MP2I

Fiches de cours et méthodes

Fonctions de plusieurs variables

Le laplacien : de la définition à l’interprétation géométrique

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Le laplacien d’une fonction est la somme de ses dérivées partielles secondes : . Cet opérateur mesure de combien la valeur d’une fonction en un point s’écarte de sa moyenne sur un petit voisinage. […]

Zakaria Laouar
 |
2026-08-26
Fonctions de plusieurs variables

Rotationnel et divergence : le cours complet d’analyse vectorielle

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Le rotationnel d’un champ de vecteurs mesure sa tendance locale à tourner autour d’un point : c’est un vecteur dirigé selon l’axe de rotation, dont la norme donne l’intensité du tourbillon. La divergence, elle, […]

Zakaria Laouar
 |
2026-08-26
Fonctions de plusieurs variables

Différentielle et différentiabilité : le cours complet de prépa

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur La différentielle d’une fonction en un point est l’application linéaire qui approche le mieux sa variation au voisinage de ce point. En une variable, elle se réduit à ; en plusieurs variables, elle regroupe […]

Zakaria Laouar
 |
2026-08-26
Fonctions de plusieurs variables

Courbes de niveau : cours complet, du lycée à la prépa

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Sur une carte de randonnée, les lignes brunes qui serpentent autour d’un sommet sont des courbes de niveau : elles relient les points de même altitude. En mathématiques, la courbe de niveau d’une fonction […]

Zakaria Laouar
 |
2026-08-26
Fonctions de plusieurs variables

Théorème de Stokes et formule de Green-Riemann : le cours de prépa

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Le théorème de Stokes affirme qu’intégrer une grandeur sur le bord d’un domaine revient à intégrer sa « variation » à l’intérieur. Dans le plan, il prend le nom de formule de Green-Riemann et […]

Zakaria Laouar
 |
2026-08-26
Fonctions de plusieurs variables

Théorème de Schwarz : dérivées croisées et fonctions de classe C¹

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Le théorème de Schwarz affirme que, pour une fonction suffisamment régulière de plusieurs variables, l’ordre dans lequel on dérive n’a aucune importance : dériver d’abord par rapport à puis par rapport à donne le […]

Zakaria Laouar
 |
2026-08-26
Fonctions de plusieurs variables

Difféomorphisme et théorème des fonctions implicites : le cours complet de prépa

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Tu sais résoudre une équation quand tu peux isoler . Mais que fais-tu face à , où l’isolement est impossible ? Le théorème des fonctions implicites garantit que, localement, une telle équation définit malgré […]

Zakaria Laouar
 |
2026-08-26
Échantillonnage et fluctuation

Loi faible et loi forte des grands nombres : convergences et démonstrations

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur La loi faible des grands nombres affirme que la moyenne empirique de variables indépendantes et de même loi, d’espérance , converge en probabilité vers : pour tout > , tend vers . La loi […]

Zakaria Laouar
 |
2026-08-26
Échantillonnage et fluctuation

Le test d’hypothèse : principe, méthode et interprétation

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique. Découvrir le professeur Un test d’hypothèse est une procédure de décision qui confronte deux hypothèses sur une population — l’hypothèse nulle et l’hypothèse alternative — à partir d’un échantillon. On rejette si la p-value est inférieure au seuil (souvent 5 %), en contrôlant le risque […]

Zakaria Laouar
 |
2026-08-26
Échantillonnage et fluctuation

Statistique inférentielle : cours complet et exercices corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur En bref. La statistique inférentielle est la branche des statistiques qui tire des conclusions sur une population entière à partir d’un échantillon. Elle repose sur deux tâches : estimer une grandeur inconnue (moyenne, proportion) […]

Zakaria Laouar
 |
2026-08-26