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Le calcul du déterminant d’une matrice 3×3 intervient partout en algèbre linéaire : test d’inversibilité, polynôme caractéristique, formule de Cramer, changement de variable dans les intégrales triples. Deux méthodes dominent : la règle de Sarrus et le développement par cofacteurs. Tu trouveras ici les formules, les deux méthodes détaillées pas à pas, cinq exemples progressifs et des exercices type concours.
I. Formules du déterminant d’une matrice 3×3
Avant de calculer, rappelons les deux formules fondamentales. Pour la théorie complète du déterminant (propriétés, multilinéarité, effet des opérations élémentaires), consulte le cours sur le déterminant d’une matrice.
On considère une matrice \(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{K})\).
A. Développement selon une ligne ou une colonne
Formule de Laplace — Développement selon la ligne \(i\)
\(\det(A) = \displaystyle\sum_{j=1}^{3} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, M_{ij}\)
où \(M_{ij}\) est le mineur d’ordre 2 obtenu en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(j\) de \(A\).
Le cofacteur est \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\), de sorte que \(\det(A) = \displaystyle\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\, C_{ij}\).
Le développement selon la première ligne donne explicitement :
\(\det(A) = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} – a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\)soit :
\(\det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} – a_{23}a_{32}) – a_{12}(a_{21}a_{33} – a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} – a_{22}a_{31})\)Échiquier des signes. Les signes \((-1)^{i+j}\) forment un damier :
\(\begin{pmatrix} + & – & + \\ – & + & – \\ + & – & + \end{pmatrix}\)
Retiens ce motif : il évite de recalculer \((-1)^{i+j}\) à chaque fois.
On peut développer selon n’importe quelle ligne ou colonne : le résultat est identique (théorème de Laplace). En pratique, on choisit la ligne ou colonne contenant le plus de zéros pour réduire le nombre de termes à calculer.
B. Règle de Sarrus — formule et schéma
Règle de Sarrus (valable uniquement pour les matrices 3×3)
\(\det(A) = \underbrace{a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}}_{\text{diagonales descendantes } (S^+)} – \underbrace{a_{13}a_{22}a_{31} + a_{12}a_{21}a_{33} + a_{11}a_{23}a_{32}}_{\text{diagonales montantes } (S^-)}\)
Procédé mnémotechnique : on recopie les deux premières colonnes de \(A\) à droite de la matrice, puis on calcule les produits le long des six diagonales : trois descendantes (signe \(+\)) et trois montantes (signe \(–\)).
La règle de Sarrus ne fonctionne PAS pour \(n \geq 4\). Pour les matrices 4×4 ou plus, utiliser le développement par cofacteurs ou la réduction de Gauss. Appliquer Sarrus à une matrice 4×4 est une erreur fréquente et éliminatoire en concours.
II. Sarrus, cofacteurs ou Gauss : quand utiliser chaque méthode ?
Face à un déterminant 3×3, tu as le choix entre trois approches. Le tableau ci-dessous te permet de trancher rapidement.
| Méthode | Quand l’utiliser | Avantages | Inconvénients |
|---|---|---|---|
| Règle de Sarrus | Coefficients numériques simples, pas de zéros exploitables | Rapide, mécanique, aucun choix à faire | 3×3 uniquement ; 6 produits systématiques même avec des zéros |
| Cofacteurs (Laplace) | Ligne ou colonne avec ≥ 2 zéros ; matrice symbolique où un développement simplifie l’expression | S’adapte à toute taille ; exploite les zéros pour réduire le calcul | Plus long que Sarrus si pas de zéros ; risque d’erreur de signe |
| Pivot de Gauss | Matrice avec paramètre(s) ; besoin de simplifier avant de développer ; taille \(n \geq 4\) | Systématique, efficace pour les grandes tailles, lien avec le rang | Risque d’erreur de signe lors des permutations de lignes ; fractions intermédiaires |
La fiche méthode « Déterminant 3×3 » en recto-verso
Sarrus + cofacteurs en 4 étapes, échiquier des signes, arbre de décision et 3 exemples résolus — à glisser dans ton classeur de prépa.
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Arbre de décision rapide
- La matrice est triangulaire (ou le devient par une opération évidente) → le déterminant est le produit des coefficients diagonaux.
- Une ligne ou colonne possède au moins 2 zéros → développement par cofacteurs le long de cette ligne/colonne.
- Coefficients numériques simples, pas de structure particulière → règle de Sarrus.
- Paramètre(s) et aucune simplification évidente → Gauss ou combinaison Gauss + cofacteurs.
Les méthodes ne s’excluent pas : on peut commencer par des opérations sur les lignes (Gauss) pour faire apparaître des zéros, puis terminer par un développement le long d’une ligne simplifiée.
III. Méthode pas à pas
A. Méthode 1 — Règle de Sarrus en 4 étapes
Étape 1. Écrire la matrice \(A\) et recopier les colonnes 1 et 2 à droite :
\(\begin{array}{|ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array}\)Étape 2. Calculer les trois produits des diagonales descendantes \((\searrow)\) et les additionner :
\(S^{+} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}\)Étape 3. Calculer les trois produits des diagonales montantes \((\nearrow)\) et les additionner :
\(S^{-} = a_{13}a_{22}a_{31} + a_{12}a_{21}a_{33} + a_{11}a_{23}a_{32}\)Étape 4. Le déterminant est la différence :
\(\det(A) = S^{+} – S^{-}\)Application immédiate. Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}\).
\(S^{+} = 2 \cdot (-1) \cdot (-2) + 1 \cdot 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 \cdot 3 = 4 + 2 + 36 = 42\)
\(S^{-} = 3 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 4 \cdot (-2) + 2 \cdot 2 \cdot 3 = -3 – 8 + 12 = 1\)
\(\det(A) = 42 – 1 = 41\)
B. Méthode 2 — Développement par cofacteurs en 4 étapes
Étape 1. Identifier la meilleure ligne ou colonne : celle qui contient le plus de zéros. Si aucune n’en contient, préférer la première ligne (par convention) ou effectuer une opération élémentaire pour créer des zéros.
Étape 2. Écrire le développement : pour chaque coefficient non nul \(a_{ij}\) de la ligne (ou colonne) choisie, multiplier par le cofacteur \((-1)^{i+j} M_{ij}\). Les termes où \(a_{ij} = 0\) sont omis.
Étape 3. Calculer chaque mineur 2×2 :
\(\begin{vmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{vmatrix} = \alpha\delta – \beta\gamma\)Étape 4. Effectuer la somme et simplifier.
À écrire sur la copie (rédaction type) :
« On développe selon la colonne \(j\) (qui contient deux zéros) : »
\(\det(A) = a_{i_0 j} \cdot (-1)^{i_0 + j} \begin{vmatrix} \cdots \end{vmatrix}\)
« En calculant le mineur : … D’où \(\det(A) = \ldots\) »
Mentionner explicitement la ligne/colonne choisie et la raison du choix (zéros). Le correcteur vérifie que tu sais optimiser ton calcul.
Application avec choix stratégique. Soit \(B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}\).
La colonne 1 contient deux zéros (\(b_{11} = b_{31} = 0\)). On développe selon \(C_1\) :
\(\det(B) = 0 + 3 \cdot (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} + 0 = -3(2 \cdot 1 – 0 \cdot 5) = -6\)
Un seul mineur à calculer au lieu de trois : le gain est immédiat.
IV. Exemples résolus
Cinq exemples de difficulté croissante, du calcul direct au problème type concours.
Exemple 1 — Sarrus avec coefficients entiers 🟠 Prépa
Énoncé. Calculer \(\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 4 \\ -2 & 1 & 5 \end{pmatrix}\).
Résolution (Sarrus).
\(S^{+} = 1 \cdot 0 \cdot 5 + 2 \cdot 4 \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 \cdot 1 = 0 – 16 – 3 = -19\)
\(S^{-} = (-1) \cdot 0 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 \cdot 5 + 1 \cdot 4 \cdot 1 = 0 + 30 + 4 = 34\)
\(\det(A) = -19 – 34 = -53\)
Exemple 2 — Déterminant avec paramètre 🟠 Prépa
Énoncé. Calculer \(\det\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}\) en fonction de \(a \in \mathbb{R}\).
Résolution (Sarrus).
\(S^{+} = a \cdot a \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \cdot 1 = a^3\)
\(S^{-} = 0 \cdot a \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot a + a \cdot 1 \cdot 1 = 2a\)
\(\det = a^3 – 2a = a(a^2 – 2)\)
Conclusion : la matrice est inversible si et seulement si \(a \neq 0\), \(a \neq \sqrt{2}\) et \(a \neq -\sqrt{2}\).
Exemple 3 — Cofacteurs avec zéros stratégiques 🟠 Prépa
Énoncé. Calculer \(\det\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 7 \\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).
Résolution. La colonne 2 contient deux zéros. On développe selon \(C_2\) :
\(\det = 0 + (-3) \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + 0 = -3 \cdot (5 \cdot 1 – 0 \cdot 4) = -15\)
Un seul mineur à calculer. Le choix de la bonne colonne réduit le travail au strict minimum.
Exemple 4 — Déterminant de Vandermonde 3×3 🔴 Concours
Énoncé. Soit \(a, b, c \in \mathbb{R}\). Calculer \(V = \det\begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix}\).
Résolution. On effectue \(L_2 \leftarrow L_2 – L_1\) et \(L_3 \leftarrow L_3 – L_1\) (le déterminant est inchangé) :
\(V = \det\begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & b – a & b^2 – a^2 \\ 0 & c – a & c^2 – a^2 \end{pmatrix}\)
On développe selon \(C_1\) (deux zéros) :
\(V = 1 \cdot \begin{vmatrix} b – a & b^2 – a^2 \\ c – a & c^2 – a^2 \end{vmatrix}\)
En factorisant \(b^2 – a^2 = (b-a)(b+a)\) et \(c^2 – a^2 = (c-a)(c+a)\) :
\(V = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & b + a \\ 1 & c + a \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c + a – b – a) = (b-a)(c-a)(c-b)\)
Résultat classique : \(V = (b – a)(c – a)(c – b)\).
Ce résultat se généralise : le déterminant de Vandermonde d’ordre \(n\) est \(\displaystyle\prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j – x_i)\). Il est non nul si et seulement si les \(x_i\) sont deux à deux distincts.
Exemple 5 — Polynôme caractéristique (type concours) 🔴 Concours
Énoncé. Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\). Calculer \(\chi_A(\lambda) = \det(A – \lambda I_3)\) et en déduire les valeurs propres de \(A\).
Résolution.
\(A – \lambda I_3 = \begin{pmatrix} 2 – \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2 – \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2 – \lambda \end{pmatrix}\)
Astuce : on effectue \(C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3\). Chaque entrée de la colonne 1 vaut \((2 – \lambda) + 1 + 1 = 4 – \lambda\). On factorise \((4 – \lambda)\) :
\(\chi_A(\lambda) = (4 – \lambda) \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 – \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2 – \lambda \end{pmatrix}\)
Puis \(L_2 \leftarrow L_2 – L_1\), \(L_3 \leftarrow L_3 – L_1\) :
\(= (4 – \lambda)\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 – \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 – \lambda \end{pmatrix} = (4 – \lambda)(1 – \lambda)^2\)
Valeurs propres : \(\lambda_1 = 1\) (multiplicité 2) et \(\lambda_2 = 4\) (multiplicité 1).
Vérifications rapides :
- Trace : \(\mathrm{tr}(A) = 6 = 1 + 1 + 4\) ✓
- Déterminant : \(\det(A) = 4 = 1 \times 1 \times 4\) ✓
V. Erreurs fréquentes et copies fautives commentées
Ces quatre erreurs reviennent systématiquement en DS et concours. Chacune est illustrée par une copie fautive commentée.
Erreur 1 — Signe inversé dans la règle de Sarrus
❌ Copie fautive :
« \(S^{+} = a_{13}a_{22}a_{31} + \ldots\) (diagonales montantes) »
L’étudiant additionne les diagonales montantes et soustrait les descendantes — l’inverse de la convention.
Diagnostic : Confusion entre \(S^+\) (descendantes, signe \(+\)) et \(S^-\) (montantes, signe \(–\)).
✅ Correction : \(\det = (\text{descendantes}) – (\text{montantes})\). Moyen mnémotechnique : la lecture naturelle va de gauche à droite et de haut en bas (\(\searrow\)) = signe positif. Les anti-diagonales (\(\nearrow\)) = signe négatif.
Erreur 2 — Appliquer Sarrus à une matrice 4×4
❌ Copie fautive :
« On recopie les colonnes 1, 2, 3 à droite de la matrice 4×4 et on lit les diagonales… »
Diagnostic : La règle de Sarrus est spécifique à l’ordre 3. Pour \(n = 4\), cette technique donne un résultat faux car elle omet des termes du développement complet (un déterminant 4×4 comporte \(4! = 24\) termes, pas 6).
✅ Correction : Pour \(n \geq 4\), utiliser le développement par cofacteurs ou le pivot de Gauss.
Erreur 3 — Oubli du signe \((-1)^{i+j}\) dans le cofacteur
❌ Copie fautive :
« En développant selon \(L_1\) : \(\det(A) = a_{11} M_{11} + a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13}\) »
Diagnostic : Les trois mineurs sont additionnés sans alternance de signe. Or \((-1)^{1+2} = -1\), donc le coefficient de \(a_{12}\) est \(-M_{12}\), pas \(+M_{12}\).
✅ Correction : \(\det(A) = a_{11} M_{11} \mathbf{-}\; a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13}\). Toujours vérifier le damier des signes avant d’écrire le développement.
Erreur 4 — Mauvais mineur : suppression de la mauvaise ligne ou colonne
❌ Copie fautive :
« On développe selon \(C_1\). Le mineur \(M_{21}\) est obtenu en supprimant la ligne 2 et la ligne 1… »
Diagnostic : Le mineur \(M_{ij}\) s’obtient en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(j\). Supprimer deux lignes (ou deux colonnes) donne un résultat sans rapport avec le déterminant.
✅ Correction : Rayer physiquement la ligne et la colonne correspondantes dans la matrice écrite sur le brouillon, puis lire le mineur 2×2 restant.
VI. Exercices d’application corrigés
Cinq exercices classés par difficulté croissante. Essaie chaque exercice sur papier avant de consulter la correction.
Exercice 1 ★★
Calculer par la règle de Sarrus : \(\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}\).
Voir la correction
\(S^{+} = 1 \cdot 0 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) \cdot 1 = 0 + 16 – 3 = 13\) \(S^{-} = 3 \cdot 0 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) \cdot (-2) + 1 \cdot 4 \cdot 1 = 0 + 4 + 4 = 8\) \(\det = 13 – 8 = 5\)Exercice 2 ★★
Calculer par un développement judicieux : \(\det\begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ -2 & 5 & 1 \\ 4 & 0 & 7 \end{pmatrix}\).
Voir la correction
La ligne 1 contient deux zéros. On développe selon \(L_1\) :
\(\det = 0 – 3 \cdot (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} + 0\) \(= 3 \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} = 3\big((-2)(7) – 1 \cdot 4\big) = 3 \times (-18) = -54\)Remarque : le signe \((-1)^{1+2} = -1\) devant le coefficient \(a_{12} = 3\) absorbe le signe négatif, d’où le \(+3\) devant le mineur.
Exercice 3 ★★★
Soit \(a \in \mathbb{R}\). Calculer \(\Delta(a) = \det\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}\), factoriser, puis déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles la matrice est inversible.
Voir la correction
Calcul (Sarrus) :
\(S^{+} = a \cdot a \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 = a^3 + 2\) \(S^{-} = 1 \cdot a \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot a + a \cdot 1 \cdot 1 = 3a\) \(\Delta(a) = a^3 + 2 – 3a = a^3 – 3a + 2\)Factorisation : \(a = 1\) est racine évidente. Division euclidienne : \(a^3 – 3a + 2 = (a – 1)(a^2 + a – 2) = (a-1)^2(a+2)\).
Inversibilité : \(A\) est inversible \(\Leftrightarrow \Delta(a) \neq 0 \Leftrightarrow a \neq 1\) et \(a \neq -2\).
Exercice 4 ★★★
Calculer \(\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}\) en utilisant des opérations sur les colonnes.
Voir la correction
On effectue \(C_2 \leftarrow C_2 – C_1\) et \(C_3 \leftarrow C_3 – C_1\) (déterminant inchangé) :
\(\det = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & b – a & c – a \\ a^2 & b^2 – a^2 & c^2 – a^2 \end{pmatrix}\)On développe selon \(L_1\) (deux zéros) :
\(\det = 1 \cdot \begin{vmatrix} b – a & c – a \\ b^2 – a^2 & c^2 – a^2 \end{vmatrix}\)En factorisant \(b^2 – a^2 = (b-a)(b+a)\) et \(c^2 – a^2 = (c-a)(c+a)\) :
\(= (b – a)(c – a) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ b + a & c + a \end{vmatrix} = (b – a)(c – a)\big[(c + a) – (b + a)\big] = (b-a)(c-a)(c-b)\)On retrouve le déterminant de Vandermonde d’ordre 3.
Exercice 5 ★★★★ (type concours)
Soit \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\). Calculer \(\det(A – \lambda I_3)\), le factoriser, et en déduire les valeurs propres et le déterminant de \(A\).
Voir la correction
\(A – \lambda I_3 = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}\)Opération préliminaire : \(C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3\). Chaque entrée de \(C_1\) vaut \(-\lambda + 1 + 1 = 2 – \lambda\). On factorise :
\(\chi_A(\lambda) = (2 – \lambda)\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}\)Puis \(L_2 \leftarrow L_2 – L_1\), \(L_3 \leftarrow L_3 – L_1\) :
\(= (2 – \lambda)\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -\lambda – 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda – 1 \end{pmatrix} = (2 – \lambda)(-\lambda – 1)^2\)D’où \(\chi_A(\lambda) = (2 – \lambda)(\lambda + 1)^2\) (en factorisant le signe).
Valeurs propres : \(\lambda_1 = 2\) (multiplicité 1) et \(\lambda_2 = -1\) (multiplicité 2).
Déterminant : \(\det(A) = \chi_A(0) = 2 \cdot 1 = 2\). Vérification : \(\det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2^2 = 2 \cdot (-1)^2 = 2\) ✓.
Pour la diagonalisation complète de \(A\), il resterait à déterminer les espaces propres.
Pour davantage d’exercices transversaux sur les matrices, consulte la page Exercices corrigés sur les matrices.
VII. Rédaction concours — ce que le correcteur attend
En concours (X, Mines-Ponts, Centrale, CCP), le calcul d’un déterminant 3×3 n’est jamais une fin en soi : c’est un outil pour résoudre un problème plus large (inversibilité, valeurs propres, rang). Voici ce que le correcteur évalue.
Rédaction type (copie propre)
- Annoncer la méthode : « On calcule le déterminant de \(A\) par la règle de Sarrus. » ou « On développe le déterminant selon la colonne 1, qui contient deux zéros. »
- Poser le calcul lisiblement : écrire le développement complet sur une ligne, puis effectuer chaque mineur sur la ligne suivante.
- Conclure explicitement : « D’où \(\det(A) = \ldots\) » et donner l’interprétation (inversibilité, racines du polynôme caractéristique, etc.).
- Vérifier : si le résultat est un polynôme, vérifier la trace (somme des racines = somme des coefficients diagonaux) et le déterminant en \(\lambda = 0\). Écrire « ce qui est cohérent avec \(\mathrm{tr}(A) = \ldots\) » — le correcteur voit que tu contrôles ton calcul.
Ce qui fait perdre des points :
- Calcul non justifié : un résultat numérique sans aucune étape intermédiaire ne vaut rien.
- Méthode non annoncée : le correcteur ne doit pas deviner si tu utilises Sarrus ou les cofacteurs.
- Erreur de signe non détectée : une vérification par la trace ou le déterminant prend 10 secondes et évite une cascade d’erreurs dans la suite du problème.
VIII. Questions fréquentes
Comment trouver le déterminant d'une matrice 3×3 ?
Deux méthodes principales. La règle de Sarrus : recopier les deux premières colonnes à droite, puis calculer les produits des trois diagonales descendantes (signe +) moins les produits des trois diagonales montantes (signe −). Le développement par cofacteurs : choisir la ligne ou colonne ayant le plus de zéros et développer en multipliant chaque coefficient par son cofacteur \((-1)^{i+j} M_{ij}\). Sarrus est plus rapide pour un calcul direct ; les cofacteurs sont préférables quand la matrice contient beaucoup de zéros.
Quelle est la différence entre la règle de Sarrus et le développement par cofacteurs ?
La règle de Sarrus est une formule directe à 6 termes, applicable uniquement aux matrices 3×3. Le développement par cofacteurs (formule de Laplace) est une méthode récursive qui fonctionne pour toute taille de matrice. Pour une matrice 3×3 sans zéro, Sarrus est généralement plus rapide. Pour une matrice 3×3 avec des zéros ou une matrice de taille \(n \geq 4\), les cofacteurs (ou Gauss) sont plus efficaces.
La règle de Sarrus fonctionne-t-elle pour les matrices 4×4 ?
Non. La règle de Sarrus est strictement réservée aux matrices 3×3. L’appliquer à une matrice 4×4 produit un résultat faux : un déterminant d’ordre 4 comporte 24 termes (contre 6 pour l’ordre 3), et le procédé des diagonales n’en capture que 8. Pour les matrices 4×4 et au-delà, utiliser le développement par cofacteurs ou le pivot de Gauss.
Comment savoir si une matrice 3×3 est inversible à partir de son déterminant ?
Une matrice \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{K})\) est inversible si et seulement si \(\det(A) \neq 0\). Si \(\det(A) = 0\), la matrice est singulière (non inversible), son rang est strictement inférieur à 3, et le système \(AX = B\) n’admet pas toujours de solution unique.
Quelle est la formule du polynôme caractéristique d'une matrice 3×3 ?
Le polynôme caractéristique de \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{K})\) est \(\chi_A(\lambda) = \det(A – \lambda I_3)\). C’est un polynôme de degré 3 en \(\lambda\). Ses racines sont les valeurs propres de \(A\). On a \(\chi_A(\lambda) = -\lambda^3 + \mathrm{tr}(A)\,\lambda^2 – s_2\,\lambda + \det(A)\), où \(s_2\) est la somme des mineurs diagonaux d’ordre 2.
Calculateur : déterminant d’une matrice 3×3
Saisis les 9 coefficients de ta matrice, le calculateur applique la règle de Sarrus et affiche le détail des six produits. Idéal pour vérifier ton brouillon après avoir fait le calcul à la main.
Matrice A :Cet outil sert à vérifier tes calculs. En examen et aux concours, aucune calculatrice matricielle n’est autorisée — maîtriser la règle de Sarrus à la main reste indispensable.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le calcul du déterminant d’une matrice 3×3 par Sarrus et par cofacteurs. Pour approfondir :
- Déterminant d’une matrice : cours complet — propriétés générales, multilinéarité, effets des opérations élémentaires
- Déterminant d’une matrice 4×4 — développement par cofacteurs et exemples détaillés
- Inverse d’une matrice 3×3 — méthode de la comatrice (utilisant les cofacteurs) et Gauss-Jordan
- Matrice inversible : critères et déterminant
- Diagonalisation d’une matrice — exploiter le polynôme caractéristique pour diagonaliser
- Exercices corrigés sur les matrices — entraînement transversal, du calcul direct aux problèmes type concours
