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L’équation de la tangente est l’une des applications les plus directes de la dérivation — et l’une des questions les plus fréquentes au bac. Une seule formule, quatre étapes : tu vas la maîtriser ici avec 5 exemples progressifs, des pièges commentés et des exercices corrigés. Cours conforme au programme de Première et Terminale 2025-2026.
I. La formule de l’équation de la tangente
A. Formule fondamentale
Soit \(f\) une fonction dérivable en \(a\). La courbe \(\mathcal{C}_f\) admet au point d’abscisse \(a\) une tangente dont l’équation est :
Équation de la tangente
\(y = f^{\prime}(a)(x – a) + f(a)\)
où :
- \(f^{\prime}(a)\) est le nombre dérivé de \(f\) en \(a\) (coefficient directeur de la tangente),
- \(f(a)\) est l’ordonnée du point de tangence \(A\bigl(a\,;\,f(a)\bigr)\).
La tangente est une droite. En développant, on obtient la forme réduite \(y = mx + p\) avec \(m = f^{\prime}(a)\). On parle alors d’équation réduite de la tangente.
Condition indispensable : la fonction \(f\) doit être dérivable en \(a\). Si \(f\) n’est pas dérivable en un point (ex. : valeur absolue en 0, racine carrée en 0), la tangente au sens usuel n’existe pas ou est verticale.
B. Interprétation géométrique
![Courbe f(x) = 0.5x² − x + 1 tracée en bleu (#1f4acc) sur [−1 ; 5]. Tangente T au point A d'abscisse a = 2 tracée en or (#caa85a). Point de tangence A marqué par un cercle plein bleu.](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/04/graphe_tangente_courbe_point.png)
Géométriquement, la tangente en \(A\) est la droite qui épouse la courbe au voisinage de \(A\). Plus tu zoomes sur le point de tangence, plus la courbe et la tangente se confondent. Deux informations suffisent à la définir :
- elle passe par le point \(A\bigl(a\,;\,f(a)\bigr)\),
- sa pente est \(f^{\prime}(a)\) — le nombre dérivé de \(f\) en \(a\).
Le lien avec l’approximation affine
La tangente fournit la meilleure approximation linéaire de \(f\) au voisinage de \(a\) :
pour \(x\) proche de \(a\), \(f(x) \approx f(a) + f^{\prime}(a)(x – a)\).
C’est exactement la même formule ! Calculer une tangente et faire une approximation affine, c’est le même outil vu sous deux angles.
C. Quand utiliser cette formule ?
La dérivée sert à plusieurs choses. Voici comment savoir quand utiliser l’équation de la tangente — et quand utiliser une autre technique.
| L’énoncé demande… | Méthode à utiliser | Formule / Outil |
|---|---|---|
| « Déterminer l’équation de la tangente en \(a\) » | Appliquer les 4 étapes (cette page) | \(y = f^{\prime}(a)(x – a) + f(a)\) |
| « Donner une approximation affine de \(f(b)\) » | Même formule, \(b\) proche de \(a\) | \(f(b) \approx f(a) + f^{\prime}(a)(b – a)\) |
| « Trouver les points où la tangente est horizontale » | Résoudre \(f^{\prime}(x) = 0\) → équation du second degré | \(f^{\prime}(a) = 0 \Rightarrow y = f(a)\) |
| « Étudier les variations de \(f\) » | Signe de \(f^{\prime}\) → tableau de variations | Pas besoin de l’équation de la tangente |
| « Déterminer l’équation de la droite \((AB)\) » | Équation de droite classique | \(y = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}(x – a) + f(a)\) |
II. Méthode pas à pas en 4 étapes
Voici la méthode à suivre systématiquement, quel que soit l’exercice. Applique ces quatre étapes dans l’ordre et tu ne te tromperas jamais.
Étape 1 — Identifier \(a\) et calculer \(f(a)\)
L’abscisse \(a\) du point de tangence est donnée dans l’énoncé (« tangente au point d’abscisse 2 ») ou à déterminer (« tangente horizontale », « tangente passant par un point »). Calcule ensuite \(f(a)\) : c’est l’ordonnée du point de tangence.
Étape 2 — Calculer \(f^{\prime}(x)\)
Dérive la fonction \(f\). Si tu doutes d’une formule, consulte le tableau des dérivées usuelles.
Les dérivées les plus fréquentes dans cet exercice :
- \((x^n)^{\prime} = nx^{n-1}\)
- \((e^x)^{\prime} = e^x\)
- \((\ln x)^{\prime} = \frac{1}{x}\)
- \((\sqrt{x})^{\prime} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Étape 3 — Évaluer \(f^{\prime}(a)\)
Remplace \(x\) par \(a\) dans l’expression de \(f^{\prime}(x)\). Le résultat \(f^{\prime}(a)\) est le coefficient directeur de la tangente.
Étape 4 — Appliquer la formule et simplifier
Remplace dans \(y = f^{\prime}(a)(x – a) + f(a)\), puis développe et réduis pour obtenir la forme \(y = mx + p\).
Vérification express : remplace \(x\) par \(a\) dans ton équation. Tu dois retrouver \(y = f(a)\). Si ce n’est pas le cas, il y a une erreur de calcul.
III. 5 exemples résolus
Voici cinq exemples qui appliquent la méthode, du plus accessible au plus exigeant.
Exemple 1 — 🔵 Lycée (★)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 – 3x + 1\). Déterminer l’équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(2\).
Étape 1 : \(a = 2\). On calcule \(f(2) = 4 – 6 + 1 = -1\).
Étape 2 : \(f^{\prime}(x) = 2x – 3\).
Étape 3 : \(f^{\prime}(2) = 4 – 3 = 1\).
Étape 4 : \(y = 1 \times (x – 2) + (-1) = x – 2 – 1\).
Résultat : \(\fbox{y = x – 3}\)
Vérification : pour \(x = 2\), \(y = 2 – 3 = -1 = f(2)\) ✓
Exemple 2 — 🔵 Lycée (★)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = \sqrt{x}\). Déterminer l’équation de la tangente au point d’abscisse \(4\).
Étape 1 : \(a = 4\). On calcule \(f(4) = \sqrt{4} = 2\).
Étape 2 : \(f^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Étape 3 : \(f^{\prime}(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}\).
Étape 4 : \(y = \frac{1}{4}(x – 4) + 2 = \frac{x}{4} – 1 + 2\).
Résultat : \(\fbox{y = \frac{x}{4} + 1}\)
Exemple 3 — 🔵 Lycée (★★)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = e^x\). Déterminer l’équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(0\).
Étape 1 : \(a = 0\). On calcule \(f(0) = e^0 = 1\).
Étape 2 : \(f^{\prime}(x) = e^x\).
Étape 3 : \(f^{\prime}(0) = e^0 = 1\).
Étape 4 : \(y = 1 \times (x – 0) + 1 = x + 1\).
Résultat : \(\fbox{y = x + 1}\)
Résultat classique à retenir : la tangente à la courbe de \(e^x\) en \(x = 0\) est la droite \(y = x + 1\). Tu la retrouveras dans de nombreux exercices de bac. Elle sert aussi d’approximation : pour \(x\) proche de \(0\), \(e^x \approx 1 + x\).
![Courbe de f(x) = eˣ en bleu (#1f4acc) sur [−2 ; 3]. Tangente y = x + 1 en or (#caa85a), tracée de −2 à 3. Point de tangence A(0 ; 1) marqué par un cercle plein bleu.](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/04/graphe_tangente_exp_origine.png)
Exemple 4 — 🔵 Lycée (★★)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 – 3x + 2\). Déterminer les points de \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est horizontale, puis donner les équations de ces tangentes.
Une tangente est horizontale lorsque son coefficient directeur est nul, c’est-à-dire \(f^{\prime}(a) = 0\).
Étape 2 : \(f^{\prime}(x) = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)\).
On résout \(f^{\prime}(x) = 0\) : \(3(x-1)(x+1) = 0\), soit \(x = 1\) ou \(x = -1\).
En \(x = 1\) : \(f(1) = 1 – 3 + 2 = 0\). Tangente : \(y = 0\) (axe des abscisses).
En \(x = -1\) : \(f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4\). Tangente : \(y = 4\).
Résultat : la courbe admet deux tangentes horizontales : \(\fbox{y = 0}\) au point \((1\,;\,0)\) et \(\fbox{y = 4}\) au point \((-1\,;\,4)\).
Exemple 5 — 🔵 Lycée (★★★)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = \ln(x)\). Déterminer l’équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) qui passe par l’origine \(O(0\,;\,0)\).
Ici, l’abscisse \(a\) du point de tangence n’est pas donnée : c’est une inconnue. Ce type de question tombe régulièrement au bac.
Tangente en un point d’abscisse \(a\) :
\(f^{\prime}(x) = \frac{1}{x}\), donc \(f^{\prime}(a) = \frac{1}{a}\) et \(f(a) = \ln(a)\).
L’équation de la tangente en \(a\) est : \(y = \frac{1}{a}(x – a) + \ln(a) = \frac{x}{a} – 1 + \ln(a)\).
Condition de passage par \(O(0\,;\,0)\) :
\(0 = \frac{0}{a} – 1 + \ln(a)\), soit \(\ln(a) = 1\), d’où \(a = e\).
Résultat : la seule tangente à \(\mathcal{C}_f\) passant par l’origine touche la courbe au point \((e\,;\,1)\) et a pour équation :
\(\fbox{y = \frac{x}{e}}\)
Vérification : \(T(0) = 0\) ✓ et \(T(e) = 1 = \ln(e)\) ✓
La méthode de l’équation de la tangente en recto-verso
Formule, 4 étapes, pièges à éviter et vérification express — tout sur une fiche prête à imprimer.
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IV. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Ces trois erreurs reviennent dans la majorité des copies. Prends le temps de les repérer : elles font perdre des points à coup sûr.
Erreur n°1 — Inverser \(f(a)\) et \(f^{\prime}(a)\) dans la formule
❌ Copie fautive : « \(y = f(2)(x – 2) + f^{\prime}(2)\) »
Diagnostic : l’élève a placé \(f(a)\) comme coefficient directeur et \(f^{\prime}(a)\) comme ordonnée. C’est l’inverse : \(f^{\prime}(a)\) est la pente, \(f(a)\) est l’ordonnée du point de tangence.
✅ Correction : \(y = f^{\prime}(2)(x – 2) + f(2)\)
Erreur n°2 — Oublier le \((x – a)\) et écrire \(y = f^{\prime}(a) \cdot x + f(a)\)
❌ Copie fautive (reprise de l’exemple 1) : « \(f^{\prime}(2) = 1\) et \(f(2) = -1\) donc \(y = 1 \times x + (-1) = x – 1\) »
Diagnostic : en écrivant \(f^{\prime}(a) \cdot x\) au lieu de \(f^{\prime}(a)(x – a)\), la droite ne passe plus par le point de tangence. Vérifie : \(x – 1\) donne \(1\) pour \(x = 2\), alors que \(f(2) = -1\). La tangente est fausse.
✅ Correction : \(y = 1 \times (x – 2) + (-1) = x – 3\). Vérification : pour \(x = 2\), \(y = -1 = f(2)\) ✓
Erreur n°3 — Laisser la réponse sous forme non réduite
❌ Copie fautive : « L’équation de la tangente est \(y = 2(x – 3) + 5\) »
Diagnostic : au bac, on attend l’équation réduite \(y = mx + p\). Laisser une expression non développée est pénalisé (réponse considérée incomplète).
✅ Correction : \(y = 2x – 6 + 5 = 2x – 1\)
V. Exercices d’application
Applique la méthode en 4 étapes. Essaie chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 — ★
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2x^2 + x – 3\). Déterminer l’équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(1\).
Voir la correction
Étape 1 : \(a = 1\). \(f(1) = 2 + 1 – 3 = 0\).
Étape 2 : \(f^{\prime}(x) = 4x + 1\).
Étape 3 : \(f^{\prime}(1) = 5\).
Étape 4 : \(y = 5(x – 1) + 0 = 5x – 5\).
Réponse : \(y = 5x – 5\). Vérification : \(5 \times 1 – 5 = 0 = f(1)\) ✓
Exercice 2 — ★★
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 1\). Déterminer les points de \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est horizontale et donner les équations de ces tangentes.
Voir la correction
Tangente horizontale \(\Leftrightarrow f^{\prime}(a) = 0\).
Étape 2 : \(f^{\prime}(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3)\).
On résout l’équation du second degré \(x^2 – 4x + 3 = 0\). Discriminant : \(\Delta = 16 – 12 = 4\), racines \(x = 1\) et \(x = 3\).
En \(x = 1\) : \(f(1) = 1 – 6 + 9 + 1 = 5\). Tangente : \(y = 5\) au point \((1\,;\,5)\).
En \(x = 3\) : \(f(3) = 27 – 54 + 27 + 1 = 1\). Tangente : \(y = 1\) au point \((3\,;\,1)\).
Exercice 3 — ★★
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = e^x\). Déterminer l’abscisse du point de \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est parallèle à la droite \(d : y = 3x + 1\), puis donner l’équation de cette tangente.
Voir la correction
Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ont le même coefficient directeur. Le coefficient directeur de \(d\) est \(3\), donc on cherche \(a\) tel que \(f^{\prime}(a) = 3\).
\(f^{\prime}(x) = e^x\), donc \(e^a = 3\), soit \(a = \ln(3)\).
\(f\bigl(\ln(3)\bigr) = e^{\ln(3)} = 3\).
Tangente : \(y = 3\bigl(x – \ln(3)\bigr) + 3 = 3x – 3\ln(3) + 3\).
Réponse : \(y = 3x – 3\ln(3) + 3\) au point \(\bigl(\ln(3)\,;\,3\bigr)\).
Exercice 4 — ★★★
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 + 1\). Déterminer les équations des tangentes à la parabole \(\mathcal{C}_f\) qui passent par le point \(P(0\,;\,-1)\).
Voir la correction
Le point \(P(0\,;\,-1)\) n’est pas sur la courbe (car \(f(0) = 1 \neq -1\)). L’abscisse \(a\) du point de tangence est inconnue.
Tangente en \(a\) : \(f^{\prime}(x) = 2x\), donc :
\(y = 2a(x – a) + a^2 + 1 = 2ax – 2a^2 + a^2 + 1 = 2ax – a^2 + 1\)Passage par \(P(0\,;\,-1)\) :
\(-1 = 2a \times 0 – a^2 + 1\), soit \(-1 = -a^2 + 1\), d’où \(a^2 = 2\) et \(a = \sqrt{2}\) ou \(a = -\sqrt{2}\).
Pour \(a = \sqrt{2}\) : \(y = 2\sqrt{2}\,x – 2 + 1 = 2\sqrt{2}\,x – 1\).
Pour \(a = -\sqrt{2}\) : \(y = -2\sqrt{2}\,x – 2 + 1 = -2\sqrt{2}\,x – 1\).
Vérification : les deux droites passent par \((0\,;\,-1)\) ✓
VI. Rédaction bac — Ce que le correcteur attend
Au bac, le résultat seul ne suffit pas : la rédaction compte dans la notation. Voici les règles à respecter quand un exercice demande l’équation d’une tangente.
Ce que le correcteur attend :
- Rappeler la formule : « La tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(a\) a pour équation \(y = f^{\prime}(a)(x – a) + f(a)\). » Le correcteur vérifie que tu connais la formule avant de l’appliquer.
- Calculer proprement \(f(a)\) et \(f^{\prime}(a)\) avant de substituer. Présente les deux résultats séparément, pas tout d’un bloc.
- Développer et réduire pour obtenir la forme \(y = mx + p\). Une réponse laissée sous la forme \(y = f^{\prime}(a)(x – a) + f(a)\) avec les valeurs numériques est considérée incomplète.
- Conclure clairement avec l’équation réduite, encadrée ou soulignée. Le correcteur parcourt souvent les copies rapidement : facilite-lui la tâche.
Erreurs de rédaction qui coûtent des points :
- Sauter des étapes de calcul : écrire directement le résultat sans montrer le calcul de \(f(a)\) et \(f^{\prime}(a)\). Même si le résultat est juste, le correcteur ne peut pas attribuer les points intermédiaires.
- Confondre « tangente en \(a\) » (tangente au point de la courbe d’abscisse \(a\)) et « tangente passant par le point d’abscisse \(a\) » (la tangente passe par ce point mais le point de tangence peut être ailleurs — cf. exemple 5).
- Mélanger \(x\) et \(a\) : \(x\) est la variable de la droite, \(a\) est un paramètre fixé. Les confondre rend l’expression mathématiquement incorrecte.
VII. Questions fréquentes
Comment calculer l'équation de la tangente ?
En quatre étapes :
- Calcule \(f(a)\) (ordonnée du point de tangence).
- Dérive \(f\) pour obtenir \(f^{\prime}(x)\).
- Évalue \(f^{\prime}(a)\) (coefficient directeur de la tangente).
- Remplace dans \(y = f^{\prime}(a)(x – a) + f(a)\) et simplifie en \(y = mx + p\).
Quelle est la différence entre l'équation de la tangente et la fonction tangente ?
Ce sont deux concepts complètement différents qui partagent le même mot :
- L’équation de la tangente à une courbe est l’équation d’une droite : \(y = f^{\prime}(a)(x – a) + f(a)\). C’est le sujet de cet article.
- La fonction tangente est une fonction trigonométrique : \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\). Elle n’a rien à voir avec la droite tangente.
Si ton exercice parle d’une courbe et d’un point, c’est l’équation de la tangente (droite). Si l’exercice parle de trigonométrie, c’est la fonction \(\tan\).
Comment trouver f'(a) pour l'équation de la tangente ?
Calcule d’abord la dérivée \(f^{\prime}(x)\) (expression générale de la dérivée), puis remplace \(x\) par la valeur \(a\). Par exemple, si \(f(x) = x^2\), alors \(f^{\prime}(x) = 2x\) et \(f^{\prime}(3) = 6\). Consulte le tableau des dérivées usuelles pour les formules courantes.
Comment trouver l'équation de la tangente au point d'abscisse 2 ?
Cela dépend de ta fonction \(f\). Prenons l’exemple \(f(x) = x^2\) :
- \(f(2) = 4\)
- \(f^{\prime}(x) = 2x\), donc \(f^{\prime}(2) = 4\)
- \(y = 4(x – 2) + 4 = 4x – 4\)
La tangente au point d’abscisse \(2\) est \(y = 4x – 4\).
Quelle est la différence entre la tangente et la sécante à une courbe ?
La sécante passe par deux points de la courbe \(A\) et \(B\) : sa pente est le taux d’accroissement \(\frac{f(b) – f(a)}{b – a}\). La tangente est la position limite de la sécante quand \(B\) se rapproche de \(A\) : sa pente est le nombre dérivé \(f^{\prime}(a)\). Pour en savoir plus sur les équations de droites, consulte notre cours dédié.
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’équation de la tangente. Pour approfondir les notions liées, explore ces ressources :
- Les dérivées : cours complet — le prérequis fondamental pour calculer \(f^{\prime}(a)\).
- Tableau des dérivées usuelles — toutes les formules en un coup d’œil.
- Équation de droite : formes et méthodes — la tangente est une droite, retrouve toutes les formes (réduite, cartésienne, paramétrique).
- Équation du second degré — pour résoudre \(f^{\prime}(x) = 0\) quand la dérivée est un polynôme du second degré.
- Équations et inéquations : cours complet — le pilier du cocon, pour une vue d’ensemble de toutes les méthodes de résolution.
