, 2y_H – y_M)\)).
Erreur 3 — Ne pas vérifier
❌ Copie fautive : un élève trouve \(H(3 \,;\, 2)\) et conclut immédiatement sans vérification.
Diagnostic : une simple erreur de signe dans le calcul de \(t\) peut donner un point qui n’est ni sur \((d)\) ni orthogonal à \(\vec{u}\). Sans vérification, l’erreur se propage dans tout l’exercice.
✅ Correction : vérifie systématiquement : (1) que \(H\) appartient à \((d)\) et (2) que \(\vec{HM} \cdot \vec{u} = 0\). Ces deux contrôles prennent 30 secondes et valent des points.
VI. Exercices d’application
Mets en pratique la méthode sur ces trois exercices progressifs. Essaie de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 ★ — Durée estimée : 5 min
Soit \(M(3 \,;\, 2)\), la droite \((d)\) passant par \(A(0 \,;\, 1)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(1 \,;\, 2)\). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \((d)\).
Voir la correction
Étape 1 : les données sont identifiées : \(M(3 \,;\, 2)\), \(A(0 \,;\, 1)\), \(\vec{u}(1 \,;\, 2)\).
Étape 2 : \(\vec{AM} = (3 – 0 \,;\, 2 – 1) = (3 \,;\, 1)\)
Étape 3 :
\(t = \displaystyle\frac{\vec{AM} \cdot \vec{u}}{\|\vec{u}\|^2} = \displaystyle\frac{3 \times 1 + 1 \times 2}{1^2 + 2^2} = \displaystyle\frac{5}{5} = 1\)Étape 4 :
\(H(0 + 1 \times 1 \,;\, 1 + 1 \times 2) = (1 \,;\, 3)\)Vérification : \(\vec{HM} = (2 \,;\, -1)\) et \(\vec{HM} \cdot \vec{u} = 2 \times 1 + (-1) \times 2 = 0\) ✓
Le projeté orthogonal de \(M\) sur \((d)\) est \(H(1 \,;\, 3)\).
Exercice 2 ★★ — Durée estimée : 8 min
Soit \(M(4 \,;\, -1)\) et la droite \((d) : 2x + y – 4 = 0\).
- Déterminer un vecteur directeur de \((d)\) et un point de \((d)\).
- Calculer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \((d)\).
- En déduire la distance de \(M\) à \((d)\).
Voir la correction
1. Le vecteur normal est \(\vec{n}(2 \,;\, 1)\), donc un vecteur directeur est \(\vec{u}(-1 \,;\, 2)\) (ou \(\vec{u}(1 \,;\, -2)\)).
Pour trouver un point, posons \(x = 0\) : \(y = 4\). Donc \(A(0 \,;\, 4)\).
2. Avec \(\vec{u}(-1 \,;\, 2)\) :
\(\vec{AM} = (4 \,;\, -5)\) \(t = \displaystyle\frac{4 \times (-1) + (-5) \times 2}{(-1)^2 + 2^2} = \displaystyle\frac{-4 – 10}{5} = \displaystyle\frac{-14}{5}\) \(H\!\left(0 + \displaystyle\frac{-14}{5} \times (-1) \;;\; 4 + \displaystyle\frac{-14}{5} \times 2\right) = \left(\displaystyle\frac{14}{5} \;;\; -\displaystyle\frac{8}{5}\right)\)Vérification : \(H \in (d)\) ? \(2 \times \displaystyle\frac{14}{5} + \left(-\displaystyle\frac{8}{5}\right) – 4 = \displaystyle\frac{28 – 8 – 20}{5} = 0\) ✓
3. \(\vec{MH} = \left(\displaystyle\frac{14}{5} – 4 \,;\, -\displaystyle\frac{8}{5} + 1\right) = \left(-\displaystyle\frac{6}{5} \,;\, -\displaystyle\frac{3}{5}\right)\)
\(MH = \sqrt{\displaystyle\frac{36}{25} + \displaystyle\frac{9}{25}} = \sqrt{\displaystyle\frac{45}{25}} = \displaystyle\frac{3\sqrt{5}}{5}\)La distance de \(M\) à \((d)\) est \(\displaystyle\frac{3\sqrt{5}}{5}\).
Exercice 3 ★★★ — Durée estimée : 12 min
Soit le triangle \(ABC\) avec \(A(2 \,;\, 6)\), \(B(1 \,;\, 1)\) et \(C(5 \,;\, 3)\).
- Déterminer les coordonnées du pied \(H\) de la hauteur issue de \(A\) sur \((BC)\).
- Calculer la longueur \(AH\).
- En déduire l’aire du triangle \(ABC\).
Voir la correction
1. On projette \(A\) sur la droite \((BC)\). Posons \(B\) comme point de référence sur \((BC)\) et \(\vec{BC} = (4 \,;\, 2)\) comme vecteur directeur.
\(\vec{BA} = (1 \,;\, 5)\) \(t = \displaystyle\frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{\|\vec{BC}\|^2} = \displaystyle\frac{1 \times 4 + 5 \times 2}{16 + 4} = \displaystyle\frac{14}{20} = \displaystyle\frac{7}{10}\) \(H\!\left(1 + \displaystyle\frac{7}{10} \times 4 \;;\; 1 + \displaystyle\frac{7}{10} \times 2\right) = \left(\displaystyle\frac{19}{5} \;;\; \displaystyle\frac{12}{5}\right)\)Vérification : \(\vec{AH} = \left(\displaystyle\frac{9}{5} \,;\, -\displaystyle\frac{18}{5}\right)\) et \(\vec{AH} \cdot \vec{BC} = \displaystyle\frac{36}{5} – \displaystyle\frac{36}{5} = 0\) ✓
2. \(AH = \|\vec{AH}\| = \sqrt{\displaystyle\frac{81}{25} + \displaystyle\frac{324}{25}} = \sqrt{\displaystyle\frac{405}{25}} = \displaystyle\frac{9\sqrt{5}}{5}\)
3. L’aire du triangle est \(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{1}{2} \times BC \times AH\).
\(BC = \|\vec{BC}\| = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5}\) \(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} \times \displaystyle\frac{9\sqrt{5}}{5} = \displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{18 \times 5}{5} = 9\)L’aire du triangle \(ABC\) est \(9\) unités d’aire.
VII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre projeté orthogonal et projection orthogonale ?
Le projeté orthogonal de \(M\) sur \((d)\) est un point \(H\) tel que \((MH) \perp (d)\). C’est le résultat du calcul. La projection orthogonale est l’opération (la fonction) qui associe à tout point son projeté. En Première spé maths, on calcule des projetés. En prépa, la projection orthogonale est étudiée comme application linéaire, avec une matrice associée.
Le projeté orthogonal peut-il tomber en dehors d'un segment ?
Oui. Si la droite \((d)\) est définie par deux points \(A\) et \(B\), le projeté \(H\) est un point de la droite \((AB)\), pas forcément du segment \([AB]\). Concrètement, si le paramètre \(t\) est négatif ou supérieur à 1, \(H\) se trouve en dehors du segment \([AB]\).
Comment calculer le projeté orthogonal dans l'espace (3D) ?
La méthode est la même : on remplace les coordonnées \((x \,;\, y)\) par \((x \,;\, y \,;\, z)\) et les produits scalaires se calculent avec trois composantes. La formule \(t = \displaystyle\frac{\vec{AM} \cdot \vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}\) reste identique. Consulte la page sur le produit scalaire dans l’espace pour la mise en pratique en Terminale.
À quoi sert le projeté orthogonal en maths ?
Le projeté orthogonal sert à : calculer la distance d’un point à une droite (ou à un plan dans l’espace), trouver le pied d’une hauteur dans un triangle, déterminer le symétrique d’un point par rapport à une droite, et exprimer le produit scalaire géométriquement. C’est l’un des outils les plus polyvalents de la géométrie analytique.
Peut-on trouver le projeté orthogonal sans le produit scalaire ?
En théorie, oui : tu peux tracer la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(M\) (en utilisant l’équation de la droite perpendiculaire) puis résoudre un système de deux équations à deux inconnues. Mais cette méthode est plus longue et plus sujette aux erreurs de calcul. Avec le produit scalaire, la formule donne directement \(t\) en un seul calcul.
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la méthode du projeté orthogonal. Voici les pages du cours qui prolongent cette notion :
- Produit scalaire — le cours complet avec les quatre formules et toutes les propriétés.
- Vecteurs orthogonaux — comment montrer que deux vecteurs sont perpendiculaires (cas particulier du projeté nul).
- Distance d’un point à une droite et à un plan — la suite naturelle : une fois \(H\) trouvé, comment calculer \(MH\) efficacement.
- Produit scalaire dans l’espace — l’extension à la 3D en Terminale.
- Exercices corrigés sur le produit scalaire — pour t’entraîner sur l’ensemble du chapitre.
Et en prépa ? La projection orthogonale y devient une application linéaire à part entière, avec matrice associée et propriétés algébriques (idempotence, noyau, image). C’est une notion centrale des espaces euclidiens. Un article dédié sera bientôt disponible.
