Les suites arithmétiques sont une notion essentielle du programme de Première et Terminale. Ce cours complet te donne toutes les clés pour les maîtriser : définition, raison, terme général, formules de somme, sens de variation et limites. Retrouve ci-dessous les pages dédiées pour approfondir chaque aspect et t’entraîner.

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Comprendre facilement les suites arithmétiques

Pour réussir en mathématiques, il est essentiel de comprendre précisément ce qu’est une suite arithmétique, comment elle se construit et comment l’identifier clairement dans un exercice ou un contrôle.

Définition claire et intuitive d’une suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours la même valeur constante. Cette valeur constante est appelée raison de la suite et est notée généralement par la lettre \(r\).

Définition — Suite arithmétique

Une suite \((u_n)\) est arithmétique s’il existe un réel \(r\) tel que, pour tout entier naturel \(n\) :

\(u_{n+1} = u_n + r\)

Le réel \(r\) est appelé raison de la suite.

Exemple : soit une suite définie par \(u_0 = 3\) et \(r = 4\).

On obtient les premiers termes en ajoutant 4 à chaque fois :

\(u_1 = 3 + 4 = 7\), \(u_2 = 7 + 4 = 11\), \(u_3 = 11 + 4 = 15\)

Identifier la raison d’une suite arithmétique

Pour reconnaître une suite arithmétique, on vérifie que la différence entre deux termes consécutifs est constante.

Test express : calcule \(u_{n+1} – u_n\). Si cette différence vaut toujours la même chose (quel que soit \(n\)), alors la suite est arithmétique, et cette constante est la raison \(r\).

Exemple : pour la suite définie par \(u_n = 3n + 5\), on vérifie :

\(u_{n+1} – u_n = 3(n+1) + 5 – (3n + 5) = 3\)

La raison constante est donc \(r = 3\).

Pour une méthode complète selon les données de l’énoncé (deux termes, graphique, somme…) + exercices corrigés, voir la page dédiée :
→ Raison d’une suite arithmétique : trouver r et démontrer (4 méthodes)

Suite arithmétique ou suite géométrique ?

La confusion entre suites arithmétiques (on ajoute une constante \(r\)) et suites géométriques (on multiplie par une constante \(q\)) est l’une des erreurs les plus fréquentes au lycée. Pour ne plus jamais confondre, retrouve le tableau comparatif complet, la méthode de reconnaissance en 2 étapes et des mini-exercices sur la page dédiée :
→ Suite arithmétique et géométrique : comparatif + exercices



Formules des suites arithmétiques : récapitulatif complet

Maîtriser clairement les formules clés des suites arithmétiques est indispensable pour réussir tes exercices, contrôles et examens. Voici le tableau récapitulatif à connaître absolument.

Tableau de toutes les formules

Formules des suites arithmétiques
Formule Expression Quand l’utiliser
Récurrence \(u_{n+1} = u_n + r\) Définition même de la suite ; calculer le terme suivant
Terme général (depuis \(u_0\)) \(u_n = u_0 + n \times r\) Calculer directement n’importe quel terme
Terme général (depuis \(u_1\)) \(u_n = u_1 + (n – 1) \times r\) Si le premier terme donné est \(u_1\)
Somme (depuis \(u_0\)) \(\displaystyle S = (n+1) \times \displaystyle\frac{u_0 + u_n}{2}\) \(n+1\) termes, de \(u_0\) à \(u_n\)
Somme (depuis \(u_1\)) \(\displaystyle S = n \times \displaystyle\frac{u_1 + u_n}{2}\) \(n\) termes, de \(u_1\) à \(u_n\)
Nombre de termes De \(u_p\) à \(u_q\) : \(q – p + 1\) termes Piège classique : ne pas oublier le +1

Terme général d’une suite arithmétique

Pour toute suite arithmétique \((u_n)\) définie par son premier terme \(u_0\) (ou parfois \(u_1\)) et sa raison constante \(r\), la formule explicite à connaître est :

Terme général

\(u_n = u_0 + n \times r\) (si le premier terme est \(u_0\))

\(u_n = u_1 + (n – 1) \times r\) (si le premier terme est \(u_1\))

Exemple : soit une suite définie par \(u_0 = 4\) et \(r = 5\).

Le terme général est : \(u_n = 4 + 5n\)

Ainsi : \(u_6 = 4 + 5 \times 6 = 34\)

Erreur classique : confondre les formules selon l’indice du premier terme. Si le premier terme est \(u_0\), utilise \(u_n = u_0 + nr\). Si c’est \(u_1\), utilise \(u_n = u_1 + (n-1)r\). Vérifie toujours quel est le premier indice donné dans l’énoncé.

Somme des termes d’une suite arithmétique

La somme des termes d’une suite arithmétique se calcule grâce à une formule simple : on multiplie le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier terme. La méthode complète (comptage des termes, somme de \(u_p\) à \(u_q\), notation \(\sum\), pièges à éviter) est détaillée sur la page dédiée :
→ Somme d’une suite arithmétique : méthode pas à pas et exercices corrigés

Comment appliquer ces formules sans erreur ?

Deux réflexes en contrôle :

  • Pour le terme général : vérifie toujours l’indice du premier terme pour ne pas confondre les formules (\(u_0\) vs \(u_1\)).
  • Pour la somme : note clairement combien de termes tu dois sommer. La plupart des erreurs proviennent d’une confusion sur le nombre de termes (pense à la formule \(q – p + 1\)).






Sens de variation et limites des suites arithmétiques

Bien comprendre une suite arithmétique, c’est aussi maîtriser son sens de variation et déterminer précisément sa limite. Voici les règles et méthodes à connaître pour réussir ces questions au Bac.

Règles pour déterminer le sens de variation

Le sens de variation d’une suite arithmétique dépend directement de la valeur de sa raison \(r\) :

Sens de variation

  • Si \(r = 0\), la suite est constante.
  • Si \(r\) > \(0\), la suite est strictement croissante.
  • Si \(r\) < \(0\), la suite est strictement décroissante.

Exemple : soit la suite définie par \(u_0 = 1\) avec une raison \(r = -3\).

Puisque la raison est négative, la suite est décroissante :

\(u_0 = 1\), \(u_1 = -2\), \(u_2 = -5\), \(u_3 = -8\)

Chaque terme est inférieur au précédent, confirmant la décroissance.

Comportement asymptotique et limites

Les élèves de Terminale doivent connaître précisément comment déterminer la limite d’une suite arithmétique :

Limite d’une suite arithmétique

  • Si \(r\) > \(0\), alors \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\)
  • Si \(r\) < \(0\), alors \(\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty\)
  • Si \(r = 0\), alors \(\lim_{n \to +\infty} u_n = u_0\) (suite constante)

Cas particuliers fréquents

Voici trois exemples pour illustrer chaque cas :

Suite croissante (\(r\) > \(0\)) : avec \(u_n = 2 + 3n\), la raison est \(r = 3\). La suite augmente sans limite : \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\)

Suite décroissante (\(r\) < \(0\)) : avec \(u_n = 10 – 2n\), la raison est \(r = -2\). La suite diminue sans limite : \(\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty\)

Suite constante (\(r = 0\)) : avec \(u_n = 5\), la raison est \(r = 0\). Tous les termes sont égaux : \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 5\)



Représentation graphique des suites arithmétiques

Lien entre suites arithmétiques et fonctions affines

Les suites arithmétiques peuvent être représentées graphiquement en associant chaque entier naturel \(n\) à son terme \(u_n\). Comme \(u_n = u_0 + n \times r\) est une fonction affine de \(n\), le graphe \((n,\, u_n)\) est une suite de points alignés sur une droite.

Représentation graphique d'une suite arithmétique — points alignés sur une droite

Exploiter la linéarité pour visualiser la variation

  • Si \(r\) > \(0\), les points montent de gauche à droite → suite croissante
  • Si \(r\) < \(0\), les points descendent → suite décroissante
  • Si \(r = 0\), tous les points sont sur une même horizontale → suite constante



S’entraîner sur les suites arithmétiques

Pour consolider le cours, rien ne remplace la pratique. Voici un exercice type :

Exercice type :

On considère une suite arithmétique définie par \(u_{n+1} = u_n – 4\) avec \(u_0 = 10\).

  1. Détermine la raison \(r\).
  2. Calcule les quatre premiers termes.
  3. Exprime \(u_n\) en fonction de \(n\).

Retrouve la correction détaillée de cet exercice et 25 autres exercices progressifs (Première, Terminale, type bac) avec corrigés rédigés pas à pas :
→ Exercices corrigés sur les suites arithmétiques (+ PDF imprimable)



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Questions fréquentes sur les suites arithmétiques


C'est quoi une suite arithmétique ?

Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours la même valeur, appelée raison \(r\). Formellement : \(u_{n+1} = u_n + r\). Par exemple, la suite 2, 5, 8, 11, 14… est arithmétique de raison \(r = 3\).

Comment calculer le terme général d'une suite arithmétique ?

Le terme général se calcule avec la formule \(u_n = u_0 + n \times r\) (si le premier terme est \(u_0\)) ou \(u_n = u_1 + (n-1) \times r\) (si le premier terme est \(u_1\)). Par exemple, si \(u_0 = 3\) et \(r = 4\), alors \(u_{10} = 3 + 10 \times 4 = 43\).

Comment montrer qu'une suite est arithmétique ?

Calcule la différence \(u_{n+1} – u_n\) et montre qu’elle est constante (indépendante de \(n\)). Si tu obtiens un nombre fixe, la suite est arithmétique et ce nombre est la raison \(r\). Si la différence dépend de \(n\), la suite n’est pas arithmétique.

Comment reconnaître une suite arithmétique ?

Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante : \(u_{n+1} – u_n = r\). Dans un tableau de valeurs, vérifie que l’écart entre chaque terme et le suivant est toujours le même.

Comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ?

Si la somme va de \(u_0\) à \(u_n\) : \(\displaystyle S = (n + 1) \times \displaystyle\frac{u_0 + u_n}{2}\). Si la somme va de \(u_1\) à \(u_n\) : \(\displaystyle S = n \times \displaystyle\frac{u_1 + u_n}{2}\). Voir aussi : Somme d’une suite arithmétique.

Les suites arithmétiques convergent-elles ?

Elles convergent uniquement si \(r = 0\) (suite constante). Sinon, elles divergent vers \(+\infty\) si \(r\) > \(0\), et vers \(-\infty\) si \(r\) < \(0\).

Quelle différence entre suite arithmétique et géométrique ?

Dans une suite arithmétique, on ajoute une constante \(r\) pour passer au terme suivant. Dans une suite géométrique, on multiplie par une constante \(q\). Pour un comparatif détaillé : suite arithmétique vs géométrique.

Comment passer d'une suite arithmétique à une suite arithmético-géométrique ?

Une suite arithmético-géométrique combine les deux types : \(u_{n+1} = a \times u_n + b\) avec \(a \neq 1\). On la résout en cherchant le point fixe puis en se ramenant à une suite géométrique. Voir la méthode complète : suite arithmético-géométrique.




Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant les fondamentaux des suites arithmétiques. Pour approfondir :

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