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Combien de podiums différents peut-on former avec 8 athlètes ? Combien de codes à 4 chiffres distincts existent ? Dès que l’ordre compte et que les éléments ne se répètent pas, tu fais un arrangement. C’est l’une des trois briques du dénombrement, avec les permutations et les combinaisons. Dans cet article, tu vas découvrir la définition précise d’un arrangement, sa formule, sa démonstration, et tu t’entraîneras sur des exercices corrigés progressifs.

📚 Tout le cours « Combinatoire et dénombrement »

I. Définition et vocabulaire

A. Définition formelle

Un arrangement, c’est simplement un choix ordonné d’éléments pris dans un ensemble, sans répétition. Prenons un exemple concret avant la définition formelle.

Situation : tu as 5 livres sur une étagère et tu veux en choisir 3 pour les ranger sur un présentoir (la place compte : gauche, milieu, droite). Chaque disposition différente est un arrangement de 3 éléments parmi 5.

Définition — Arrangement

Soit \(E\) un ensemble à \(n\) éléments et \(p\) un entier tel que \(0 \leq p \leq n\).

Un arrangement de \(p\) éléments parmi \(n\) est un \(p\)-uplet d’éléments distincts de \(E\), c’est-à-dire une liste ordonnée de \(p\) éléments de \(E\) sans répétition.

Le nombre d’arrangements de \(p\) éléments parmi \(n\) est noté \(A_n^p\) (ou parfois \(A(n, p)\)).

Les deux mots-clés à retenir sont :

  • Ordonné : l’ordre dans lequel les éléments sont choisis compte. Le tiercé (A, B, C) est différent du tiercé (B, A, C).
  • Sans répétition : chaque élément ne peut être choisi qu’une seule fois.

Exemple : Avec les lettres {A, B, C}, liste tous les arrangements de 2 lettres parmi 3.

On obtient : AB, AC, BA, BC, CA, CB — soit 6 arrangements.

Note que AB ≠ BA (l’ordre compte) et que AA n’apparaît pas (pas de répétition).

combinaison« >B. Arrangement vs combinaison : la distinction essentielle

La confusion la plus fréquente en dénombrement est de mélanger arrangement et combinaison. La différence tient en un mot : l’ordre.

Arrangement vs Combinaison
Arrangement \(A_n^p\) Combinaison \(\displaystyle{n \choose p}\)
L’ordre compte ? ✅ Oui ❌ Non
Répétition ? ❌ Non ❌ Non
Exemple type Podium, tiercé, code PIN à chiffres distincts Main de cartes, comité, sélection d’équipe
Question type « De combien de façons peut-on classer… » « De combien de façons peut-on choisir… »
Lien \(A_n^p = p! \times \displaystyle{n \choose p}\)

Astuce pour trancher : si tu intervertis deux éléments de ta sélection et que la situation change (par exemple, le 1er et le 3e sur un podium), c’est un arrangement. Si rien ne change (par exemple, deux joueurs dans une équipe), c’est une combinaison.

Pour approfondir cette distinction et savoir quelle formule utiliser dans chaque situation, consulte la fiche méthode : permutation, arrangement ou combinaison.

II. La formule des arrangements

A. Formule fondamentale

Formule — Nombre d’arrangements

Pour tout entier \(n \geq 1\) et tout entier \(p\) tel que \(0 \leq p \leq n\) :

\(A_n^p = \displaystyle\frac{n!}{(n – p)!} = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n – p + 1)\)

C’est le produit de \(p\) facteurs entiers consécutifs décroissants à partir de \(n\).

La deuxième écriture (le produit) est souvent la plus utile en pratique. Par exemple :

  • \(A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336\) (3 facteurs à partir de 8)
  • \(A_{10}^4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5\,040\) (4 facteurs à partir de 10)
  • \(A_5^1 = 5\) (1 seul facteur)
  • \(A_n^0 = 1\) (produit vide, par convention)

Exemple — Podium de course : 8 athlètes disputent une finale. Combien de podiums (or, argent, bronze) sont possibles ?

On choisit 3 athlètes parmi 8, et l’ordre compte (or ≠ argent ≠ bronze) :

\(A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336\)

Il y a 336 podiums possibles.

B. Cas particuliers importants

Cas particuliers de A(n,p)
Valeur de \(p\) Formule Interprétation
\(p = 0\) \(A_n^0 = 1\) Ne rien choisir : une seule façon (la liste vide)
\(p = 1\) \(A_n^1 = n\) Choisir un seul élément : \(n\) possibilités
\(p = n\) \(A_n^n = n!\) Ranger tous les éléments = permutation

Lien fondamental : une permutation est un arrangement de \(n\) parmi \(n\). Autrement dit, \(A_n^n = n!\). Si tu maîtrises les arrangements, tu maîtrises aussi les permutations comme cas particulier.

C. Lien avec les combinaisons

Un arrangement de \(p\) éléments parmi \(n\), c’est un choix de \(p\) éléments (une combinaison) suivi d’un rangement de ces \(p\) éléments (une permutation). D’où la relation fondamentale :

\(A_n^p = p! \times \displaystyle{n \choose p}\)

Et donc, en inversant :

\(\displaystyle{n \choose p} = \displaystyle\frac{A_n^p}{p!} = \displaystyle\frac{n!}{p!(n-p)!}\)

C’est cette relation qui permet de retrouver la formule du coefficient binomial à partir de celle des arrangements.

🎁 EN BONUS

Fiche de révision — Arrangements, combinaisons et permutations

Toutes les formules, les cas particuliers et l’arbre de décision « quel outil utiliser ? » résumés en une seule page.

📄 Télécharger la fiche PDF

Pour réviser efficacement avant un contrôle ou un concours.

III. Démonstration de la formule

A. Par le principe multiplicatif (au programme de Terminale)

La démonstration est naturelle : on construit le \(p\)-uplet position par position.

Démonstration au programme

On veut former une liste ordonnée de \(p\) éléments distincts parmi \(n\).

  • Position 1 : on a \(n\) choix possibles.
  • Position 2 : l’élément en position 1 est utilisé, il reste \(n – 1\) choix.
  • Position 3 : il reste \(n – 2\) choix.
  • \(\vdots\)
  • Position \(p\) : il reste \(n – (p – 1) = n – p + 1\) choix.

Par le principe multiplicatif, le nombre total de \(p\)-uplets est :

\(A_n^p = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-p+1)\)

Ce produit comporte exactement \(p\) facteurs. En le réécrivant avec les factorielles :

\(A_n^p = \displaystyle\frac{n!}{(n-p)!}\)

car \(n \times (n-1) \times \cdots \times (n-p+1) = \displaystyle\frac{n!}{(n-p)!}\) (on « coupe » la factorielle à \((n-p)!\)). ∎

Arbre de dénombrement illustrant la construction d'un arrangement de 2 parmi 3 éléments {A, B, C}. L'arbre a 3 branches

Vérification numérique : avec \(n = 5\) et \(p = 3\) :

\(A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60 \qquad \text{et} \qquad \displaystyle\frac{5!}{(5-3)!} = \displaystyle\frac{120}{2} = 60 \quad \text{✓}\)

B. 🟡 Par récurrence (approfondissement Prépa)

En CPGE, on peut formaliser la formule par récurrence sur \(p\).

Démonstration par récurrence sur \(p\)

Initialisation : pour \(p = 0\), \(A_n^0 = 1 = \displaystyle\frac{n!}{n!}\). ✓

Hérédité : supposons \(A_n^p = \displaystyle\frac{n!}{(n-p)!}\) pour un certain \(p\) tel que \(0 \leq p\) < \(n\).

Pour construire un \((p+1)\)-uplet d’éléments distincts, on part d’un arrangement de \(p\) éléments parmi \(n\), puis on ajoute un \((p+1)\)-ième élément parmi les \(n – p\) restants. D’où :

\(A_n^{p+1} = A_n^p \times (n – p) = \displaystyle\frac{n!}{(n-p)!} \times (n-p) = \displaystyle\frac{n!}{(n-p-1)!}\)

ce qui est bien la formule au rang \(p + 1\). ∎

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IV. Exemples classiques résolus

Voici les situations types où l’on reconnaît un arrangement. Dans chaque cas, on vérifie les deux critères : l’ordre compte et pas de répétition.

Exemple 1 — Le tiercé 🔵 Lycée

Une course comporte 12 chevaux. Combien de tiercés (1er, 2e, 3e) sont possibles ?

Analyse : on choisit 3 chevaux parmi 12, l’ordre compte (1er ≠ 2e ≠ 3e), pas de répétition.

\(A_{12}^3 = 12 \times 11 \times 10 = 1\,320\)

Exemple 2 — Code à chiffres distincts 🔵 Lycée

Combien de codes à 4 chiffres peut-on former avec les chiffres 0 à 9, si tous les chiffres doivent être différents ?

Analyse : on choisit 4 chiffres parmi 10, l’ordre compte (le code 1234 ≠ 4321), pas de répétition.

\(A_{10}^4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5\,040\)

Exemple 3 — Places dans une file 🔵 Lycée

Dans un groupe de 20 élèves, on doit désigner un président, un vice-président et un secrétaire. Combien de possibilités ?

Analyse : 3 rôles distincts à attribuer parmi 20 personnes → arrangement.

\(A_{20}^3 = 20 \times 19 \times 18 = 6\,840\)

Exemple 4 — Problème avec dénombrement composé 🟡 Avancé

On veut former un mot de 5 lettres (avec ou sans sens) à partir de l’alphabet de 26 lettres, sans répétition, et tel que la première lettre soit une voyelle (A, E, I, O, U, Y).

Analyse :

  • Étape 1 : choisir la première lettre parmi les 6 voyelles → 6 choix.
  • Étape 2 : compléter les 4 positions restantes avec 4 lettres distinctes parmi les 25 restantes → \(A_{25}^4 = 25 \times 24 \times 23 \times 22 = 303\,600\).

Par le principe multiplicatif :

\(6 \times 303\,600 = 1\,821\,600\)

Piège classique : dans l’exemple 4, ne pas oublier qu’après avoir choisi la voyelle, il ne reste que 25 lettres (pas 26). Oublier de retirer l’élément déjà utilisé est l’erreur n°1 en dénombrement.

V. 🔴 Arrangements avec répétition (Prépa)

En classe préparatoire, on distingue les arrangements sans répétition (ceux vus jusqu’ici) des arrangements avec répétition, où un même élément peut être choisi plusieurs fois.

Définition — Arrangement avec répétition

Un arrangement avec répétition de \(p\) éléments parmi \(n\) est un \(p\)-uplet d’éléments de \(E\) (pas nécessairement distincts). Le nombre de tels arrangements est :

\(n^p\)

Justification : pour chaque position du \(p\)-uplet, on a \(n\) choix indépendants. Par le principe multiplicatif : \(\underbrace{n \times n \times \cdots \times n}_{p \text{ fois}} = n^p\).

Exemple — Code PIN classique : un code à 4 chiffres (de 0 à 9) avec répétition autorisée.

\(10^4 = 10\,000 \text{ codes possibles}\)

Compare avec le cas sans répétition : \(A_{10}^4 = 5\,040\). La répétition multiplie presque par 2 le nombre de possibilités !

Avec ou sans répétition ?
Sans répétition Avec répétition
Formule \(A_n^p = \displaystyle\frac{n!}{(n-p)!}\) \(n^p\)
Condition \(p \leq n\) Aucune (on peut avoir \(p\) > \(n\))
Exemple Code à chiffres tous distincts Code PIN standard

VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Voici les trois erreurs les plus courantes sur les arrangements, avec à chaque fois la copie fautive, le diagnostic et la correction.

A. Confondre arrangement et combinaison

❌ Copie fautive : « On veut former un podium de 3 coureurs parmi 10. Le nombre de podiums est \(\displaystyle{10 \choose 3} = 120\). »

🔍 Diagnostic : l’élève a utilisé la combinaison au lieu de l’arrangement. Or un podium est ordonné : la médaille d’or n’est pas interchangeable avec celle de bronze.

✅ Correction : \(A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720\) podiums.

Vérification : \(A_{10}^3 = 3! \times \displaystyle{10 \choose 3} = 6 \times 120 = 720\) ✓

B. Se tromper sur le premier ou le dernier facteur du produit

❌ Copie fautive : « \(A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1\,680\) »

🔍 Diagnostic : l’élève a écrit 4 facteurs au lieu de 3. La règle est : on écrit exactement \(p\) facteurs, en partant de \(n\) et en descendant de 1 en 1.

✅ Correction : \(A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336\) (3 facteurs, le dernier est \(8 – 3 + 1 = 6\)).

C. Appliquer la formule sans répétition quand la répétition est autorisée

❌ Copie fautive : « Un mot de passe de 4 caractères parmi 26 lettres : \(A_{26}^4 = 26 \times 25 \times 24 \times 23 = 358\,800\). »

🔍 Diagnostic : rien dans l’énoncé n’interdit de répéter une lettre (le mot de passe « ABBA » est valide). Il fallait utiliser un arrangement avec répétition.

✅ Correction : \(26^4 = 456\,976\) mots de passe.

Réflexe : toujours vérifier dans l’énoncé si la répétition est autorisée ou non.

VII. Exercices corrigés

Entraîne-toi sur ces 6 exercices classés par difficulté croissante. Chaque correction est détaillée pas à pas. Pour t’exercer davantage, retrouve la page complète d’exercices corrigés de dénombrement.

Exercice 1 — Classement partiel ★

Énoncé : Dans une classe de 30 élèves, on veut attribuer les prix de 1er, 2e et 3e en mathématiques. Combien de palmarès sont possibles ?

Voir la correction

On choisit 3 élèves parmi 30 avec un ordre (1er ≠ 2e ≠ 3e) et sans répétition.

\(A_{30}^3 = 30 \times 29 \times 28 = 24\,360\)

Il y a 24 360 palmarès possibles.

Exercice 2 — Plaques d’immatriculation ★

Énoncé : Une plaque d’immatriculation est formée de 3 lettres distinctes suivies de 2 chiffres distincts. Combien de plaques différentes peut-on former ? (26 lettres, 10 chiffres.)

Voir la correction

Les 3 lettres forment un arrangement de 3 parmi 26 : \(A_{26}^3 = 26 \times 25 \times 24 = 15\,600\).

Les 2 chiffres forment un arrangement de 2 parmi 10 : \(A_{10}^2 = 10 \times 9 = 90\).

Par le principe multiplicatif :

\(15\,600 \times 90 = 1\,404\,000\)

Il y a 1 404 000 plaques possibles.

Exercice 3 — Contrainte de position ★★

Énoncé : Combien de mots de 4 lettres distinctes peut-on former avec les 26 lettres de l’alphabet, sachant que le mot doit commencer et finir par une voyelle (A, E, I, O, U, Y) ?

Voir la correction

Étape 1 : choisir la 1re lettre (voyelle) : 6 choix.

Étape 2 : choisir la 4e lettre (voyelle, différente de la 1re) : 5 choix.

Étape 3 : choisir les 2e et 3e lettres parmi les 24 lettres restantes, dans l’ordre : \(A_{24}^2 = 24 \times 23 = 552\).

Par le principe multiplicatif :

\(6 \times 5 \times 552 = 16\,560\)

Exercice 4 — Lien arrangement-combinaison ★★

Énoncé : On sait que \(\displaystyle{12 \choose 4} = 495\). En déduire la valeur de \(A_{12}^4\).

Voir la correction

On utilise la relation fondamentale :

\(A_{12}^4 = 4! \times \displaystyle{12 \choose 4} = 24 \times 495 = 11\,880\)

Vérification : \(12 \times 11 \times 10 \times 9 = 11\,880\) ✓

Exercice 5 — Raisonnement combinatoire ★★

Énoncé : Un directeur doit choisir parmi 15 candidats un poste de responsable marketing, un poste de responsable financier et un poste de responsable technique. Deux contraintes : le candidat A ne peut occuper que le poste marketing, et le candidat B refuse le poste technique. Combien de nominations sont possibles ?

Voir la correction

Méthode : on sépare en deux cas disjoints selon que A est choisi ou non.

Cas 1 : A est choisi (forcément marketing).

  • Marketing : A (fixé).
  • Financier : 13 candidats possibles (les 15 moins A et moins le futur choix technique, mais attention, les choix sont séquentiels). En fait, il reste 14 candidats pour le financier. Parmi eux, B est autorisé au financier.
  • Technique : il reste 13 candidats, mais B ne peut pas être technique. Si B a été choisi financier, il reste 13 pour technique. Si B n’a pas été choisi financier, il reste 13 candidats mais on exclut B → 12.

Comptons plus efficacement. A est marketing. Il reste 14 candidats pour 2 postes ordonnés (financier, technique) avec la contrainte que B ne peut pas être technique.

Total sans contrainte sur B : \(A_{14}^2 = 14 \times 13 = 182\).

Cas interdit : B est technique → financier parmi les 13 restants (hors A et B) → 13 cas interdits.

Cas 1 : \(182 – 13 = 169\).

Cas 2 : A n’est pas choisi.

14 candidats restants pour 3 postes ordonnés, avec B ≠ technique.

Total sans contrainte : \(A_{14}^3 = 14 \times 13 \times 12 = 2\,184\).

Cas interdit : B est technique. Marketing et financier parmi les 13 restants : \(A_{13}^2 = 13 \times 12 = 156\).

Cas 2 : \(2\,184 – 156 = 2\,028\).

Total : \(169 + 2\,028 = \boldsymbol{2\,197}\) nominations possibles.

Exercice 6 — 🟠 Type concours ★★★

Énoncé : Soit \(E = \{1, 2, \ldots, n\}\) avec \(n \geq 3\). Déterminer le nombre de \(p\)-uplets \((x_1, x_2, \ldots, x_p)\) d’éléments distincts de \(E\) tels que \(x_1\) < \(x_2\) et \(x_{p-1}\) < \(x_p\) (les autres positions n’ont pas de contrainte d’ordre).

Voir la correction

Idée clé : on utilise le lien entre arrangements et combinaisons en « fixant » l’ordre sur certaines positions.

Sans contrainte, le nombre de \(p\)-uplets d’éléments distincts est \(A_n^p\).

Les deux contraintes \(x_1\) < \(x_2\) et \(x_{p-1}\) < \(x_p\) agissent sur deux paires de positions. Pour la paire \((x_1, x_2)\), la moitié des arrangements vérifie \(x_1\) < \(x_2\) et l’autre moitié \(x_1\) > \(x_2\) (l’égalité est impossible puisque les éléments sont distincts). Même chose pour \((x_{p-1}, x_p)\).

Attention : si \(p \geq 4\), les deux paires sont disjointes et les contraintes sont indépendantes. On divise par \(2 \times 2 = 4\) :

\(\displaystyle\frac{A_n^p}{4}\)

Cas \(p = 3\) : les paires se chevauchent (\(x_1\) < \(x_2\) et \(x_2\) < \(x_3\) imposent \(x_1\) < \(x_2\) < \(x_3\)). L’ensemble \(\{x_1, x_2, x_3\}\) est entièrement déterminé par le choix non ordonné de 3 éléments (un seul classement vérifie la contrainte). Le résultat est \(\displaystyle{n \choose 3}\).

Cas \(p = 2\) : la seule contrainte est \(x_1\) < \(x_2\), donc le résultat est \(\displaystyle{n \choose 2}\).

Pour approfondir avec d’autres exercices progressifs, consulte la page d’exercices corrigés de dénombrement (Terminale + Prépa).

VIII. Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un arrangement en maths ?

Un arrangement de \(p\) éléments parmi \(n\) est une liste ordonnée de \(p\) éléments distincts choisis dans un ensemble de \(n\) éléments. Par exemple, les tiercés dans une course hippique sont des arrangements : l’ordre des trois premiers chevaux compte, et un même cheval ne peut pas arriver deux fois sur le podium.

Quelle est la formule de l'arrangement A(n,p) ?

La formule est \(A_n^p = \displaystyle\frac{n!}{(n-p)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-p+1)\). En pratique, on écrit \(p\) facteurs consécutifs décroissants à partir de \(n\). Par exemple, \(A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336\).

Quelle est la différence entre arrangement et combinaison ?

La seule différence est l’ordre. Dans un arrangement, l’ordre des éléments choisis compte (le tiercé ABC ≠ BAC). Dans une combinaison, l’ordre ne compte pas (l’ensemble {A, B, C} = {B, A, C}). On a la relation \(A_n^p = p! \times \displaystyle{n \choose p}\), ce qui signifie qu’un arrangement contient \(p!\) fois plus de possibilités qu’une combinaison.

Une permutation est le cas particulier d’un arrangement où \(p = n\) : on range tous les éléments de l’ensemble. La formule devient \(A_n^n = n!\). Par exemple, les anagrammes d’un mot de 5 lettres distinctes sont les \(5! = 120\) permutations de ces lettres.

Comment calculer un arrangement sans calculatrice ?

Utilise la formule produit : écris \(p\) facteurs consécutifs en partant de \(n\). Par exemple, \(A_7^3 = 7 \times 6 \times 5 = 210\). Astuce : commence par le plus grand facteur, c’est plus facile à multiplier mentalement (7 × 6 = 42, puis 42 × 5 = 210).

Quand utiliser un arrangement avec répétition ?

Un arrangement avec répétition (formule \(n^p\)) s’utilise quand l’ordre compte et qu’un même élément peut être choisi plusieurs fois. Exemple typique : le nombre de codes PIN à 4 chiffres (de 0 à 9) est \(10^4 = 10\,000\), car le code 1111 est valide. Si la répétition est interdite, on utilise \(A_n^p\).

IX. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant la notion d’arrangement, sa formule et ses applications. Voici les prochaines étapes pour consolider tes compétences en dénombrement :

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