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La notion d’espace vectoriel est l’un des piliers de l’algèbre linéaire en classe préparatoire. Elle unifie des objets aussi différents que les n-uplets de \(\mathbb{R}^n\), les polynômes de \(\mathbb{K}[X]\) ou les suites réelles sous un cadre axiomatique commun. Tu trouveras ici la définition formelle avec les 8 axiomes, les théorèmes fondamentaux (dimension, base incomplète, Grassmann) avec leurs démonstrations exigibles, et 8 exercices progressifs corrigés.

📚 Tout le cours « Algèbre linéaire »

I. Définition et Axiomes d’un K-Espace Vectoriel

L’idée fondatrice est la suivante : dans \(\mathbb{R}^2\) ou \(\mathbb{R}^3\), tu sais additionner des vecteurs et les multiplier par un scalaire. La structure d’espace vectoriel abstrait ces deux opérations pour les appliquer à n’importe quel ensemble — polynômes, matrices, fonctions, suites — dès qu’elles vérifient les mêmes règles de calcul.

A. Définition Formelle

Définition — \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel

Soit \(\mathbb{K}\) un corps commutatif (en pratique \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\)). Un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel est un ensemble \(E\) muni de deux lois :

  • une loi interne \(+ : E \times E \to E\) (addition vectorielle),
  • une loi externe \(\cdot : \mathbb{K} \times E \to E\) (multiplication par un scalaire),

vérifiant les 8 axiomes suivants.

Axiomes de groupe abélien \((E, +)\) :

  1. \(\forall\, x, y, z \in E,\quad (x + y) + z = x + (y + z)\)  (associativité)
  2. \(\exists\, 0_E \in E,\; \forall\, x \in E,\quad x + 0_E = x\)  (élément neutre)
  3. \(\forall\, x \in E,\; \exists\, (-x) \in E,\quad x + (-x) = 0_E\)  (opposé)
  4. \(\forall\, x, y \in E,\quad x + y = y + x\)  (commutativité)

Axiomes de la loi externe :

  1. \(\forall\, \lambda \in \mathbb{K},\; \forall\, x, y \in E,\quad \lambda \cdot (x + y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y\)
  2. \(\forall\, \lambda, \mu \in \mathbb{K},\; \forall\, x \in E,\quad (\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x\)
  3. \(\forall\, \lambda, \mu \in \mathbb{K},\; \forall\, x \in E,\quad (\lambda \mu) \cdot x = \lambda \cdot (\mu \cdot x)\)  (compatibilité)
  4. \(\forall\, x \in E,\quad 1_{\mathbb{K}} \cdot x = x\)  (élément unité)

Les éléments de \(E\) sont appelés vecteurs, ceux de \(\mathbb{K}\) scalaires.

Vocabulaire. On note souvent \(\mathbb{K}\)-ev pour « \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel ». Quand le corps \(\mathbb{K}\) est évident ou fixé, on dit simplement « espace vectoriel ».

B. Premières Propriétés Déduites des Axiomes

Les propriétés suivantes se déduisent directement des 8 axiomes. Leurs démonstrations sont exigibles aux concours.

Propriété 1 — Le vecteur nul absorbe la multiplication scalaire ⋆

\(\forall\, \lambda \in \mathbb{K},\quad \lambda \cdot 0_E = 0_E\)

Démonstration ⋆. On utilise l’axiome 2 (\(0_E + 0_E = 0_E\)) et l’axiome 5 :

\(\lambda \cdot 0_E = \lambda \cdot (0_E + 0_E) = \lambda \cdot 0_E + \lambda \cdot 0_E\)

En ajoutant \(-(\lambda \cdot 0_E)\) des deux côtés (axiome 3), on obtient \(0_E = \lambda \cdot 0_E\). ∎

Propriété 2 — Le scalaire nul annule tout vecteur ⋆

\(\forall\, x \in E,\quad 0_{\mathbb{K}} \cdot x = 0_E\)

Démonstration ⋆. On utilise \(0_{\mathbb{K}} + 0_{\mathbb{K}} = 0_{\mathbb{K}}\) et l’axiome 6 :

\(0_{\mathbb{K}} \cdot x = (0_{\mathbb{K}} + 0_{\mathbb{K}}) \cdot x = 0_{\mathbb{K}} \cdot x + 0_{\mathbb{K}} \cdot x\)

En simplifiant par \(0_{\mathbb{K}} \cdot x\), on obtient \(0_E = 0_{\mathbb{K}} \cdot x\). ∎

Propriété 3 — Intégrité du produit scalaire ⋆

\(\forall\, \lambda \in \mathbb{K},\; \forall\, x \in E,\quad \lambda \cdot x = 0_E \;\Rightarrow\; \lambda = 0_{\mathbb{K}} \text{ ou } x = 0_E\)

Démonstration ⋆. Supposons \(\lambda \neq 0_{\mathbb{K}}\). Alors \(\lambda\) est inversible dans \(\mathbb{K}\) et :

\(x = 1_{\mathbb{K}} \cdot x = (\lambda^{-1} \lambda) \cdot x = \lambda^{-1} \cdot (\lambda \cdot x) = \lambda^{-1} \cdot 0_E = 0_E\)

La dernière égalité vient de la propriété 1. ∎

Propriété 4 — L’opposé par multiplication ⋆

\(\forall\, x \in E,\quad (-1_{\mathbb{K}}) \cdot x = -x\)

Démonstration ⋆. On calcule :

\(x + (-1_{\mathbb{K}}) \cdot x = 1_{\mathbb{K}} \cdot x + (-1_{\mathbb{K}}) \cdot x = (1_{\mathbb{K}} + (-1_{\mathbb{K}})) \cdot x = 0_{\mathbb{K}} \cdot x = 0_E\)

Donc \((-1_{\mathbb{K}}) \cdot x\) est l’opposé de \(x\) pour l’addition, c’est-à-dire \(-x\). ∎

Attention : ne confonds jamais \(0_E\) (le vecteur nul de \(E\)) et \(0_{\mathbb{K}}\) (le scalaire nul du corps). Dans \(\mathbb{R}^3\), \(0_E = (0,0,0)\) est un vecteur ; dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), c’est la matrice nulle. Le scalaire \(0_{\mathbb{K}}\) est simplement le réel \(0\).

II. Exemples Fondamentaux d’Espaces Vectoriels

Les exemples suivants constituent le socle de l’algèbre linéaire. Tu les retrouveras dans presque tous les exercices de concours. Identifie leurs points communs : dans chaque cas, on sait additionner deux éléments et en multiplier un par un scalaire, et les 8 axiomes sont vérifiés.

A. Espaces Classiques

\(\mathbb{K}^n\) — L’espace de référence. L’ensemble des \(n\)-uplets \((x_1, \ldots, x_n)\) à coefficients dans \(\mathbb{K}\), muni de l’addition composante par composante et de la multiplication scalaire composante par composante. C’est l’espace vectoriel que tu connais le mieux (les vecteurs de \(\mathbb{R}^2\) et \(\mathbb{R}^3\) en sont des cas particuliers).

\(\mathbb{K}_n[X]\) — Polynômes de degré \(\leq n\). L’ensemble des polynômes à coefficients dans \(\mathbb{K}\) de degré inférieur ou égal à \(n\), muni de l’addition des polynômes et de la multiplication par un scalaire. Attention : \(\mathbb{K}_n[X]\) contient aussi le polynôme nul (par convention, \(\deg(0) = -\infty\)).

\(\mathbb{K}[X]\) — Tous les polynômes. L’ensemble de tous les polynômes à coefficients dans \(\mathbb{K}\). C’est un espace vectoriel de dimension infinie (contrairement à \(\mathbb{K}_n[X]\)).

\(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) — Matrices. L’ensemble des matrices à \(n\) lignes et \(p\) colonnes, muni de l’addition matricielle et de la multiplication par un scalaire. C’est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel fondamental qui connecte les espaces vectoriels abstraits au calcul matriciel.

B. Espaces de Fonctions et de Suites

\(\mathcal{F}(E, \mathbb{K})\) — Fonctions. L’ensemble des fonctions d’un ensemble \(E\) vers \(\mathbb{K}\), muni de l’addition et de la multiplication scalaire point par point : \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\) et \((\lambda \cdot f)(x) = \lambda \, f(x)\). C’est un \(\mathbb{K}\)-ev, souvent de dimension infinie.

De nombreux sous-espaces vectoriels de \(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) apparaissent naturellement en analyse : les fonctions continues \(\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})\), les fonctions dérivables \(\mathcal{C}^1\), les fonctions de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\), les fonctions paires, impaires, périodiques…

\(\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\) — Suites. L’ensemble des suites \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) à valeurs dans \(\mathbb{K}\). L’addition et la multiplication scalaire opèrent terme à terme. C’est un \(\mathbb{K}\)-ev de dimension infinie qui joue un rôle central dans l’analyse des séries.

Tableau récapitulatif des espaces vectoriels classiques
Espace vectoriel Dimension Base canonique
\(\mathbb{K}^n\) \(n\) \((e_1, \ldots, e_n)\) où \(e_i = (0, \ldots, 1, \ldots, 0)\)
\(\mathbb{K}_n[X]\) \(n + 1\) \((1, X, X^2, \ldots, X^n)\)
\(\mathbb{K}[X]\) \(+\infty\) —
\(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) \(np\) \((E_{i,j})_{1 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq p}\)
\(\mathcal{S}_n(\mathbb{K})\) (symétriques) \(\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\) \(E_{i,i}\) et \(E_{i,j} + E_{j,i}\) pour \(i\) < \(j\)
\(\mathcal{A}_n(\mathbb{K})\) (antisymétriques) \(\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}\) \(E_{i,j} – E_{j,i}\) pour \(i\) < \(j\)
\(\mathcal{F}(E, \mathbb{K})\) \(+\infty\) (si \(E\) infini) —
\(\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\) \(+\infty\) —
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Fiche de synthèse — Espaces vectoriels

Les 8 axiomes, les espaces classiques avec leurs dimensions, les critères de sous-espace et la formule de Grassmann — tout sur une fiche recto-verso prête à imprimer.

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Retiens ce réflexe : quand un exercice te donne un ensemble « bizarre », demande-toi toujours : de quel espace classique est-ce un sous-ensemble ? C’est la clé pour démontrer que c’est un espace vectoriel (cf. section III).

III. Comment Montrer qu’un Ensemble est un Espace Vectoriel

En pratique, vérifier les 8 axiomes un par un est fastidieux et presque jamais nécessaire. La méthode standard repose sur un raccourci puissant : montrer que l’ensemble est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel connu. Cela ramène la vérification à 3 conditions seulement.

Méthode en 3 étapes — Montrer que \(F\) est un espace vectoriel

Si \(F \subset E\) avec \(E\) un \(\mathbb{K}\)-ev connu, il suffit de vérifier :

  1. Non vide : \(0_E \in F\)
  2. Stabilité par addition : \(\forall\, x, y \in F,\quad x + y \in F\)
  3. Stabilité par multiplication scalaire : \(\forall\, \lambda \in \mathbb{K},\; \forall\, x \in F,\quad \lambda \cdot x \in F\)

Alors \(F\), muni des lois induites par \(E\), est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel.

Exemple. Montrons que \(F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y – z = 0\}\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.

\(F \subset \mathbb{R}^3\) qui est un \(\mathbb{R}\)-ev. On vérifie les 3 conditions :

  1. \(0 + 0 – 0 = 0\) donc \((0,0,0) \in F\). ✓
  2. Si \((x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2) \in F\), alors \((x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) – (z_1 + z_2) = (x_1 + y_1 – z_1) + (x_2 + y_2 – z_2) = 0 + 0 = 0\). ✓
  3. Si \((x, y, z) \in F\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\), alors \(\lambda x + \lambda y – \lambda z = \lambda(x + y – z) = 0\). ✓

Donc \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\), et en particulier un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.

Arbre décisionnel — Quelle méthode choisir ?

  1. L’ensemble est-il un sous-ensemble d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel connu (comme \(\mathbb{R}^n\), \(\mathcal{F}(I, \mathbb{R})\), \(\mathbb{K}[X]\), \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\)) muni des lois induites ?
  2. → Oui : utiliser la caractérisation des sous-espaces (3 conditions). C’est le cas dans 95% des exercices.
  3. → Non (loi inhabituelle, ou aucun espace ambiant naturel) : vérifier les 8 axiomes un par un.

2e exemple — Le noyau d’une application linéaire est un sous-espace vectoriel.

Soient \(E\), \(F\) deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels et \(f : E \to F\) une application linéaire. Montrons que \(\ker f = \{x \in E \mid f(x) = 0_F\}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

\(\ker f \subset E\) qui est un \(\mathbb{K}\)-ev. On vérifie les 3 conditions :

  1. Non vide : par linéarité de \(f\), \(f(0_E) = 0_F\), donc \(0_E \in \ker f\). ✓
  2. Stabilité par addition : si \(x, y \in \ker f\), alors \(f(x + y) = f(x) + f(y) = 0_F + 0_F = 0_F\), donc \(x + y \in \ker f\). ✓
  3. Stabilité par multiplication scalaire : si \(x \in \ker f\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\), alors \(f(\lambda \cdot x) = \lambda \cdot f(x) = \lambda \cdot 0_F = 0_F\), donc \(\lambda \cdot x \in \ker f\). ✓

Donc \(\ker f\) est un sous-espace vectoriel de \(E\). Ce résultat classique sera redémontré et exploité dans le cours sur le noyau d’une matrice et la matrice d’une application linéaire.

Quand l’ensemble est muni d’opérations non standard (par exemple une loi \(x \oplus y = xy\)), la méthode des sous-espaces ne s’applique plus. Il faut alors vérifier les 8 axiomes un par un. Ce cas est rare mais apparaît ponctuellement en DS.

Piège classique : ne jamais oublier l’étape 1 (le vecteur nul). Dire « \(F\) est stable par addition et par multiplication scalaire, donc c’est un sev » est insuffisant. Si \(F = \emptyset\), les deux stabilités sont trivialement vraies mais \(F\) n’est pas un sous-espace. Vérifier \(0_E \in F\) garantit que \(F \neq \emptyset\).

Pour un traitement complet de la théorie des sous-espaces vectoriels (caractérisation, intersection, exemples approfondis), consulte la page dédiée aux sous-espaces vectoriels.

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IV. Familles de Vecteurs et Bases

Une fois l’espace vectoriel défini, la question centrale est : comment décrire la structure de \(E\) à l’aide d’un nombre fini de vecteurs ? C’est le rôle des familles libres, génératrices et des bases.

A. Combinaisons Linéaires et Espace Engendré

Définition — Combinaison linéaire

Soit \((v_1, \ldots, v_p)\) une famille de vecteurs de \(E\). Un vecteur \(x \in E\) est une combinaison linéaire de \((v_1, \ldots, v_p)\) s’il existe \(\lambda_1, \ldots, \lambda_p \in \mathbb{K}\) tels que :

\(x = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_p v_p = \displaystyle\sum_{k=1}^{p} \lambda_k v_k\)

Définition — Sous-espace engendré (Vect)

L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de \((v_1, \ldots, v_p)\) est noté \(\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)\) :

\(\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p) = \left\{ \displaystyle\sum_{k=1}^{p} \lambda_k v_k \;\middle|\; \lambda_1, \ldots, \lambda_p \in \mathbb{K} \right\}\)

C’est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(\{v_1, \ldots, v_p\}\).

Par convention, \(\mathrm{Vect}(\emptyset) = \{0_E\}\).

B. Familles Libres et Familles Liées

Définition — Famille libre (ou linéairement indépendante)

Une famille \((v_1, \ldots, v_p)\) de vecteurs de \(E\) est libre si :

\(\forall\, (\lambda_1, \ldots, \lambda_p) \in \mathbb{K}^p,\quad \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p = 0_E \;\Rightarrow\; \lambda_1 = \cdots = \lambda_p = 0_{\mathbb{K}}\)

Autrement dit, la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison triviale.

Définition — Famille liée (ou linéairement dépendante)

Une famille est liée si elle n’est pas libre, c’est-à-dire s’il existe des scalaires \(\lambda_1, \ldots, \lambda_p\) non tous nuls tels que \(\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p = 0_E\).

Proposition — Caractérisation des familles liées ⋆

Une famille \((v_1, \ldots, v_p)\) avec \(p \geq 2\) est liée si et seulement si l’un des vecteurs est combinaison linéaire des autres.

Démonstration ⋆.

\((\Rightarrow)\) Supposons la famille liée : \(\exists\, (\lambda_1, \ldots, \lambda_p) \neq (0, \ldots, 0)\) tel que \(\sum \lambda_k v_k = 0_E\). Soit \(j\) un indice tel que \(\lambda_j \neq 0\). Alors :

\(v_j = -\lambda_j^{-1} \displaystyle\sum_{k \neq j} \lambda_k v_k\)

Donc \(v_j\) est combinaison linéaire des autres.

\((\Leftarrow)\) Si \(v_j = \sum_{k \neq j} \mu_k v_k\), alors \(\sum_{k \neq j} \mu_k v_k + (-1) v_j = 0_E\) est une combinaison linéaire nulle avec au moins un coefficient non nul (\(-1\) devant \(v_j\)). ∎

Exemple dans \(\mathbb{R}^3\). La famille \(((1, 0, 0),\, (0, 1, 0),\, (1, 1, 0))\) est liée car \((1, 1, 0) = 1 \cdot (1, 0, 0) + 1 \cdot (0, 1, 0)\). Le troisième vecteur est combinaison linéaire des deux premiers.

En revanche, \(((1, 0, 0),\, (0, 1, 0),\, (0, 0, 1))\) est libre : la seule solution de \(\lambda_1 (1,0,0) + \lambda_2 (0,1,0) + \lambda_3 (0,0,1) = (0,0,0)\) est \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0\).

C. Familles Génératrices et Bases

Définition — Famille génératrice

Une famille \((v_1, \ldots, v_p)\) est génératrice de \(E\) si \(\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p) = E\), c’est-à-dire si tout vecteur de \(E\) s’écrit comme combinaison linéaire de \(v_1, \ldots, v_p\).

Définition — Base

Une famille \(\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)\) est une base de \(E\) si elle est à la fois libre et génératrice.

De manière équivalente : \(\mathcal{B}\) est une base de \(E\) si et seulement si \(\forall\, x \in E\), il existe un unique \(n\)-uplet \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{K}^n\) tel que :

\(x = \lambda_1 e_1 + \cdots + \lambda_n e_n\)

Les scalaires \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) sont les coordonnées (ou composantes) de \(x\) dans la base \(\mathcal{B}\).

La notion de coordonnées dans une base est le pont entre les espaces vectoriels abstraits et le calcul matriciel : exprimer un vecteur dans une base revient à le représenter par un vecteur-colonne de \(\mathbb{K}^n\).

Critère rapide en dimension finie : si \(\dim(E) = n\) est connu, alors une famille de \(n\) vecteurs qui est soit libre, soit génératrice, est automatiquement une base. Il suffit de vérifier l’une des deux propriétés (pas les deux).

V. Dimension d’un Espace Vectoriel

La dimension est l’invariant le plus fondamental d’un espace vectoriel de dimension finie. Elle mesure le « nombre de degrés de liberté » de l’espace.

A. Théorème Fondamental et Définition

Théorème — Invariance de la dimension ⋆

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel admettant une famille génératrice finie. Alors toutes les bases de \(E\) ont le même cardinal.

Démonstration (idée) ⋆. Le résultat repose sur le lemme d’échange de Steinitz : si \((e_1, \ldots, e_n)\) est une base et \((f_1, \ldots, f_p)\) une famille libre, alors \(p \leq n\). En appliquant ce lemme dans les deux sens (la base vue comme famille libre de l’espace engendré par l’autre base), on obtient l’égalité des cardinaux. ∎

Définition — Dimension

Le cardinal commun à toutes les bases de \(E\) est appelé dimension de \(E\) sur \(\mathbb{K}\), noté \(\dim_{\mathbb{K}}(E)\) ou simplement \(\dim(E)\).

Par convention, \(\dim(\{0_E\}) = 0\) (la base de l’espace nul est la famille vide).

Proposition — Encadrement par la dimension ⋆

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-ev de dimension \(n\). Alors :

  • Toute famille libre de \(E\) a au plus \(n\) vecteurs.
  • Toute famille génératrice de \(E\) a au moins \(n\) vecteurs.
  • Une famille de \(n\) vecteurs est une base \(\Leftrightarrow\) elle est libre \(\Leftrightarrow\) elle est génératrice.

Ce dernier point est un outil extrêmement puissant en pratique : pour montrer qu’une famille de \(n\) vecteurs est une base d’un espace de dimension \(n\), il suffit de vérifier une seule des deux propriétés (libre ou génératrice).

B. Théorèmes de la Base Incomplète et de la Base Extraite

Théorème de la base incomplète ⋆

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-ev de dimension finie \(n\) et \((v_1, \ldots, v_p)\) une famille libre de \(E\) (avec \(p \leq n\)). Alors il existe des vecteurs \(v_{p+1}, \ldots, v_n \in E\) tels que \((v_1, \ldots, v_p, v_{p+1}, \ldots, v_n)\) soit une base de \(E\).

Démonstration ⋆. Par récurrence sur \(n – p\).

Initialisation : si \(p = n\), la famille libre de \(n\) vecteurs est déjà une base.

Hérédité : supposons \(p\) < \(n\). La famille \((v_1, \ldots, v_p)\) n’est pas génératrice (car \(p\) < \(n\)), donc \(\exists\, v_{p+1} \in E \setminus \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)\). Montrons que \((v_1, \ldots, v_p, v_{p+1})\) est libre : si \(\sum_{k=1}^{p} \lambda_k v_k + \lambda_{p+1} v_{p+1} = 0_E\) avec \(\lambda_{p+1} \neq 0\), alors \(v_{p+1} = -\lambda_{p+1}^{-1} \sum_{k=1}^{p} \lambda_k v_k \in \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)\), contradiction. Donc \(\lambda_{p+1} = 0\), puis \(\lambda_1 = \cdots = \lambda_p = 0\) par liberté de la famille initiale. On obtient une famille libre de \(p+1\) vecteurs et on conclut par hypothèse de récurrence. ∎

Théorème de la base extraite ⋆

De toute famille génératrice finie de \(E\), on peut extraire une base de \(E\).

Démonstration ⋆. Soit \((v_1, \ldots, v_p)\) une famille génératrice de \(E\). Si elle est libre, c’est une base. Sinon, l’un des vecteurs est combinaison linéaire des autres (caractérisation des familles liées) ; on le retire et la famille reste génératrice. On itère jusqu’à obtenir une famille libre — c’est une base. Le processus termine car on ne peut retirer au plus que \(p – 1\) vecteurs (la famille vide n’est pas génératrice si \(E \neq \{0_E\}\)). ∎

En résumé : dans un espace de dimension finie, toute famille libre se complète en une base (base incomplète) et toute famille génératrice se réduit en une base (base extraite). Ces deux théorèmes sont des outils fondamentaux en DS et concours.

Diagramme de la hiérarchie des familles de vecteurs : famille quelconque, famille libre, famille génératrice, base

VI. Somme et Somme Directe de Sous-Espaces Vectoriels

Comment reconstruire un espace vectoriel à partir de « briques élémentaires » plus simples ? La somme et la somme directe formalisent cette idée de décomposition. Ces notions sont omniprésentes dans les problèmes de diagonalisation (où l’on décompose \(E\) en somme directe d’espaces propres) et d’applications linéaires.

A. Somme de Sous-Espaces

Définition — Somme de deux sous-espaces

Soient \(F_1\) et \(F_2\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\). La somme \(F_1 + F_2\) est définie par :

\(F_1 + F_2 = \{x_1 + x_2 \mid x_1 \in F_1,\, x_2 \in F_2\}\)

C’est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(F_1 \cup F_2\).

La somme généralise l’union : on ne peut pas faire l’union de deux sous-espaces (ce n’est généralement pas un sev), mais on peut faire leur somme. Si \(\mathcal{B}_1\) est une base de \(F_1\) et \(\mathcal{B}_2\) une base de \(F_2\), alors \(\mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_2\) est une famille génératrice de \(F_1 + F_2\) (pas forcément libre).

B. Somme Directe et Sous-Espaces Supplémentaires

Définition — Somme directe

La somme \(F_1 + F_2\) est directe si \(F_1 \cap F_2 = \{0_E\}\). On note alors \(F_1 \oplus F_2\).

De manière équivalente, la somme est directe si et seulement si tout vecteur de \(F_1 + F_2\) s’écrit de manière unique sous la forme \(x_1 + x_2\) avec \(x_1 \in F_1\) et \(x_2 \in F_2\).

Démonstration de l’équivalence ⋆.

\((\Rightarrow)\) Supposons \(F_1 \cap F_2 = \{0_E\}\). Si \(x_1 + x_2 = x_1^\prime + x_2^\prime\) avec \(x_1, x_1^\prime \in F_1\) et \(x_2, x_2^\prime \in F_2\), alors \(x_1 – x_1^\prime = x_2^\prime – x_2 \in F_1 \cap F_2 = \{0_E\}\). Donc \(x_1 = x_1^\prime\) et \(x_2 = x_2^\prime\) : la décomposition est unique.

\((\Leftarrow)\) Si la décomposition est unique, soit \(x \in F_1 \cap F_2\). Alors \(x = x + 0_E = 0_E + x\) donne deux décompositions. Par unicité, \(x = 0_E\). Donc \(F_1 \cap F_2 = \{0_E\}\). ∎

Définition — Sous-espaces supplémentaires

\(F_1\) et \(F_2\) sont supplémentaires dans \(E\) si \(E = F_1 \oplus F_2\), c’est-à-dire si :

\(F_1 + F_2 = E \quad \text{et} \quad F_1 \cap F_2 = \{0_E\}\)

La notion de supplémentarité est fondamentale pour la diagonalisation : une matrice est diagonalisable si et seulement si ses espaces propres sont supplémentaires dans \(E\).

C. Formule de Grassmann

Théorème — Formule de Grassmann (formule des dimensions) ⋆

Soient \(F_1\) et \(F_2\) deux sous-espaces vectoriels de dimension finie d’un \(\mathbb{K}\)-ev \(E\). Alors :

\(\dim(F_1 + F_2) = \dim(F_1) + \dim(F_2) – \dim(F_1 \cap F_2)\)

Démonstration ⋆. Posons \(k = \dim(F_1 \cap F_2)\). Soit \((e_1, \ldots, e_k)\) une base de \(F_1 \cap F_2\).

Par le théorème de la base incomplète :

  • On complète en \((e_1, \ldots, e_k, f_1, \ldots, f_p)\), base de \(F_1\) (donc \(\dim(F_1) = k + p\)).
  • On complète en \((e_1, \ldots, e_k, g_1, \ldots, g_q)\), base de \(F_2\) (donc \(\dim(F_2) = k + q\)).

Montrons que \(\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_k, f_1, \ldots, f_p, g_1, \ldots, g_q)\) est une base de \(F_1 + F_2\).

Génératrice : tout \(x \in F_1 + F_2\) s’écrit \(x = x_1 + x_2\) avec \(x_1 \in F_1\) et \(x_2 \in F_2\). Or \(x_1\) se décompose sur la base de \(F_1\) et \(x_2\) sur celle de \(F_2\), d’où \(x \in \mathrm{Vect}(\mathcal{B})\).

Libre : supposons \(\sum \alpha_i e_i + \sum \beta_j f_j + \sum \gamma_l g_l = 0_E\). Alors \(v = \sum \gamma_l g_l = -\sum \alpha_i e_i – \sum \beta_j f_j \in F_1\). Or \(v \in F_2\) (combinaison des \(e_i\) et \(g_l\) qui sont dans \(F_2\)). Donc \(v \in F_1 \cap F_2\) et \(v = \sum \gamma_l g_l + \text{termes en } e_i\) se décompose dans la base de \(F_2\), ce qui impose \(\gamma_1 = \cdots = \gamma_q = 0\). Par le même raisonnement, \(\beta_1 = \cdots = \beta_p = 0\), puis \(\alpha_1 = \cdots = \alpha_k = 0\) par liberté des \((e_i)\).

Donc \(\dim(F_1 + F_2) = k + p + q = (k + p) + (k + q) – k = \dim(F_1) + \dim(F_2) – \dim(F_1 \cap F_2)\). ∎

Corollaire — Dimension d’une somme directe

Si \(F_1 \cap F_2 = \{0_E\}\) (somme directe), alors \(\dim(F_1 \oplus F_2) = \dim(F_1) + \dim(F_2)\).

En particulier, \(F_1\) et \(F_2\) sont supplémentaires dans \(E\) si et seulement si \(F_1 \cap F_2 = \{0_E\}\) et \(\dim(F_1) + \dim(F_2) = \dim(E)\).

Stratégie concours : pour montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires dans \(E\) de dimension finie, il suffit souvent de montrer \(F_1 \cap F_2 = \{0_E\}\) puis de vérifier que \(\dim(F_1) + \dim(F_2) = \dim(E)\). C’est plus rapide que de montrer directement \(F_1 + F_2 = E\).

VII. Exercices Corrigés

Voici 8 exercices classés par difficulté croissante, couvrant les points essentiels du chapitre. Les exercices marqués I sont incontournables (tombent régulièrement en DS et concours).

Exercice 1 ★ — L’ensemble \(\mathbb{R}_+\) n’est pas un espace vectoriel

Montrer que \(\mathbb{R}_+ = [0, +\infty[\), muni de l’addition usuelle et de la multiplication par un réel, n’est pas un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.

Voir la correction

Il suffit de trouver un axiome qui n’est pas vérifié. Considérons la stabilité par multiplication scalaire : soit \(x = 1 \in \mathbb{R}_+\) et \(\lambda = -1 \in \mathbb{R}\). Alors \(\lambda \cdot x = -1 \notin \mathbb{R}_+\).

Donc \(\mathbb{R}_+\) n’est pas stable par multiplication scalaire. Ce n’est pas un espace vectoriel.

Remarque : on aurait aussi pu invoquer l’axiome 3 (existence de l’opposé). Pour \(x = 1\), l’opposé serait \(-1 \notin \mathbb{R}_+\). L’axiome 3 n’est pas vérifié.

Exercice 2 ★★ — Espace de fonctions nulles en 0

Soit \(F = \{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid f(0) = 0\}\). Montrer que \(F\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.

Voir la correction

\(F \subset \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) qui est un \(\mathbb{R}\)-ev. On vérifie les 3 conditions :

  1. Non vide : la fonction nulle \(f : x \mapsto 0\) vérifie \(f(0) = 0\), donc \(f \in F\). ✓
  2. Stabilité par \(+\) : si \(f, g \in F\), alors \((f + g)(0) = f(0) + g(0) = 0 + 0 = 0\), donc \(f + g \in F\). ✓
  3. Stabilité par \(\cdot\) : si \(f \in F\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\), alors \((\lambda f)(0) = \lambda \cdot f(0) = \lambda \cdot 0 = 0\), donc \(\lambda f \in F\). ✓

Donc \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\), et en particulier un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.

Exercice 3 ★★ — Famille libre ou liée dans \(\mathbb{R}^3\)

Déterminer si la famille \(\mathcal{F} = ((1, 2, 3),\, (4, 5, 6),\, (7, 8, 9))\) est libre ou liée dans \(\mathbb{R}^3\).

Voir la correction

On résout \(\lambda_1 (1,2,3) + \lambda_2 (4,5,6) + \lambda_3 (7,8,9) = (0,0,0)\), ce qui donne le système :

\(\begin{cases} \lambda_1 + 4\lambda_2 + 7\lambda_3 = 0 \\ 2\lambda_1 + 5\lambda_2 + 8\lambda_3 = 0 \\ 3\lambda_1 + 6\lambda_2 + 9\lambda_3 = 0 \end{cases}\)

Par pivot de Gauss : \(L_2 \leftarrow L_2 – 2L_1\) et \(L_3 \leftarrow L_3 – 3L_1\) :

\(\begin{cases} \lambda_1 + 4\lambda_2 + 7\lambda_3 = 0 \\ -3\lambda_2 – 6\lambda_3 = 0 \\ -6\lambda_2 – 12\lambda_3 = 0 \end{cases}\)

\(L_3 \leftarrow L_3 – 2L_2\) donne \(0 = 0\). La dernière ligne est nulle : le système a une infinité de solutions.

De \(L_2\) : \(\lambda_2 = -2\lambda_3\). Puis \(\lambda_1 = -4\lambda_2 – 7\lambda_3 = 8\lambda_3 – 7\lambda_3 = \lambda_3\).

Avec \(\lambda_3 = 1\) : \((\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = (1, -2, 1) \neq (0, 0, 0)\).

La famille est liée. On vérifie : \((1,2,3) – 2(4,5,6) + (7,8,9) = (1 – 8 + 7,\, 2 – 10 + 8,\, 3 – 12 + 9) = (0, 0, 0)\). ✓

Exercice 4 ★★ I — Base canonique de \(\mathbb{R}_n[X]\)

Montrer que la famille \((1, X, X^2, \ldots, X^n)\) est une base de \(\mathbb{R}_n[X]\).

Voir la correction

Famille génératrice : tout polynôme \(P \in \mathbb{R}_n[X]\) s’écrit \(P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n\) avec \(a_i \in \mathbb{R}\). Donc \(P \in \mathrm{Vect}(1, X, \ldots, X^n)\).

Famille libre : supposons \(\lambda_0 \cdot 1 + \lambda_1 X + \cdots + \lambda_n X^n = 0_{\mathbb{R}_n[X]}\), c’est-à-dire que ce polynôme est identiquement nul. Par identification des coefficients (ou par évaluation successive en \(n + 1\) points distincts), on obtient \(\lambda_0 = \lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0\).

La famille est libre et génératrice : c’est une base de \(\mathbb{R}_n[X]\). On en déduit \(\dim(\mathbb{R}_n[X]) = n + 1\).

Exercice 5 ★★★ — Matrices de trace nulle : base et dimension

On considère \(F = \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \mid \mathrm{tr}(M) = 0\}\). On admet que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).

  1. Déterminer une base de \(F\) et en déduire \(\dim(F)\).
  2. Compléter cette base en une base de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
Voir la correction

1. Soit \(M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in F\). La condition \(\mathrm{tr}(M) = 0\) impose \(a + d = 0\), soit \(d = -a\). Donc :

\(M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)

Posons \(A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\), \(A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), \(A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).

La famille \((A_1, A_2, A_3)\) est génératrice de \(F\). Elle est libre (vérification immédiate par identification des coefficients). C’est donc une base de \(F\), et \(\dim(F) = 3\).

2. On complète par la base incomplète. On cherche \(A_4 \notin \mathrm{Vect}(A_1, A_2, A_3) = F\). Prenons \(A_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) qui vérifie \(\mathrm{tr}(A_4) = 1 \neq 0\), donc \(A_4 \notin F\).

Vérifions que \((A_1, A_2, A_3, A_4)\) est libre. Si \(\alpha A_1 + \beta A_2 + \gamma A_3 + \delta A_4 = 0\), l’identification matricielle donne \(\alpha + \delta = 0\), \(\beta = 0\), \(\gamma = 0\), \(-\alpha = 0\), d’où \(\alpha = \beta = \gamma = \delta = 0\). ✓

C’est une famille libre de 4 vecteurs dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) qui est de dimension 4. Donc \((A_1, A_2, A_3, A_4)\) est une base de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).

Exercice 6 ★★★ I — Compléter une famille libre en base de \(\mathbb{R}^3\)

Compléter la famille libre \(((1, 1, 0),\, (0, 1, 1))\) en une base de \(\mathbb{R}^3\).

Voir la correction

On cherche \(v_3 \in \mathbb{R}^3\) tel que \(((1,1,0),\, (0,1,1),\, v_3)\) soit libre, c’est-à-dire une base (3 vecteurs dans un espace de dimension 3).

Méthode : on essaie les vecteurs de la base canonique. Prenons \(v_3 = e_1 = (1, 0, 0)\).

Vérifions la liberté. On résout \(\lambda_1 (1,1,0) + \lambda_2 (0,1,1) + \lambda_3 (1,0,0) = (0,0,0)\) :

\(\begin{cases} \lambda_1 + \lambda_3 = 0 \\ \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\ \lambda_2 = 0 \end{cases}\)

De \(L_3\) : \(\lambda_2 = 0\). Puis \(\lambda_1 = 0\) et \(\lambda_3 = 0\). La famille est libre.

Donc \(\mathcal{B} = ((1, 1, 0),\, (0, 1, 1),\, (1, 0, 0))\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).

Remarque : si \(e_1\) ne convenait pas, on essaierait \(e_2\) puis \(e_3\). Le théorème de la base incomplète garantit qu’au moins un des vecteurs canoniques convient.

Exercice 7 ★★★ — Somme directe et supplémentarité dans \(\mathbb{R}^3\)

Soient \(F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y – z = 0\}\) et \(G = \mathrm{Vect}((1, 0, 0))\).

Montrer que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(\mathbb{R}^3\).

Voir la correction

Étape 1 : dimensions. Le sous-espace \(F\) est défini par une équation linéaire homogène non triviale, donc \(\dim(F) = 3 – 1 = 2\). Et \(\dim(G) = 1\) (engendré par un vecteur non nul). Donc \(\dim(F) + \dim(G) = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)\). ✓

Étape 2 : intersection. Soit \(v \in F \cap G\). Alors \(v = \lambda (1, 0, 0)\) pour un certain \(\lambda \in \mathbb{R}\) (car \(v \in G\)). La condition \(v \in F\) impose \(\lambda + 0 – 0 = \lambda = 0\). Donc \(v = (0, 0, 0)\) et \(F \cap G = \{0_{\mathbb{R}^3}\}\). ✓

Conclusion : \(F \cap G = \{0\}\) et \(\dim(F) + \dim(G) = \dim(\mathbb{R}^3)\), donc \(\mathbb{R}^3 = F \oplus G\).

Exercice 8 ★★★★ — Intersection et formule de Grassmann dans \(\mathbb{R}^4\)

Soient les sous-espaces de \(\mathbb{R}^4\) :

\(F = \mathrm{Vect}((1, 1, 0, 0),\, (0, 1, 1, 0)) \quad \text{et} \quad G = \mathrm{Vect}((0, 0, 1, 1),\, (1, 0, 0, 1))\)
  1. Déterminer \(\dim(F)\) et \(\dim(G)\).
  2. Calculer \(\dim(F \cap G)\) et en donner une base.
  3. \(F\) et \(G\) sont-ils supplémentaires dans \(\mathbb{R}^4\) ?
Voir la correction

1. Les deux générateurs de \(F\) sont indépendants (la première composante de \((1,1,0,0)\) est non nulle, celle de \((0,1,1,0)\) est nulle), donc \(\dim(F) = 2\). De même pour \(G\) : \((0,0,1,1)\) et \((1,0,0,1)\) sont indépendants (première composante nulle vs non nulle), donc \(\dim(G) = 2\).

2. Soit \(v \in F \cap G\). On écrit \(v = a(1,1,0,0) + b(0,1,1,0) = c(0,0,1,1) + d(1,0,0,1)\).

Identification composante par composante :

\(\begin{cases} a = d \\ a + b = 0 \\ b = c \\ 0 = c + d \end{cases}\)

De \(L_2\) : \(b = -a\). De \(L_3\) : \(c = b = -a\). De \(L_1\) : \(d = a\). Vérification \(L_4\) : \(c + d = -a + a = 0\). ✓

Donc \(v = a(1, 1, 0, 0) – a(0, 1, 1, 0) = a(1, 0, -1, 0)\).

\(F \cap G = \mathrm{Vect}((1, 0, -1, 0))\), et \(\dim(F \cap G) = 1\).

3. Par la formule de Grassmann : \(\dim(F + G) = 2 + 2 – 1 = 3\). Or \(\dim(\mathbb{R}^4) = 4 \neq 3\), donc \(F + G \neq \mathbb{R}^4\).

De plus, \(F \cap G \neq \{0\}\). Les sous-espaces \(F\) et \(G\) ne sont pas supplémentaires dans \(\mathbb{R}^4\).

Pour t’entraîner davantage, retrouve une batterie complète d’exercices corrigés et progressifs sur la page exercices corrigés : espaces vectoriels.

VIII. Erreurs Fréquentes et Pièges Classiques

Voici les erreurs les plus courantes en DS et concours sur les espaces vectoriels. Chaque piège est illustré par une copie fautive commentée.

Piège 1 — Confondre « famille libre » et « vecteurs non nuls »

❌ Copie fautive : « La famille \(((1, 0),\, (2, 0),\, (0, 1))\) est libre car les trois vecteurs sont non nuls. »

Diagnostic : « non nul » signifie que chaque vecteur est \(\neq 0_E\). Ce n’est ni nécessaire ni suffisant pour la liberté. Ici, \((2, 0) = 2 \cdot (1, 0)\), donc la famille est liée.

✅ Correction : pour montrer qu’une famille est libre, résoudre \(\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_p v_p = 0_E\) et montrer que la seule solution est \(\lambda_1 = \cdots = \lambda_p = 0\).

Piège 2 — Oublier le vecteur nul dans la preuve de sous-espace

❌ Copie fautive : « \(F\) est stable par addition et par multiplication scalaire, donc c’est un sev. »

Diagnostic : il manque la vérification \(0_E \in F\). L’ensemble \(\emptyset\) vérifie trivialement les deux stabilités, mais n’est pas un sous-espace.

✅ Correction : toujours commencer par « \(0_E \in F\) car… ». C’est la première ligne de toute preuve de sous-espace.

Piège 3 — Écrire \(\dim(E) = n\) sans justifier la dimension finie

❌ Copie fautive : « Soit \(E = \mathbb{R}[X]\). Comme \(\dim(E) = n\)… »

Diagnostic : \(\mathbb{R}[X]\) est de dimension infinie. Les théorèmes sur la dimension (base incomplète, Grassmann, critère « \(n\) vecteurs dans un espace de dimension \(n\) ») ne s’appliquent qu’en dimension finie.

✅ Correction : toujours vérifier (ou mentionner) que l’espace est de dimension finie avant d’utiliser \(\dim\).

Piège 4 — Confondre somme et somme directe

❌ Copie fautive : « \(F + G = E\) donc \(E = F \oplus G\). »

Diagnostic : la somme directe exige deux conditions : \(F + G = E\) et \(F \cap G = \{0_E\}\). La première seule ne suffit pas.

✅ Correction : après avoir montré \(F + G = E\), toujours vérifier que \(F \cap G = \{0_E\}\) (ou utiliser le critère dimensionnel).

IX. Questions Fréquentes

C'est quoi un espace vectoriel en maths ?

Un espace vectoriel est un ensemble \(E\) muni de deux opérations — l’addition de vecteurs et la multiplication par un scalaire — vérifiant 8 axiomes (associativité, élément neutre, opposé, commutativité pour l’addition ; distributivité, compatibilité et élément unité pour la loi externe). Cette structure permet de généraliser les notions de « direction », « combinaison » et « dimension » bien au-delà de la géométrie du plan ou de l’espace.

Comment montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel ?

La méthode la plus efficace est de montrer que l’ensemble est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel connu (par exemple \(\mathbb{R}^n\), \(\mathbb{K}[X]\) ou \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\)). On vérifie alors 3 conditions : (1) le vecteur nul appartient à l’ensemble, (2) la stabilité par addition, (3) la stabilité par multiplication scalaire. Ce raccourci évite de vérifier les 8 axiomes un par un.

Quelle est la différence entre espace vectoriel et sous-espace vectoriel ?

Un espace vectoriel est un ensemble muni d’une structure satisfaisant les 8 axiomes. Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d’un espace vectoriel qui, muni des mêmes opérations, est lui-même un espace vectoriel. En pratique, tout espace vectoriel que tu rencontres en exercice est en fait un sous-espace d’un espace plus gros (par exemple, l’espace des matrices symétriques est un sev de l’espace de toutes les matrices). La différence est plus conceptuelle que pratique : le sev « hérite » de la structure de l’espace ambiant. Consulte la page sous-espaces vectoriels pour un traitement complet.

Qu'est-ce que la dimension d'un espace vectoriel ?

La dimension d’un espace vectoriel \(E\) est le nombre de vecteurs dans toute base de \(E\). Ce nombre est le même pour toutes les bases (théorème de l’invariance de la dimension). Par exemple, \(\dim(\mathbb{R}^3) = 3\), \(\dim(\mathbb{R}_n[X]) = n + 1\) et \(\dim(\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})) = 6\). La dimension mesure le « nombre de degrés de liberté » de l’espace : il faut exactement \(\dim(E)\) paramètres scalaires indépendants pour décrire un vecteur quelconque de \(E\).

Pourquoi les entiers naturels ne forment-ils pas un espace vectoriel ?

L’ensemble \(\mathbb{N}\) des entiers naturels, muni de l’addition usuelle, n’est pas un espace vectoriel pour (au moins) deux raisons : (1) il n’y a pas d’opposé dans \(\mathbb{N}\) — l’opposé de \(3\) serait \(-3 \notin \mathbb{N}\) ; (2) il n’est pas stable par multiplication scalaire sur \(\mathbb{R}\) — par exemple \(0{,}5 \times 3 = 1{,}5 \notin \mathbb{N}\). En revanche, \(\mathbb{R}\) muni de ses opérations usuelles est bien un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel (de dimension 1).

Quelles sont les règles de calcul dans un espace vectoriel ?

Les règles découlent des 8 axiomes de la définition. Pour l’addition de vecteurs : associativité \(((x+y)+z = x+(y+z))\), commutativité \((x+y = y+x)\), existence d’un vecteur nul \(0_E\) et d’un opposé \(-x\) pour chaque vecteur. Pour la multiplication par un scalaire : \(1 \cdot x = x\), \((\lambda \mu) \cdot x = \lambda \cdot (\mu \cdot x)\), et deux distributivités \(\lambda \cdot (x+y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y\) et \((\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x\). À ces axiomes s’ajoutent 4 conséquences à connaître par cœur : \(0_{\mathbb{K}} \cdot x = 0_E\), \(\lambda \cdot 0_E = 0_E\), \((-1) \cdot x = -x\), et l’intégrité \(\lambda \cdot x = 0_E \Leftrightarrow \lambda = 0_{\mathbb{K}} \text{ ou } x = 0_E\).

Quels sont les 3 types de vecteurs ?

Cette question a plusieurs sens selon le contexte. En géométrie de lycée, on classe souvent les vecteurs en trois types : colinéaires (portés par la même droite), coplanaires (contenus dans un même plan) et quelconques. En algèbre linéaire de CPGE, la typologie pertinente ne concerne pas les vecteurs isolés mais leurs familles : une famille peut être libre (aucun vecteur n’est combinaison des autres), liée (il existe une relation de dépendance non triviale) ou génératrice (tout vecteur de l’espace s’écrit comme combinaison linéaire de ses éléments). Une famille à la fois libre et génératrice s’appelle une base. Cette classification en algèbre linéaire est bien plus fondamentale que celle de la géométrie élémentaire.

Quelle est la différence entre un vecteur géométrique et un vecteur d'espace vectoriel ?

Un vecteur géométrique (niveau lycée) est une flèche dans le plan ou l’espace, caractérisée par une direction, un sens et une norme. Un vecteur d’espace vectoriel (niveau CPGE) est simplement un élément d’un ensemble \(E\) muni d’une structure d’espace vectoriel. Dans cette vision abstraite, un polynôme \(P \in \mathbb{R}[X]\), une suite \((u_n)\), une matrice \(M \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) ou une fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sont des vecteurs au même titre qu’un couple \((x, y) \in \mathbb{R}^2\). C’est précisément la puissance de la notion d’espace vectoriel : elle unifie des objets géométriques, algébriques et analytiques sous une même structure. Les vecteurs géométriques du lycée correspondent au cas particulier \(E = \mathbb{R}^2\) ou \(E = \mathbb{R}^3\).

X. Pour Aller Plus Loin

Tu maîtrises maintenant les fondements de la théorie des espaces vectoriels. Voici les prolongements naturels :

Conforme au programme officiel des classes préparatoires scientifiques 2025-2026 (MPSI, PCSI, MP, PC, PSI).

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