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Calculer la distance d’un point à une droite ou à un plan est une compétence incontournable en géométrie analytique, de la Première à la Terminale. Tu trouveras ici les formules, une méthode pas à pas en 4 étapes et 4 exemples résolus pour maîtriser ce type de calcul — y compris les pièges classiques à éviter.
I. Les formules de distance
Deux formules à connaître — une pour la droite dans le plan (Première), une pour le plan dans l’espace (Terminale). Bonne nouvelle : elles ont exactement la même structure. Si tu maîtrises l’une, tu maîtrises l’autre.
A. Distance d’un point à un plan 🟠 Terminale
Formule — Distance d’un point à un plan
Dans un repère orthonormé de l’espace, soit \(A(x_0 ;\, y_0 ;\, z_0)\) un point et \(\mathcal{P}\) un plan d’équation cartésienne \(ax + by + cz + d = 0\).
La distance du point \(A\) au plan \(\mathcal{P}\) est :
\(d(A,\,\mathcal{P}) = \displaystyle\frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
Conditions d’application :
- Le repère doit être orthonormé (la formule est fausse dans un repère quelconque).
- L’équation du plan doit être sous la forme \(ax + by + cz + d = 0\) (le terme constant du même côté que les autres).
- Le vecteur \(\vec{n}(a ;\, b ;\, c)\) est un vecteur normal au plan \(\mathcal{P}\).
B. Distance d’un point à une droite (dans le plan) 🔵 Première
Formule — Distance d’un point à une droite
Dans un repère orthonormé du plan, soit \(A(x_0 ;\, y_0)\) un point et \(\mathcal{D}\) une droite d’équation cartésienne \(ax + by + c = 0\).
La distance du point \(A\) à la droite \(\mathcal{D}\) est :
\(d(A,\,\mathcal{D}) = \displaystyle\frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
Observe l’analogie : la formule pour un plan dans l’espace est l’extension naturelle de la formule pour une droite dans le plan. On ajoute simplement la troisième coordonnée \(cz_0\) au numérateur et \(c^2\) sous la racine. Retiens l’une, tu retrouves l’autre.
C. Pourquoi ça marche : le rôle du projeté orthogonal
Derrière ces formules, il y a une idée géométrique simple. La distance d’un point \(A\) à un plan \(\mathcal{P}\) (ou à une droite), c’est la plus courte distance entre \(A\) et \(\mathcal{P}\). Ce plus court chemin passe par le projeté orthogonal \(H\) de \(A\) sur \(\mathcal{P}\) :
\(d(A,\,\mathcal{P}) = AH\)
Le point \(H\) est le pied de la perpendiculaire abaissée de \(A\) sur \(\mathcal{P}\). Le segment \([AH]\) est perpendiculaire au plan, donc colinéaire au vecteur normal \(\vec{n}\). C’est cette propriété qui permet de retrouver la formule à partir du produit scalaire.
II. Quelle méthode choisir ? Tableau comparatif
Selon les données de l’énoncé, tu n’utiliseras pas toujours la même approche. Voici comment choisir :
| Situation | Méthode recommandée | Avantage |
|---|---|---|
| L’équation cartésienne du plan (ou de la droite) est donnée | Formule directe | Rapide : un seul calcul |
| Tu connais un point du plan et un vecteur normal, mais pas l’équation | Écrire l’équation cartésienne → formule directe | Systématique, 2 étapes |
| Configuration géométrique sans coordonnées (triangle, parallélogramme…) | Construire le projeté orthogonal et calculer \(AH\) | Fonctionne toujours, même sans repère |
| Tu veux la distance entre deux plans parallèles | Choisir un point sur l’un → formule directe vers l’autre | Se ramène au cas précédent |
Règle d’or : si l’énoncé donne (ou permet de trouver facilement) une équation cartésienne, utilise la formule directe. C’est la méthode la plus rapide et celle que les correcteurs attendent au bac. Réserve la méthode du projeté orthogonal aux situations purement géométriques sans repère.
III. Méthode pas à pas
A. Calculer la distance d’un point à un plan — 4 étapes 🟠 Terminale
Étape 1 — Mettre l’équation sous la forme \(ax + by + cz + d = 0\).
Si l’équation est donnée sous la forme \(2x – y + 2z = 1\), réécris-la : \(2x – y + 2z – 1 = 0\). Les coefficients sont alors \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = 2\), \(d = -1\).
Étape 2 — Repérer les coordonnées du point \(A(x_0 ;\, y_0 ;\, z_0)\).
Note-les clairement. Attention aux signes négatifs : si \(A(1 ;\, -2 ;\, 3)\), alors \(x_0 = 1\), \(y_0 = -2\), \(z_0 = 3\).
Étape 3 — Substituer dans la formule et calculer.
Remplace :
\(d(A,\,\mathcal{P}) = \displaystyle\frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
Calcule d’abord le numérateur (sans oublier la valeur absolue), puis le dénominateur.
Étape 4 — Simplifier et conclure.
Simplifie la fraction si possible. Si le dénominateur contient une racine, rationalise-le (par exemple \(\displaystyle\frac{5}{\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{5\sqrt{3}}{3}\)). Rédige une phrase de conclusion.
B. Calculer la distance d’un point à une droite — 4 étapes 🔵 Première
La démarche est identique, adaptée à deux dimensions :
- Écrire l’équation de la droite sous la forme \(ax + by + c = 0\).
- Repérer les coordonnées du point \(A(x_0 ;\, y_0)\).
- Substituer dans la formule : \(d(A,\,\mathcal{D}) = \displaystyle\frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\).
- Simplifier et conclure.
Astuce pour l’étape 1 : si la droite est donnée par \(y = mx + p\), réécris-la sous forme cartésienne : \(mx – y + p = 0\). Les coefficients sont alors \(a = m\), \(b = -1\), \(c = p\).
IV. Exemples résolus
Exemple 1 — Distance point-droite 🔵 Première
Énoncé : Calculer la distance du point \(A(3 ;\, 1)\) à la droite \(\mathcal{D}\) d’équation \(3x + 4y – 2 = 0\).
Solution :
L’équation est déjà sous la forme \(ax + by + c = 0\) avec \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = -2\).
On applique la formule :
\(d(A,\,\mathcal{D}) = \displaystyle\frac{|3 \times 3 + 4 \times 1 + (-2)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \displaystyle\frac{|9 + 4 – 2|}{\sqrt{9 + 16}} = \displaystyle\frac{11}{\sqrt{25}} = \displaystyle\frac{11}{5}\)
Conclusion : la distance de \(A\) à \(\mathcal{D}\) vaut \(\displaystyle\frac{11}{5}\).
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Exemple 2 — Distance point-plan directe 🟠 Terminale
Énoncé : Calculer la distance du point \(A(1 ;\, -2 ;\, 3)\) au plan \(\mathcal{P}\) d’équation \(2x – y + 2z – 1 = 0\).
Solution :
On identifie \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = 2\), \(d = -1\).
Numérateur : \(|2 \times 1 + (-1) \times (-2) + 2 \times 3 + (-1)| = |2 + 2 + 6 – 1| = |9| = 9\).
Dénominateur : \(\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3\).
\(d(A,\,\mathcal{P}) = \displaystyle\frac{9}{3} = 3\)
Conclusion : la distance de \(A\) au plan \(\mathcal{P}\) vaut \(3\).
Exemple 3 — Trouver l’équation du plan d’abord 🟠 Terminale
Énoncé : Le plan \(\mathcal{P}\) passe par \(B(1 ;\, 0 ;\, 2)\) et admet pour vecteur normal \(\vec{n}(1 ;\, 1 ;\, -1)\). Calculer la distance du point \(A(3 ;\, 1 ;\, 0)\) au plan \(\mathcal{P}\).
Solution :
Étape préliminaire — Trouver l’équation cartésienne de \(\mathcal{P}\).
Puisque \(\vec{n}(1 ;\, 1 ;\, -1)\) est normal à \(\mathcal{P}\) et que \(B(1 ;\, 0 ;\, 2) \in \mathcal{P}\) :
\(1(x – 1) + 1(y – 0) + (-1)(z – 2) = 0\)
Soit : \(x + y – z + 1 = 0\).
Vérification : \(1 + 0 – 2 + 1 = 0\) ✓
Étape de calcul — Formule directe.
\(d(A,\,\mathcal{P}) = \displaystyle\frac{|3 + 1 – 0 + 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \displaystyle\frac{5}{\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{5\sqrt{3}}{3}\)
Conclusion : la distance de \(A\) au plan \(\mathcal{P}\) vaut \(\displaystyle\frac{5\sqrt{3}}{3}\).
Exemple 4 — Distance entre deux plans parallèles 🟠 Terminale
Énoncé : Calculer la distance entre les plans parallèles \(\mathcal{P}_1 : 2x – y + 2z – 3 = 0\) et \(\mathcal{P}_2 : 2x – y + 2z + 6 = 0\).
Solution :
Ces deux plans ont le même vecteur normal \(\vec{n}(2 ;\, -1 ;\, 2)\), donc ils sont bien parallèles.
On choisit un point de \(\mathcal{P}_1\). Par exemple, posons \(x = 0\) et \(y = 0\) dans l’équation de \(\mathcal{P}_1\) :
\(2z – 3 = 0 \Rightarrow z = \displaystyle\frac{3}{2}\)
Soit \(A\!\left(0 ;\, 0 ;\, \displaystyle\frac{3}{2}\right)\).
On calcule la distance de \(A\) à \(\mathcal{P}_2\).
\(d(A,\,\mathcal{P}_2) = \displaystyle\frac{\left|2(0) – 0 + 2 \times \displaystyle\frac{3}{2} + 6\right|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \displaystyle\frac{|0 + 3 + 6|}{3} = \displaystyle\frac{9}{3} = 3\)
Conclusion : la distance entre les deux plans parallèles vaut \(3\).
Raccourci pour deux plans parallèles : si \(\mathcal{P}_1 : ax + by + cz + d_1 = 0\) et \(\mathcal{P}_2 : ax + by + cz + d_2 = 0\) (mêmes coefficients \(a, b, c\)), alors :
\(d(\mathcal{P}_1,\,\mathcal{P}_2) = \displaystyle\frac{|d_2 – d_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
Ici : \(\displaystyle\frac{|6 – (-3)|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \displaystyle\frac{9}{3} = 3\). Même résultat, un seul calcul.
V. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Ces erreurs reviennent très souvent dans les copies au bac. Les repérer maintenant, c’est les éviter le jour J.
Piège 1 — Oublier la valeur absolue
❌ Copie fautive :
« \(d(A,\,\mathcal{P}) = \displaystyle\frac{2 + 2 + 6 – 1}{3} = 3\) »
Diagnostic : ici le résultat est positif par chance, donc on ne voit pas l’erreur. Mais si le numérateur valait \(-5\), l’élève écrirait une distance négative — ce qui est impossible. Une distance est toujours positive ou nulle.
✅ Correction : toujours écrire la valeur absolue au numérateur : \(\displaystyle\frac{|\ldots|}{\sqrt{\ldots}}\). Le correcteur retire des points même quand le résultat final est correct.
Piège 2 — Se tromper de signe dans l’équation
❌ Copie fautive :
« Le plan \(\mathcal{P}\) a pour équation \(2x – y + 2z = 1\). On a \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = 2\), \(d = 1\). »
Diagnostic : l’élève n’a pas réécrit l’équation sous la forme \(\ldots = 0\). L’équation correcte est \(2x – y + 2z – 1 = 0\), donc \(d = -1\), pas \(+1\).
✅ Correction : toujours réécrire l’équation sous la forme \(ax + by + cz + d = 0\) avant d’identifier les coefficients. Passer tout du même côté.
Piège 3 — Confondre vecteur normal et point du plan
❌ Copie fautive :
« Le plan \(\mathcal{P} : 2x + 3y – z + 5 = 0\). Donc \((2 ;\, 3 ;\, -1)\) est un point du plan. »
Diagnostic : \((2 ;\, 3 ;\, -1)\) sont les coordonnées du vecteur normal \(\vec{n}\), pas celles d’un point du plan. Pour trouver un point du plan, il faut substituer des valeurs dans l’équation (par exemple \(x = 0\), \(y = 0\)).
✅ Correction : dans l’équation \(ax + by + cz + d = 0\), le vecteur normal est \(\vec{n}(a ;\, b ;\, c)\). Pour obtenir un point, on fixe deux coordonnées et on résout la troisième.
Piège 4 — Laisser une racine au dénominateur
❌ Copie fautive :
« \(d(A,\,\mathcal{P}) = \displaystyle\frac{5}{\sqrt{3}}\). »
Diagnostic : le calcul est correct, mais la forme n’est pas simplifiée. En mathématiques, on rationalise le dénominateur.
✅ Correction : multiplier haut et bas par \(\sqrt{3}\) : \(\displaystyle\frac{5}{\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{5\sqrt{3}}{3}\). Certains correcteurs tolèrent les deux formes, mais la forme rationalisée est toujours préférable.
VI. Exercices d’application
Entraîne-toi avec ces 4 exercices classés par difficulté croissante. Essaie de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 ★ — 🔵 Première
Calculer la distance du point \(A(2 ;\, 5)\) à la droite \(\mathcal{D}\) d’équation \(x – 2y + 3 = 0\).
Voir la correction
On identifie \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 3\).
Numérateur : \(|1 \times 2 + (-2) \times 5 + 3| = |2 – 10 + 3| = |-5| = 5\).
Dénominateur : \(\sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\).
\(d(A,\,\mathcal{D}) = \displaystyle\frac{5}{\sqrt{5}} = \displaystyle\frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}\)
Conclusion : la distance de \(A\) à \(\mathcal{D}\) vaut \(\sqrt{5}\).
Exercice 2 ★ — 🟠 Terminale
Calculer la distance du point \(M(2 ;\, 1 ;\, -1)\) au plan \(\mathcal{P}\) d’équation \(x + 2y – 2z + 3 = 0\).
Voir la correction
On identifie \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -2\), \(d = 3\).
Numérateur : \(|1(2) + 2(1) + (-2)(-1) + 3| = |2 + 2 + 2 + 3| = 9\).
Dénominateur : \(\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\).
\(d(M,\,\mathcal{P}) = \displaystyle\frac{9}{3} = 3\)
Conclusion : la distance de \(M\) au plan \(\mathcal{P}\) vaut \(3\).
Exercice 3 ★★ — 🟠 Terminale
Le plan \(\mathcal{P}\) passe par \(A(1 ;\, 1 ;\, 0)\) et admet pour vecteur normal \(\vec{n}(2 ;\, -1 ;\, 3)\). Calculer la distance du point \(B(0 ;\, 3 ;\, 1)\) au plan \(\mathcal{P}\).
Voir la correction
Étape 1 — Équation de \(\mathcal{P}\).
\(2(x – 1) – 1(y – 1) + 3(z – 0) = 0\), soit \(2x – y + 3z – 1 = 0\).
Vérification : \(2(1) – 1 + 0 – 1 = 0\) ✓
Étape 2 — Formule directe.
Numérateur : \(|2(0) – 3 + 3(1) – 1| = |0 – 3 + 3 – 1| = |-1| = 1\).
Dénominateur : \(\sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}\).
\(d(B,\,\mathcal{P}) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{14}} = \displaystyle\frac{\sqrt{14}}{14}\)
Conclusion : la distance de \(B\) au plan \(\mathcal{P}\) vaut \(\displaystyle\frac{\sqrt{14}}{14}\).
Exercice 4 ★★ — 🟠 Terminale
Déterminer l’ensemble des points \(M(x ;\, y ;\, z)\) de l’espace situés à une distance égale à \(2\) du plan \(\mathcal{P} : x – 2y + 2z + 1 = 0\).
Voir la correction
On cherche \(d(M,\,\mathcal{P}) = 2\), soit :
\(\displaystyle\frac{|x – 2y + 2z + 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 2 \quad \Leftrightarrow \quad \displaystyle\frac{|x – 2y + 2z + 1|}{3} = 2 \quad \Leftrightarrow \quad |x – 2y + 2z + 1| = 6\)
En levant la valeur absolue, on obtient deux cas :
- \(x – 2y + 2z + 1 = 6\), soit \(x – 2y + 2z – 5 = 0\) ;
- \(x – 2y + 2z + 1 = -6\), soit \(x – 2y + 2z + 7 = 0\).
Conclusion : l’ensemble cherché est la réunion de deux plans parallèles à \(\mathcal{P}\), situés de part et d’autre à distance \(2\).
VII. Questions fréquentes
Comment calculer la distance d'un point par rapport à un plan ?
Quatre étapes : (1) écrire l’équation du plan sous la forme \(ax + by + cz + d = 0\) ; (2) repérer les coordonnées \((x_0, y_0, z_0)\) du point ; (3) substituer dans la formule \(d = \displaystyle\frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\) ; (4) simplifier. Le repère doit être orthonormé.
Quelle est la différence entre la distance d'un point à un plan et le projeté orthogonal ?
Le projeté orthogonal \(H\) est un point : c’est le pied de la perpendiculaire abaissée du point \(A\) sur le plan. La distance \(d(A, \mathcal{P})\) est un nombre : c’est la longueur \(AH\). Le projeté est l’outil géométrique ; la distance est le résultat numérique qu’on en tire.
La formule fonctionne-t-elle dans un repère non orthonormé ?
Non. La formule suppose un repère orthonormé. Dans un repère quelconque, les distances ne sont pas calculées de la même façon. Si l’énoncé ne précise pas le type de repère, il est presque toujours orthonormé au bac.
Comment calculer la distance entre deux plans parallèles ?
Il suffit de choisir un point quelconque sur l’un des plans et de calculer sa distance à l’autre plan avec la formule habituelle. Si les deux plans s’écrivent \(ax + by + cz + d_1 = 0\) et \(ax + by + cz + d_2 = 0\) (mêmes coefficients), le raccourci est : \(d = \displaystyle\frac{|d_2 – d_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\).
Peut-on utiliser la formule directe pour la distance d'un point à une droite dans l'espace ?
La formule directe s’applique à une droite dans le plan (2D) ou à un plan dans l’espace (3D), car les deux se définissent par une équation cartésienne de même type. Pour une droite dans l’espace (3D), il n’y a pas de formule directe analogue : il faut passer par le projeté orthogonal de \(A\) sur la droite et calculer la longueur \(AH\).
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le calcul de la distance d’un point à un plan et à une droite. Pour approfondir ta compréhension de la géométrie analytique avec le produit scalaire, explore les pages suivantes :
- Projeté orthogonal — La notion géométrique sur laquelle repose la formule de distance.
- Produit scalaire dans l’espace — Cours complet et exercices type bac sur le produit scalaire en géométrie dans l’espace (Terminale).
- Vecteurs orthogonaux — Comment montrer que deux vecteurs sont orthogonaux : 4 méthodes.
- Produit scalaire — Le cours complet : définition, formules, propriétés et applications.
- Exercices corrigés sur le produit scalaire (Première) — 15 à 20 exercices progressifs avec correction détaillée.
- Théorème de la médiane — Énoncé, démonstration et applications classiques.
