Déterminer une chance en probabilités, ce n’est pas seulement “compter des cas”. En devoir surveillé, la différence entre une copie moyenne et une copie très solide se joue souvent sur 3 points : la modélisation (définir clairement l’espace \(\Omega\)), les hypothèses (équiprobabilité, remise, ordre) et la traduction des mots “et / ou”.
Dans cet article, je te donne une méthode stable, claire et exigeante pour calculer une probabilité (niveau Première / Terminale, avec une petite ouverture avancée). Pour le panorama global (définitions, vocabulaire, notions), tu peux lire aussi : Probabilités : cours complet.
Objectif. Savoir poser \(\Omega\), définir l’événement \(A\), choisir le bon outil (liste, table, Venn, arbre), faire un calcul propre… puis vérifier pour éviter les erreurs.
Pour éviter les doublons : les règles sont rappelées ici uniquement quand elles servent à une méthode de calcul. Le récapitulatif complet (avec toutes les formules et cas) est sur la page dédiée : Formules de probabilités. Les autres articles complémentaires (arbre, conditionnelle, totale, Bayes) seront aussi utiles selon le contenu de l’énoncé.
Le protocole en 5 étapes (la méthode “copiable”)
Quand tu dois déterminer une probabilité, applique toujours ce protocole. C’est une structure de rédaction “réglée” : elle sécurise tes décisions de modélisation et rend ta copie lisible.
- Définir l’expérience et l’univers \(\Omega\) (toutes les possibilités).
- Définir l’événement \(A\) (ce que l’on cherche).
- Vérifier l’équiprobabilité (ou expliquer pourquoi ce n’est pas uniforme).
- Compter : déterminer \(|A|\) et \(|\Omega|\) (ou choisir une représentation adaptée).
- Résoudre puis vérifier : cohérence, complément, addition des cas, ordre de grandeur.
Rappel (cas équiprobable). Si toutes les issues de \(\Omega\) ont la même occurence, alors :
\(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\).
Cette expression est simple… et c’est pour ça qu’elle piège : elle ne s’applique que si tu as correctement défini l’espace \(\Omega\) et justifié l’équiprobabilité.
Étape 1 : Modéliser proprement (Ω, événements, hypothèses)
Comment choisir \(\Omega\) sans oublier de cas
Définir \(\Omega\), c’est écrire ce que “tirer au sort” signifie exactement. Dans un exercice scolaire, \(\Omega\) est souvent :
- la liste des valeurs possibles (dé, chiffres) ;
- un ensemble de tirages (boules, élèves, objets) ;
- des couples / suites (tirages successifs).
Événements : \(A\), \(B\), contraire \(\overline{A}\)
Un événement, c’est un sous-ensemble de \(\Omega\). Autrement dit : un groupe de cas qui correspond exactement à la phrase de l’énoncé (au mot près).
Traduction rigoureuse. Dire “l’événement \(A\) se réalise” signifie que l’issue appartient à \(A\).
Les hypothèses qui changent tout : “avec remise / sans remise”, “ordre / pas d’ordre”
Avant de compter, tu dois fixer clairement :
- Avec remise : on remet l’objet (boule, jeton) avant de tirer à nouveau ; la situation reste identique à chaque étape.
- Sans remise : on ne remet pas ; les effectifs changent, donc les chances aussi.
- Ordre important : “premier puis second” est différent de “second puis premier”.
- Ordre non important : on ne regarde que la composition (“un de chaque”, “deux identiques”…).
Piège classique. Poser un \(\Omega\) ambigu (ou “trop vite”). Résultat : tu fais des calculs corrects… sur le mauvais univers.
Étape 2 : Équiprobabilité ou pas ? (le test qui évite 50% des fautes)
Quand on peut utiliser “cas favorables / cas possibles”
Tu peux appliquer \(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\) quand :
- l’énoncé décrit une situation symétrique (dé équilibré, monnaie équilibrée avec ses deux faces) ;
- ou quand tu définis \(\Omega\) comme un ensemble de cas tous aussi probables (par exemple des suites de tirages uniformes).
Quand on ne peut pas (situations pondérées) + quoi faire à la place
Si les cas n’ont pas la même chance (roue truquée, catégories avec une proportion donnée, choix non uniforme, budget imposant une répartition…), alors le quotient “favorables / possibles” n’est pas la bonne route.
Dans ce cas, on représente puis on additionne les probabilités des cas favorables : tableau, arbre, ou schéma. L’outil le plus puissant dès qu’il y a des étapes successives est l’arbre : Arbre de probabilité (arbre pondéré).
Mini-checklist “DS” : comment justifier en 1 phrase
- “Les cas de \(\Omega\) sont équiprobables car …”
- “Le tirage est uniforme, donc chaque issue a la même chance.”
Étape 3 : Compter sans se tromper (ordre, remise, répétitions)
Dans beaucoup de problèmes, le vrai travail est un comptage propre. Voici un cadre simple et scolaire : tu identifies le type de situation, tu choisis l’outil, puis tu comptes.
Tableau des 4 cas : (remise / pas remise) × (ordre / pas ordre)
| Situation | Dénombrement | Exemple pratique (niveau lycée) |
|---|---|---|
| Avec remise, ordre important | \(N^p\) | Pièce : \(p=3\) lancers, \(N=2\) faces (pile / face) → \(2^3=8\) suites possibles |
| Avec remise, ordre non important | Combinaisons avec répétition : \({N+p-1 \choose p}\) | Dans un sac, on choisit \(p=3\) bonbons parmi \(N=4\) goûts, on ne regarde que la composition → \({6 \choose 3}=20\) |
| Sans remise, ordre important | Arrangements : \(N(N-1)\cdots(N-p+1)\) | On désigne un 1er, 2e, 3e élève parmi \(N=30\) → \(30\times 29\times 28\) |
| Sans remise, ordre non important | Combinaisons : \({N \choose p}\) | Former un groupe de \(p=3\) élèves parmi \(N=30\) → \({30 \choose 3}\) |
Traduire “ET / OU” : union, intersection, pièges classiques
Une grande partie des erreurs vient du vocabulaire : “et”, “ou”, “au moins”, “exactement”, “ni… ni…”. Ici, tu dois traduire en événements et opérations.
“A et B” = intersection : comment la reconnaître
“A et B” signifie que les deux événements se réalisent en même temps : \(A \cap B\).
“A ou B” = union : cas général vs cas “incompatibles”
“A ou B” (au sens inclusif, celui des probabilités scolaires) signifie : au moins un des deux est vrai, donc \(A \cup B\).
Piège classique. Beaucoup d’élèves additionnent dès qu’ils voient “ou”. On peut additionner directement \(P(A)\) et \(P(B)\) uniquement si \(A\) et \(B\) ne peuvent pas arriver ensemble.
Formule utile (cas général) :
\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\).
Incompatibles vs indépendants : la différence en 2 lignes + exemple-type
- Incompatibles : \(A \cap B = \emptyset\) . Cela se lit : “il n’existe aucun cas où \(A\) et \(B\) sont vrais en même temps”. Exemple clair : sur un seul lancer de monnaie, “pile” et “face” ne peuvent pas être obtenus ensemble.
- Indépendants : le fait que \(A\) se réalise ne change pas la chance de \(B\). Dans ce cas, on utilise souvent le produit : \(P(A \cap B)=P(A)P(B)\).
Si tu veux une version “fiche” avec davantage d’exemples et une utilisation propre des formules : Formules de probabilités.
Quelle représentation choisir ? (liste, tableau, Venn, arbre)
Le bon choix de représentation rend le calcul presque automatique. C’est une vraie décision de méthode : tu gagnes du temps et tu limites les oublis.
| Situation | Outil recommandé | Pourquoi |
|---|---|---|
| Univers petit (dé, monnaie, 2 tirages simples) | Liste / comptage direct | Tu contrôles tous les cas, peu de risque d’oubli |
| Deux critères (bi-entrée), effectifs ou pourcentage | Tableau à double entrée (une table) | Lecture immédiate des effectifs, conversion facile en fraction |
| “A ou B”, recouvrements | Diagramme de Venn | Tu visualises \(A \cup B\) et \(A \cap B\) |
| Étapes successives, “sachant que…”, branches | Arbre de probabilité | Multiplication sur un chemin, puis addition des chemins favorables |
Si tu hésites entre tableau et arbre, prends l’arbre dès qu’il y a “puis”, “sachant que”, ou des chances qui dépendent d’une étape précédente. Voir : Arbre de probabilité.
Vérifications rapides (anti-erreurs) : complément, addition = 1, cohérence
Une copie excellente ne se contente pas de calculer : elle vérifie. Ces contrôles prennent 10 secondes et sauvent des points.
Test du complément : \(P(\overline{A})\)
Quand “au moins”, “aucun”, “pas” apparaissent, le complément est souvent l’outil le plus simple :
\(P(\overline{A})=1-P(A)\).
Test “addition = 1” (partition / tableau / arbre)
Si tu as découpé la situation en cas disjoints (par exemple les feuilles finales d’un arbre), l’addition des probabilités doit faire \(1\).
Test de cohérence : borne 0–1 + ordre de grandeur
Une chance est comprise entre \(0\) et \(1\). On peut rappeler : \(0 \leq P(A) \leq 1\).
Enfin, compare ton résultat à une intuition : rare, fréquent, environ une chance sur deux, etc.
Routine “DS”. Après ton calcul, fais au moins 2 checks :
- Check 1 : borne entre \(0\) et \(1\)
- Check 2 : complément ou addition des cas = \(1\)
Exemples corrigés (progressifs) : du collège à la prépa
Chaque exemple est rédigé avec le protocole en 5 étapes. Résouds la question, puis compare avec la correction : c’est l’utilisation la plus efficace pour progresser vite.
Exemple 1 — Dé : “obtenir au moins 5”
Énoncé. On lance un dé équilibré. Déterminer la chance d’obtenir un nombre au moins égal à \(5\).
Solution. On prend \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\). Les cas sont équiprobables.
Soit \(A\) l’événement “obtenir au moins \(5\)”. Alors \(A=\{5,6\}\).
Donc \(|A|=2\) et \(|\Omega|=6\). Ainsi :
\(P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).
Exemple 2 — Dé : “6 ou pair” (union avec recouvrement)
Énoncé. On lance un dé équilibré. Quelle est la chance d’obtenir “\(6\) ou un nombre pair” ?
Solution. Soit \(A\) : “obtenir \(6\)”, et \(B\) : “obtenir un nombre pair”. On cherche \(P(A \cup B)\).
On a \(P(A)=\frac{1}{6}\) et \(P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).
Comme \(6\) est pair, \(A \cap B\) correspond au cas “obtenir \(6\)”, donc \(P(A \cap B)=\frac{1}{6}\).
Alors :
\(P(A \cup B)=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\).
Lecture. Ici, “ou” n’est pas exclusif : on a retiré le recouvrement avec \(P(A \cap B)\).
Exemple 3 — Sac : “deux boules blanches sans remise”
Énoncé. Une sacoche contient \(5\) boules blanches et \(3\) boules noires. On tire successivement \(2\) boules sans remise. Déterminer la chance d’obtenir deux boules blanches.
Solution (ordre important). On peut définir \(\Omega\) comme l’ensemble des suites de \(2\) tirages possibles (sans remise). Toutes ces suites ont la même chance.
Nombre total de suites : \(|\Omega|=8 \times 7=56\).
Événement \(A\) : “blanche puis blanche”. Nombre de suites favorables : \(|A|=5 \times 4=20\).
Donc :
\(P(A)=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}\).
Remarque (sans ordre). On peut aussi écrire : \(\frac{{5 \choose 2}}{{8 \choose 2}}=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}\).
Exemple 4 — Tableau : “Maths ou Physique” (effectifs ou pourcentage)
Énoncé. Dans un établissement, 60 % des élèves suivent l’option Maths, 40 % suivent l’option Physique, et 25 % suivent les deux. On choisit un élève uniformément. Déterminer la chance qu’il suive Maths ou Physique.
Solution. Soit \(A\) : “Maths”, \(B\) : “Physique”. On cherche \(P(A \cup B)\).
On convertit les proportions en fractions : \(P(A)=\frac{60}{100}\), \(P(B)=\frac{40}{100}\), \(P(A \cap B)=\frac{25}{100}\).
Donc :
\(P(A \cup B)=\frac{60}{100}+\frac{40}{100}-\frac{25}{100}=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}\).
Lecture. Même logique qu’avec des effectifs : c’est juste une autre écriture (en fraction) d’un tableau bi-entrée.
Exemple 5 — Arbre (aperçu) : “choisir un sac puis tirer une boule”
Énoncé. On choisit au sort un sac parmi deux.
- Sac 1 : \(2\) blanches, \(1\) noire
- Sac 2 : \(1\) blanche, \(2\) noires
On tire ensuite une boule. Déterminer la chance d’obtenir une boule blanche.
Solution (idée). On fait un arbre : d’abord le choix du sac, puis la couleur.
Soit \(S_1\) : “on choisit le sac 1” et \(S_2\) : “on choisit le sac 2”. Comme le choix est uniforme, \(P(S_1)=\frac{1}{2}\) et \(P(S_2)=\frac{1}{2}\).
Probabilités conditionnelles : \(P(\text{Blanche}\mid S_1)=\frac{2}{3}\) et \(P(\text{Blanche}\mid S_2)=\frac{1}{3}\).
Alors :
\(P(\text{Blanche})=\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\).
Pour une méthode complète (lecture, produit le long d’un chemin, puis addition), voir : Arbre de probabilité.
Exemple 6 — Mini avancé : “sachant que le nombre est pair”
Énoncé. On lance un dé équilibré. On sait que le nombre obtenu est pair. Quelle est la chance que ce soit \(6\) ?
Solution. “Sachant que le nombre est pair” signifie qu’on réduit l’univers aux cas \(\{2,4,6\}\).
Parmi ces trois possibilités, une seule correspond à \(6\). Donc :
\(\frac{1}{3}\).
Lecture. Ici, on calcule une chance “dans un univers réduit”. C’est une idée clé avant la probabilité conditionnelle.
Pour un entraînement plus long (progressif, avec corrections détaillées et une version PDF), l’article dédié sera plus adapté : Exercices de probabilités corrigés.
Niveau avancé : conditionnelle, partition, Bayes
À partir de la Terminale (et très souvent en prépa), tu rencontres des situations où la probabilité dépend d’une information : “sachant que…”, “parmi ceux qui…”, “après observation…”.
Quand “intersection = multiplication” via \(P(B\mid A)\)
La probabilité conditionnelle se note \(P(B\mid A)\) et se lit “chance de \(B\) sachant \(A\)”. On a (si \(P(A)\) > \(0\)) :
\(P(B\mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\).
Ce qui donne la relation pratique :
\(P(A \cap B)=P(A)\,P(B\mid A)\).
Pour une méthode complète et des exercices types : Probabilité conditionnelle.
Partition : pourquoi c’est la clé de la probabilité totale
Une partition, c’est une liste de cas disjoints qui couvrent tout l’univers (par exemple “source 1 / source 2”, ou “catégorie A / catégorie B”).
Si \((A_1,\dots,A_n)\) est une partition de \(\Omega\), alors :
\(P(B)=\sum_{i=1}^{n} P(A_i)\,P(B\mid A_i)\).
Voir la page dédiée : Probabilité totale.
Bayes : dans quels types d’exercices ça tombe (aperçu)
La formule de Bayes sert quand tu observes \(B\) et que tu veux remonter à la cause \(A_i\) (“test positif”, “défaut observé”, etc.).
Forme standard (si \(P(B)\) > \(0\)) :
\(P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i)\,P(B\mid A_i)}{P(B)}\).
Pour une explication pas à pas : Formule de Bayes.
Réflexe avancé. Dès que tu lis “sachant que…”, “après observation…”, pense : arbre ou table bi-entrée, puis conditionnelle et éventuellement totale / Bayes.
FAQ
Peut-on toujours faire “cas favorables / cas possibles” ?
Non. Tu peux utiliser \(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\) seulement si les cas de \(\Omega\) sont équiprobables. Si l’énoncé donne un pourcentage, des branches différentes ou une répartition liée à un budget, il faut représenter (table, arbre) et additionner les probabilités des cas favorables.
Comment savoir si l’ordre compte ?
Demande-toi si “premier puis second” et “second puis premier” sont considérés comme deux cas différents. Si l’énoncé parle de tirages successifs (“puis”), l’ordre compte. Si l’énoncé dit “former un groupe”, l’ordre ne compte généralement pas.
Quelle différence entre “incompatibles” et “indépendants” ?
Incompatibles : \(A \cap B = \varnothing\), donc ils ne peuvent pas arriver ensemble (pile et face sur un seul lancer de monnaie). Indépendants : la réalisation de \(A\) ne change pas la chance de \(B\) ; on utilise souvent le produit \(P(A)P(B)\).
Comment vérifier rapidement un résultat ?
Vérifie : (1) la valeur est entre \(0\) et \(1\), (2) si tu as découpé en cas disjoints, l’addition vaut \(1\), (3) si un complément est naturel, compare avec \(1-P(A)\).
Quelle méthode apprendre pour réussir un DS en probabilités ?
Apprends le protocole : définir \(\Omega\), définir \(A\), tester l’équiprobabilité, compter proprement (remise / ordre), puis vérifier. Et dès qu’il y a des étapes successives, entraîne-toi à l’arbre : arbre de probabilité.
Pour aller plus loin :
Besoin d’un accompagnement exigeant et bienveillant ? Pour progresser vite sur les probabilités (méthode, rédaction, automatismes, exercice type), tu peux nous contacter ici : Contact Excellence Maths.
