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Quand tu zoomes sur une photo avec deux doigts, l’image grandit mais garde exactement la même forme : aucun visage ne se déforme, aucun angle ne se tord. Cette opération qui agrandit ou réduit une figure sans la déformer porte un nom en mathématiques : l’homothétie. C’est l’une des transformations du plan au programme de 3ème, et tu vas voir qu’elle est bien plus simple qu’elle en a l’air. Dans ce cours, tu trouveras la définition, les propriétés, l’effet sur les longueurs et les aires, des exemples corrigés, une FAQ et une carte de progression jusqu’à la prépa.
I. Qu’est-ce qu’une homothétie ?
Pour fabriquer une homothétie, tu as besoin de deux ingrédients : un point fixe appelé le centre, noté \(O\), et un nombre appelé le rapport, noté \(k\). Le centre dit « depuis quel point on agrandit », et le rapport dit « de combien on agrandit ».
Définition — Homothétie
L’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) est la transformation qui, à chaque point \(M\), associe le point \(M^\prime\) tel que :
\(\overrightarrow{OM^\prime} = k \times \overrightarrow{OM}\)
Autrement dit, les points \(O\), \(M\) et \(M^\prime\) sont toujours alignés, et la longueur \(OM^\prime\) vaut \(k\) fois la longueur \(OM\).
Le nombre \(k\) peut être plus grand que 1, plus petit que 1, ou même négatif. Chaque cas a un effet différent :
- Si \(k\) est plus grand que 1 (par exemple \(k=2\)) : la figure est agrandie.
- Si \(k\) est compris entre 0 et 1 (par exemple \(k=\displaystyle\frac{1}{2}\)) : la figure est réduite.
- Si \(k\) est négatif : la figure est agrandie ou réduite, mais elle « passe de l’autre côté » du centre \(O\).
- Si \(k=-1\) : on obtient une symétrie centrale de centre \(O\) (un cas particulier d’homothétie).
Une image mentale : imagine que \(O\) est une lampe et que la figure est une diapositive. Plus tu éloignes l’écran de la lampe, plus l’image projetée est grande : c’est exactement le rôle du rapport \(k\).
Maintenant que tu sais ce qu’est une homothétie, voyons comment placer concrètement l’image d’un point.
II. Construire l’image d’un point
Construire l’image \(M^\prime\) d’un point \(M\), c’est suivre une recette en deux temps : tracer la bonne demi-droite, puis reporter la bonne longueur.
Exemple : \(O\) est le centre, \(k=3\), et on veut l’image de \(A\) sachant que \(OA = 2\) cm.
1. Je trace la demi-droite \([OA)\).
2. Comme \(k=3\) est positif, \(A^\prime\) est du même côté que \(A\).
3. Je calcule : \(OA^\prime = 3 \times OA = 3 \times 2 = 6\) cm.
Je place \(A^\prime\) sur la demi-droite à 6 cm de \(O\). C’est fini.
Quand le rapport est négatif, une seule chose change : le point image se trouve de l’autre côté du centre. Par exemple avec \(k=-2\) et \(OA=2\) cm, tu places \(A^\prime\) de l’autre côté de \(O\), à \(2 \times 2 = 4\) cm.
Manipule en direct : sur la fiche méthode « construire une homothétie », un applet GeoGebra te permet de déplacer le centre \(O\) et de faire varier le rapport \(k\) avec un curseur pour voir l’image d’un triangle se transformer en temps réel.
Une fois que tu sais transformer un point, transformer une figure entière, c’est transformer chacun de ses points. Et là, des propriétés très utiles apparaissent.
Toute l’homothétie sur une fiche de révision
Définition, propriétés, effet sur les longueurs et les aires, et les pièges du brevet : tout est résumé sur 2 pages prêtes à imprimer.
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III. Les propriétés de l’homothétie
L’homothétie agrandit ou réduit, mais elle ne déforme pas. Voici ce qu’elle conserve toujours :
- L’alignement : trois points alignés ont des images alignées.
- Le parallélisme : deux droites parallèles ont des images parallèles.
- Les angles : un angle droit reste un angle droit, un triangle équilatéral reste équilatéral.
- Le milieu : l’image du milieu d’un segment est le milieu du segment image.
A. Image d’une droite, d’un cercle, d’une figure
L’image d’une droite par une homothétie est une droite parallèle à la droite de départ. L’image d’un segment est un segment, l’image d’un cercle est un cercle (de rayon multiplié par la valeur de \(k\)). De manière générale, l’image d’une figure est une figure de même forme : on dit qu’elle lui est semblable.
B. Pourquoi l’image d’une droite est-elle parallèle ?
On peut le justifier avec un résultat que tu connais déjà : la réciproque du théorème de Thalès. Prends deux points \(A\) et \(B\) et leurs images \(A^\prime\) et \(B^\prime\) par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\).
Par définition, on a \(OA^\prime = k \times OA\) et \(OB^\prime = k \times OB\). Les rapports \(\displaystyle\frac{OA^\prime}{OA}\) et \(\displaystyle\frac{OB^\prime}{OB}\) sont donc tous les deux égaux à \(k\). Comme les points sont alignés depuis \(O\) dans le même ordre, la réciproque de Thalès garantit que les droites \((AB)\) et \((A^\prime B^\prime)\) sont parallèles. ∎
Erreur classique : croire que le centre \(O\) est forcément à l’intérieur de la figure. Le centre peut être n’importe où : sur la figure, à l’intérieur, ou complètement à l’extérieur. Seule sa position par rapport aux points compte pour la construction.
Ces propriétés sont belles, mais une question reste : si la forme est conservée, qu’arrive-t-il exactement aux longueurs, aux aires et aux volumes ?
IV. Effet sur les longueurs, aires et volumes
C’est le point le plus important du chapitre, et celui qui piège le plus d’élèves au brevet. Quand on applique une homothétie de rapport \(k\) (on prend ici \(k\) positif pour simplifier) :
À retenir absolument :
- Les longueurs sont multipliées par \(k\).
- Les aires sont multipliées par \(k^2\).
- Les volumes sont multipliés par \(k^3\).
Pourquoi l’aire est-elle multipliée par \(k^2\) et pas par \(k\) ? Prends un carré de côté \(L\). Son image est un carré de côté \(k \times L\). Son aire vaut donc :
\(( k \times L )^2 = k^2 \times L^2\)L’aire de départ était \(L^2\), la nouvelle est \(k^2 \times L^2\) : elle a bien été multipliée par \(k^2\). Le même raisonnement avec un cube (côté au cube) explique le \(k^3\) pour les volumes.
| Grandeur | Multipliée par | Exemple avec \(k=3\) |
|---|---|---|
| Longueur | \(k\) | \(\times 3\) |
| Aire | \(k^2\) | \(\times 9\) |
| Volume | \(k^3\) | \(\times 27\) |
Le piège du brevet : un élève écrit « j’agrandis un rectangle de rapport 2, donc son aire double ». ❌
Diagnostic : il a multiplié l’aire par \(k\) au lieu de \(k^2\).
Correction : l’aire est multipliée par \(2^2 = 4\). Elle est donc quadruplée, pas doublée. ✓
Tu veux aller plus loin sur ce point ? Le cours dédié à l’agrandissement et réduction détaille tous les calculs d’aires et de volumes après transformation.
V. L’homothétie parmi les transformations du plan
En 3ème, tu connais quatre grandes transformations du plan. Elles déplacent les figures, mais seule l’homothétie change leur taille. Ce tableau t’aide à ne pas les confondre.
| Transformation | Ce qu’elle fait | Garde la même taille ? |
|---|---|---|
| Translation | Fait glisser la figure dans une direction | Oui |
| Rotation | Fait tourner la figure autour d’un point | Oui |
| Symétrie (axiale ou centrale) | Retourne ou renverse la figure | Oui |
| Homothétie | Agrandit ou réduit la figure | Non (sauf si \(k=1\) ou \(k=-1\)) |
Le point clé : la translation, la rotation et la symétrie conservent les longueurs (ce sont des « isométries »). L’homothétie, elle, modifie les longueurs dès que \(k\) est différent de 1 et de \(-1\). C’est sa signature.
Au passage, la symétrie centrale n’est rien d’autre qu’une homothétie de rapport \(-1\) : tu retrouveras ce lien dans plusieurs exercices.
VI. Que veut dire « homothétique » ?
En mathématiques, deux figures sont dites homothétiques lorsque l’une est l’image de l’autre par une homothétie : elles ont la même forme, mais pas forcément la même taille. Deux triangles homothétiques sont donc semblables, avec des côtés proportionnels.
Origine du mot : « homothétie » vient du grec homós (« semblable, le même ») et thésis (« position »). Une homothétie place donc des figures « semblables et bien positionnées » les unes par rapport aux autres.
Tu rencontreras peut-être le mot « homothétique » dans un sens figuré, en dehors des maths (par exemple « une réduction homothétique du budget »), pour dire « proportionnel, à l’identique en plus petit ». Mais en 3ème, garde toujours le sens mathématique : une transformation de centre \(O\) et de rapport \(k\).
VII. Exercices corrigés
Place tes calculs avant de regarder la correction. Pour t’entraîner davantage, va voir la page d’exercices d’homothétie 3ème avec corrigés détaillés et sujets type brevet.
Exercice 1 (★). \(O\) est un point et \(A\) un point tel que \(OA = 4\) cm. On applique l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k=2{,}5\). Calcule \(OA^\prime\).
Correction : \(OA^\prime = k \times OA = 2{,}5 \times 4 = 10\) cm. Comme \(k\) est positif, \(A^\prime\) est du même côté que \(A\).
Exercice 2 (★★). Un triangle a une aire de \(12\) cm². On l’agrandit par une homothétie de rapport \(k=3\). Quelle est l’aire du triangle image ?
Correction : l’aire est multipliée par \(k^2\), donc par \(3^2 = 9\).
Aire image \(= 9 \times 12 = 108\) cm². Attention : surtout pas \(3 \times 12 = 36\), qui est l’erreur classique.
Exercice 3 (★★ — raisonnement). Une maquette de tour est une réduction du bâtiment réel par une homothétie de rapport \(\displaystyle\frac{1}{50}\). La maquette mesure 80 cm de haut. Quelle est la hauteur réelle de la tour, en mètres ?
Correction : ici, on connaît la longueur de l’image (la maquette) et on cherche celle de l’objet de départ (la tour). La maquette est \(\displaystyle\frac{1}{50}\) de la réalité, donc la réalité est \(50\) fois la maquette.
Hauteur réelle \(= 80 \times 50 = 4000\) cm \(= 40\) m.
La tour mesure donc 40 mètres de haut.
VIII. La progression : du collège à la prépa
L’homothétie ne s’arrête pas en 3ème. C’est une notion qui te suivra et se reformulera à chaque niveau. Voici la carte du chemin.
- 3ème (collège) : définition par le centre et le rapport, construction, effet sur les grandeurs. C’est le cœur de cette page.
- Seconde : l’image se définit avec les vecteurs, \(\overrightarrow{OM^\prime} = k\,\overrightarrow{OM}\). Pour anticiper, regarde le cours sur les vecteurs.
- Terminale : en spécialité et en maths expertes, l’homothétie s’écrit avec les nombres complexes sous la forme \(z^\prime = \omega + k(z – \omega)\). À retrouver dans le cours sur les nombres complexes.
- Prépa (CPGE) : l’homothétie vectorielle devient un endomorphisme particulier, \(k\,\mathrm{Id}\), étudié en algèbre linéaire.
Questions fréquentes
C'est quoi une homothétie en maths simplement ?
Une homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure sans la déformer, à partir d’un point fixe appelé centre et d’un nombre appelé rapport. La figure obtenue a la même forme que celle de départ, mais une taille différente.
À quoi sert le rapport k dans une homothétie ?
Le rapport k indique de combien on agrandit ou on réduit. Si k est plus grand que 1, la figure grandit ; s’il est compris entre 0 et 1, elle rétrécit ; s’il est négatif, l’image passe de l’autre côté du centre. Quand k vaut −1, on obtient une symétrie centrale.
Comment construire l'image d'un point par une homothétie ?
On trace la demi-droite partant du centre O et passant par le point M, puis on place le point image à une distance OM × k du centre. Si k est négatif, on place l’image de l’autre côté du centre. La méthode complète est détaillée sur la fiche « construire une homothétie ».
Pourquoi l'aire est-elle multipliée par k² et non par k ?
Parce qu’une aire dépend de deux longueurs (par exemple la longueur et la largeur d’un rectangle). Chaque longueur étant multipliée par k, l’aire est multipliée par k × k, c’est-à-dire k². De la même façon, un volume dépend de trois longueurs, donc il est multiplié par k³.
Quelle est la différence entre une homothétie et une symétrie centrale ?
Une symétrie centrale est un cas particulier d’homothétie : c’est l’homothétie de rapport −1. Elle retourne la figure de l’autre côté du centre sans changer sa taille. Une homothétie générale, elle, modifie aussi la taille de la figure dès que le rapport est différent de 1 et de −1.
Que veut dire que deux figures sont homothétiques ?
Cela signifie que l’une est l’image de l’autre par une homothétie : elles ont la même forme, des angles identiques et des longueurs proportionnelles, mais pas forcément la même taille. Deux figures homothétiques sont donc semblables.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la définition, les propriétés et l’effet d’une homothétie. Pour continuer à progresser :
- Construire une homothétie : la méthode pas à pas (avec applet GeoGebra)
- Agrandissement et réduction : tout sur les aires et les volumes
- Exercices d’homothétie 3ème corrigés + sujets type brevet
- Les échelles en maths (5ème) : la réduction avant l’homothétie
Une homothétie crée souvent une configuration de théorème de Thalès, qui sert justement à calculer les rapports entre les longueurs : les deux notions vont de pair en géométrie.
Tu veux progresser plus vite en maths et aborder le brevet sereinement ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour le collège.
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