Déterminer une probabilité, ce n’est pas seulement « compter des cas ». En devoir surveillé, la différence entre une copie moyenne et une copie très solide se joue souvent sur 3 points : la modélisation (définir clairement l’espace \(\Omega\)), les hypothèses (équiprobabilité, remise, ordre) et la traduction des mots « et / ou ».

Dans cet article, je te donne une méthode stable, claire et exigeante pour calculer une probabilité (niveau Première / Terminale, avec une ouverture avancée). Pour le panorama global (définitions, vocabulaire, notions), tu peux lire aussi : Probabilités : cours complet.

Navigation — Chapitre Probabilités

Objectif. Savoir poser \(\Omega\), définir l’événement \(A\), choisir le bon outil (liste, table, Venn, arbre), faire un calcul propre… puis vérifier pour éviter les erreurs.

Formules essentielles (référence rapide)

  • Cas équiprobable : \(P(A)=\displaystyle\frac{|A|}{|\Omega|}\)
  • Complément : \(P(\overline{A})=1-P(A)\)
  • Union : \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
  • Indépendance : \(P(A \cap B)=P(A)\,P(B)\)
  • Conditionnelle : \(P(A \cap B)=P(A)\,P(B \mid A)\)

Pour le récapitulatif complet avec exemples : Formules de probabilités (tableau + méthodes).

Le protocole en 5 étapes (la méthode « copiable »)

Quand tu dois déterminer une probabilité, applique toujours ce protocole. C’est une structure de rédaction « réglée » : elle sécurise tes décisions de modélisation et rend ta copie lisible.

  1. Définir l’expérience et l’univers \(\Omega\) (toutes les possibilités).
  2. Définir l’événement \(A\) (ce que l’on cherche).
  3. Vérifier l’équiprobabilité (ou expliquer pourquoi ce n’est pas uniforme).
  4. Compter : déterminer \(|A|\) et \(|\Omega|\) (ou choisir une représentation adaptée : arbre, tableau, Venn).
  5. Résoudre puis vérifier : cohérence, complément, addition des cas, ordre de grandeur.

Rappel (cas équiprobable). Si toutes les issues de \(\Omega\) ont la même probabilité, alors :

\(P(A)=\displaystyle\frac{|A|}{|\Omega|}\).

Cette expression est simple… et c’est pour ça qu’elle piège : elle ne s’applique que si tu as correctement défini l’espace \(\Omega\) et justifié l’équiprobabilité.

Etape 1 : Modéliser proprement (omega, événements, hypothèses)

Comment choisir l’univers sans oublier de cas

Définir \(\Omega\), c’est écrire ce que « tirer au sort » signifie exactement. Dans un exercice scolaire, \(\Omega\) est souvent :

  • la liste des valeurs possibles (dé, chiffres) ;
  • un ensemble de tirages (boules, élèves, objets) ;
  • des couples ou suites (tirages successifs).

Événements : A, B, contraire de A

Un événement, c’est un sous-ensemble de \(\Omega\). Autrement dit : un groupe de cas qui correspond exactement à la phrase de l’énoncé (au mot près).

Traduction rigoureuse. Dire « l’événement \(A\) se réalise » signifie que l’issue appartient à \(A\).

Les hypothèses qui changent tout : « avec remise / sans remise », « ordre / pas d’ordre »

Avant de compter, tu dois fixer clairement :

  • Avec remise : on remet l’objet (boule, jeton) avant de tirer à nouveau ; la situation reste identique à chaque étape.
  • Sans remise : on ne remet pas ; les effectifs changent, donc les probabilités aussi.
  • Ordre important : « premier puis second » est différent de « second puis premier ».
  • Ordre non important : on ne regarde que la composition (« un de chaque », « deux identiques »…).

Piège classique. Poser un \(\Omega\) ambigu (ou « trop vite »). Résultat : tu fais des calculs corrects… sur le mauvais univers.

Etape 2 : Equiprobabilité ou pas ? (le test qui évite 50 % des fautes)

Quand on peut utiliser « cas favorables / cas possibles »

Tu peux appliquer \(P(A)=\displaystyle\frac{|A|}{|\Omega|}\) quand :

  • l’énoncé décrit une situation symétrique (dé équilibré, monnaie équilibrée avec ses deux faces) ;
  • ou quand tu définis \(\Omega\) comme un ensemble de cas tous aussi probables (par exemple des suites de tirages uniformes).

Quand on ne peut pas (situations pondérées) + quoi faire à la place

Si les cas n’ont pas la même probabilité (roue truquée, catégories avec une proportion donnée, choix non uniforme…), alors le quotient « favorables / possibles » n’est pas la bonne route.

Dans ce cas, on représente puis on additionne les probabilités des cas favorables : tableau, arbre de probabilité, ou schéma. L’arbre est l’outil le plus puissant dès qu’il y a des étapes successives.

Mini-checklist « DS » : comment justifier en 1 phrase

  • « Les cas de \(\Omega\) sont équiprobables car … »
  • « Le tirage est uniforme, donc chaque issue a la même probabilité. »

Etape 3 : Compter sans se tromper (ordre, remise, répétitions)

Dans beaucoup de problèmes, le vrai travail est un comptage propre. Voici un cadre simple et scolaire : tu identifies le type de situation, tu choisis l’outil, puis tu comptes.

Tableau des 4 cas : (remise / pas remise) × (ordre / pas ordre)

Dénombrement : formule + exemple concret
Situation Dénombrement Exemple pratique (niveau lycée)
Avec remise, ordre important \(N^p\) Pièce : \(p=3\) lancers, \(N=2\) faces → \(2^3=8\) suites possibles
Avec remise, ordre non important Combinaisons avec répétition : \({N+p-1 \choose p}\) \(p=3\) bonbons parmi \(N=4\) goûts, on regarde la composition → \({6 \choose 3}=20\)
Sans remise, ordre important Arrangements : \(N(N-1)\cdots(N-p+1)\) Désigner un 1er, 2e, 3e élève parmi \(N=30\) → \(30\times 29\times 28\)
Sans remise, ordre non important Combinaisons : \({N \choose p}\) Former un groupe de \(p=3\) parmi \(N=30\) → \({30 \choose 3}\)

Ce tableau est un outil de référence pour choisir la bonne formule. Retrouve toutes les formules détaillées sur : Formules de probabilités.

Traduire « ET / OU » : union, intersection, pièges classiques

Une grande partie des erreurs vient du vocabulaire : « et », « ou », « au moins », « exactement », « ni… ni… ». Tu dois traduire en événements et opérations.

« A et B » = intersection : comment la reconnaître

« A et B » signifie que les deux événements se réalisent en même temps : \(A \cap B\).

« A ou B » = union : cas général vs cas « incompatibles »

« A ou B » (au sens inclusif, celui des probabilités scolaires) signifie : au moins un des deux est vrai, donc \(A \cup B\).

Piège classique. Beaucoup d’élèves additionnent dès qu’ils voient « ou ». On peut additionner directement \(P(A)\) et \(P(B)\) uniquement si \(A\) et \(B\) ne peuvent pas arriver ensemble (événements incompatibles).

Formule utile (cas général) :

\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\).

Incompatibles vs indépendants : la différence en 2 lignes + exemple-type

  • Incompatibles : \(A \cap B = \emptyset\). Cela signifie qu’il n’existe aucun cas où \(A\) et \(B\) sont vrais en même temps. Exemple : sur un seul lancer de monnaie, « pile » et « face » ne peuvent pas être obtenus ensemble.
  • Indépendants : le fait que \(A\) se réalise ne change pas la probabilité de \(B\). Dans ce cas, on utilise le produit : \(P(A \cap B)=P(A)\,P(B)\).

Quelle représentation choisir ? (liste, tableau, Venn, arbre)

Le bon choix de représentation rend le calcul presque automatique. C’est une vraie décision de méthode : tu gagnes du temps et tu limites les oublis.

Choisir la méthode de représentation selon l'énoncé
Situation Outil recommandé Pourquoi
Univers petit (dé, monnaie, 2 tirages simples) Liste / comptage direct Tu contrôles tous les cas, peu de risque d’oubli
Deux critères (bi-entrée), effectifs ou pourcentage Tableau à double entrée Lecture immédiate des effectifs, conversion facile en fraction
« A ou B », recouvrements Diagramme de Venn Tu visualises \(A \cup B\) et \(A \cap B\)
Étapes successives, « sachant que… », branches Arbre de probabilité Multiplication sur un chemin, puis addition des chemins favorables

Si tu hésites entre tableau et arbre, prends l’arbre dès qu’il y a « puis », « sachant que », ou des probabilités qui dépendent d’une étape précédente. Voir : Arbre de probabilité (construire et exploiter un arbre pondéré).

Vérifications rapides (anti-erreurs) : complément, addition = 1, cohérence

Une copie excellente ne se contente pas de calculer : elle vérifie. Ces contrôles prennent 10 secondes et sauvent des points.

Test du complément : P(contraire de A)

Quand « au moins », « aucun », « pas » apparaissent, le complément est souvent l’outil le plus simple :

\(P(\overline{A})=1-P(A)\).

Test « addition = 1 » (partition / tableau / arbre)

Si tu as découpé la situation en cas disjoints (par exemple les feuilles finales d’un arbre), l’addition des probabilités doit faire \(1\). C’est exactement le principe qu’on retrouve dans la formule des probabilités totales.

Test de cohérence : borne 0–1 + ordre de grandeur

Une probabilité est comprise entre \(0\) et \(1\). Enfin, compare ton résultat à une intuition : rare, fréquent, environ une chance sur deux, etc.

Routine « DS ». Après ton calcul, fais au moins 2 checks :

  • Check 1 : la valeur est entre \(0\) et \(1\).
  • Check 2 : complément ou addition des cas = \(1\).

Exemples corrigés (progressifs) : du collège à la prépa

Chaque exemple est rédigé avec le protocole en 5 étapes. Résous la question, puis compare avec la correction : c’est l’utilisation la plus efficace pour progresser vite.

Exemple 1 — Dé : « obtenir au moins 5 »

Énoncé. On lance un dé équilibré. Déterminer la probabilité d’obtenir un nombre au moins égal à \(5\).

Solution. On prend \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\). Les cas sont équiprobables.

Soit \(A\) l’événement « obtenir au moins \(5\) ». Alors \(A=\{5,6\}\).

Donc \(|A|=2\) et \(|\Omega|=6\). Ainsi :

\(P(A)=\displaystyle\frac{2}{6}=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Exemple 2 — Dé : « 6 ou pair » (union avec recouvrement)

Énoncé. On lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir « \(6\) ou un nombre pair » ?

Solution. Soit \(A\) : « obtenir \(6\) », et \(B\) : « obtenir un nombre pair ». On cherche \(P(A \cup B)\).

On a \(P(A)=\displaystyle\frac{1}{6}\) et \(P(B)=\displaystyle\frac{3}{6}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Comme \(6\) est pair, \(A \cap B\) correspond au cas « obtenir \(6\) », donc \(P(A \cap B)=\displaystyle\frac{1}{6}\).

Alors : \(P(A \cup B)=\displaystyle\frac{1}{6}+\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Lecture. « Ou » n’est pas exclusif : on a retiré le recouvrement avec \(P(A \cap B)\).

Exemple 3 — Sac : « deux boules blanches sans remise »

Énoncé. Un sac contient \(5\) boules blanches et \(3\) boules noires. On tire successivement \(2\) boules sans remise. Déterminer la probabilité d’obtenir deux boules blanches.

Solution (ordre important). On définit \(\Omega\) comme l’ensemble des suites de \(2\) tirages (sans remise). Toutes ces suites ont la même probabilité.

Nombre total de suites : \(|\Omega|=8 \times 7=56\).

Événement \(A\) : « blanche puis blanche ». Nombre de suites favorables : \(|A|=5 \times 4=20\).

Donc : \(P(A)=\displaystyle\frac{20}{56}=\displaystyle\frac{5}{14}\).

Remarque (sans ordre). On peut aussi écrire : \(\displaystyle\frac{{5 \choose 2}}{{8 \choose 2}}=\displaystyle\frac{10}{28}=\displaystyle\frac{5}{14}\).

Exemple 4 — Tableau : « Maths ou Physique » (effectifs ou pourcentage)

Énoncé. Dans un établissement, 60 % des élèves suivent l’option Maths, 40 % suivent l’option Physique, et 25 % suivent les deux. On choisit un élève uniformément. Déterminer la probabilité qu’il suive Maths ou Physique.

Solution. Soit \(A\) : « Maths », \(B\) : « Physique ». On cherche \(P(A \cup B)\).

On convertit : \(P(A)=\displaystyle\frac{60}{100}\), \(P(B)=\displaystyle\frac{40}{100}\), \(P(A \cap B)=\displaystyle\frac{25}{100}\).

Donc : \(P(A \cup B)=\displaystyle\frac{60}{100}+\displaystyle\frac{40}{100}-\displaystyle\frac{25}{100}=\displaystyle\frac{75}{100}=\displaystyle\frac{3}{4}\).

Lecture. Même logique qu’avec des effectifs : c’est une autre écriture d’un tableau bi-entrée.

Exemple 5 — Arbre : « choisir un sac puis tirer une boule »

Énoncé. On choisit au sort un sac parmi deux.

  • Sac 1 : \(2\) blanches, \(1\) noire
  • Sac 2 : \(1\) blanche, \(2\) noires

On tire ensuite une boule. Déterminer la probabilité d’obtenir une boule blanche.

Solution (arbre). Soit \(S_1\) : « sac 1 » et \(S_2\) : « sac 2 ». Le choix est uniforme : \(P(S_1)=P(S_2)=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Probabilités conditionnelles : \(P(\text{Blanche}\mid S_1)=\displaystyle\frac{2}{3}\) et \(P(\text{Blanche}\mid S_2)=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Par la formule des probabilités totales :

\(P(\text{Blanche})=\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Pour la méthode complète (construction, lecture, produit le long d’un chemin) : Arbre de probabilité.

Exemple 6 — Mini avancé : « sachant que le nombre est pair »

Énoncé. On lance un dé équilibré. On sait que le nombre obtenu est pair. Quelle est la probabilité que ce soit \(6\) ?

Solution. « Sachant que le nombre est pair » signifie qu’on réduit l’univers aux cas \(\{2,4,6\}\).

Parmi ces trois possibilités, une seule correspond à \(6\). Donc la probabilité est \(\displaystyle\frac{1}{3}\).

Lecture. On calcule une probabilité « dans un univers réduit ». C’est l’idée clé de la probabilité conditionnelle.

Pour un entraînement plus long (progressif, avec corrections détaillées et PDF) :

Niveau avancé : conditionnelle, partition, Bayes

À partir de la classe de Première, tu rencontres des situations où la probabilité dépend d’une information : « sachant que… », « parmi ceux qui… », « après observation… ».

Quand « intersection = multiplication » via P(B|A)

La probabilité conditionnelle se note \(P(B\mid A)\) et se lit « probabilité de \(B\) sachant \(A\) ». On a (si \(P(A)\) > \(0\)) :

\(P(B\mid A)=\displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\).

Ce qui donne la relation pratique :

\(P(A \cap B)=P(A)\,P(B\mid A)\).

Pour la méthode complète et les exercices types : Probabilité conditionnelle : définition, formule P(A|B) et exemples.

Partition : la clé de la probabilité totale

Une partition, c’est une liste de cas disjoints qui couvrent tout l’univers (par exemple « source 1 / source 2 », ou « catégorie A / catégorie B »).

Si \((A_1,\dots,A_n)\) est une partition de \(\Omega\), alors :

\(P(B)=\sum_{i=1}^{n} P(A_i)\,P(B\mid A_i)\).

Voir la page dédiée : Probabilité totale : formule, démonstration et exemples.

Bayes : dans quels types d’exercices ça tombe (aperçu)

La formule de Bayes sert quand tu observes \(B\) et que tu veux remonter à la cause \(A_i\) (« test positif », « défaut observé », etc.).

Forme standard (si \(P(B)\) > \(0\)) :

\(P(A_i\mid B)=\displaystyle\frac{P(A_i)\,P(B\mid A_i)}{P(B)}\).

Pour une explication pas à pas : Formule de Bayes : théorème, démonstration et exercices corrigés.

Questions fréquentes


Peut-on toujours faire cas favorables / cas possibles ?

Non. Tu peux utiliser \(P(A)=\displaystyle\frac{|A|}{|\Omega|}\) seulement si les cas de \(\Omega\) sont équiprobables. Si l’énoncé donne un pourcentage, des branches différentes ou une répartition non uniforme, il faut représenter (table, arbre) et additionner les probabilités des cas favorables.


Comment savoir si l'ordre compte ?

Demande-toi si « premier puis second » et « second puis premier » sont considérés comme deux cas différents. Si l’énoncé parle de tirages successifs (« puis »), l’ordre compte. Si l’énoncé dit « former un groupe », l’ordre ne compte généralement pas.


Quelle différence entre incompatibles et indépendants ?

Incompatibles : \(A \cap B = \varnothing\), ils ne peuvent pas arriver ensemble (pile et face sur un seul lancer). Indépendants : la réalisation de \(A\) ne change pas la probabilité de \(B\) ; on utilise le produit \(P(A)\,P(B)\). Deux événements incompatibles (non triviaux) ne sont jamais indépendants.


Comment vérifier rapidement un résultat de probabilité ?

Vérifie : (1) la valeur est entre \(0\) et \(1\), (2) si tu as découpé en cas disjoints, l’addition fait \(1\), (3) si un complément est naturel, compare avec \(1-P(A)\). Ces 3 checks prennent 10 secondes et sauvent des points en DS.


Quelle méthode apprendre pour réussir un DS en probabilités ?

Apprends le protocole en 5 étapes : définir \(\Omega\), définir \(A\), tester l’équiprobabilité, compter proprement (remise / ordre), puis vérifier. Dès qu’il y a des étapes successives, entraîne-toi sur l’arbre de probabilité. Et retrouve toutes les formules de probabilités sur notre fiche récap.


Comment calculer une probabilité avec un arbre pondéré ?

On multiplie les probabilités le long d’un chemin (du tronc à la feuille) pour obtenir la probabilité de ce scénario. Puis on additionne les probabilités des chemins qui correspondent à l’événement cherché. C’est le principe du produit + somme. Pour la méthode complète : Arbre de probabilité.


Pour aller plus loin

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