Exercices Suites Géométriques 1ère Corrigés (PDF)

Énoncé. On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 3\) et \(q = 2\). Déterminer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_5\).

Solution.

On utilise \(u_n = u_0 q^n\) :

• \(u_1 = 3 \times 2^1 = 6\)
• \(u_2 = 3 \times 2^2 = 12\)
• \(u_5 = 3 \times 2^5 = 3 \times 32 = 96\)

Énoncé. On sait que \(u_1 = 5\) et \(q = \displaystyle\frac{1}{2}\). Déterminer \(u_4\) et \(u_8\).

Solution.

Ici, \(u_n = u_1 q^{n-1}\) :

• \(u_4 = 5 \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{3} = 5 \times \displaystyle\frac{1}{8} = \displaystyle\frac{5}{8}\)
• \(u_8 = 5 \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{7} = 5 \times \displaystyle\frac{1}{128} = \displaystyle\frac{5}{128}\)

Énoncé. On sait que \(u_2 = 18\) et \(u_5 = 486\). Déterminer la raison \(q\).

Solution.

On utilise \(\displaystyle\frac{u_5}{u_2} = q^{5-2} = q^3\).

Donc \(q^3 = \displaystyle\frac{486}{18} = 27\), d’où \(q = 3\).

Énoncé. On observe les nombres : \(81, 27, 9, 3, \dots\). Montrer qu’il s’agit d’une suite géométrique et donner \(q\).

Solution.

On calcule le quotient de deux termes consécutifs :

\(\displaystyle\frac{27}{81} = \displaystyle\frac{1}{3}\), puis \(\displaystyle\frac{9}{27} = \displaystyle\frac{1}{3}\).

Le quotient est constant, donc la suite est géométrique de raison \(q = \displaystyle\frac{1}{3}\).

Énoncé. On définit \(u_n = \displaystyle\frac{5}{2^n}\). Montrer que \((u_n)\) est géométrique et préciser \(q\).

Solution.

On écrit \(u_n = 5 \times \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^n\).

Donc \((u_n)\) est géométrique de raison \(q = \displaystyle\frac{1}{2}\), et \(u_0 = 5\).

Énoncé. On a \(u_0 = 12\) et pour tout \(n\), \(u_{n+1} = 1{,}5 \, u_n\). Montrer que \((u_n)\) est géométrique et identifier \(q\).

Solution.

La relation est déjà sous la forme \(u_{n+1} = q \, u_n\). Donc \((u_n)\) est géométrique de raison \(q = 1{,}5\).

Énoncé. Suite géométrique telle que \(u_1 = 4\) et \(q = 3\). Donner \(u_n\) en fonction de \(n\).

Solution.

Comme le premier terme donné est \(u_1\) :

\(u_n = u_1 q^{n-1} = 4 \times 3^{n-1}\)

Énoncé. On connaît \(u_0 = 7\) et \(u_4 = 112\). Déterminer \(q\).

Solution.

On a \(u_4 = u_0 q^4\), donc \(112 = 7q^4\) et \(q^4 = 16\).

Ainsi \(q = 2\) ou \(q = -2\).

Remarque. Sans autre information (signes des termes), les deux valeurs sont possibles.

Énoncé. On sait que \(u_3 = 16\) et \(q = 2\). Donner \(u_n\) en fonction de \(n\).

Solution.

On part de \(u_3\) :

\(u_n = u_3 q^{n-3} = 16 \times 2^{n-3}\)

Énoncé. On a \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = 0{,}8 \, u_n\). Conjecturer une expression de \(u_n\) puis la démontrer par récurrence.

Solution.

Conjecture. Comme \(u_{n+1} = q \, u_n\) avec \(q = 0{,}8\), on propose \(u_n = 5 \times 0{,}8^n\).

Initialisation. Pour \(n = 0\) : \(u_0 = 5 \times 0{,}8^0 = 5\) (vrai).

Hérédité. Supposons \(u_n = 5 \times 0{,}8^n\). Alors \(u_{n+1} = 0{,}8 u_n = 0{,}8 \times 5 \times 0{,}8^n = 5 \times 0{,}8^{n+1}\).

Donc la formule est vraie pour tout \(n\).

Énoncé. Déterminer \(S = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10}\).

Solution.

C’est une somme géométrique de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(q = 2\), avec \(11\) termes (de \(2^0\) à \(2^{10}\)).

\(S = 1 \cdot \displaystyle\frac{1 – 2^{11}}{1 – 2} = 2^{11} – 1 = 2\,048 – 1 = 2\,047\)

Énoncé. On a \(u_0 = 5\) et \(q = 3\). Déterminer \(S_4 = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4\).

Solution.

Ici \(n = 4\). Donc \(S_4 = 5 \displaystyle\frac{1 – 3^{5}}{1 – 3}\).

Or \(3^5 = 243\), donc \(S_4 = 5 \cdot \displaystyle\frac{1 – 243}{-2} = 5 \cdot \displaystyle\frac{242}{2} = 5 \cdot 121 = 605\).

Énoncé. \(u_n = 3\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^n\). Déterminer \(u_3 + u_4 + \dots + u_8\).

Solution.

On somme de \(n = 3\) à \(n = 8\) : il y a \(8 – 3 + 1 = 6\) termes.

Premier terme de la somme : \(u_3 = 3\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3 = \displaystyle\frac{3}{8}\). Raison \(q = \displaystyle\frac{1}{2}\).

\(u_3 + \dots + u_8 = u_3 \displaystyle\frac{1 – q^{6}}{1 – q} = \displaystyle\frac{3}{8} \cdot \displaystyle\frac{1 – \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^6}{1 – \displaystyle\frac{1}{2}}\)

Or \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^6 = \displaystyle\frac{1}{64}\), donc \(= \displaystyle\frac{3}{8} \cdot \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{63}{64}}{\displaystyle\frac{1}{2}} = \displaystyle\frac{3}{8} \cdot \displaystyle\frac{63}{64} \cdot 2 = \displaystyle\frac{3 \times 63}{256} = \displaystyle\frac{189}{256}\).

Énoncé. \(u_0 = 1\,000\) et \(q = 1{,}05\). Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\) > \(2\,000\).

Solution.

On a \(u_n = 1\,000 \times 1{,}05^n\). On cherche \(1\,000 \times 1{,}05^n\) > \(2\,000\), soit \(1{,}05^n\) > \(2\).

En prenant le logarithme : \(n \ln(1{,}05)\) > \(\ln 2\), donc \(n\) > \(\displaystyle\frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)}\).

Numériquement, \(\ln 2 \approx 0{,}693\) et \(\ln(1{,}05) \approx 0{,}04879\), donc \(\displaystyle\frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}2\).

Le plus petit entier qui convient est \(n = 15\).

Énoncé. \(u_0 = 500\) et \(q = 0{,}9\). Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\) < \(100\).

Solution.

\(u_n = 500 \times 0{,}9^n\). On cherche \(500 \times 0{,}9^n\) < \(100\), donc \(0{,}9^n\) < \(0{,}2\).

On prend le logarithme : \(n \ln(0{,}9)\) < \(\ln(0{,}2)\).

Attention : \(\ln(0{,}9)\) est négatif, donc le sens de l’inégalité s’inverse en divisant :

\(n\) > \(\displaystyle\frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}9)}\)

Numériquement, \(\ln(0{,}2) \approx -1{,}609\) et \(\ln(0{,}9) \approx -0{,}1053\), donc \(\displaystyle\frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}9)} \approx 15{,}3\).

Le plus petit entier qui convient est \(n = 16\).

Énoncé. Un capital de \(1\,200\) € est placé à \(3\%\) par an (intérêts composés). On note \(C_n\) le capital au bout de \(n\) ans.

1) Donner \(C_n\). 2) Déterminer \(C_{10}\) (arrondi à l’euro).

Solution.

À chaque année, on multiplie par \(1{,}03\) : c’est une suite géométrique de raison \(q = 1{,}03\).

Donc \(C_n = 1\,200 \times 1{,}03^n\).

\(C_{10} = 1\,200 \times 1{,}03^{10}\). Numériquement, \(1{,}03^{10} \approx 1{,}3439\).

Ainsi \(C_{10} \approx 1\,200 \times 1{,}3439 \approx 1\,613\) €.

Énoncé. Un effectif de bactéries augmente de \(12\%\) toutes les heures. Il vaut \(P_0 = 8\,000\) au départ.

1) Donner \(P_n\) après \(n\) heures. 2) Après combien d’heures dépasse-t-il \(20\,000\) ?

Solution.

Raison \(q = 1{,}12\), donc \(P_n = 8\,000 \times 1{,}12^n\).

On cherche \(8\,000 \times 1{,}12^n\) > \(20\,000\), soit \(1{,}12^n\) > \(2{,}5\).

Logarithme : \(n\) > \(\displaystyle\frac{\ln(2{,}5)}{\ln(1{,}12)}\).

Numériquement, \(\ln(2{,}5) \approx 0{,}916\), \(\ln(1{,}12) \approx 0{,}113\), donc \(n\) > \(8{,}1\).

Conclusion : au bout de 9 heures, l’effectif dépasse \(20\,000\).

Énoncé. Un loyer annuel vaut \(9\,000\) € la première année et augmente de \(2\%\) par an.

1) Donner le loyer de la \(n\)-ième année. 2) Déterminer le total des loyers versés pendant 5 ans.

Solution.

Premier terme \(L_1 = 9\,000\) et raison \(q = 1{,}02\). Donc \(L_n = 9\,000 \times 1{,}02^{n-1}\).

Total sur 5 ans : \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 + L_5\). C’est une somme géométrique de 5 termes :

\(S = 9\,000 \displaystyle\frac{1 – 1{,}02^{5}}{1 – 1{,}02}\)

Numériquement, \(1{,}02^5 \approx 1{,}1041\). Donc

\(S \approx 9\,000 \cdot \displaystyle\frac{1 – 1{,}1041}{-0{,}02} = 9\,000 \cdot \displaystyle\frac{0{,}1041}{0{,}02} = 9\,000 \cdot 5{,}205 \approx 46\,845\) €.

Énoncé. On considère une suite géométrique de raison \(q = 1{,}08\) et de premier terme \(u_0 = 50\). Dans un tableur, saisis \(u_0\) en cellule A2, puis remplis jusqu’à \(u_{12}\). Trace le graphique des points \((n, u_n)\). Que constates-tu ?

Solution.

On saisit en A3 la formule =A2*1,08 puis on tire vers le bas. Les points montent de plus en plus vite : c’est la croissance exponentielle, typique quand \(q\) > \(1\).

Énoncé. On observe les données :

\(u_0 = 120\), \(u_1 = 96\), \(u_2 = 76{,}8\), \(u_3 = 61{,}44\).

1) Conjecturer un modèle géométrique. 2) Déterminer \(q\). 3) Donner \(u_n\).

Solution.

On calcule les quotients :

\(\displaystyle\frac{u_1}{u_0} = \displaystyle\frac{96}{120} = 0{,}8\) et \(\displaystyle\frac{u_2}{u_1} = \displaystyle\frac{76{,}8}{96} = 0{,}8\)

Le quotient est constant : la suite est géométrique de raison \(q = 0{,}8\).

\(u_n = 120 \times 0{,}8^n\)

Énoncé. Une entreprise propose un abonnement dont le prix est de \(20\) € la première année. Chaque année, le prix augmente de \(4\%\). On note \(p_n\) le prix (en euros) la \(n\)-ième année, avec \(p_1 = 20\).

1) Montrer que \((p_n)\) est une suite géométrique et préciser la raison.

2) Donner \(p_n\) en fonction de \(n\).

3) Déterminer le prix à la 8ᵉ année (arrondi au centime).

Corrigé.

Chaque année, on multiplie par \(1{,}04\) : \(p_{n+1} = 1{,}04 \, p_n\). Donc \((p_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = 1{,}04\).

Comme \(p_1\) est donné : \(p_n = p_1 \, q^{n-1} = 20 \times 1{,}04^{n-1}\).

\(p_8 = 20 \times 1{,}04^{7}\). Numériquement, \(1{,}04^{7} \approx 1{,}316\), donc \(p_8 \approx 20 \times 1{,}316 = 26{,}32\) €.

Énoncé. Une personne épargne \(150\) € le premier mois, puis augmente son épargne mensuelle de \(2\%\) chaque mois. On note \(e_n\) l’épargne du \(n\)-ième mois, avec \(e_1 = 150\).

1) Exprimer \(e_n\) en fonction de \(n\).

2) Calculer le total épargné pendant 12 mois.

3) À partir de quel mois l’épargne mensuelle dépasse-t-elle \(200\) € ?

Corrigé.

Raison \(q = 1{,}02\) : \(e_n = 150 \times 1{,}02^{n-1}\).

Somme de 12 termes : \(S = e_1 \cdot \displaystyle\frac{1 – 1{,}02^{12}}{1 – 1{,}02}\).

Numériquement : \(1{,}02^{12} \approx 1{,}268\), donc \(S \approx 150 \cdot \displaystyle\frac{1 – 1{,}268}{-0{,}02} = 150 \cdot \displaystyle\frac{0{,}268}{0{,}02} = 150 \cdot 13{,}4 = 2\,010\) €.

On cherche \(e_n\) > \(200\) : \(150 \times 1{,}02^{n-1}\) > \(200\), soit \(1{,}02^{n-1}\) > \(\displaystyle\frac{4}{3}\).

Logarithme : \((n-1) \ln(1{,}02)\) > \(\ln\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)\), donc \(n – 1\) > \(\displaystyle\frac{\ln\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)}{\ln(1{,}02)}\).

Numériquement : \(\ln\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right) \approx 0{,}288\) et \(\ln(1{,}02) \approx 0{,}0198\), donc \(n – 1\) > \(14{,}5\).

Conclusion : à partir du 16ᵉ mois, l’épargne mensuelle dépasse \(200\) €.

Énoncé. Chaque début d’année, une personne place \(500\) € sur un compte rémunéré à \(4\%\) annuel (intérêts composés). On note \(V_n\) le capital total juste après le \(n\)-ième versement.

1) Exprimer \(V_n\) en fonction de \(n\).

2) Calculer \(V_{10}\) (arrondi à l’euro).

Corrigé.

Le 1ᵉʳ versement capitalise \(n – 1\) années, le 2ᵉ capitalise \(n – 2\) années, …, le \(n\)-ième capitalise 0 année.

\(V_n = 500 (1{,}04^{n-1} + 1{,}04^{n-2} + \cdots + 1{,}04^0)\)

On reconnaît une somme géométrique de \(n\) termes avec \(q = 1{,}04\) :

\(V_n = 500 \cdot \displaystyle\frac{1 – 1{,}04^{n}}{1 – 1{,}04} = 500 \cdot \displaystyle\frac{1{,}04^{n} – 1}{0{,}04}\)

Pour \(n = 10\) : \(1{,}04^{10} \approx 1{,}4802\), donc

\(V_{10} \approx 500 \cdot \displaystyle\frac{1{,}4802 – 1}{0{,}04} = 500 \cdot \displaystyle\frac{0{,}4802}{0{,}04} = 500 \cdot 12{,}006 \approx 6\,003\) €.

Calcule le quotient \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\) (si \(u_n \ne 0\)). S’il est constant, c’est la raison \(q\). Avec deux termes non consécutifs \(u_a\) et \(u_b\), utilise \(\displaystyle\frac{u_b}{u_a} = q^{b-a}\).

• Si le premier terme est \(u_0\) : \(u_n = u_0 \, q^n\)
• Si le premier terme est \(u_1\) : \(u_n = u_1 \, q^{n-1}\)
• Si on connaît \(u_k\) : \(u_n = u_k \, q^{n-k}\)

Vérifie toujours le décalage : pour passer de l’indice \(a\) à l’indice \(b\), l’exposant de \(q\) est \(b – a\). Contrôle ensuite en calculant deux quotients successifs.

Une hausse de \(t\%\) par période revient à multiplier par \(q = 1 + \displaystyle\frac{t}{100}\). Exemples : +3 % → \(q = 1{,}03\), −15 % → \(q = 0{,}85\).