La factorisation est l’une des compétences les plus importantes en mathématiques, de la 5ème jusqu’à la seconde. Elle consiste à réécrire une expression (somme ou différence) sous forme d’un produit — ce qui permet ensuite de résoudre des équations, simplifier des fractions ou étudier le signe d’une expression. Ce cours complet te donne les formules, les méthodes et des exemples détaillés pour maîtriser la factorisation.
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- Par niveau : 5ème · 4ème · 3ème · Seconde
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- Comment factoriser une expression : méthode pas à pas
- Factorisation par facteur commun : protocole et pièges
- Développer et factoriser : savoir choisir
Qu’est-ce que la factorisation ?
Définition
Factoriser une expression algébrique, c’est la réécrire sous la forme d’une multiplication. On passe d’une somme (ou différence) de termes à un produit de facteurs plus simples.
Par exemple :
\(2x^2 + 6x = 2x(x + 3)\)
Ici, \(2x(x + 3)\) est la forme factorisée de l’expression. On a identifié que \(2x\) était commun aux deux termes, puis on l’a sorti devant une parenthèse.
Définition. Factoriser une expression, c’est la transformer en un produit de facteurs. La forme obtenue s’appelle la forme factorisée.
De façon concrète, factoriser revient à :
- repérer ce que les termes ont en commun ;
- sortir ce facteur commun devant une parenthèse ;
- réécrire le reste dans la parenthèse.
Pourquoi factoriser ?
La factorisation n’est pas une fin en soi — c’est un outil qui sert dans de nombreuses situations :
- Résoudre des équations : si \(P(x) = (x – 3)(x + 1) = 0\), alors les solutions sont \(x = 3\) ou \(x = -1\). C’est le principe de l’équation produit nul.
- Étudier le signe d’une expression : sous forme factorisée, on repère facilement les zéros et on construit un tableau de signes.
- Simplifier des fractions : en factorisant le numérateur et le dénominateur, on peut simplifier les facteurs communs.
- Préparer le brevet et les contrôles : la factorisation est au programme du cycle 4 (4ème–3ème) et revient systématiquement en seconde dans le calcul littéral.
Réflexe en DS. Quand un énoncé demande de résoudre une équation, simplifier une fraction ou étudier un signe, pose-toi la question : « Est-ce que je peux factoriser cette expression ? » — c’est souvent la première étape de la solution.
Formules de factorisation
Voici les formules essentielles à connaître pour factoriser. Elles couvrent la grande majorité des exercices du collège à la seconde.
Facteur commun
C’est la formule la plus utilisée. Quand tous les termes d’une expression partagent un même facteur, on le « sort » devant une parenthèse :
Formule du facteur commun.
\(ka + kb = k(a + b)\)
où \(k\) est le facteur commun (un nombre, une variable, ou les deux).
Exemple. Factoriser \(6x^2 + 9x\).
Les deux termes ont en commun \(3x\) :
\(6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)\)
Pour aller plus loin sur cette technique : factorisation par facteur commun (méthode complète).
Identités remarquables
Les trois identités remarquables permettent de factoriser des expressions qui ont une structure particulière. Tu dois les connaître par cœur, dans les deux sens (développement ↔ factorisation).
| Nom | Forme développée | Forme factorisée |
|---|---|---|
| Carré d’une somme | \(a^2 + 2ab + b^2\) | \((a + b)^2\) |
| Carré d’une différence | \(a^2 – 2ab + b^2\) | \((a – b)^2\) |
| Différence de deux carrés | \(a^2 – b^2\) | \((a – b)(a + b)\) |
Piège classique. Écrire \(a^2 + b^2 = (a + b)^2\) est faux. Il manque le terme \(2ab\). Une somme de deux carrés ne se factorise pas avec les identités remarquables.
Formule du discriminant (seconde)
Pour les trinômes du second degré \(ax^2 + bx + c\), on utilise le discriminant \(\Delta = b^2 – 4ac\) pour trouver les racines et factoriser :
- Si \(\Delta\) > \(0\) : deux racines \(x_1\) et \(x_2\), et \(ax^2 + bx + c = a(x – x_1)(x – x_2)\)
- Si \(\Delta = 0\) : une racine double \(x_0\), et \(ax^2 + bx + c = a(x – x_0)^2\)
- Si \(\Delta\) < \(0\) : pas de racine réelle, le trinôme ne se factorise pas dans \(\mathbb{R}\)
Cette technique est détaillée plus bas dans la section Factoriser un trinôme.
Tableau récapitulatif de toutes les formules
| Situation | Expression de départ | Forme factorisée | Niveau |
|---|---|---|---|
| Facteur commun | \(ka + kb\) | \(k(a + b)\) | 5ème → 3ème |
| Carré d’une somme | \(a^2 + 2ab + b^2\) | \((a + b)^2\) | 3ème → 2nde |
| Carré d’une différence | \(a^2 – 2ab + b^2\) | \((a – b)^2\) | 3ème → 2nde |
| Différence de deux carrés | \(a^2 – b^2\) | \((a – b)(a + b)\) | 3ème → 2nde |
| Trinôme (discriminant) | \(ax^2 + bx + c\) | \(a(x – x_1)(x – x_2)\) | Seconde |
Pour la méthode détaillée avec arbre de décision : comment factoriser une expression (pas à pas).
Identités remarquables : exemples et reconnaissance
Comment reconnaître une identité remarquable ?
Le piège le plus fréquent est de ne pas voir l’identité remarquable. Voici la méthode :
- L’expression a-t-elle 3 termes ? Pense au carré d’une somme ou d’une différence.
- L’expression a-t-elle 2 termes (une soustraction) ? Pense à la différence de deux carrés.
- Vérifie que le terme du milieu (s’il y en a un) correspond bien à \(2ab\).
Exemples progressifs
Exemple 1 (niveau 3ème). Factoriser \(x^2 + 6x + 9\).
On reconnaît un carré : \(9 = 3^2\) et \(6x = 2 \times 3 \times x\).
Donc : \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\).
Exemple 2 (niveau seconde). Factoriser \(4x^2 – 25\).
On reconnaît une différence de deux carrés : \(4x^2 = (2x)^2\) et \(25 = 5^2\).
Donc : \(4x^2 – 25 = (2x – 5)(2x + 5)\).
Exemple 3 (niveau seconde). Factoriser \(x^4 – 1\).
On commence par une différence de deux carrés : \(x^4 – 1 = (x^2 – 1)(x^2 + 1)\).
Puis on factorise encore \(x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)\).
Au final : \(x^4 – 1 = (x – 1)(x + 1)(x^2 + 1)\).
Erreur fréquente. Mal gérer les signes dans le carré d’une différence. Par exemple, dans \(9x^2 – 12x + 4\), le terme du milieu est \(-12x = 2 \times (3x) \times (-2)\), donc \(9x^2 – 12x + 4 = (3x – 2)^2\) — et non \((3x + 2)^2\).
Les méthodes de factorisation
Pour une version plus développée avec arbre de décision : comment factoriser une expression.
Développer vs factoriser : le lien inverse
Développer et factoriser sont deux opérations inverses, liées à la distributivité :
- Développer : on passe d’un produit (parenthèses) à une somme.
- Factoriser : on passe d’une somme à un produit.
Comprendre ce lien est essentiel. Pour approfondir cette dualité avec des exercices : développer et factoriser (cours et méthodes).
Méthode 1 — Mise en évidence (facteur commun)
C’est la technique la plus fréquente et la première à tester systématiquement. On cherche le plus grand facteur commun (nombre et/ou variable) à tous les termes, puis on le sort devant une parenthèse.
Exemple. Factoriser \(5x^3 – 10x^2\).
Les deux termes ont en commun \(5x^2\). On factorise :
\(5x^3 – 10x^2 = 5x^2(x – 2)\)
Technique complète avec cas particuliers : factorisation par facteur commun.
Méthode 2 — Regroupement de termes
Quand il n’y a pas de facteur commun à tous les termes, on peut parfois regrouper les termes par deux pour faire apparaître un facteur commun partiel.
Exemple. Factoriser \(x^3 + 3x^2 + 2x + 6\).
On regroupe : \((x^3 + 3x^2) + (2x + 6)\).
On factorise dans chaque groupe : \(x^2(x + 3) + 2(x + 3)\).
On voit le facteur commun \((x + 3)\) :
\(x^3 + 3x^2 + 2x + 6 = (x + 3)(x^2 + 2)\)
Méthode 3 — Identité remarquable inversée
Quand l’expression ressemble à un carré ou une différence de carrés, on « remonte » l’identité remarquable. La clé est de bien identifier les termes \(a\) et \(b\).
Exemple. Factoriser \(9x^2 – 12x + 4\).
On remarque : \(9x^2 = (3x)^2\), \(4 = 2^2\), et \(-12x = 2 \times (3x) \times (-2)\).
C’est un carré d’une différence avec \(a = 3x\) et \(b = 2\) :
\(9x^2 – 12x + 4 = (3x – 2)^2\)
Comment choisir la bonne méthode ? (algorithme)
Stratégie générale. Face à une expression à factoriser :
- Cherche d’abord un facteur commun évident (nombre, variable, puissance).
- Si rien n’est commun à tous les termes, tente un regroupement par deux.
- Regarde si l’expression ressemble à une identité remarquable.
- Pour un trinôme du second degré (en seconde), calcule le discriminant.
Le réflexe à automatiser : facteur commun → regroupement → identité → discriminant.
Factoriser un trinôme du second degré
Cette méthode est au programme de seconde. Elle utilise le discriminant pour trouver les racines du trinôme, puis écrire la forme factorisée.
Méthode par le discriminant
Soit un trinôme \(P(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\). On calcule :
\(\Delta = b^2 – 4ac\)
| Cas | Racines | Factorisation |
|---|---|---|
| \(\Delta\) > \(0\) | Deux racines distinctes \(x_1\) et \(x_2\) | \(a(x – x_1)(x – x_2)\) |
| \(\Delta = 0\) | Racine double \(x_0\) | \(a(x – x_0)^2\) |
| \(\Delta\) < \(0\) | Aucune racine réelle | Pas de factorisation dans \(\mathbb{R}\) |
Les racines se calculent avec la formule :
\(x_{1,2} = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
Exemple complet
Exemple. Factoriser \(P(x) = 2x^2 – 3x – 2\).
On calcule le discriminant : \(\Delta = (-3)^2 – 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25\).
Comme \(\Delta = 25\) > \(0\), il y a deux racines :
\(x_1 = \displaystyle\frac{3 – 5}{4} = -\displaystyle\frac{1}{2}\) et \(x_2 = \displaystyle\frac{3 + 5}{4} = 2\)
Donc : \(P(x) = 2\left(x + \displaystyle\frac{1}{2}\right)(x – 2) = (2x + 1)(x – 2)\)
Factorisation par la forme canonique
On peut aussi passer par la forme canonique \(P(x) = a(x – \alpha)^2 + \beta\), où \(\alpha\) est l’abscisse du sommet. Si \(\beta\) < \(0\) (ou \(= 0\)), on reconnaît une différence de carrés et on factorise.
Cette approche est utile pour l’étude de signe et les inégalités en seconde.
Les erreurs classiques en factorisation
Piège n°1 — Confondre développement et factorisation. Développer, c’est aller vers une somme ; factoriser, c’est revenir vers un produit. Écrire \(2x^2 + 6x = 2x^2(1 + 3)\) n’est pas une factorisation correcte.
Piège n°2 — Inventer une identité. \(a^2 + b^2 = (a + b)^2\) est faux. Il manque \(2ab\). Une somme de deux carrés ne se factorise pas avec les identités remarquables.
Autres erreurs fréquentes :
- oublier le facteur commun devant la parenthèse (écrire \(3x + 6 = 3(x + 6)\) au lieu de \(3(x + 2)\)) ;
- mal gérer les signes dans les identités remarquables ;
- factoriser « à moitié » : ne pas aller jusqu’au bout quand une expression peut encore être décomposée ;
- se forcer à utiliser une identité remarquable alors qu’une simple mise en facteur commun suffit.
Comment vérifier ta factorisation ? Redéveloppe ta forme factorisée : tu dois retomber exactement sur l’expression de départ. Tu peux aussi tester quelques valeurs (\(x = 0\), \(x = 1\), \(x = -1\)) pour voir si les deux formes donnent le même résultat.
Exercices de factorisation corrigés (mini-série)
Voici 2 exercices rapides pour tester tes réflexes. Pour t’entraîner en profondeur avec des dizaines d’exercices progressifs et des PDF téléchargeables, retrouve le pack complet d’exercices de factorisation corrigés.
Exercice 1 (niveau 3ème)
Factoriser les expressions suivantes :
\(A(x) = 4x + 12\)
\(B(x) = x^2 + 8x + 16\)
▶ Voir la correction
Pour \(A(x)\) : facteur commun \(4\) → \(A(x) = 4(x + 3)\).
Pour \(B(x)\) : on reconnaît \((x + 4)^2\) car \(16 = 4^2\) et \(8x = 2 \times 4 \times x\) → \(B(x) = (x + 4)^2\).
Exercice 2 (niveau seconde)
Factoriser :
\(C(x) = 3x^2 – 12x\)
\(D(x) = x^2 – 9\)
▶ Voir la correction
Pour \(C(x)\) : facteur commun \(3x\) → \(C(x) = 3x(x – 4)\).
Pour \(D(x)\) : différence de deux carrés → \(D(x) = (x – 3)(x + 3)\).
📚 Exercices par niveau — PDF téléchargeables
- Exercices factorisation 5ème (corrigés + PDF)
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- Exercices factorisation 3ème — brevet + contrôle (PDF)
- Exercices factorisation seconde (corrigés + PDF)
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Pour aller plus loin
- Factorisation par facteur commun : protocole et pièges
- Comment factoriser une expression en 3 tests
- Développer et factoriser : savoir choisir
- Exercices de factorisation corrigés (5e à Seconde)
- Calcul littéral 3ème · Calcul littéral (cours complet)
FAQ — Factorisation
Comment factoriser une expression rapidement ?
Commence toujours par chercher un facteur commun évident. Si rien ne se dégage, tente un regroupement de termes par deux, puis vérifie si l’expression ressemble à une identité remarquable. En seconde, pense aussi au discriminant pour les trinômes.
Quelle différence entre développer et factoriser ?
Développer, c’est passer d’un produit à une somme — par exemple \((x + 2)(x – 3)\) devient \(x^2 – x – 6\). Factoriser, c’est l’inverse : on passe d’une somme à un produit — \(x^2 – x – 6\) redevient \((x + 2)(x – 3)\).
Quelles sont les formules de factorisation a connaitre ?
Il y a quatre formules essentielles : le facteur commun (\(ka + kb = k(a+b)\)), le carré d’une somme, le carré d’une différence, et la différence de deux carrés (\(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\)). En seconde, s’ajoute la factorisation par le discriminant pour les trinômes du second degré.
Comment factoriser un polynome de degre 2 ?
On calcule le discriminant \(\Delta = b^2 – 4ac\). S’il est positif ou nul, on détermine les racines et on écrit la forme factorisée. Si le discriminant est strictement négatif, le trinôme n’a pas de racine réelle et ne se factorise pas dans les réels.
Comment savoir si ma factorisation est correcte ?
Le test le plus sûr est de redévelopper ta forme factorisée et de vérifier que tu retrouves exactement l’expression de départ. Tu peux aussi tester quelques valeurs de \(x\) (par exemple 0, 1 et -1) pour voir si les deux formes donnent les mêmes résultats.
Si, malgré ce cours, la factorisation reste un point de blocage pour toi ou pour ton enfant, un accompagnement personnalisé permet de consolider les bases et de prendre de l’avance sur le programme. Chez Excellence Maths, nous travaillons ces méthodes en profondeur, du collège à la seconde, avec des exercices ciblés sur les exigences des contrôles et du brevet.
